大学物理 (3) 92页

内容提要刚体定轴转动运动学转动定律刚体定轴转动能定理，功能关系角动量原理角动量守恒定律\n水平面刚体水平面刚体第一节刚体的两种基本运动形式刚体的两种基本运动形式一平动结论：刚体在平动运动中，连接体内的直线在空间的指向总保持不变，各点具有相同的速度,相同加速度。可按质点力学的规律处理。\n固定轴刚体二定轴转动特点：刚体上各点绕轴在与轴垂直的平面内做圆周运动。各质点的速度，加速度一般不同,可按前面的质点运动学处理.三刚体更复杂的运动形式：平面平行运动，定点转动，举例说明（略讲)。\n一刚体定轴转动的运动方程第二节刚体定轴转动运动学固定轴刚体如图，一刚体定轴转动，如何确定该刚体的位置。在固定轴上固结轴。与的夹角不断设想在刚体上有一直线，在刚体转动中，变化，是时间的函数，一定，则刚体的位置确定（或曰刚体上的所有质点的位置确定），变化，说明刚体的位置变化。因而，用可确定刚体的位置。为刚体定轴转动的运动方程。如同质点一维运动时的\n二角速度设称为角位移，代数量。则固定轴刚体平均角速度瞬时角速度即对运动方程求一阶导数。\n单位或矢量性角速度可以定义为矢量，以表示，它的方向规定为沿轴的方向。其指向用右手法则确定。在定轴转动中，因为角速度仅有两个方向，故可用代数量来表示其矢量性。具体做法是：规定一转动方向为正方向，当角速度与其同向时，取正；反之取负，详见后面例题分析。刚体\n三角加速度固定轴刚体加速转动减速转动若是变化的，同理得瞬时角加速度.单位或或由运动方程可得，均为代数量。矢量式为同样，在定轴转动中，角加速度仅两个方向，当角加速度与其同向时，取正；反之取负，详见后面例题分析。\n对匀变速转动的特殊情形恒量若则有\n质点直线运动与刚体定轴转动运动规律比较运动方程速度加速度其他关系式运动方程角速度角加速度其他关系式\n固定轴四角量和线量的关系如图示，刚体上一点绕轴在与刚体的轴相垂直的平面内做圆周运动，P半径为。加速度法向加速度切向加速度例题该点速度为\n例2—1刚体定轴转动的运动方程为，求:1时的和；2时，处的，和。解：12时\n***矢量关系矢量式大小方向向内:刚体上一质点的速度沿方向.刚体上一质点的加速度\n第二节刚体定轴转动定律问题的提出：当质点运动或刚体平动时，是运动状态，是运动状态的变化，原因是即合力是产生加速度的原因。在刚体定轴转动中，转动状态，转动状态变化，角加速度产生的原因是什么呢?本节回答此问题。直观演示得出定轴一力矩力的作用线在轴垂直的平面内,力对水平轴的力矩为刚体\n，力对水平轴的力矩定轴分解力，则力矩可记为矢量式方向：沿轴，与和均垂直。若力的作用线不在与轴垂直的平面内，则把力沿轴与轴垂直的方向分解：作用线沿轴的分力对轴不产生力矩；而作用线在与轴垂直的平面内的力的力矩可用以上方法来分析与计算。\n二刚体定轴转动定律设一刚体定轴转动中，研究力矩与角加速度间的定量关系。在刚体上取一小块，质量为，到轴的垂直距离为。内力外力据牛二律法向分量式：切向分量式：为简单其见，设二力的作用线在与轴垂直的平面内。由于本题的讨论中心是角加速度与力矩的关系，而第二式含有，故仅讨论第二式。\n得对整个刚体求和因解释原因则令\n例1—31如图，体系开始静止，当摆线由水平摆到竖直时，车及球的速度。光滑水平面车解：体系机械能守恒。体系水平方向动量守恒。解得如何求物体到达最低点时绳中得张力。\n例1—32一质量为的木块置于光滑的水平面上，其上有一半径为的光滑圆弧，如图示。当质量为的小球沿圆弧由运动到圆弧的底部时，二者的速度。解：本题的特点是,作用中，体系沿水平方向动量守恒，取向左为正方向。在最底点时，设大木块及球对地均向左运动，则有解（略）过程中，对体系，仅重力作功，故机械能守恒，则***物体系在竖直方向的动量是否守恒，为什么?的动能来自何方?哪些力对做功；与间的一对内力功之和为多少?\n结论式中称为转动惯量。为刚体受外力矩的代数和。上式表示的内容为转动定律。说明：1该式具有瞬时性（解释）。2矢量式为具体用法是：规定一转动方向为正方向，当力矩与规定正方向一致时，取正；反之取负；当角加速度与规定正方向同向时，取正；反之取负；通常选择转动的方向（角速度方向）为规定正方向，这样得到了转动定律的代数式。祥见后面例题分析。\n也为刚体受的外力，但对轴的力矩为零。如图示，规定力的力矩方向为正方向时，则有\n三转动惯量1物理意义牛二律知由转动定律由比较知，当合外力矩一定时，转动惯量越大，越小，刚体的转动状态即角速度越难以改变，即刚体维持原有运动状态的能力强；反之则弱。因此，转动惯量是刚体转动惯性的量度。在力一定时，越大，则加速度越小，表示物体维持原来运动状态的能力越强；反之亦然。称为物体平动惯性的量度。简言之，质量越大，其状态越难以改变。\n2计算转动惯量，如图所示。定轴其物理意义为：各质元的质量与到轴的垂直距离的平方之积的和。考虑到刚体是质量分布的连续体，则\n1求均质圆环对中心轴的转动惯量。o例2—2解：可见，转动惯量与质量的大小有关。2求均质圆盘对中心轴的转动惯量。解：利用上题的结果为基础，取一圆环。由上可知，转动惯量与质量的分布有关。此结果也适合圆柱体。***演示.\n解：1轴过端点。例2—3求均匀直杆的转动惯量。1轴过端点。2轴过质心。2轴过质心。可见，刚体的转动惯量与轴的位置有关。\n***平行轴定理简介解释对过质心轴的转动惯量对与过质心轴相平行轴的转动惯量二轴间的距离（证明略）例均质杆\n又刚体对轴和轴的转动惯量为***平行轴定理证明取刚体上的过刚体的质心为刚体的质心在同一水平面内。它们\n刚体的质心所以\n***垂直轴定理简介薄板***垂直轴定理简介证明薄板对轴的转动惯量对轴的转动惯量对轴的转动惯量则有\n结论：转动惯量2与质量的分布有关,1与质量有关,3与轴的位置有关。例2---4求由杆与球组成的体系对轴的转动惯量。解：转动惯量具有叠加性。\n例2—5如图，半径为，质量为的均质圆盘可绕通过质心的水平轴自由转动。盘上绕一段绳，绳的两端分别系二物体和，如图所示。求盘的角加速度，二物的加速度及绳内的张力。设物体运动中，绳与轮间无相对运动，而且。解：解题思路：本题似曾相识。在高中阶段如何求解此题?轮质量不计。仅研究和二物体，绳仅为连接体。则有\n然而，此处要考虑轮（因给出了质量和半径）-----刚体。此为一刚体和二质点组成的物体系。如何求解：用隔离体法，分析各物体受力。此处，，因和质量不等，二者会加速运动，它们的加速度大小与轮的边缘处的切向加速度的大小同值，故按转动定律，轮所受的合外力矩定不为零，故。\n转动的正方向轮投影式：对轮，运用转动定律，则对二物体和，运用牛二律，则（1）（2）（3）（4）联立可得（略）。\n例2—6如图，半径为，质量为的均质圆盘可绕通过质心的水平轴自由转动。盘上绕一长绳，绳另一端系一质量为的物体，求绳中的张力及.三式联立求解得运动学联系解：力图设转动正方向(略)\n本题的转动定律又可写为本题的转动定律又可写为\n讨论1系统从静止开时，经时间t物体下落的高度及轮转过的角度。2若轮转动时，轴处的摩擦阻力矩为（恒力矩），结果如何?解：轮：物：转动正方向\n3若阻力矩为，为恒量，求轮的角速度的表达式。物：解：轮：二式联立，消去，在利用分离变量法，积分求得。（略）\n例2—7在外力矩的作用下，物体以速度上升，撤去外力矩后，物体上升多高时开始下落。并求轮的角加速度。解：减速运动设转动正方向联立求解，得联立求解。\n解：减速运动设转动正方向联立求解，得联立求解。\n例2—8求解：\n例2---9如图为一榔头击打物体时的情形.相关说明如下:分别为锤柄与锤头的质量;为系统的质心;手握锤柄处;手握锤柄处与锤头中心的距离;手握锤柄处与质心中心的距离;锤柄长,即锤柄端到锤头中心之距.被击物对锤头的作用力.求打击时的质心加速度及锤柄对手的切向力.解设打击时手对柄的切向力为,由质心运动定理,有(1)以为轴,由转动定律,有(2)由角量与线量的关系,有(3)据质心定义,有(4)\n(1)(2)(3)(4)对的转动惯量为(5)以上五式联立,解得(详见教材讨论,略)\n解：杆受力如图。1例2—9如图示，一长为质量为的均质杆可绕过一端的水平轴自由转动，开始时，杆水平。若杆突然释放，求:1释放后瞬时（杆仍水平）的，，，，2当杆转到与水平成时的上述值。质心处的.\n由质心运动定理，有解得2当杆转到与水平成某一角时,由转动定律,有显然,杆做变角加速度转动.越来越小.\n结果可得。质心的求用积分转动定律。如何求杆转到时的角加速度与角速度.得或积分\n经验谈如何正确地运用转动定律7运用运动学条件。转动定律是刚体定轴转动时的规律。运用时：1选定刚体（盘，柱，杆等）及定轴；2分析刚体受力，并找出各力的力矩；3求各力的力矩的代数和；4写出的具体表述；5该式具有瞬时性，与刚体的运动状态（的大小和方向）无关;6运用隔离体法,对质点运用牛二律;\n一力矩的功设一刚体绕轴转动。一力作用在点,为简单起见，设力的作用线在与轴垂直的平面内，如图示。为点到轴的垂直距离。该力的作用点的轨迹为半径为的圆，故该力的元功为第三节力矩的功转动动能功能关系则由以上看出，功的定义不变，只是用力矩来计算刚体转动中力的功简单，当然，仍可用力的功。若力矩是转角的函数，用上式积分；若是恒力矩。则上式为是转角。\n二转动动能在定轴转动刚体上取一质量为质元,其动能为整个刚体的动能为其中转动惯量转动动能oo\n若刚体定轴转动时仅有保守力(或保守力的力矩)做功，则机械能守恒。三动能定理机械能守恒律即合外力矩的功等与转动动能的增量。\n2杆转到与水平成时的角加速度；例2—9如图示。1杆水平时的角加速度；3杆竖直时的角速度；解：123利用动能定理\n例2—9如图示,杆长为,质量为,求杆由水平位置(静止)转到竖直位置时的角速度.水平位置(静止)解法2用动能定理求解.即解得竖直位置某瞬时位置\n解法3考虑到仅重力做功,用机械守恒律求解.水平位置(静止)竖直位置零势能面机械能得\n或利用机械能守恒定律。零势能面如何求杆上各点的速度和加速度?\n例2---16如图，求杆由水平释放后（仍水平）时,杆的和及杆转到竖直位置时的，。轴解：（学生自己做）。例2----18求杆的角加速度，及转到水平位置时的角速度。解：（学生自己做）。例2---19推证转动的动能定理。\n第四节角动量定理角动量守恒定律一角动量定理转动定律瞬时性。则过程性。该式的物理意义是:瞬时力矩对微小时间累积引起物理量的变化。(与类比)在一段时间内(与类比)\n定义冲量矩角动量角动量定理：刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体角动量的增量。实质讲的力矩的时间累积及效果间的关系。若合外力矩是恒力矩，则上式简化为\n说明1角动量是矢量，表示为，方向与同。不过，在定轴转动中，沿轴，仅有两个方向，若规定一方向为正，则另一方向为负，因而，在定轴转动中，角动量为代数量既可。角动量定理矢量式:转动方向\n物理意义：为质元的动量与质元到轴的垂直距离的积，称为其动量矩（与力矩比较）。L为组成刚体的各质点动量矩的代数和。故又称动量矩。角动量定理又称动量矩定理。2动量矩\n3质点的动量矩(角动量)质点动量矩(角动量)的普遍定义式大小矢量式动量在矢径垂直方向的投影与矢径大小的积。方向右手螺旋法则。定点矢径轨迹\n例求一沿直线运动的质点的角动量.大小:方向:垂直平面向外解\n（合力）质点的角动量定理质点动量的变化率由质点受的合力决定。质点角动量的变化率由什么决定呢？质点角动量对时间的变化率则式中的称为质点所受合力对此固定点的力矩。力矩为矢量:方向，右手螺旋法则。大小\n定点矢径轨迹且式中的为质点受外力对定点的力矩。为动量矩或角动量的增量或称为质点的角动量定理.形式同刚体的角动量定理.质点系的角动量定理形式同刚体的角动量定理,因刚体本身为质点系.\n例2—10体系从静止开时，经秒后轮的角速度。解：轮：物：动量矩定理动量定理二式联立得结果或另一方法\n例2—9一半径为，质量为的均质圆盘置于水平桌面上，设盘在桌面上转动的初角速度为，盘和桌面间的摩擦系数为，盘经多长时间停止转动。解：阻力矩为略去数值例题\n另一解法\n二角动量守恒定律称为角动量（或动量矩）守恒律。对质点,因则三角动量守恒的应用虽然角动量守恒定律由单一刚体绕定轴转动时导出的，然而确有更广泛的应用范围，归纳如下。对定轴转动刚体,因若质点受合外力矩为零时,即则称为质点的角动量（或动量矩）守恒律。\n1单一质点在很多情形下，一质点绕一固定点运动，质点受合力的作用线恒过此固定点，即合力的力矩为零，则质点对该固定点的动量矩(角动量)守恒。如\n近日点远日点太阳地球动量不守恒!但机械能守恒。据动量矩(角动量)守恒定律,地球对太阳处的角动量恒定;还有电子在原子核的场中运动等。因与共线,对即太阳处力矩为零,即如在地球环绕太阳做椭圆轨道运动时对近日点与远日点,有而且,机械能守恒\n例一倔强系数为，原长为的弹性绳一端固定，另一端系一质量为的小球，整个系统在光滑的水平面上，如图示。开始时，如图。求物体与O点的最近距离。解：分析：物体绕O运动时，受合力恒指向O点，故对O点动量矩守恒。当物体运动到B点时，弹性绳恢复到原长，但不是最近距离，此后，物体惯性运动，到C点时，为最近距离。BC2角动量守恒1机械能守恒\n演示032角动量守恒定律向下拉特点：小球在绳的作用下运动，不断靠近绳穿过的孔。此过程中，角动量守恒，动能不守恒，机械能不守恒，动量不守恒。小孔\n2物体系如图为一定轴转动的刚体，角动量守恒。恒量想象把此刚体分为若干块，它们为一物体系（为一些刚体，或刚体与质点的组合），则体系受合外力矩仍为零，体系内各物体间有内力和内力矩，但对体系的总角动量无影响。由此推出：当一物体系在相互作用时（即有内力和内力矩），而体系所受合外力矩为零，则体系的角动量守恒。这样，把动量矩守恒律推广到物体系。内力矩使体系内各物体间的角动量交换。作用中，是否机械能守恒或动量守恒，视是否满足二者的条件而定。（代数和）\n2刚体系例如图示，若轮B沿轴移向A轮，当二者接触后，二者因摩擦最后以相同的角速度转动，求其值，设。解：当二轮接触后，因有轮间的内摩擦力矩，A轮转速减慢，而B轮加快。最后，二者以相同的转速转动。作用过程中仅内力矩做功，故体系的角动量守恒。作用前作用后据此得到作用过程中，机械能不守恒，为什么?\n例2—12如图示，质量为半径为的均质盘（砂轮）绕定轴自由转动，某瞬时，其边缘处爆列，一质量为的一小块向上飞去，求余下的盘的角速度。解：小块飞出时，此小块与余下的盘部分为一物体系，体系的合外力矩为零，故此过程中，体系的角动量守恒。作用前作用后是经常犯的错误!\n3刚体与质点系一均质杆自由悬挂，处于静止的状态。一子弹水平的射向杆。当子弹击中杆后，嵌入杆内，使体系获的角速度。作用中，系统的外力矩为零（包括重力矩和轴处约束力）为零，体系的角动量守恒作用前作用后杆静止子弹运动，对轴有动量矩杆与子弹一起转动但作用中动量不守恒，机械能也不守恒!此后如何运动,遵守什麽守恒率.轴对杆有作用力\n子弹冲量矩定理动量定理杆角动量原理推导设子弹击中杆后与杆的共同角速度为设二者的作用时间为内力二式相加，整理得补：设轴处的水平作用力为解释：杆的动量定理\n例如图，均质杆可绕过质心自由转动的轴在水平面内转动。杆静止。一刚球垂直射向杆，与杆做完全弹性碰撞。求作用后杆的角速度。作用前解：角动量守恒机械能守恒作用后\n动量不守恒：作用中体系所受的外力为轴对体系的作用力\n解释作用中，体系的机械能不守恒，动量不守恒。在何处有外力，请考虑其计算。例如图所示，均匀细棒OA可绕过端点的轴在水平面内转动，开始棒静止，速率为V的子弹从棒端穿过后的速率为，则该棒的角速度为2V()A()B()D()COALMmmVr2Vr[]\n例如图所示，均匀细棒AB长,质量为可绕过质心的竖直轴在水平面内转动，开始棒静止，速度为的子弹在棒端击中杆,并嵌于其中,则杆的角速度为.\n39演示角动量守恒定律人相对盘静止，随盘一起转动刚体，质点系人相对盘沿盘缘跑动过程中，体系的角动量守恒为人相对盘的速度\n解：设轮的半径为，设人向上爬时，物对地速度为，体系受合外力矩为零，人对地的速度为二者速度大小相同，故同时到达。作用前，体系的动量矩为作用前，体系的动量矩为据动量矩守恒定律则有例2—14如图，人与物同质量，开始体系静止。当人以相对速度向上爬动时，求二者对地的速度及人与物谁先到达轮处。并讨论计论的半径和质量时，及二者质量不同时的情形。\n***计轮的质量时，由角动量守恒律得***若人质量为，而物体为。体系的合外力矩为体系的角动量为由角动量原理（或动量矩定理)得或即注意到，得此时人和物作加速运动。\n人向圆心跑动中，体系的角动量守恒。\n4轴位置不变,转动中无外力矩作用,但质量分布变化当体系在无外力矩的情形下，对轴的角动量守恒，若体系的质量分布变化，其转动惯量相应的改变，因而，角速度变化。如：花样滑冰；跳水；跳马；巴蕾舞等。（物体在无外力矩的存在下，因内力而使质量分布改变)\n角动量角动量在广泛的领域内的应用：天体间，星体的公转与自转的动量矩。以及微观体系内粒子的角动量，如电子轨道运动角动量，电子，中子及其它粒子的自旋角动量等。而且，据近代物理理论，微观粒子的角动量是量子化的，自旋及自旋角动量是微观粒子的基本属性。\n***用角动量守恒律解释科里奥利力当球在光滑的盘面由A向B运动时，其角动量守恒。在A点时球在向外运动时，增大，故对地的角速度减小，因而，球相对盘面有一与相反的转动（球越向外运动，其值越大），球相对盘面的轨迹为曲线。横向力为科氏力。\n经验谈如何正确地运用角动量守恒定律关键分析出体系（或物体）在作用中，对轴（或一定点）的合外力矩为零（而不是合外力为零）。注意动量守恒律和角动量守恒律的区别。切无混淆。\n动力学内容比较质点一维运动刚体的定轴转动牛一律牛二律转动定律力矩平衡功动能定理动能定理功动量定理角动量原理（冲量矩定理）对物体系守恒律条件\n\n本章的重点与难点转动定律角动量原理角动量守恒律一运动学1运动方程（运动规律）2角速度3角加速度匀变速时\n4角量和线量的关系二转动定律瞬时性。代数和转动惯量的意义三功与能力矩的功恒力矩的功12转动动能3功能关系\n如图示，系统静止，弹簧处于原长处，不计摩擦，求物体下滑的速度。光滑零势能面4若仅保守力的力矩做功，则机械能守恒。\n四角动量原理角动量守恒定律1角动量原理2角动量守恒定律体系角动量守恒。这个定律的应用有一定的难度，关健是有哪些物体构成物体系，作用过程中，系统的外力矩为零。该过程中，合力可能不为零，动量不守恒；机械能也可不守恒。角动量质点刚体