2020届宁夏回族自治区银川市银川唐徕回民中学高三上学期10月月考数学（理）试题（解析版） 17页

‎2020届宁夏回族自治区银川市银川唐徕回民中学高三上学期10月月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．若复数满足（为虚数单位），则（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】先由得，根据复数的除法运算法则进行化简，再由复数模的计算公式，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 因此.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查求复数的模，熟记复数模的计算公式，以及复数的除法运算法则即可，属于基础题型.‎ ‎2．已知集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|y=lg（x﹣2）}，则A∩（∁RB）=（　　）‎ A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，2） D．（﹣2，2]‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求得集合B,再进行补集和交集的运算即可．‎ ‎【详解】‎ B={x|x＞2}；‎ ‎∴∁RB={x|x≤2}；‎ ‎∴A∩（∁RB）=（﹣2，2]．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查描述法表示集合，交集和补集的运算．‎ ‎3．命题“”的否定为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据全称命题的否定是特称命题，符合换量词否结论,按照这一规律写出即可.‎ ‎【详解】‎ 由全称命题否定的定义可知，“”的否定为“”，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．注意：命题的否定只否定结论，而否命题是条件与结论都否定．‎ ‎4．已知，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】 根据指数函数的性质可知，根据对数函数的性质可知，‎ ‎ ，所以，故选B.‎ ‎5．函数的零点所在的区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】应用函数零点存在性定理判断.‎ ‎【详解】‎ 易知函数f（x）=在定义域上连续，‎ 且f()=<0 , f（1）= -1<0 , f(2)= , ,‎ 根据函数零点存在性定理，可知零点所在区间为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点的判定定理的应用，判断函数零点所在区间有三种常用方法，①直接法，解方程判断，②定理法，③图象法.‎ ‎6．已知、都是实数，那么“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】，有可能为，故不能推出，反过来，则成立，故为必要不充分条件.‎ ‎7．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：‎ ‎①－3是函数y＝f(x)的极值点；‎ ‎②－1是函数y＝f(x)的最小值点；‎ ‎③y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增；‎ ‎④y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零．‎ 以上正确命题的序号是(　　)‎ A．①② B．③④ C．①③ D．②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】试题分析：根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．‎ 根据导函数图象可知：当x∈（-∞，-3）时，f'（x）＜0，在x∈（-3，1）时，‎ ‎∴函数y=f（x）在（-∞，-3）上单调递减，在（-3，1）上单调递增，故③正确；‎ 则-3是函数y=f（x）的极小值点，故①正确；‎ ‎∵在（-3，1）上单调递增∴-1不是函数y=f（x）的最小值点，故②不正确；‎ ‎∵函数y=f（x）在x=0处的导数大于0∴切线的斜率大于零，故④不正确.‎ 故选C.‎ ‎【考点】‎ 利用导数研究曲线上某点切线斜率；函数的单调性与导数的关系；函数极值的判定.‎ ‎8．已知是定义在上的函数，且满足，当时，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先由题意，得到函数以为周期，再由已知解析式，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为函数满足，所以函数以为周期，‎ 因此，‎ 又当时，，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数周期性求函数值，熟记函数周期性的概念即可，属于基础题型.‎ ‎9．函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上（其中），则的最小值等于（ ）‎ A．10 B．8 C．6 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】由对数函数的性质可得定点，得到，再把式子化为，利用基本不等式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由对数函数的性质可得，函数点的图象恒过定点，‎ 又因为点在直线，所以，‎ 则，‎ 当且仅当，即等号成立，‎ 所以的最小值为4，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及基本不等式求最小值，其中解答中熟记对数函数的性质，合理化简，准确使用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎10．函数的图像大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C；当时，，，故，故排除A、D，‎ 故选B.‎ ‎【考点】函数的图象.‎ ‎11．若是方程的解，是方程的解，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先由题意，分别得到是函数与交点的横坐标；是函数与交点的横坐标；根据反函数的对称性，以及函数的对称性，可得，两点关于直线对称，进而可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为是方程的解，所以是函数与交点的横坐标；‎ 又是方程的解，所以是函数与交点的横坐标；‎ 因为函数与互为反函数，所以函数与图像关于直线对称，‎ 又的图像关于直线对称，‎ 因此，，两点关于直线对称，所以有，‎ 因此.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查反函数的应用，熟记反函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎12．记表示不超过的最大整数，如，设函数，若方程有且仅有个实数根，则正实数的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意得：方程，所以方程有且仅有个实数根，即有且仅有个实数根，即函数和函数的图象有三个不同的交点，分别作出两函数的图象，如图所示，要使得函数和函数的图象有三个不同的交点，则，解得，故选B.‎ ‎【考点】方程的根的个数的判断与函数的应用．‎ ‎【考点】方程根的个数的判断.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了方程的根的个数以及的应用，其中解答中涉及到取整函数的性质和对数函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了数形结合思想和学生的分析问题和解答问题的能力，其中解答中把方程有且仅有个实数根，转化为函数和函数的图象有三个不同的交点，正确作出函数的图象是解答的关键，属于中档试题．‎ 二、填空题 ‎13．幂函数经过点，则_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先设幂函数，根据题意求出，将代入即可求出函数值.‎ ‎【详解】‎ 设幂函数，因为幂函数经过点，‎ 则，解得：‎ 所以，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求幂函数值，熟记幂函数的解析式即可，属于基础题型.‎ ‎14．函数，其中为常数，若，则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，根据函数奇偶性的定义，判断函数为奇函数，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，设，‎ 因此，‎ 即函数为奇函数，‎ 若，则，‎ 因此，故.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记函数奇偶性的概念即可，属于基础题型.‎ ‎15．已知函数图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为，所以；由题意得恒成立，即恒成立，则，解得.‎ ‎【考点】导数的几何意义、一元二次不等式.‎ ‎16．如图，在四棱锥中，，平面，底面为正方形，且.若四棱锥的每个顶点都在球的球面上，则球的表面积的最小值为_____；当四棱锥的体积取得最大值时，二面角的正切值为_______. ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】(1)．要求球的表面积的最小值，需求出球的表面积的算式，为此又需求出球的半径，从而根据算式的特点，用函数的单调性或不等式求出最小值． ‎ ‎(2)．列出四棱锥的体积的算式，求出体积取得最大值时变量的取值，从而求出二面角的正切值．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)．设，则.∵平面，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴平面，‎ 则四棱锥可补形成一个长方体，球的球心为的中点，‎ 从而球的表面积为.‎ ‎(2)．四棱锥的体积，‎ 则，当时，；当时，.‎ 故，此时，.‎ 过作于，连接，‎ 则为二面角的平面角.‎ ‎∵，∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查四棱锥的体积与球体的表面积，考查函数与方程的数学思想以及直观想象的数学核心素养.‎ 当棱锥中有线面垂直的条件时，可考虑将棱锥补形成长方体，简化思考便于计算．‎ 找二面角平面角的常用方法有：定义法，三垂线法．‎ 三、解答题 ‎17．设实数满足（其中），实数满足．‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）先由，求出不等式的解集，得到实数满足；根据为真，得到，都为真，进而可求出结果；‎ ‎（2）先解不等式得到实数满足；根据是充分不必要条件，得到是的充分不必要条件，推出是的真子集；列出不等式求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，不等式可化为，解得：，‎ 即实数满足；又实数满足；‎ 因为为真，则，都为真，因此，‎ 所以；‎ ‎（2）因为，所以，解不等式可得，‎ 即实数满足；又实数满足；‎ 因为是充分不必要条件，则是的充分不必要条件，‎ 所以是的真子集；‎ 则有，解得：，‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由且命题的真假求参数，以及由命题的充分不必要条件求参数，熟记且命题真假的判定，以及充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.‎ ‎18．如图（1）所示，在中，是边上的高，且，，是的中点．现沿进行翻折，使得平面平面，得到的图形如图（2）所示．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）由题意，先根据面面垂直的性质定理，得到平面，再由线面垂直的性质，即可得出；‎ ‎（2）以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间坐标系，设，求出直线的方向向量，以及平面的一个法向量，由向量夹角公式，以及线面角与向量夹角的关系，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由图（1）知，在图（2）中，，，‎ ‎∵平面平面，平面平面，平面，‎ ‎∴平面，又平面，‎ ‎∴；‎ ‎（2）以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间坐标系，‎ 不妨设，则，，，，‎ ‎∴，，，‎ 设平面的法向量，则，即，‎ 令，得，，则是平面的一个法向量，‎ 设直线与平面所成的角是，‎ 则，‎ 故直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查证明线线垂直，以及求直线与平面所成的角，熟记线面垂直，面面垂直的性质定理，以及空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型.‎ ‎19．利用函数的单调性（利用导数），证明下列不等式:‎ ‎（1），；‎ ‎（2），.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 ‎【解析】（1）先设，，分别求导，研究其在给定区间的单调性，进而可得出结论成立；‎ ‎（2）先设函数，对其求导，研究其单调性，求出最小值，根据题中所给定义域，即可得出结论成立.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴函数在上单调递减；函数在单调递增；‎ ‎∴，，‎ 即，，‎ ‎∴，；‎ ‎（2）设函数，‎ 所以 ；‎ 令得：，‎ 由得；由得；‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎∴当时，取最小值，即， ‎ ‎∴当时，恒有，‎ 即，显然成立．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由导数的方法证明不等式成立，通常需要对函数求导，用导数的方法研究其单调性，最值等即可，属于常考题型.‎ ‎20．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎(2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.‎ ‎【答案】（1）；（2）2．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．‎ ‎（2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解 试题解析：（1）由题意可得，直线l的斜率存在，‎ 设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．‎ 由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．‎ 故由，解得：．‎ 故当，过点A（0，1）的直线与圆C：相交于M，N两点．‎ ‎（2）设M；N，‎ 由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程，‎ 可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 由，解得 k=1，‎ 故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算 ‎21．已知函数.‎ ‎（1）讨论在上的零点个数；‎ ‎（2）当时，若存在，使，求实数的取值范围.（为自然对数的底数，其值为2.71828……）‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）构造函数，先将讨论在上的零点个数问题，转化为讨论直线与曲线的交点个数问题，用导数方法研究函数单调性，求出值域，即可得出结果；‎ ‎（2）根据（1）的结果，由求出零点，得到，再由题意得到成立，构造函数，用导数方法研究其单调性，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得，令，‎ 因此讨论在上的零点个数，即是讨论直线与曲线的交点个数， ‎ ‎∵，在上恒成立，‎ 故在上单调递增，， ‎ 又连续不断，所以当时，在上无零点；‎ 当时，在上存在一个零点. ‎ ‎（2）当时，由（1）得在上存在一个零点，‎ 由得，‎ 由（1）可得在上单调递减，在上单调递增；‎ 所以， ‎ 又存在，使成立，‎ 所以，只需成立，即不等式成立，‎ 令，‎ 则，‎ 易知在上恒成立，‎ 故在上单调递增 又，所以.‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用，用导数的方法研究函数的零点、以及根据不等式能成立求参数的问题，熟练掌握导数的方法研究函数单调性、最值等即可，属于常考题型.‎ ‎22．在直角坐标系中，圆的参数方程（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，，与直线的交点为，求线段的长．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）先由圆的参数方程消去参数，得到圆的普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出圆的极坐标方程；‎ ‎（2）由题意，先设两点的极坐标为：，，将代入直线的极坐标方程，得到；将代入圆的极坐标方程，得到，再由，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，圆的参数方程（为参数），消去参数可得：； ‎ 把代入，化简得：，即为此圆的极坐标方程；‎ ‎（2）设两点的极坐标为：，，‎ 因为直线的极坐标方程是，射线，‎ 将代入得，即；‎ 将代入得，‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标下的两点间距离，熟记公式即可，属于常考题型.‎ ‎23．已知函数. ‎ ‎(1)求不等式的解集；‎ ‎(2)若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】（1）通过讨论的范围，求出不等式的解集即可；‎ ‎（2）通过求函数的最小值，将恒成立问题转化为最值问题，得到关于的不等关系，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，，‎ 当时，原式化为，解得，故；‎ 当时，原式化为，解得，故无解；‎ 当时，原式化为，解得，故；‎ 综上所述，不等式的解集为； ‎ ‎（2）因为，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 故恒成立等价于；即，‎ 解得，‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有零点分段法解绝对值不等式，恒成立问题向最值靠拢，属于简单题目.‎