2006年广东省高考数学试卷【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 7页

‎2006年广东省高考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1. 函数f(x)=‎3‎x‎2‎‎1-x+lg(3x+1)‎的定义域是‎(‎        ‎‎)‎ A.‎(-‎1‎‎3‎, +∞)‎ B.‎(-‎1‎‎3‎, 1)‎ C.‎(-‎1‎‎3‎, ‎1‎‎3‎)‎ D.‎‎(-∞, -‎1‎‎3‎)‎ ‎2. 若复数z满足方程z‎2‎‎+2=0‎，则z‎3‎‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎±2‎‎2‎ B.‎-2‎‎2‎ C.‎-2‎2‎i D.‎‎±2‎2‎i ‎3. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）‎ A.y=-‎x‎3‎，x∈R B.y=sinx，‎x∈R C.y=x，x∈R D.‎y=(‎1‎‎2‎‎)‎x，x∈R ‎4. 如图所示，D是‎△ABC的边AB的中点，则向量DC‎→‎‎=‎(        )‎ A.‎-BC‎→‎+‎‎1‎‎2‎BA‎→‎ B.‎‎-BC‎→‎-‎‎1‎‎2‎BA‎→‎ C.BC‎→‎‎-‎‎1‎‎2‎BA‎→‎ D.‎BC‎→‎‎+‎‎1‎‎2‎BA‎→‎ ‎5. 给出以下四个命题：‎ ‎①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；‎ ‎②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；‎ ‎③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；‎ ‎④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．‎ 其中真命题的个数是（ ）‎ A.‎4‎ B.‎3‎ C.‎2‎ D.‎‎1‎ ‎6. 已知某等差数列共有‎10‎项，其奇数项之和为‎15‎，偶数项之和为‎30‎，则其公差为（ ）‎ A.‎5‎ B.‎4‎ C.‎3‎ D.‎‎2‎ ‎7. 函数y=f(x)‎的反函数y=f‎-1‎(x)‎的图象与y轴交于点P(0, 2)‎（如图所示），则方程f(x)=0‎在‎[1, 4]‎上的根是x=(‎ ‎‎)‎ A.‎4‎ B.‎3‎ C.‎2‎ D.‎‎1‎ ‎8. 已知双曲线‎3x‎2‎-y‎2‎=9‎，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点x‎2‎到右准线的距离之比等于（ ）‎ A.‎2‎ B.‎2‎‎2‎‎3‎ C.‎2‎ D.‎‎4‎ ‎9. 在约束条件x≥0‎y≥0‎y+x≤sy+2x≤4‎下，当‎3≤s≤5‎时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是（ ）‎ A.‎[6, 15]‎ B.‎[7, 15]‎ C.‎[6, 8]‎ D.‎‎[7, 8]‎ ‎ 7 / 7‎ ‎10. 对于任意的两个实数对‎(a, b)‎和‎(c, d)‎，规定：‎(a, b)=(c, d)‎，当且仅当a=c，b=d；运算“‎⊗‎”为：‎(a, b)⊗(c, d)=(ac-bd, bc+ad)‎；运算“‎⊕‎”为：‎(a, b)⊕(c, d)=(a+c, b+d)‎，设p，q∈R，若‎(1, 2)⊗(p, q)=(5, 0)‎，则‎(1, 2)⊕(p, q)=(‎ ‎‎)‎ A.‎(4, 0)‎ B.‎(2, 0)‎ C.‎(0, 2)‎ D.‎‎(0, -4)‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎11. limx→-2‎‎(‎4‎‎4-‎x‎2‎-‎1‎‎2+x)=‎________．‎ ‎12. 棱长为‎3‎的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．‎ ‎13. 在‎(x-‎‎2‎x‎)‎‎11‎的展开式中，x‎5‎的系数为________．‎ ‎14. 在德国不莱梅举行的第‎48‎届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第‎1‎堆只有一层，就一个球，第‎2‎，‎3‎，‎4‎，…堆最底层（第一层）分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)‎表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)=‎________；f(n)=‎________（答案用n表示）．‎ 三、解答题（共6小题，满分80分）‎ ‎15. 已知函数f(x)=sinx+sin(x+π‎2‎)‎，x∈R．‎ ‎（1）求f(x)‎的最小正周期；‎ ‎（2）求f(x)‎的最大值和最小值；‎ ‎（3）若f(α)=‎‎3‎‎4‎，求sin ‎2α的值．‎ ‎16. 某运动员射击一次所得环数X的分布如下：‎ X ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎0‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ ‎（1）求该运动员两次都掵中‎7‎环的概率；‎ ‎（2）求ξ的分布列．‎ ‎（3）求ξ的数学期望．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎17. 如图所示，AF、DE分别是‎⊙O、‎⊙‎O‎1‎的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8‎．BC是‎⊙O的直径，AB=AC=6‎，OE // AD．‎ ‎（1）求二面角B-AD-F的大小；‎ ‎（2）求直线BD与EF所成的角．‎ ‎18. 设函数f(x)=-x‎3‎+3x+2‎分别在x‎1‎、x‎2‎处取得极小值、极大值．xOy平面上点A、B的坐标分别为（x‎1‎‎, f(x‎1‎)‎）、（x‎2‎‎, f(x‎2‎)‎），该平面上动点P满足PA‎→‎‎⋅PB‎→‎=4‎，点Q是点P关于直线y=2(x-4)‎的对称点．求 ‎（1）求点A、B的坐标；‎ ‎（2）求动点Q的轨迹方程．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎19. 已知公比为q(01)‎，使得limn→∞‎Snnm存在且不等于零．‎ ‎（文）设bi为数列T‎（I）‎的第i项，Sn‎=b‎1‎+b‎2‎+...+‎bn：求Sn的表达式，并求正整数m(m>1)‎，使得limn→∞‎Snnm存在且不等于零．‎ ‎20. A是由定义在‎[2, 4]‎上且满足如下条件的函数φ(x)‎组成的集合：‎ ‎（1）对任意x∈[1, 2]‎，都有φ(2x)∈(1, 2)‎；‎ ‎（2）存在常数L(0=‎|BD‎→‎||FE‎→‎|‎‎˙‎=‎0+18+64‎‎100‎‎×‎‎82‎=‎‎82‎‎10‎ 设异面直线BD与EF所成角为α，‎ 则α=arccos‎82‎‎10‎ 则直线BD与EF所成的角为arccos‎82‎‎10‎ ‎18.解：（1）令f‎'‎‎(x)=(-x‎3‎+3x+2‎)‎‎'‎=-3x‎2‎+3=0‎，‎ 解得：x=1‎或x=-1‎ 当x<-1‎时，f‎'‎‎(x)<0‎，‎ 当‎-10‎，‎ 当x>1‎时，‎f‎'‎‎(x)<0‎ 所以，函数在x=-1‎处取得极小值，在x=1‎取得极大值，‎ 故x‎1‎‎=-1‎，x‎2‎‎=1‎，f(-1)=0‎，‎f(1)=4‎ 所以，点A、B的坐标为A(-1, 0)‎，B(1, 4)‎．‎ ‎（2）设p(m, n)‎，Q(x, y)‎，‎ ‎∴ PA‎→‎‎⋅PB‎→‎=(-1-m,-n)⋅(1-m,4-n)=m‎2‎-1+n‎2‎-4n=4‎，‎ ‎∴ kPQ‎=-‎‎1‎‎2‎，即y-nx-m‎=-‎‎1‎‎2‎，‎ 又PQ的中点在y=2(x-4)‎上，‎ 所以y+m‎2‎‎=2(x+n‎2‎-4)‎ 消去m，n得‎(x-8‎)‎‎2‎+(y+2‎)‎‎2‎=9‎ ‎19.解：（1）依题意可知，a‎1‎‎1-q‎=9‎a‎1‎‎2‎‎1-‎q‎2‎‎=‎‎81‎‎5‎‎⇒‎a‎1‎‎=3‎q=‎‎2‎‎3‎．‎ ‎（2）由（1）知，an‎=3×(‎‎2‎‎3‎‎)‎n-1‎，所以数列${T^{（2）}}的首项为{t_{1}= a_{2}= 2}‎，公差{d= 2a_{2}-1= 3}‎，‎{S_{2007}= 2007times 2+ dfrac{1}{2}times 2007times 2006times 3= 6043077}‎，即数列的前{2007}项之和为{6043077}$．‎ ‎（3）（理）bi‎=ai+(i-1)(2ai-1)=(2i-1)ai-(i-1)=3(2i-1)(‎2‎‎3‎‎)‎i-1‎-(i-1)‎；‎ ‎①Sn‎=45-(18n+45)(‎2‎‎3‎‎)‎n-‎n(n-1)‎‎2‎；‎ 由bn‎≥‎bn-1‎bn‎≥‎bn+1‎，解得n=2‎，‎ ‎ 7 / 7‎ 计算可得b‎1‎‎=3，b‎2‎=5，b‎3‎=‎14‎‎3‎，b‎4‎=‎29‎‎9‎，b‎5‎=‎4‎‎3‎，b‎6‎=-‎53‎‎81‎<0‎，‎ 因为当n≥2‎时，bn‎>‎bn+1‎，所以Sn当n=5‎时取最大值．‎ ‎②limn→∞‎Snnm‎=limn→∞‎‎45‎nm-‎18n+27‎nm(‎2‎‎3‎‎)‎n-‎n(n-1)‎‎2‎nm，‎ 当m=2‎时，limn→∞‎Snnm‎=-‎‎1‎‎2‎，当m>2‎时，limn→∞‎Snnm‎=0‎，所以m=2‎．‎ ‎（文）bi‎=ai+(i-1)(2ai-1)=(2i-1)ai-(i-1)=3(2i-1)(‎2‎‎3‎‎)‎i-1‎-(i-1)‎；Sn‎=45-(18n+27)(‎2‎‎3‎‎)‎n-‎n(n-1)‎‎2‎；limn→∞‎Snnm‎=limn→∞‎‎45‎nm-‎18n+27‎nm(‎2‎‎3‎‎)‎n-‎n(n-1)‎‎2‎nm，‎ 当m=2‎时，limn→∞‎Snnm‎=-‎‎1‎‎2‎，当m>2‎时，limn→∞‎Snnm‎=0‎，所以m=2‎．‎ ‎20.解：（1）对任意x∈[1, 2]‎，φ(2x)∈(1, 2)‎；x∈[1, 2]‎，‎ ‎3‎‎3‎‎≤φ(2x)≤‎‎3‎‎5‎‎，‎1<‎3‎‎3‎≤φ(2x)≤‎3‎‎5‎<2‎，所以φ(2x)∈(1, 2)‎；．‎ 对任意的x‎1‎，x‎2‎‎∈[1, 2]‎，‎‎|ϕ(2x‎1‎)-ϕ(2x‎2‎)|=|x‎1‎-x‎2‎|‎‎2‎‎3‎‎(1+2‎x‎1‎‎)‎‎2‎‎+‎2‎‎(1+x‎1‎)(1+x‎2‎)‎+‎‎3‎‎(1+‎x‎2‎‎)‎‎2‎ ‎3<‎3‎‎(1+‎x‎1‎‎)‎‎2‎+‎3‎‎(1+2x‎2‎)(1+x‎2‎)‎+‎‎3‎‎(1+‎x‎2‎‎)‎‎2‎‎，‎ 所以‎0<‎2‎‎3‎‎(1+2‎x‎1‎‎)‎‎2‎‎+‎2‎‎(1+x‎1‎)(1+x‎2‎)‎+‎‎3‎‎(1+‎x‎2‎‎)‎‎2‎<‎‎2‎‎3‎，‎ ‎≤L|x‎1‎-x‎2‎|‎‎，‎ 令‎2‎‎3‎‎(1+2‎x‎1‎‎)‎‎2‎‎+‎2‎‎(1+x‎1‎)(1+x‎2‎)‎+‎‎3‎‎(1+‎x‎2‎‎)‎‎2‎‎=L，‎0