安徽省安庆市桐城市2020年高考数学模拟试卷（文） 8页

数学模拟试卷（文）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 设集合M={x|log‎2‎x<1}‎，N={x|x‎2‎+x-2>0}‎，则M∪‎∁‎RN=(    )‎ A. ‎(-2,2)‎ B. ‎[-2,2)‎ C. ‎(0,1]‎ D. ‎‎(0,1)‎ 2. 已知i是虚数单位，则复数z=‎‎4+3i‎3-4i的共轭复数的虚部是‎(    )‎ A. ‎-i B. i C. 1 D. ‎‎-1‎ 3. 向量a‎=(1,-2)‎，b‎=(2,-1)‎，则‎(a+2b)⋅a=(    )‎ A. 9 B. 11 C. 13 D. 15‎ ‎ ‎ 4. 已知各项均为正数的等比数列‎{an}‎的前n项和为Sn，且满足a‎6‎，‎3‎a‎4‎，‎-‎a‎5‎成等差数列，则S‎4‎S‎2‎‎=(    )‎ A. 3 B. 9 C. 10 D. 13‎ 5. 现有甲班A，B，C三名学生，乙班D，E两名学生，从这5名学生中选2名学生参加某项活动，则选取的2名学生来自于不同班级的概率是‎(    )‎ A. ‎1‎‎5‎ B. ‎3‎‎10‎ C. ‎2‎‎5‎ D. ‎‎3‎‎5‎ 6. 函数y=‎1-ln|x|‎‎1+ln|x|‎⋅sinx的部分图象大致为‎(    )‎ A. B. C. D. ‎ 7. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州‎(‎现四川省安岳县‎)‎人，他在所著的‎《‎数书九章‎》‎中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为5，2，则输出v的值为‎(    )‎ A. 64 B. 68 C. 72 D. 133 ‎ ‎ ‎ 1. 对于函数f(x)=cos(π‎2‎+x)sin(‎3π‎2‎+x)‎，给出下列四个结论：‎①‎函数f(x)‎的最小正周期为π；‎②‎若f(x‎1‎)=-f(x‎2‎)‎则x‎1‎‎=-‎x‎2‎；‎③f(x)‎的图象关于直线x=-‎π‎4‎对称；‎④f(x)在[π‎4‎,‎3π‎4‎]‎上是减函数，其中正确结论的个数为‎(    )‎ A. 2 B. 4 C. 1 D. 3‎ 2. 已知函数f(x)=log‎2‎(x‎2‎‎+1‎-x)‎，若对任意的正数a，b，满足f(a)+f(3b-1)=0‎，则‎3‎a‎+‎‎1‎b的最小值为‎(    )‎ A. 6 B. 8 C. 12 D. 24‎ 3. 已知以圆C：‎(x-1‎)‎‎2‎+y‎2‎=4‎的圆心为焦点的抛物线C‎1‎与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C‎2‎：x‎2‎‎=8y上任意一点，BM与直线y=-2‎垂直，垂足为M，则‎|BM|-|AB|‎的最大值为  ‎(‎     ‎‎)‎ A. 1 B. 2 C. ‎-1‎ D. 8‎ 4. 如图，正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎的对角线BD‎1‎上存在一动点P，过点P作垂直于平面BB‎1‎D‎1‎D的直线，与正方体表面相交于M，N两点．设BP=x，‎△BMN的面积为S，则当点P由点B运动到BD‎1‎的中点时，函数S=f(x)‎的图象大致是‎(    )‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ 5. 已知f(x)=x(ex-e‎-x)‎，若不等式f(ax-1)>f(x-2)‎在x∈[3,4]‎上有解，则实数a的取值范围是‎(    )‎ A. ‎(-∞,0)∪(‎2‎‎3‎,+∞)‎ B. ‎(-∞,-‎1‎‎4‎)∪(‎2‎‎3‎,+∞)‎ C. ‎(-∞,-‎1‎‎4‎)∪(‎3‎‎4‎,+∞)‎ D. ‎‎(-∞,0)∪(‎3‎‎4‎,+∞)‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 6. 若实数x，y满足约束条件‎4x-y-1≥0‎y≥1‎x+y≤4‎，则z=lny-lnx的最小值是______．‎ 7. 已知点P，Q分别是圆C：‎(x+2‎)‎‎2‎+(y-1‎)‎‎2‎=1‎及直线l：‎3x-4y=0‎上的动点，O是坐标原点则‎|OP-OQ|‎最小值为______．‎ 8. 若侧面积为‎4π的圆柱有一外接球O，当球O的体积取得最小值时，圆柱的表面积为______．‎ 9. 已知数列‎{an}‎的前n项和Sn‎=2an-‎‎2‎n+1‎，若不等式‎2n‎2‎-n-3<(5-λ)‎an对‎∀‎n‎∈‎N‎+‎恒成立，则整数λ的最大值为______．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ 10. 在‎△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且csin(π‎2‎-A)‎是acosB与bcosA的等差中项． ‎(1)‎求角A； ‎ ‎(2)‎若‎2a=b+c，且‎△ABC的外接圆半径为1，求‎△ABC的面积．‎ ‎ ‎ 1. ‎《‎汉字听写大会‎》‎不断创收视新高，为了避免“书写危机”，弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试．现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第1组‎[160,164)‎，第2组‎[164,168)‎，‎…‎，第6组‎[180,184)‎，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图． ‎(1)‎若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第6组的概率； ‎(2)‎试估计该市市民正确书写汉字的个数的平均数与中位数； ‎(3)‎已知第4组市民中有3名男性，组织方要从第4组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率．‎ 2. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为‎2‎‎3‎的菱形，‎∠BAD=60°‎，点E是棱BC的中点，DE∩AC=O，点P在平面ABCD的射影为O，F为棱PA上一点． ‎(‎Ⅰ‎)‎求证：平面PED⊥‎平面BCF； ‎(‎Ⅱ‎)‎若BF//‎平面PDE，PO=2‎，求四棱锥F-ABED的体积． ‎ 3. 已知Q，R是椭圆C：x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的左右顶点，P点为椭圆C上一点，点P关于x轴的对称点为H，且kPQ‎⋅kRH=‎‎1‎‎2‎． ‎(1)‎若椭圆C经过圆x‎2‎‎+(y-1‎)‎‎2‎=4‎的圆心，求椭圆C的方程； ‎(2)‎在‎(1)‎的条件下，若过点M(2,0)‎的直线与椭圆C相交于不同的A，B两点，设P为椭圆C上一点，且满足OA‎+OB=tOP(O为坐标原点‎)‎，当‎|AB|<‎‎2‎‎5‎‎3‎时，求实数t的取值范围．‎ 1. 已知函数f(x)=lnx-a(x+1)‎，a∈R在‎(1,f(1))‎处的切线与x轴平行． ‎(1)‎求f(x)‎的单调区间； ‎(2)‎若存在x‎0‎‎>1‎，当x∈(1,x‎0‎)‎时，恒有f(x)-x‎2‎‎2‎+2x+‎1‎‎2‎>k(x-1)‎成立，求k的取值范围．‎ 2. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C‎1‎的参数方程为x=cost,‎y=2sint,‎‎(t为参数‎)‎，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位，直线l的直角坐标方程为y=‎3‎x． ‎(1)‎求曲线C‎1‎的极坐标方程； ‎(2)‎若曲线C‎2‎的极坐标方程为ρ+8cosθ=0‎，与直线l在第三象限交于A点，直线l与C‎1‎在第一象限的交点为B，求‎|AB|‎．‎ 3. 已知函数f(x)=|x+m|-|2x-2m|(m>0)‎． ‎(1)‎当m=‎‎1‎‎2‎时，求不等式f(x)≥‎‎1‎‎2‎的解集； ‎(2)‎对于任意的实数x，存在实数t，使得不等式f(x)+|t-3|<|t+4|‎成立，求实数m的取值范围．‎ ‎ ‎ 数学模拟试卷（文）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ BDCCD ABDCA DA ‎ ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13【答案】‎-ln3‎ b 14【答案】1 15【答案】‎6π 16【答案】4‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ ‎17【答案】‎(‎本题满分为12分‎)‎ 解：‎(1)‎因为csin(π‎2‎-A)‎是acosB与bcosA的等差中项． 所以‎2ccosA=acosB+bcosA． 由正弦定理得‎2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA， 从而可得‎2sinCcosA=sinC， 又C为三角形的内角， 所以sinC≠0‎， 于是cosA=‎‎1‎‎2‎， 又A为三角形内角， 因此A=π‎3‎…(6‎分‎)‎ ‎(2)‎设‎△ABC的外接圆半径为R，则R=1‎，a=2RsinA=‎‎3‎， 由余弦定理得a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎-2bccosπ‎3‎=(b+c‎)‎‎2‎-3bc，即‎3=12-3bc， 所以bc=3‎． 所以‎△ABC的面积为：S=‎1‎‎2‎bcsinA=‎3‎‎3‎‎4‎…(12‎分‎)‎ ‎18【答案】解：‎(1)‎被采访人恰好在第1组或第4组的概率P=4×0.07+4×0.01=0.32…………………(2‎分‎)‎ ‎2)‎平均数M‎-‎‎=162×0.2+166×0.28+170×0.32+174×0.12+178×0.04+182×0.04…………(3‎分‎)‎ M‎-‎‎=170-1.6-1.12+0.48+0.32+0.48=168.56…………………(4‎分‎)‎ 设中位数为x，则‎0.2+0.28+(x-168)×0.08=0.5…………………(5‎分‎)‎ ‎∴‎中位数x=‎0.5-0.28‎‎0.08‎+168=168.25…………………(6‎分‎)‎ ‎(3)‎共‎50×0.12=6‎人，其中男生3人，设为a，b，c，女生三人，设为d，e，f…………………(7‎分‎)‎ 则任选2人，可能为‎{a,b}‎，‎{a,c}‎，‎{a,d}‎，‎{a,e}‎，‎{a,f}‎，‎{b,c}‎，‎{b,d}‎，‎{b,e}‎，‎{b,f}‎，‎{c,d}‎，‎{c,e}‎，‎{c,f}‎，‎{d,e}‎，‎{d,f}‎，‎{e,f}‎，共15种，‎…………………(9‎分‎)‎ 其中两个全是男生的有‎{a,b}‎，‎{a,c}‎，‎{b,c}‎，共3种情况，‎…………………(10‎分‎)‎ 设事件A：至少有1名女性， 则至少有1名女性市民的概率P(A)=1-‎3‎‎15‎=‎4‎‎5‎…………………(12‎分‎)‎ ‎19【答案】证明：‎(1)∵PO⊥‎平面ABCD，BC⊂‎平面ABCD，‎∴BC⊥PO 依题意‎△BCD是等边三角形，E为棱BC的中点，‎∴BC⊥DE， 又PO∩DE=O，PO，DE⊂‎平面PED，‎∴BC⊥‎平面PED， ‎∵BC⊂‎平面BCF，‎∴‎平面PED⊥‎平面BCF． 解：‎(‎Ⅱ‎)‎取AD的中点G，连结BG，FG， ‎∵‎底面ABCD是菱形，E是棱BC的中点，‎∴BG//DE， ‎∵BG⊄‎平面PDE，DE⊂‎平面PDE，‎∴BG//‎平面PDE， ‎∵BF//‎平面PDE，BF∩BG=B，‎∴‎平面BGF//‎平面PDE， 又平面BGF∩‎平面PAD=GF，平面PDE∩‎平面PAD=PD， ‎∴GF//PD，‎∴F为PA的中点， ‎∵S四边形ABED=‎3‎‎2‎×‎1‎‎2‎×2‎3‎×2‎3‎×sin60°=‎‎9‎‎3‎‎2‎， 点F到平面ABED的距离为d=PO‎2‎=1‎， ‎∴‎四棱锥F-ABED的体积： VF-ABED‎=‎1‎‎3‎⋅S四边形ABED⋅d=‎1‎‎3‎×‎9‎‎3‎‎2‎×1=‎‎3‎‎3‎‎2‎．‎ ‎20【答案】解：‎(1)‎设P(x,y)‎，因为P(-a,0)‎，Q(a,0)‎，则点P关于x轴的对称点H(x,-y)‎， kPQ‎=‎yx+a，kRH‎=‎ya-x，因为x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎， 所以y‎2‎‎=(1-x‎2‎a‎2‎)b‎2‎=b‎2‎a‎2‎(a‎2‎-x‎2‎)‎，所以kPQ‎⋅kRH=y‎2‎a‎2‎‎-‎x‎2‎=b‎2‎a‎2‎=‎‎1‎‎2‎， 又椭圆C过圆x‎2‎‎+(y-1‎)‎‎2‎=4‎的圆心‎(0,1)‎， ‎∴‎0‎a‎2‎+‎1‎b‎2‎=1‎， 所以a‎2‎‎=2‎，b‎2‎‎=1‎，所以椭圆C的标准方程为x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎； ‎(2)‎由题意可知，直线AB的斜率存在， 设l：y=k(x-2)‎，A(x‎1‎,y‎1‎)‎，B(x‎2‎,y‎2‎)‎，P(x‎0‎,y‎0‎)‎ 由y=k(x-2)‎x‎2‎‎+2y‎2‎=2‎得‎(1+2k‎2‎)x‎2‎-8k‎2‎x+8k‎2‎-2=0‎． 由‎△=64k‎4‎-4(2k‎2‎+1)(8k‎2‎-2)>0‎，解得k‎2‎‎<‎1‎‎2‎(*)‎ ‎∴x‎1‎+x‎2‎=‎‎8‎k‎2‎‎1+2‎k‎2‎，x‎1‎x‎2‎‎=‎‎8k‎2‎-2‎‎1+2‎k‎2‎， ‎∵|AB|<‎‎2‎‎5‎‎3‎，‎∴‎1+‎k‎2‎|x‎1‎-x‎2‎|<‎‎2‎‎5‎‎3‎， ‎∴(1+k‎2‎)[‎64‎k‎4‎‎(1+2‎k‎2‎‎)‎‎2‎-4×‎8k‎2‎-2‎‎1+2‎k‎2‎]<‎‎20‎‎9‎，‎∴k‎2‎<‎1‎‎2‎(*)‎ 结合‎(*)‎得，‎1‎‎4‎‎0‎，解得：‎01‎， 故f(x)‎在‎(0,1)‎递增，在‎(1,+∞)‎递减； ‎(1)‎不等式f(x)-x‎2‎‎2‎+2x+‎1‎‎2‎>k(x-1)‎ 可化为lnx-x‎2‎‎2‎+x-‎1‎‎2‎>k(x-1)‎， 令g(x)=lnx-x‎2‎‎2‎+x-‎1‎‎2‎-k(x-1)‎，‎(x>1)‎， g'(x)=‎‎-x‎2‎+(1-k)x+1‎x， ‎∵x>1‎，令h(x)=-x‎2‎+(1-k)x+1‎， h(x)‎的对称轴是x=‎‎1-k‎2‎， ‎①‎当‎1-k‎2‎‎≤1‎时，即k≥-1‎， 易知h(x)‎在‎(1,x‎0‎)‎上递减， ‎∴h(x)0‎， ‎∴‎必存在x‎0‎使得x∈(1,x‎0‎)‎时，g'(x)>0‎， ‎∴g(x)‎在‎(1,x‎0‎)‎递增， ‎∴g(x)>g(1)=0‎恒成立，适合题意． ‎②‎当‎1-k‎2‎‎>1‎时，即k<-1‎， 易知必存在x‎0‎使得h(x)‎在‎(1,x‎0‎)‎递增， ‎∴h(x)>h(1)=1-k>0‎， ‎∴g'(x)>0‎，‎∴g(x)‎在‎(1,x‎0‎)‎递增， ‎∴g(x)>g(1)=0‎恒成立，适合题意． 综上，k的取值范围是‎(-∞,1)‎．‎ ‎22【答案】解：‎(1)‎由C‎1‎的参数方程为x=costy=2sint‎(t为参数‎)‎，得x‎2‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎， 则ρ‎2‎cos‎2‎θ+ρ‎2‎sin‎2‎θ‎4‎=1‎，即‎1‎ρ‎2‎‎=cos‎2‎θ+‎sin‎2‎θ‎4‎； ‎(2)‎由题意，C‎2‎‎：ρ=-8cosθ,l：θ=‎π‎3‎． 得ρA‎=-8cosπ‎3‎=-4‎， ‎ 由‎1‎ρB‎2‎‎=cos‎2‎π‎3‎+‎1‎‎4‎sin‎2‎π‎3‎=‎‎7‎‎16‎，得ρB‎=‎‎4‎‎7‎， ‎∴|AB|=‎4‎‎7‎‎7‎+4‎．‎ ‎23【答案】解：因为m>0‎，所以f(x)=|x+m|-|2x-2m|=x-3m, x≤-m‎3x-m, -m0‎，故实数m的取值范围是‎(0,‎7‎‎2‎).…………………………………………………………10‎分