河北省石家庄市第一中学2013-2014学年高二数学上学期期中试题 文 新人教A版 7页

河北省石家庄市第一中学2013-2014学年高二数学上学期期中试题 文 新人教A版 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.若集合，，则满足条件的实数的个数有C ‎ ‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎2. 已知是第二象限角，且，则的值为D ‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.设, 则 “”是“”的 （　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A 若，则，即。若时，所以是的充分而不必要条件，选A.‎ ‎4. 设为等差数列的前项和,,则= （　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】A ‎ ‎5.为了得到函数的图象,只需将函数的图象 C ‎ ‎ A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 ‎ C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 ‎ ‎6.若为平面内任一点且，则是 C A．直角三角形或等腰三角形　　　　 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形但不一定是直角三角形　D．直角三角形但不一定是等腰三角形 ‎7.已知函数，则的解集为B A． B． ‎ C． D．‎ ‎8. 有如图所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为 ‎ ‎ （　　）‎ A．13 B．7+‎3‎ C． D．14‎ ‎【答案】D由正视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱,或水平放置的圆柱.由图象可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为1,底面边长分别为1,3,所以表面积为,选 D．‎ ‎ ‎ ‎10.在球心同侧有相距的两个平行截面，它们的面积分别为和,则球的表面积为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知是正数，且满足．那么的取值范围是B ‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数满足，且，分别是上的偶函数和奇函数，若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是B A． B． C． D．试卷II（90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相应的空内．‎ ‎13.已知抛物线的准线过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为 2 .‎ ‎14. 直线与圆的公共点的个数为 2 . ‎ ‎15.如图所示的程序框图,运行相应的程序,如果输入某个正整数后,输出的 ‎,那么的值为 .‎ ‎16．有下面四个判断：‎ ‎①命题：“设、，若，则”是一个假命题 ‎②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题 ‎③命题“、”的否定是：“、”‎ ‎④若函数的图象关于原点对称，则 其中错误的有 ① ② ③ ④ .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值.‎ 解：（Ⅰ）由题意，， ‎ 所以，. ‎ 函数的定义域为. ………………………4分 ‎ ‎（Ⅱ）因为，所以， ‎ ‎， ‎ ‎， ………………………8分 ‎ ‎ 将上式平方，得， ‎ 所以. ………………………10分 ‎（Ⅰ）证明：因为点是菱形的对角线的交点，‎ 所以是的中点.又点是棱的中点，‎ 所以是的中位线，. ‎ 因为平面,平面，‎ 所以平面. ………………………4分 ‎ ‎（Ⅱ）证明：由题意，,‎ 因为,所以，. ‎ 又因为菱形，所以. ‎ 因为,‎ 所以平面， ‎ 因为平面，‎ 所以平面平面. ……………………8分 ‎（Ⅲ）解：三棱锥的体积等于三棱锥的体积. ‎ 由（Ⅱ）知，平面，‎ 所以为三棱锥的高. ‎ 的面积为， ‎ 所求体积等于. ………………………12分 ‎ ‎19. 如图，设是圆上的动点，点是在轴上的投影，为上一点，且．‎ ‎(1)当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；‎ ‎(2)求过点且斜率为的直线被所截线段的长度．‎ 解：(1)设的坐标为(x，y)，的坐标为，‎ 由已知得，∵在圆上，‎ ‎∴，即轨迹C的方程为………………………5分 ‎(2) 过点且斜率为的直线方程为，‎ 设直线与的交点为，，‎ 将直线方程代入的方程，得 ‎，即x2－3x－8＝0. ………………………8分 ‎∴x1＝，x2＝.‎ ‎∴线段的长度为 ‎ ‎………………12分 ‎20. 设数列满足：，‎ ‎ (I)求证：是等比数列；‎ ‎ (Ⅱ)设数列，求{bn}的前项和．‎ 解：（I）由得 ‎ ‎ 令， ‎ ‎ 得 则， ‎ ‎ 从而 .‎ ‎ 又, ‎ ‎ ……………………………………10分 ‎ ………………………………12分 ‎21. 设函数且是定义域为的奇函数.‎ ‎(1)求值;‎ ‎(2)若,且,在上的最小值为,求的值.‎ 解:(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0, ‎ ‎∴1-(k-1)=0,∴k=2, ………………………4分 ‎ ‎(2)∵f(1)=,,即 ‎ ‎ ………………………6分 ‎∴g(x)=22x+2-2x‎-2m(2x-2-x)=(2x-2-x)2‎-2m(2x-2-x)+2. ……………………8分 令t=f(x)=2x-2-x, ‎ 由(1)可知f(x)=2x-2-x为增函数,∵x≥1,∴t≥f(1)=, ‎ 令h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2 (t≥) ‎ 若m≥,当t=m时,h(t)min=2-m2=-2,∴m=2 ‎ 若m<,当t=时,h(t)min=‎-3m=-2,解得m=>,舍去………………………11分 综上可知m=2. ………………………12分 ‎22. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上的点到焦点距离的最大值为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求实数的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：‎ ‎ 由题意：‎ ‎ 所求椭圆方程为：． ……………………4分 ‎（Ⅱ）若过点的斜率不存在，则．‎ ‎ 若过点的直线斜率为，即：时，‎ ‎ 直线的方程为 ‎ 由 ‎ ‎ ‎ 因为和椭圆交于不同两点………………………6分 ‎ 所以，‎ ‎ 所以 ①‎ ‎ 设 ‎ 由已知，则 ②…………8分 ‎ ‎ ‎ ③‎ 将③代入②得：‎