(高等教育)大学物理 56页

物体位置总是伴随着时间的流逝而连续地变动。因而，我们可用有关连续函数的数学理论:微分、积分学作为工具来研究物体的运动。质点运动学是研究质点位置随时间而改变的运动规律的理论。本章主要内容有：基本概念：参考系、坐标系、质点、刚体基本物理量：位置矢量、位移、速度、加速度等几种运动：直线运动、抛体运动、圆周运动等两类基本问题：微分问题、积分问题\n§1.1参考系坐标系物理模型\n§1.1参考系坐标系物理模型\n物质运动是绝对的，运动的描述是相对的。\n选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同，这就是运动描述的相对性。为描述物体的运动而选择的标准物叫做参照系。1.1.1参照系（ReferenceSystem）1.1.2坐标系（CoordinateSystem）引入坐标系的必要性：定量地描述物体相对于参照系的运动。物理学中常用的坐标系：直角坐标系、球坐标系、极坐标系、自然坐标系等\n研究某一物体的运动，如果可以忽略其大小和形状，或者不涉及物体的转动和形变，就可以把物体当作是一个具有质量的点（即质点）。1.1.3物理模型可以将物体简化为质点的两种情况：（1）物体不变形，不作转动（平动）。（2）物体本身线度和它活动范围相比小得很多。1）质点（Particle，MassPoint）\nd太阳→地球=1.5×108kmR地球»6.4×102kmR地球d太阳→地球<<地球太阳地球绕太阳公转时地球可视一个质点。研究地球的自转问题时，就不能把地球看作质点。\n刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体。2）刚体（RigidBody）刚体也可定义为：在运动过程中物体内部任意两个质点间的距离保持不变的物体。强调：质点和刚体都是理想的模型，都是实际物体在一定条件下的抽象。即：刚体是一个内部各质点相对位置保持不变的质点系。\n选择合适的参考系，以方便确定物体的运动性质；建立恰当的坐标系，以定量描述物体的运动；提出准确的物理模型，以突出问题中最基本的运动规律。\n§1.2描述运动的物理量\n运动学的第一个问题就是描述质点的空间位置。选择参照系，选择一个参照点，标记为O。连接O与此时被考察质点的位置P\n1）位置矢量（PositionVector)*位矢的大小为确定质点P某一时刻在坐标系里的位置的物理量称位置矢量,简称位矢。式中、、分别为x、y、z方向的单位矢量。(x,y,z)1.2.1位矢和运动方程在直角坐标系中：\n位矢的方向余弦：PP2）运动方程运动方程：质点位置坐标随时间变化的函数关系。cos2+cos2+cos2=1它包含了质点运动的全部信息。\n例：斜抛运动分量（投影）式：例:匀速率圆周运动：从中消去参数得轨迹方程。在直角坐标系中，运动方程为：\n1）位移（Displacement）BABA1.2.2位移和速度由始点A指向终点B的有向线段AB称为点A到B的位移矢量。位移矢量也简称位移。\nBAS位移的大小为：若质点在三维空间中运动，则在直角坐标系中其位移为：路程（）：质点实际运动轨迹的长度。\n位移的物理意义A)确切反映物体在空间位置的变化,与路径无关，只决定于质点的始末位置。B）反映了运动的矢量性和叠加性。注意位矢长度的变化\n2）速度（Velocity）（1）平均速度在时间内,质点从点A运动到点B,其位移为时间内,质点的平均速度：BA与同方向。平均速度是矢量，平均速率：是标量。显然：\n（2）瞬时速度（InstantaneousVelocity）当时平均速度的极限值叫做瞬时速度,简称速度。方向：为的极限方向当质点做曲线运动时,质点在某一点的速度方向就是沿该点曲线的切线方向。\n质点在三维空间中运动，其速度为：在直角坐标中：速度的大小为：\n速度的大小为：当时,，瞬时速率为t→0时平均速率的极限，简称速率。速度的大小等于速率！\n例：设质点的运动方程为其中求：1）时的速度。2）质点的轨迹方程。解：1）由题意可得速度分量分别为：速度与轴之间的夹角：时速度为：（SI）速度的大小为：\n（2）运动方程：由运动方程消去参数可得轨迹方程为：0轨迹图246-6-4-2246\n1）平均加速度与同方向。单位时间内的速度增量即平均加速度。2）（瞬时）加速度1.2.3加速度（Acceleration）AB加速度的方向：t0时速度增量的极限方向；在曲线运动中，总是指向曲线的凹侧。\n加速度大小为：在直角坐标系中，加速度的表示式为：\n求导求导积分积分质点运动学两类基本问题一、由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；二、已知质点的加速度以及初始速度和初始位置,可求质点速度及其运动方程。\n一、已知质点的运动方程，可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；二、已知质点的加速度以及初始速度和初始位置,可求质点速度及其运动方程。，，\n例：一质点作直线运动，其加速度为一常量a0，已知在t=0时刻，x=x0，v=v0，试求：1）速度与时间的关系；2）位置与时间的关系；3）速度与位置的关系。解：1）2）\n注意：这都是匀加速直线运动公式，它们不具有一般意义！（变量变换）（分离变量）（两边同时积分）3）\n例：质点沿x轴作直线运动，加速度a=2t。t=0时，x=1m，v=0，求：任意时刻质点的速度和位置。解：质点作非匀加速的运动。积分：即有：可得：\n§1.3坐标系的运用1.3.1直角坐标系1.3.2自然坐标系——切向单位矢量——法向单位矢量s速度方向为切向坐标方向；指向曲率中心的方向为法向坐标方向（与速度的方向垂直）。PO.在已知运动轨道上任取一参照点O，由质点与参考点之间轨迹的长度s来表示质点的位置。S为弧坐标。\n运动方程：s=s(t)轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。sPO.速率：速度：\n例：一质点作匀速率圆周运动，半径为r，角速度为。求：质点的运动学方程。1）用直角坐标、位矢表示；2）用自然坐标表示。以圆心O为原点。建立直角坐标系Oxy，O点为初始位置，用位矢表示为：用自然坐标表示为：解：质点的运动学方程为：1）2）设t时刻质点位于P（x,y），\n加速度由两项组成，分别反映了速度大小变化和方向变化。一般曲线运动的加速度第一项，叫切向加速度，方向：大小：写成：（沿切向）曲率圆速度：\n第二项，叫法向加速度，切向单位矢量的时间变化率：当时写成：\n总加速度：法向加速度：为曲率半径。大小：方向：（沿法向）\n1）一般曲线运动的法向加速度指向瞬时曲率中心；2）在曲线运动中，加速度的方向总是指向曲线凹的一侧。大小：加速度：方向：•说明：\n1）质点运动时，如果同时有切向加速度和法向加速度，这就是一般的曲线运动；讨论2）如果只有切向加速度，没有法向加速度，3）如果只有法向加速度，没有切向加速度，则质点作变速率直线运动；则质点作匀速率曲线运动。\n大小：方向：沿半径指向圆心。曲线运动的加速度小结：法向加速度：总加速度的大小：大小：方向：沿轨道切线方向。切向加速度：方向：\n例：一汽车在半径R=200m的圆弧形公路上行驶，其运动学方程为s=20t-0.2t2(SI)。求：汽车在t=1s时的速度和加速度大小。在自然坐标系中，解：t=1s时：\n解：t=1s时例：已知质点在水平面内运动，运动方程为：，求：t=1s时的切向加速度、法向加速度和轨道曲率半径。\n☆圆周运动(CircularMotion）的角量描述角坐标：AB（约定：逆时针为正）角位移：运动方程：1、角坐标与角位移角速度2、角速度(AngularVelocity)\nAB角量与线量的关系：r\n角加速度：3、角加速度(AngularAcceleration)方向：角速度矢量的方向垂直于质点运动的平面，其指向由右手螺旋定则确定。角速度矢量可以得出，质点的线速度等于角速度与质点位矢的矢量积：P\n圆周运动的角量与线量的关系：\n例：质点作半径为R的圆周运动，其速率满足（k为常数），求：切向加速度、法向加速度和加速度的大小。解：切向加速度：法向加速度：加速度：\n匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动1）匀速率圆周运动：速率和角速度都为常量。2）匀变速率圆周运动：如时,常量\n例：一飞轮受摩擦力矩作用做减速运动，其角加速度与θ成正比，比例系数k>0。当t=0,ω=ω0，θ=0。求：1）角速度作为θ的函数表达式；2）最大角位移。解：1）2）当ω=0时，\n§1.4运动学的两类基本问题求导求导积分积分一由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；二已知质点的加速度以及初始速度和初始位置,可求质点速度及其运动方程。\n一已知质点的运动方程，可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；二已知质点的加速度以及初始速度和初始位置,可求质点速度及其运动方程。\n例：一质点作直线运动，其加速度为一常量a0，已知在t=0时刻，x=x0，v=v0，试求：（1）速度与时间的关系；（2）位置与时间的关系；（3）速度与位置的关系。解：（1）（2）\n注意：这都是匀加速直线运动公式，它们不具有一般意义！（变量变换）（分离变量）（两边同时积分）（3）\n§1.5相对运动我们知道对运动的描述具有相对性，即同一物体在不同参照系中运动状态的描述结论可能不一样。现在我们要问：不同参照系上的观察者对运动状态描述结果之间的关系如何?由于不同观察者可以选取不同参照系，所以弄清楚不同参照系上的观察者，对运动描述结果之间的关系是很重要的。可是，关于相对运动的问题却并不象看上去那么简单，它牵涉到物理学最基本的问题之一，即时间和空间的基本属性。\n一、时间与空间在两个相对作直线运动的参考系中，时间的测量是绝对的，空间的测量也是绝对的，与参考系无关，时间和长度的的绝对性是经典力学或牛顿力学的基础。AB小车以较低的速度沿水平轨道先后通过点A和点B。地面上人测得车通过A、B两点间的距离和时间与车上的人测量结果相同。\n*速度变换：位移关系：P质点在相对作匀速直线运动的两个坐标系中的位移S系系\n伽利略速度变换：若则注意当接近光速时，伽利略速度变换不成立！加速度关系绝对速度相对速度牵连速度