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- 2021-06-30 发布
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临川一中2017-2018学年度上学期期中考试
高三年级数学文科试卷
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设复数,,则复数在复平面内对应的点到原点的距离是( )
A.1 B. C. D.
2.集合,,则等于( )
A. B. C. D.
3.设函数,,“是偶函数”是“的图象关于原点对称”( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知角满足,则的值为( )
A. B. C. D.
5.下列命题中为真命题的是( )
A.命题“若,则”的逆命题
B.命题“若,则”的否命题
C.命题“若,则”的否命题
D.命题“若,则”的逆否命题
6.的内角,,的对边分别为,,,已知,,,则的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知,若时,,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若任意都有,则函数的图象的对称轴方程为( )
A., B.,
C., D.,
9.已知向量与的夹角为,且,,若,且,则实数的值为( )
A. B. C. D.
10.若函数在单调递增,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.设数列的前项和为,若,,成等差数列,则的值是( )
A. B. C. D.
12.设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.在中,角,,所对的边分别是,,,若,,,则 .
14.已知函数是定义在上的偶函数,且在区间上单调递增,若实数满足,则实数的取值范围为 .
15.已知,,与的夹角为,则
.
16.已知,数列满足,则 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知,,(),函数,函数的最小正周期为.
(1)求函数的表达式;
(2)设,且,求的值.
18.已知数列是等比数列,首项,公比,其前项和为,且,,成等差数列,等差数列满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
19.某媒体为调查喜爱娱乐节目是否与观众性别有关,随机抽取了30名男性和30名女性观众,抽查结果用等高条形图表示如图:
(1)根据该等高条形图,完成下列列联表,并用独立性检验的方法分析,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关?
(2)从性观众中按喜欢节目与否,用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查.从这5名中任选2名,求恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的概率.
附:
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
.
20.如图,四棱锥中,底面为平行四边形,底面,且,.
(1)求证:平面平面;
(2)如果是棱上的点,是棱上一点,,且三棱锥的体积为,求的值.
21.已知,分别是椭圆:()的左、右焦点,离心率为,,分别是椭圆的上、下顶点,.
(1)求椭圆的方程;
(2)过作直线与交于,两点,求三角形面积的最大值(是坐标原点).
22.已知函数().
(1)若在其定义域内单调递增,求实数的取值范围;
(2)若,且有两个极值点,(),求取值范围.
临川一中2017-2018学年度上学期期中考试高三年级数学文科试卷答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12:
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解:(1),
因为函数的最小正周期为,所以,解得,
所以.
(2)由,得,
∵,∴,
∴,
∴.
18.解:(1)因为,,成等差数列,
所以,
所以,
所以,因为数列是等比数列,所以,
又,所以,所以数列的通项公式.
(2)因为恒成立,所以只需即可.
由(1)知,又,所以,
,
,
所以
.
故.
19.解:(1)由题意得列联表如表:
喜欢节目
不喜欢节目
总计
男性观众
24
6
30
女性观众
15
15
30
总计
39
21
60
假设:喜欢娱乐节目与观众性别无关,
则的观测值,
所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关.
(2)利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名,其中喜欢娱乐节目的人数为
,不喜欢节目的人数为.
被抽取的喜欢娱乐节目的4名分别记为,,,;不喜欢节目的1名记为.
则从5名中任选2人的所有可能的结果为:,,,,,,,,,共有10种,
其中恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的有,,,共4种,
所以所抽取的观众中恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的观众的概率是.
20.解:(1)面,即,且,,即,且,平面,即面,又∵,即面,
又∵平面,∴平面平面.
(2)∵四棱锥的体积为,转换为到平面距离,设为,
过作,
∵,,.
21.解:(1)由题知,,,,
∴,∴,①
∵,∴,∴,②
①②联立解得,,∴椭圆的方程为.
(2)设,,显然直线斜率存在,设其方程为,
代入,整理得,
则,即,,,
,
所以到的距离,
所以三角形面积,
设,所以,
当且仅当,即,即,即时取等号,
所以面积的最大值为.
22.解:(1)的定义域为,在定义域内单调递增,
,即在上恒成立,
由,所以,实数的取值范围是.
(2)由(1)知,当时,有两个极值点,
此时,,∴,
因为,解得,
由于,
于是
,
令,则,
所以在上单调递减,
,即,
故的取值范围为.