2005年海南省高考数学试卷Ⅰ（理）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 6页

1 / 6 2005 年海南省高考数学试卷Ⅰ（理） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1. 复数 2 ― 푖3 1 ― 2 ⋅ 푖 = ( ) A. ― 푖 B.푖 C.2 2 ― 푖 D. ― 2 2 + 푖 2. 设퐼为全集，푆1、푆2、푆3是퐼的三个非空子集，且푆1 ∪ 푆2 ∪ 푆3 = 퐼，则下面论断正确 的是（ ） A.∁퐼푆1 ∩ (푆2 ∪ 푆3) = ⌀ B.푆1 ⊆ (∁퐼푆2 ∩ ∁퐼푆3) C.∁퐼푆1 ∩ ∁퐼푆2 ∩ ∁퐼푆3 = ⌀ D.푆1 ⊆ (∁퐼푆2 ∪ ∁퐼푆3) 3. 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为휋，则球的体积为 ( ) A.8휋 3 B.8 2휋 3 C.8 2휋 D.32휋 3 4. 已知直线푙过点( ― 2, 0)，当直线푙与圆푥2 + 푦2 = 2푥有两个交点时，其斜率푘的取值 范围是（ ） A.( ― 2 2，2 2) B.( ― 2， 2) C.( ― 2 4 ， 2 4 ) D.( ― 1 8，1 8) 5. 如图，在多面体퐴퐵퐶퐷퐸퐹中，已知퐴퐵퐶퐷是边长为1的正方形，且 △ 퐴퐷퐸， △ 퐵퐶퐹 均为正三角形，퐸퐹 // 퐴퐵，퐸퐹 = 2，则该多面体的体积为( ) A. 2 3 B. 3 3 C.4 3 D.3 2 6. 已知双曲线푥2 푎2 ― 푦2 = 1(푎 > 0)的一条准线与抛物线푦2 = ―6푥的准线重合，则该双 曲线的离心率为（ ） A. 3 2 B.3 2 C. 6 2 D.2 3 3 7. 当0 < 푥 < 휋 2时，函数푓(푥) = 1 + cos2푥 + 8sin2푥 sin2푥 的最小值为（ ） A.2 B.2 3 C.4 D.4 3 8. 设푏 > 0，二次函数푦 = 푎푥2 + 푏푥 + 푎2 ― 1的图象为下列之一，则푎的值为（ ） A.1 B. ― 1 C. ―1 ― 5 2 D. ―1 + 5 2 9. 设0 < 푎 < 1，函数푓(푥) = log푎(푎2푥 ― 2푎푥 ― 2)，则使푓(푥) < 0的푥的取值范围是 ( ) A.( ― ∞, 0) B.(0,  + ∞) C.( ― ∞, log푎3) D.(log푎3,  + ∞) 10. 在直角坐标平面上，不等式组{ 푦 ≥ 푥 ― 1 푦 ≤ ―3|푥| + 1所表示的平面区域面积为（ ） A. 2 B.3 2 2 C.3 2 D.3 11. 在 △ 퐴퐵퐶中，已知tan퐴 + 퐵 2 = sin퐶，给出以下四个论断： ①tan퐴 ⋅ cot퐵 = 1， ②1 < sin퐴 + sin퐵 ≤ 2， ③sin2퐴 + cos2퐵 = 1， ④cos2퐴 + cos2퐵 = sin2퐶， 其中正确的是（ ） A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 12. 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ） A.18对 B.24对 C.30对 D.36对 二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 13. 若正整数푚满足10푚―1 < 2512 < 10푚，则푚 = ________．(lg2 ≈ 0.3010) 2 / 6 14. (2푥 ― 1 푥)9的展开式中，常数项为________．（用数字作答） 15. 如图，已知 ⊙ 푂是 △ 퐴퐵퐶的内切圆，且∠퐴퐵퐶 = 50∘，∠퐴퐶퐵 = 80∘，则∠퐵푂퐶 = ________度． 16. 在正方体퐴퐵퐶퐷 ― 퐴′퐵′퐶′퐷′中，过对角线퐵퐷′的一个平面交퐴퐴′于퐸，交퐶퐶′于퐹， 则： ①四边形퐵퐹퐷′퐸一定是平行四边形； ②四边形퐵퐹퐷′퐸有可能是正方形； ③四边形퐵퐹퐷′퐸在底面퐴퐵퐶퐷内的投影一定是正方形； ④平面퐵퐹퐷′퐸有可能垂直于平面퐵퐵′퐷． 以上结论正确的为________． 三、解答题（共 6 小题，17~20、22 题每题 12 分，21 题 14 分，满分 74 分） 17. 设函数푓(푥) = sin(2푥 + 휑)( ― 휋 < 휑 < 0)，푦 = 푓(푥)图象的一条对称轴是直线푥 = 휋 8． (1)求휑，并指出푦 = 푓(푥)由푦 = sin2푥作怎样变换所得． (2)求函数푦 = 푓(푥)的单调增区间； (3)画出函数푦 = 푓(푥)在区间[0, 휋]上的图象． 18. 已知四棱锥푃 ― 퐴퐵퐶퐷的底面为直角梯形，퐴퐵 // 퐷퐶，∠퐷퐴퐵 = 90∘，푃퐴 ⊥ 底面 퐴퐵퐶퐷，且푃퐴 = 퐴퐷 = 퐷퐶 = 1，퐴퐵 = 2，푀是푃퐵的中点． (1)证明：面푃퐴퐷 ⊥ 面푃퐶퐷； (2)求퐴퐶与푃퐵所成的角； (3)求面퐴푀퐶与面퐵푀퐶所成二面角的大小． 3 / 6 19. 设等比数列{푎푛}的公比为푞，前푛项和푆푛 > 0(푛 = 1, 2,…)． （1）求푞的取值范围； （2）设푏푛 = 푎푛+2 ― 3 2푎푛+1，记{푏푛}的前푛项和为푇푛，试比较푆푛与푇푛的大小． 20. 9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至 少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需 要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用휉表示补种费用，写出휉 的分布列并求휉的数学期望．（精确到0.01） 21. 已知椭圆的中心为坐标原点푂，焦点在푥轴上，斜率为1且过椭圆右焦点퐹的直线 交椭圆于퐴、퐵两点， → 푂퐴 + → 푂퐵与 → 푎 = (3,  ― 1)共线． (퐼)求椭圆的离心率； (퐼퐼)设푀为椭圆上任意一点，且 → 푂푀 = 휆 → 푂퐴 + 휇 → 푂퐵(휆, 휇 ∈ 푅)，证明휆2 + 휇2为定值． 22. 为了了解某校2000名学生参加环保知识竞赛的成绩，从中抽取了部分学生的竞赛 成绩（均为整数），整理后绘制成如下的频数分布直方图（如图），请结合图形解答下 列问题． （1）指出这个问题中的总体； （2）求竞赛成绩在79.5 ∼ 89.5这一小组的频率； （3）如果竞赛成绩在90分以上（含90分）的同学可获得奖励，请估计全校约有多少 人获得奖励． 4 / 6 参考答案与试题解析 2005 年海南省高考数学试卷Ⅰ（理） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1.B 2.C 3.B 4.C 5.A 6.D 7.C 8.B 9.C 10.C 11.B 12.D 二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 13.155 14.672 15.115 16.①③④ 三、解答题（共 6 小题，17~20、22 题每题 12 分，21 题 14 分，满分 74 分） 17.解：(1)∵ 푥 = 휋 8是函数푦 = 푓(푥)的图象的对称轴， ∴ sin(2 × 휋 8 + 휑) =± 1， ∴ 휋 4 + 휑 = 푘휋 + 휋 2，푘 ∈ 퐙． ∵ ― 휋 < 휑 < 0，휑 = ― 3휋 4 ． 由푦 = sin2푥向右平移3휋 8 得到． (2)由(1)知휑 = ― 3휋 4 ，因此푦 = sin(2푥 ― 3휋 4 )． 由题意得2푘휋 ― 휋 2 ≤ 2푥 ― 3휋 4 ≤ 2푘휋 + 휋 2，푘 ∈ 퐙． 所以函数푦 = sin(2푥 ― 3휋 4 )的单调增区间为[푘휋 + 휋 8，푘휋 + 5휋 8 ]，푘 ∈ 퐙． (3)由푦 = sin(2푥 ― 3휋 4 )知 푥 0 휋 8 3휋 8 5휋 8 7휋 8 휋 푦 ― 2 2 ―1 0 1 0 ― 2 2 故函数푦 = 푓(푥)在区间[0, 휋]上图象是 18.(1)证明：如图， ∵ 푃퐴 ⊥ 面퐴퐵퐶퐷，퐶퐷 ⊥ 퐴퐷， 5 / 6 ∴ 由三垂线定理得：퐶퐷 ⊥ 푃퐷． 因而，퐶퐷与面푃퐴퐷内两条相交直线퐴퐷，푃퐷都垂直， ∴ 퐶퐷 ⊥ 面푃퐴퐷． 又퐶퐷 ⊂ 面푃퐶퐷， ∴ 面푃퐴퐷 ⊥ 面푃퐶퐷． (2)解：过点퐵作퐵퐸 // 퐶퐴，且퐵퐸 = 퐶퐴， 则∠푃퐵퐸是퐴퐶与푃퐵所成的角． 连接퐴퐸，可知퐴퐶 = 퐶퐵 = 퐵퐸 = 퐴퐸 = 2，又퐴퐵 = 2， 所以四边形퐴퐶퐵퐸为正方形．由푃퐴 ⊥ 面퐴퐵퐶퐷得∠푃퐸퐵 = 90∘ 在푅푡 △ 푃퐸퐵中퐵퐸 = 푎2 = 3푏2，푃퐵 = 5， ∴ cos∠푃퐵퐸 = 퐵퐸 푃퐵 = 10 5 ． ∴ 퐴퐶与푃퐵所成的角为arccos 10 5 ． (3)解：作퐴푁 ⊥ 퐶푀，垂足为푁，连接퐵푁． 在푅푡 △ 푃퐴퐵中，퐴푀 = 푀퐵，又퐴퐶 = 퐶퐵， ∴ △ 퐴푀퐶≅ △ 퐵푀퐶， ∴ 퐵푁 ⊥ 퐶푀，故∠퐴푁퐵为所求二面角的平面角 ∵ 퐶퐵 ⊥ 퐴퐶，由三垂线定理，得퐶퐵 ⊥ 푃퐶， 在푅푡 △ 푃퐶퐵中，퐶푀 = 푀퐵，所以퐶푀 = 퐴푀． 在等腰三角形퐴푀퐶中，퐴푁 ⋅ 푀퐶 = 퐶푀2 ― (퐴퐶 2 )2 ⋅ 퐴퐶， ∴ 퐴푁 = 3 2 × 2 5 2 = 6 5． ∴ 퐴퐵 = 2， ∴ cos∠퐴푁퐵 = 퐴푁2 + 퐵푁2 ― 퐴퐵2 2 × 퐴푁 × 퐵푁 = ― 2 3 故所求的二面角为arccos( ― 2 3)． 19.解：（1）设等比数列通式푎푛 = 푎1푞（푛―1） 根据푆푛 > 0，显然푎1 > 0， 当푞不等于1时，前푛项和푠푛 = 푎1(1 ― 푞푛) 1 ― 푞 所以(1 ― 푞푛) 1 ― 푞 > 0 所以 ― 1 < 푞 < 0或0 < 푞 < 1或푞 > 1 当푞 = 1时 仍满足条件 综上푞 > 0或 ― 1 < 푞 < 0 （2）∵ 푏푛 = 푎푛+2 ― 3 2푎푛+1 ∴ 푏푛 = 푎푛+2 ― 3 2푎푛+1 = 푎푛푞2 ― 3 2푎푛푞 = 1 2푎푛(2푞2 ― 3푞) ∴ 푇푛 = 1 2(2푞2 ― 3푞)푆푛 ∴ 푇푛 ― 푆푛 = 1 2푆푛(2푞2 ― 3푞 ― 2) = 1 2푆푛(푞 ― 2)(2푞 +1) 又因为푆푛 > 0，且 ― 1 < 푞 < 0或푞 > 0， 所以，当 ― 1 < 푞 < ― 1 2或푞 > 2时，푇푛 ― 푆푛 > 0，即푇푛 > 푆푛； 当 ― 1 2 < 푞 < 2且푞 ≠ 0时，푇푛 ― 푆푛 < 0，即푇푛 < 푆푛； 当푞 = ― 1 2，或푞 = 2时，푇푛 ― 푆푛 = 0，即푇푛 = 푆푛． 20.解：首先根据独立重复试验的概率公式计算出一个坑不需要补种的概率푝 = 1 ― 퐶33 0.53 = 0.875 由题意知一共种了3个坑，每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元 得到变量휉的可能取值是0，10，20，30， 휉 = 0，表示没有坑需要补种， 根据独立重复试验得到概率 푃(휉 = 0) = 퐶330.8753 = 0.670 6 / 6 푃(휉 = 10) = 퐶230.8752 × 0.125 = 0.287 푃(휉 = 20) = 퐶13 × 0.875 × 0.1252 = 0.041 푃(휉 = 30) = 0.1253 = 0.002 ∴ 变量的分布列是 휉 0 10 20 30 푃 0.670 0.287 0.041 0.002 ∴ 휉的数学期望为：퐸휉 = 0 × 0.670 + 10 × 0.287 + 20 × 0.041 + 30 × 0.002 = 3.75 21.解：(1)设椭圆方程为푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎 > 푏 > 0)，퐹(푐,0) 则直线퐴퐵的方程为푦 = 푥 ― 푐，代入푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1， 化简得(푎2 + 푏2)푥2 ― 2푎2푐푥 + 푎2푐2 ― 푎2푏2 = 0． 令퐴(푥1, 푦1)，퐵(푥2, 푦2)， 则푥1 + 푥2 = 2푎2푐 푎2 + 푏2，푥1푥2 = 푎2푐2 ― 푎2푏2 푎2 + 푏2 ． ∵ → 푂퐴 + → 푂퐵 = (푥1 + 푥2,푦1 + 푦2)， → 푎 = (3, ― 1)， → 푂퐴 + → 푂퐵与 → 푎共线， ∴ 3(푦1 + 푦2) + (푥1 + 푥2) = 0，又푦1 = 푥1 ― 푐，푦2 = 푥2 ― 푐， ∴ 3(푥1 + 푥2 ― 2푐) + (푥1 + 푥2) = 0， ∴ 푥1 + 푥2 = 3 2푐． 即 2푎2푐 푎2 + 푏2 = 3푐 2 ， 所以푎2 = 3푏2． ∴ 푐 = 푎2 ― 푏2 = 6푎 3 ， 故离心率푒 = 푐 푎 = 6 3 ． (퐼퐼)证明：由(1)知푎2 = 3푏2， 所以椭圆푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎 > 푏 > 0)，퐹(푐,0)可化为푥2 +3푦2 = 3푏2． 设푀(푥, 푦)， 由已知得(푥, 푦) = 휆(푥1, 푦1) + 휇(푥2, 푦2)， ∴ {푥 = 휆푥1 + 휇푥2 푦 = 휆푦1 + 휇푦2 ∵ 푀(푥, 푦)在椭圆上， ∴ (휆푥1 + 휇푥2)2 +3(휆푦1 + 휇푦2)2 = 3푏2． 即휆2(푥21 +3푦21) + 휇2(푥22 +3푦22) + 2휆휇(푥1푥2 +3푦1푦2) = 3푏2．① 由(1)知푎2 = 3 2푐2，푏2 = 1 2푐2． ∴ 푥1 + 푥2 = 3푐 2 ，푥1푥2 = 푎2푐2 ― 푎2푏2 푎2 + 푏2 = 3 8푐2 ∴ 푥1푥2 +3푦1푦2 = 푥1푥2 +3(푥1 ― 푐)(푥2 ― 푐) = 4푥1푥2 ― 3(푥1 + 푥2)푐 +3푐2 = 3 2푐2 ― 9 2푐2 +3푐2 = 0． 又푥21 +3푦21 = 3푏2，푥22 +3푦22 = 3푏2， 代入①得휆2 + 휇2 = 1． 故휆2 + 휇2为定值，定值为1． 22.竞赛成绩在79.5 ∼ 89.5这一小组的频率为0.25． （3） 9 6 + 9 + 12 + 15 + 18 × 2000 = 300， 答：估计全校约有300人获得奖励．