矢量图解运动问题 (2) 10页

专题1O曲线运动的动力学解沈晨专题7《曲线运动曲直谈》中，我们从运动学角度研究了曲线运动，在那里，我们熟悉了描述曲线运动的运动学方法，对圆周运动与抛体运动的运动学规律做了较深入的研究．在这个专题里，我们将从动力学角度研究曲线运动，即掌握各种曲线运动形成及运动状态变化的原因，这对于人们能动地掌控曲线运动是至为重要的．牛顿第二定律阐述了力与加速度的普遍关系，通俗地说就是：什么样的力产生什么样的加速度．在曲线运动中，我们通常将物体所受外力沿切线方向分量的代数和∑Ft称为切向力，而外力沿法线方向分量的代数和∑Fn称为法向力切向力产生切向加速度、决定曲线运动物体速率变化的快慢，法向力产生法向加速度、决定物体运动方向变化的快慢在益线运动中，牛顿第二定律的切向与法向的分量式(动力学方程)为当物体所受外力与运动速度方向不在同一直线时，物体一定做曲线运动，其中，若物体所受外力为恒力，物体做匀变速曲线运动，例如抛体运动；若物体所受外力方向与运动方向总垂直，则切向加速度为零，物体做匀速率的曲线运动，例如做等距螺旋线运动的物体；再如物体所受总垂直于速度的方向的外力大小不变，则法向加速度大小不变，这就是匀速圆周运动．动力学方法求解曲线运动的加速度，首先要作好两项分析，即物体的受力情况分析与运动情况分析，当外力与运动方向不在同一直线的情况下，通常将物体所受各力按运动速度的切向与法向作正交分解，通过建立两个方向七的牛顿第二定律的分量式求得．例l、如图lO-1所示，滑块A的质量为M，由于绳子的牵引而沿水平导轨滑动，绳子的另一端缠绕在半径为r的鼓轮0上，鼓轮以等角速度ω转动．不计导轨与滑块间的摩擦，求绳子的拉力FT与距离x之间的关系们略作些盘点．首先，在竖直平面内发生的圆周运动，是有重力参与提供向心力的，如果没有其他切向力，竖直面上的圆周运动肯定是非匀速率的，机械能是守恒的，在水平直径以上各点均存在一速度的临界值．如图lO一3所示，小物体连接在轻杆一端，在竖直平面内绕杆的另一端做圆周运动，通过水平直径以上位置，杆与水平线问的夹角为θ并正沿圆周向上运动时．将重力沿切向与法向分解，可知，重力的切向分力mgcosθ，方向与速度方向相反，说明物体正做减速率地运动；重力的法向分力\nmgsinθ与杆的拉力的合力作为向心力，应有式中R为圆轨道半径．从该式可知，线速度v越大，沿轨道运动通过该点时的加速度越大，所需向心力越大，这要靠杆的拉力来适调，因为杆的拉力是微小形变引起的弹力，是一种“适应性力”而重力则是恒力若速度v较小，向心加速度较小，致使只须重力的法向分量提供向心力即可，即这时杆上的弹力为零．若小物体速度小于vo，杆上弹性拉力将转为支持力，此时有故v=√Rgsinθ是杆牵引小物体在竖直平面内做圆周运动时，杆恰无形变，弹力为零杆对小物体的作用效果在“拉”与“推”之间转换的临界速度，而小物体能在竖直面内做完整的圆周运动的条件是到达最高点时的速度v=O若用绳来替换杆，如图10一4甲所示，因绳对小物体不可能产生支持力作用，则在达到临界速度v0时，绳长仍为R但已不张紧，这是物体能在半径为R的竖直圆轨道运动的临界状态，此后绳完全松弛，小物体只受重力作用而做抛体运动这说明，对应于绳与水平线成θ角的位置，物体可沿圆周运动的最小速度vmin=在最高点，这一临界速度值应为，小物体做完整的竖直平面内的圆周运动的条件是通过最高点时的速度不小于√Rg再若将杆替换成环形轨道，如图10—4乙所示，小物体沿光滑轨道外侧运动时，由于轨道对小物体只可能产生“顶”的作用效果．故v0=尤成为小物体不脱离轨道可取的最大速度，而要在轨道最高点不脱轨，小物体的速度不得超过√Rg例2一长为n的细线系着一小球悬挂在。点静止不动．若使小球获得一个水平初速度v0=略去空气阻力．证明：小球的运动轨迹经过悬点o．例3图lO一6所示中，A是一带有竖直立柱的木块，总质量为M，位于水平地面上B是一质量为m的小球，通过一不可伸长的轻绳挂于立柱的顶端．现拉动小球，使绳伸直并处于水平位置然后让小球从静止状态自由下摆．如在小球与立柱发生碰撞前，木块A始终未发生移动，则木块与地面间的静摩擦因数至少为多大?\n例4如图10一8所示，有一个质量均匀的大球壳，正好静止在桌边上，球壳与桌子无摩擦，对球壳轻轻一推，使其滚下桌子，试计算球壳脱离桌子的瞬间，球壳中心的速率例5筑路工人为了提高工作效率，把从山上挖出来的土石，盛在一个箩筐里，沿一条钢索道滑至山下．如索道形状为x2=4ay的抛物线，且箩筐及它所盛的土石可以看做质量为m的质点，求箩筐自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的速度，并求此时箩筐对钢索的压力在专题6中，我们曾介绍过做直线加速运动的非惯性系与惯性力，我们知道，引入惯性力后，牛顿第二运动定律∑F+F，=ma即可适用于非惯性系．这里，我们介绍“惯性离心力”：做匀角速度转动的非惯性参考系中的惯性力叫做惯性离心力如图10-11所示，水平转台以恒定的角速度w相对于惯性参考系(如地面)转动，平台上一小球用长为L的绳子与转台的轴相连，地面观察者看到小球与转台一起匀速转动，这是因为绳子对小球的拉力提供了球所需的向心力；对于转台上的观察者而言，他看到小球是静止的，他认为小球除受绳子的拉力外，还受到一个大小与F丁相等、方向相反、沿半径方向背离圆心的力F，，由于FT=Fi，故小球静止这种在相对于惯性参考系具有向心加速度的参考系中所引入的使牛顿定律仍能适用的力就是惯性离心力，与直线加速运动的参考系中的惯性力一样，惯性离心力是假想的力，是为在匀角速度转动着的非惯性系中简化力学问题的处理而采用的一种等效方法惯性离心力相对于匀角速度转动的参考系静止的物体，引入惯性离心力后，对转动参考系．仍能满足合力为零的力与运动关系．若物体相对于转动参考系做相对运动而不是静止，则对转动参考系，为使牛顿运动定律适用，除引入惯性离心力外，还要虚设另一称为“科里奥利力”的惯性力．在专题7例3的讲解中，我们曾展示过，当如图10一12所示半径为R的圆盘，以角速度ω绕盘心O转动，而质点沿盘上径向槽以恒定速度“自盘心向外运动，在槽内任一位置A(OA—r)质点加速度由两方面构成：中介参考系以ω匀速转动的牵连加速度“a牵连=ω2r(方向指向转动中心O)以及科里奥利加速度2ωu(方向沿盘面且垂直于u)．对地面观察者而言，这两个加速度都是由质点所受的真实力——盘面的摩擦力和槽的左侧壁弹力引起的，对相对盘静止的观察者而言，质点沿槽做速度为“的匀速直线运动，他的解释是，质点除了受盘面的摩擦力和槽的左侧壁弹力外，还受到惯性离心力一一科里奥利力，于是转动参考系中的观察者就可以解释质点的运动了：合力为零，质点做匀速直线运动科里奥利力是转动参考系中引入的假想的惯性力，其大小等于引起科里奥利加速度的真实力，方向相反物体在转动平面上沿任何方向运动时，都将受到一个与运动方向垂直的科里奥利力，大小地球是一个转动的非惯性参考系，地球自转的证据之一是傅科摆实验第一次做这个实验的是法国科学家傅科，他在巴黎一个庙宇的圆屋顶的水平架上用67m的铁丝下\n端悬挂了一个大球，让球在竖直面内往复摆动，在球的每一次摆动中，摆动平面都会发生明显的偏转，我国北京天文馆陈列的傅科摆，它的摆长是lOm，每37h15min,摆平面转动一周在一些中学，学生们自行设计傅科摆，作为演示地球自转的校园科技景观图示10-13是宁波效实中学学生设计并将建造的大型校园科技景观傅科摆效果图现在我们假设傅科摆实验在北极进行．如图1014所示，一个悬挂在北极的傅科摆，给摆球一个水平初速度，摆球开始在初速度所在竖直面内往复运动，考察摆平面M，可以发现它相对地球不断地旋转，每昼夜转一周，俯视旋转方向为顺时针．以太阳为参考系解释这一现象：摆球受到两个实际力的作用，重力mg和摆线拉力FT这两个力都在摆动平面内，不可能使摆平面发生转动，故摆平面是静止的，但由于地球在逆时针自转，故摆平面相对于地球反向转动；地球上的观察者要解释傅科摆现象必须引入科里奥利力：除了重力mg和摆线拉力F-外，摆球还受到一个方向与摆平面、亦即摆球相对地球运动方向垂直的惯性力．例如，当图10—14所示的摆球过平衡位置向右运动时，科里奥利力向外，摆球过平衡位置向左运动时，科里奥利力向里……这样，北极的这只傅科摆其摆平面在科里奥利力作用下顺时针地转动了．例6如图lO15所示，在以角速度ωm绕中心轴。匀速转动的太空实验室里，一长为z的细线，一端固定在中心轴o，另一端系一质量为m的小球，小球在实验室里以速度v匀速转动，转动方向与ω相反，求细线上的拉力FT的大小1．长度为f的不可伸长的细线系在竖直轴的顶端，在线的下端悬挂质量为m的一重物．再在这重物上系同样长度的另一根线，线的下端悬挂质量也为m的另一个重物，如图10一16所示．竖直轴以恒定角速度ω转动试证明第一根线与竖直线所成角度小于第二根线与竖直线所成角度．2如图lO17所示，套管A的质量为M，因受绳子牵引沿竖直杆向上滑动．绳子另一端绕过离杆距离为L的滑轮B而缠绕在鼓轮c上．当鼓轮c转动时，其边缘上各点的速度大小为v0．求绳子拉力和距离x之间的关系．3．橡皮圈挂在钉子上，如图1018所示．这时它的长度为\n2h然后使橡皮圈在水平面上旋转起来，当转动角速度达到ω时，它的长度也为2h．求橡皮圈转动的角速度．4．如图lO一19所示，小物块质量为m在半径为r的圆柱面上沿螺旋线形的滑槽滑动，运动的切向加速度大小为a=gsinα，式中α为螺旋线的切线与水平面的夹角，求由于小物块沿槽滑下而使圆柱面绕其中心轴转动的力矩大小．5．如图10-20所示，一轻绳跨越一固定水平光滑细杆，其两端各系一小球，球d置于地面，球b从水平位置由静止向下摆动，设两球质量相同．求a球恰要离开地面时跨越细杆的两绳之间的夹角．6．长为L的轻杆上端有一个质量为m的小重物A，杆被铰链固接在0点，如图10-21所示，并处于竖直位置，同时与质量为M的物体B互相接触．由于微小扰动使系统发生运动．试问质量之比M/m为多少的情况下，杆在脱离物体B的时刻与水平面成角α=π/6，这时物体B的速度u为多少?7．质量均为m的两个小球固定在长度为L的轻杆两端，如图10—22所示，直立在相互垂直的光滑墙壁和地板交界处突然发生微小的扰动使杆无初速倒下，求当杆与竖直方向成角α时，A球对墙的作用力8．质量为m，半径为r的圆木搁在两个高度相同的支架上，如图lO一23所示．右支架固定不动，而左支架以速度V从圆木下面向左滑动求当两个支点距离AB=√2r时，圆木对固定支架的压力FNA。．(两支架开始彼此靠得很近，圆木与支架之间的摩擦不计)9．一对绕固定水平轴0和o/同步转动的凸轮，使传送装置的水平平板发生运动，如图1024所示问凸轮以多大角速度转动时，放在平板上的零件开始移动?当凸轮按顺时针方向转动的情况下，零件将向什么方向移动?零件与平板之间的动摩擦因数为μ．凸轮半径为r10用手握着一绳端在水平桌面上做半径为r的匀速圆周运动，圆心为0，绳长为L，质量可以忽略，绳的另一端系着一个质量为m的小球，恰好也沿着一个以O点为圆心的大圆在桌面上运动，小球和桌面之间有摩擦，如图10-25所示求：(1)手对细绳做功的功率P(2)小球与桌面之间的动摩擦因数μ\n11．一个半径r一10cm的金属小圆环，从高度h=20Cm处掉到桌上，如图10-26所示，此小圆环在空气中绕其中心轴旋转，轴在竖直方向，角速度ω=2lrad/s．圆环与桌面的碰撞为非弹性的，且碰撞时间很短．小圆环与桌面间摩擦因数μ=O.3，求小圆环与桌面接触到旋转停止所转的圈数．(取g=10m/s2)12．有两个相同的单摆，把一个拴在另一个的下面，使它们各在一个水平面内做匀速圆周运动，设两条摆线(长L)与竖直线所成的夹角都很小已知在运动过程中两条摆线一直保持在同一平面内，求此平面转动的角速度，以及两质点轨道半径之比．13．半径为R的水平圆台，可绕通过圆心0的竖直光滑细轴CC’转动，如图1027所示，圆台上沿相互垂直的两个半径方向刻有槽，质量为mA的物体A放在一个槽内，物体A与槽底间的静摩擦因数为μ。，质量为mB的物体B放在另一槽内，此槽是光滑的AB间用一长为L(L