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- 2021-06-16 发布
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第一章 集合与常用逻辑用语
第一节 集 合
一、基础知识
1．集合的有关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．
(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.
(4)五个特定的集合及其关系图：
A
W
N*或 N＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实
数集．
2．集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元
素，则称 A 是 B 的子集，记作 A⊆B(或 B⊇A)．
(2)真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，但集合 B 中至少有一个元素不属于 A，则称 A
是 B 的真子集，记作 A B 或 B A.
A B⇔ A⊆B，
A≠B.
既要说明 A 中任何一个元素都属于 B，也要说明 B 中存在一个元素不
属于 A.
(3)集合相等：如果 A⊆B，并且 B⊆A，则 A＝B.
两集合相等：A＝B⇔ A⊆B，
A⊇B.
A 中任意一个元素都符合 B 中元素的特性，B 中任意一
个元素也符合 A 中元素的特性．
(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合 A 的子集，是任何非空集合 B 的真子
集．记作∅.
∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．
3．集合间的基本运算
(1)交集：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的
交集，记作 A∩B，即 A∩B＝{x|x∈A，且 x∈B}．
(2)并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为 A 与 B 的
并集，记作 A∪B，即 A∪B＝{x|x∈A，或 x∈B}．
(3)补集：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A
相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且 x∉A}．
求集合 A 的补集的前提是“A 是全集 U 的子集”，集合 A 其实是给定的条件.从全集 U
中取出集合 A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁UA.
二、常用结论
(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.
(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.
(4)补集的性质：A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁AA＝∅，∁A∅＝A.
(5)含有 n 个元素的集合共有 2n 个子集，其中有 2n－1 个真子集，2n－1 个非空子集．
(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.
考点一 集合的基本概念
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅲ)已知集合 A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则 A∩B
中元素的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
(2)已知 a，b∈R，若 a，b
a
，1 ＝{a2，a＋b,0}，则 a2 019＋b2 019 的值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．±1
[解析] (1)因为 A 表示圆 x2＋y2＝1 上的点的集合，B 表示直线 y＝x 上的点的集合，直
线 y＝x 与圆 x2＋y2＝1 有两个交点，所以 A∩B 中元素的个数为 2.
(2)由已知得 a≠0，则b
a
＝0，所以 b＝0，于是 a2＝1，即 a＝1 或 a＝－1.又根据集合中
元素的互异性可知 a＝1 应舍去，因此 a＝－1，故 a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.
[答案] (1)B (2)C
[提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．
[题组训练]
1．设集合 A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合 B 中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 A 若 x∈B，则－x∈A，故 x 只可能是 0，－1，－2，－3，当 0∈B 时，1－0
＝1∈A；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B 时，1
－(－3)＝4∉A，所以 B＝{－3}，故集合 B 中元素的个数为 1.
2．若集合 A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则 a 等于( )
A.9
2
B.9
8
C．0 D．0 或9
8
解析：选 D 若集合 A 中只有一个元素，则方程 ax2－3x＋2＝0 只有一个实根或有两个
相等实根．
当 a＝0 时，x＝2
3
，符合题意．
当 a≠0 时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得 a＝9
8
，
所以 a 的值为 0 或9
8.
3.（2018·厦门模拟）已知 P={x|20 时，因为 A＝{x|－10}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分
所表示的集合为( )
A．{x|－2≤x<4}
B．{x|x≤2 或 x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1}
D．{x|－1≤x≤2}
[解析] (1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，
∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．
又 C＝{x∈R|－1≤x＜2}，
∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．
(2)依题意得 A＝{x|x<－1 或 x>4}，
因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．
[答案] (1)C (2)D
考法(二) 根据集合运算结果求参数
[典例] (1)已知集合 A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若 A∩B＝{x|x>4}，则实数 m
的取值范围是( )
A．(－4,3) B．[－3,4]
C．(－3,4) D．(－∞，4]
(2)(2019·河南名校联盟联考)已知 A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}，若 A∩B＝{4}，则 a＝( )
A．3 B．2
C．2 或 3 D．3 或 1
[解析] (1)集合 A＝{x|x<－3 或 x>4}，∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故选 B.
(2)∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4 或 2a＝4.若 a＋1＝4，则 a＝3，此时 B＝{4,6}，符合题意；
若 2a＝4，则 a＝2，此时 B＝{3,4}，不符合题意．综上，a＝3，故选 A.
[答案] (1)B (2)A
[题组训练]
1．已知集合 A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则 A∪B＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
解析：选 C 因为集合 B＝{x|－10，所以该方程有两个不相等的实根，
所以 A∩B 中含有 2 个元素．
答案：2
12．已知集合 A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x＜a}，若 A⊆B，则实数 a 的取值范围是__________．
解析：由 log2x≤2，得 0＜x≤4，
即 A＝{x|0＜x≤4}，而 B＝{x|x＜a}，
由于 A⊆B，在数轴上标出集合 A，B，如图所示，则 a＞4.
答案：(4，＋∞)
13．设全集 U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|21 或 x<－1，则 x2>1
D．若 x≥1 或 x≤－1，则 x2≥1
解析：选 D 命题的形式是“若 p，则 q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若
非 q，则非 p”的形式，所以“若 x2<1，则－110
或 1－m<－2，
1＋m≥10.
∴m≥9，即 m 的取值范围是[9，＋∞)．
[课时跟踪检测]
1．已知命题 p：“正数 a 的平方不等于 0”，命题 q：“若 a 不是正数，则它的平方等
于 0”，则 q 是 p 的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．否定
解析：选 B 命题 p：“正数 a 的平方不等于 0”可写成“若 a 是正数，则它的平方不
等于 0”，从而 q 是 p 的否命题．
2．命题“若 x2＋3x－4＝0，则 x＝4”的逆否命题及其真假性为( )
A．“若 x＝4，则 x2＋3x－4＝0”为真命题
B．“若 x≠4，则 x2＋3x－4≠0”为真命题
C．“若 x≠4，则 x2＋3x－4≠0”为假命题
D．“若 x＝4，则 x2＋3x－4＝0”为假命题
解析：选 C 根据逆否命题的定义可以排除 A、D，因为 x2＋3x－4＝0，所以 x＝－4 或
1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．
3．原命题为“若 z1，z2 互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否
命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，假，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
解析：选 B 当 z1，z2 互为共轭复数时，设 z1＝a＋bi(a，b∈R)，则 z2＝a－bi，则|z1|
＝|z2|＝ a2＋b2，所以原命题为真，故其逆否命题为真．取 z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，
但是 z1，z2 不互为共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假．
4．(2018·北京高考)设 a，b，c，d 是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d 成等比数
列”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 B a，b，c，d 是非零实数，若 a<0，d<0，b>0，c>0，且 ad＝bc，则 a，b，
c，d 不成等比数列(可以假设 a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若 a，b，c，d 成等比数列，
则由等比数列的性质可知 ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的必要而不
充分条件．
5．已知命题α：如果 x<3，那么 x<5；命题β：如果 x≥3，那么 x≥5；命题γ：如果 x≥5，
那么 x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是( )
①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；
②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；
③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．
A．①③ B．②
C．②③ D．①②③
解析：选 A 本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命
题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后
互换所得，故①正确，②错误，③正确．
6．(2018·北京高考)设 a，b 均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 C 由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，
即 a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.
因为 a，b 均为单位向量，所以 a2＝b2＝1，
所以 a·b＝0，能推出 a⊥b.
由 a⊥b 得|a－3b|＝ 10，|3a＋b|＝ 10，
能推出|a－3b|＝|3a＋b|，
所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．
7．如果 x，y 是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 C 设集合 A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则 A 的补集 C＝{(x，y)|x
＝y}，B 的补集 D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然 C D，所以 B A.于是“x≠y”是“cos x≠cos
y”的必要不充分条件．
8．(2019·湘东五校联考)“不等式 x2－x＋m>0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是
( )
A．m>1
4 B．00 D．m>1
解析：选 C 若不等式 x2－x＋m>0 在 R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m<0，解得 m>1
4
，因
此当不等式 x2－x＋m>0 在 R 上恒成立时，必有 m>0，但当 m>0 时，不一定推出不等式在 R
上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是 m>0.
9．在△ABC 中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．
解析：由 A＝B，得 tan A＝tan B，反之，若 tan A＝tan B，则 A＝B＋kπ，k∈Z.∵0＜A
＜π，0－3，但 22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假
命题，若 m＝－3，n＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也
是假命题．故假命题的个数为 3.
答案：3
11．已知 p(x)：x2＋2x－m>0，若 p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数 m 的取值范围
为________．
解析：因为 p(1)是假命题，所以 1＋2－m≤0，解得 m≥3.
又 p(2)是真命题，所以 4＋4－m>0，解得 m<8.
故实数 m 的取值范围为[3,8)．
答案：[3,8)
12．(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法：
①“若 x＋y＝π
2
，则 sin x＝cos y”的逆命题是假命题；
②“在△ABC 中，sin B>sin C 是 B>C 的充要条件”是真命题；
③“a＝1”是“直线 x－ay＝0 与直线 x＋ay＝0 互相垂直”的充要条件；
④命题“若 x<－1，则 x2－2x－3>0”的否命题为“若 x≥－1，则 x2－2x－3≤0”．
以上说法正确的是________(填序号)．
解析：对于①，“若 x＋y＝π
2
，则 sin x＝cos y”的逆命题是“若 sin x＝cos y，则 x＋y
＝π
2
”，当 x＝0，y＝3π
2
时，有 sin x＝cos y 成立，但 x＋y＝3π
2
，故逆命题为假命题，①正确；
对于②，在△ABC 中，由正弦定理得 sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，②正确；对于③，“a＝±1”是
“直线 x－ay＝0 与直线 x＋ay＝0 互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题
的定义知④正确．
答案：①②④
13．写出命题“已知 a，b∈R，若关于 x 的不等式 x2＋ax＋b≤0 有非空解集，则 a2≥4b”
的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解：(1)逆命题：已知 a，b∈R，若 a2≥4b，则关于 x 的不等式 x2＋ax＋b≤0 有非空解
集，为真命题．
(2)否命题：已知 a，b∈R，若关于 x 的不等式 x2＋ax＋b≤0 没有非空解集，则 a2<4b，
为真命题．
(3)逆否命题：已知 a，b∈R，若 a2<4b，则关于 x 的不等式 x2＋ax＋b≤0 没有非空解集，
为真命题．
第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、基础知识
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．
①用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到复合命题“p 且 q”，记作 p∧q；
②用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到复合命题“p 或 q”，记作 p∨q；
③对命题 p 的结论进行否定，得到复合命题“非 p”，记作非 p.❷
❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”
的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，
“非 p”只否定 p 的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.
❷“命题的否定”与“否命题”的区别
(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．
(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假
无必然联系．
(2)命题真值表：
p q p∧q p∨q 非 p
真 真 真 真 假
假 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 假 假 假 真
命题真假的判断口诀
p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p 与非 p→真假相反.
2．全称量词与存在量词
量词名称 常见量词 表示符号
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃
3.全称命题与特称命题
命题名称 命题结构 命题简记
全称命题 对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立 ∀x∈M，p(x)
特称命题 存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立 ∃x0∈M，p(x0)
4．全称命题与特称命题的否定
命题 命题的否定
∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，非 p(x0)
∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，非 p(x)
二、常用结论
含逻辑联结词命题真假的等价关系
(1)p∨q 真⇔p，q 至少一个真⇔(非 p)∧(非 q)假．
(2)p∨q 假⇔p，q 均假⇔(非 p)∧(非 q)真．
(3)p∧q 真⇔p，q 均真⇔(非 p)∨(非 q)假．
(4)p∧q 假⇔p，q 至少一个假⇔(非 p)∨(非 q)真．
考点一 判断含有逻辑联结词命题的真假
[典例] (1)(2018·山东高考)已知命题 p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题 q：若 a>b，则 a2>b2.
下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧非 q
C．非 p∧q D．非 p∧非 q
(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题 p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1
x0
>3；命题 q：∀x∈(2，＋∞)，
x2>2x，则下列命题为真的是( )
A．p∧(非 q) B．(非 p)∧q
C．p∧q D．(非 p)∨q
[解析] (1)当 x>0 时，x＋1>1，因此 ln(x＋1)>0，即 p 为真命题；取 a＝1，b＝－2，这
时满足 a>b，显然 a2>b2 不成立，因此 q 为假命题．由复合命题的真假性，知 B 为真命题．
(2)对于命题 p，当 x0＝4 时，x0＋1
x0
＝17
4
>3，故命题 p 为真命题；对于命题 q，当 x＝4
时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x 20成立，故命题q为假命题，所以p∧ (非
q)为真命题，故选 A.
[答案] (1)B (2)A
[题组训练]
1．(2019·惠州调研)已知命题 p，q，则“非 p 为假命题”是“p∧q 是真命题”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 B 充分性：若非 p 为假命题，则 p 为真命题，由于不知道 q 的真假性，所以
推不出 p∧q 是真命题．必要性：p∧q 是真命题，则 p，q 均为真命题，则非 p 为假命题．所
以“非 p 为假命题”是“p∧q 是真命题”的必要不充分条件．
2．已知命题 p：“若 x2－x>0，则 x>1”；命题 q：“若 x，y∈R，x2＋y2＝0，则 xy＝0”．下
列命题是真命题的是( )
A．p∨(非 q) B．p∨q
C．p∧q D．(非 p)∧(非 q)
解析：选 B 若 x2－x>0，则 x>1 或 x<0，故 p 是假命题；若 x，y∈R，x2＋y2＝0，则 x
＝0，y＝0，xy＝0，故 q 是真命题．则 p∨q 是真命题．
考点二 全称命题与特称命题
[典例] (1)命题∀x∈R，ex－x－1≥0 的否定是( )
A．∀x∈R，ex－x－1≤0
B．∀x∈R，ex－x－1≥0
C．∃x0∈R，e
x0－x0－1≤0
D．∃x0∈R，e
x0－x0－1<0
(2)对命题∃x0>0，x20>2
x0，下列说法正确的是( )
A．真命题，其否定是∃x0≤0，x20≤2
x0
B．假命题，其否定是∀x>0，x2≤2x
C．真命题，其否定是∀x>0，x2≤2x
D．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x
[解析] (1)改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选 D.
(2)已知命题是真命题，如 32＝9>8＝23，其否定是∀x>0，x2≤2x.故选 C.
[答案] (1)D (2)C
[题组训练]
1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得 n≤x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得 n>x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得 n>x2
C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得 n>x20
D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得 n>x20
解析：选 D ∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2 的否定是 n>x2，则该命题的否定形式为
“∃x0∈R，∀n∈N*，使得 n>x20”．
2．已知命题 p：∃n∈R，使得 f(x)＝nxn2＋2n 是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；
命题 q：“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是
( )
A．p∧q B．(非 p)∧q
C．p∧(非 q) D．(非 p)∧(非 q)
解析：选 C 当 n＝1 时，f(x)＝x3 为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故 p 是真命题，
则非 p 是假命题；“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故 q 是假命题，
非 q 是真命题．所以 p∧q，(非 p)∧q，(非 p)∧(非 q)均为假命题，p∧(非 q)为真命题，选
C.
考点三 根据命题的真假求参数的取值范围
[典例] 已知 p：存在 x0∈R，mx20＋1≤0，q：任意 x∈R，x2＋mx＋1>0.若 p 或 q 为假
命题，求实数 m 的取值范围．
[解] 依题意知 p，q 均为假命题，
当 p 是假命题时，则 mx2＋1>0 恒成立，则有 m≥0；
当 q 是真命题时，则Δ＝m2－4<0，－20，
所以 m>2 或 m<－2.由 m≥0，
－2≤m≤2，
得 0≤m≤2，
所以 m 的取值范围为[0,2]．
答案：[0,2]
[课时跟踪检测]
1．(2019·西安摸底)命题“∀x>0， x
x－1
>0”的否定是( )
A．∃x0≥0， x0
x0－1
≤0 B．∃x0>0,0≤x0≤1
C．∀x>0， x
x－1
≤0 D．∀x<0,0≤x≤1
解析：选 B ∵ x
x－1
>0，∴x<0 或 x>1，∴ x
x－1
>0 的否定是 0≤x≤1，
∴命题的否定是“∃x0>0,0≤x0≤1”．
2．下列命题中，假命题的是( )
A．∀x∈R,21－x>0
B．∃a0∈R，y＝xa0 的图象关于 y 轴对称
C．函数 y＝xa 的图象经过第四象限
D．直线 x＋y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝1
2
相切
解析：选 C 对于 A，由指数函数的性质可知为真命题；对于 B，当 a＝2 时，其图象关
于 y 轴对称；对于 C，当 x>0 时，y>0 恒成立，从而图象不过第四象限，故为假命题；对于
D，因为圆心(0,0)到直线 x＋y＋1＝0 的距离等于 1
2
，等于圆的半径，命题成立．
3．(2019·陕西质检)已知命题 p：对任意的 x∈R，总有 2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不
必要条件，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(非 p)∧(非 q)
C．(非 p)∧q D．p∧(非 q)
解析：选 D 由指数函数的性质知命题 p 为真命题．易知 x>1 是 x>2 的必要不充分条件，
所以命题 q 为假命题．由复合命题真值表可知 p∧(非 q)为真命题．
4．(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是( )
A．“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件
B．命题 p：∀x∈R,2x>0，则非 p：∃x0∈R,2
x0<0
C．命题“若 a>b>0，则1
a<1
b
”的逆命题是真命题
D．“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件
解析：选 A 对于选项 A，由 a>1，b>1，易得 ab>1，故 A 正确．对于选项 B，全称命
题的否定是特称命题，所以命题 p：∀x∈R,2x>0 的否定是非 p：∃x0∈R,2
x0≤0，故 B 错误．对
于选项 C，其逆命题：若1
a<1
b
，则 a>b>0，可举反例，如 a＝－1，b＝1，显然是假命题，故
C 错误．对于选项 D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如 a＝1，b＝－1，故 D 错误．故选 A.
5．(2019·唐山五校联考)已知命题 p：“a>b”是“2a>2b”的充要条件；命题 q：∃x0∈R，|x0
＋1|≤x0，则( )
A．(非 p)∨q 为真命题 B．p∧(非 q)为假命题
C．p∧q 为真命题 D．p∨q 为真命题
解析：选 D 由题意可知命题 p 为真命题．因为|x＋1|≤x 的解集为空集，所以命题 q
为假命题，所以 p∨q 为真命题．
6．下列说法错误的是( )
A．命题“若 x2－5x＋6＝0，则 x＝2”的逆否命题是“若 x≠2，则 x2－5x＋6≠0”
B．若命题 p：存在 x0∈R，x20＋x0＋1<0，则非 p：对任意 x∈R，x2＋x＋1≥0
C．若 x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥
x＋y
2 2”的充要条件
D．已知命题 p 和 q，若“p 或 q”为假命题，则命题 p 与 q 中必一真一假
解析：选 D 由原命题与逆否命题的关系，知 A 正确；由特称命题的否定知 B 正确；由
xy≥
x＋y
2 2⇔4xy≥(x＋y)2⇔4xy≥x2＋y2＋2xy⇔(x－y)2≤0⇔x＝y，知 C 正确；对于 D，命题
“p 或 q”为假命题，则命题 p 与 q 均为假命题，所以 D 不正确．
7．(2019·长沙模拟)已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数 a 的取值范
围是( )
A．(4，＋∞) B．(0,4]
C．(－∞，4] D．[0,4)
解析：选 C 当原命题为真命题时，a>0 且Δ<0，所以 a>4，故当原命题为假命题时，a≤4.
8．下列命题为假命题的是( )
A．存在 x>y>0，使得 ln x＋ln y<0
B．“φ＝π
2
”是“函数 y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件
C．∃x0∈(－∞，0)，使 3x0<4x0 成立
D．已知两个平面α，β，若两条异面直线 m，n 满足 m⊂α，n⊂β且 m∥β，n∥α，则α
∥β
解析：选 C 对于 A 选项，令 x＝1，y＝1
e
，则 ln x＋ln y＝－1<0 成立，故排除 A.对于 B
选项，“φ＝π
2
”是“函数 y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，正确，故排除 B.对
于 C 选项，根据幂函数 y＝xα，当α<0 时，函数单调递减，故不存在 x0∈(－∞，0)，使 3x0<4x0
成立，故 C 错误．对于 D 选项，已知两个平面α，β，若两条异面直线 m，n 满足 m⊂α，n
⊂β且 m∥β，n∥α，可过 n 作一个平面与平面α相交于直线 n′.由线面平行的性质定理可得
n′∥n，再由线面平行的判定定理可得 n′∥β，接下来由面面平行的判定定理可得α∥β，
故排除 D，选 C.
9 ． 若 命 题 p 的 否 定 是 “ ∀ x ∈ (0 ， ＋ ∞) ， x ＞ x ＋ 1” ， 则 命 题 p 可 写 为
________________________．
解析：因为 p 是非 p 的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．
答案：∃x0∈(0，＋∞)， x0≤x0＋1
10．已知命题 p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“非 q”同时为假命题，则 x
＝________.
解析：若 p 为真，则 x≥－1 或 x≤－3，
因为“非 q”为假，则 q 为真，即 x∈Z，
又因为“p∧q”为假，所以 p 为假，故－3＜x＜－1，
由题意，得 x＝－2.
答案：－2
11．已知 p：a<0，q：a2>a，则非 p 是非 q 的________条件(填：充分不必要、必要不充
分、充要、既不充分也不必要)．
解析：由题意得非 p：a≥0，非 q：a2≤a，即 0≤a≤1.因为{a|0≤a≤1} {a|a≥0}，所
以非 p 是非 q 的必要不充分条件．
答案：必要不充分
12．已知命题 p：a2≥0(a∈R)，命题 q：函数 f(x)＝x2－x 在区间[0，＋∞)上单调递增，
则下列命题：
①p∨q；②p∧q；③(非 p)∧(非 q)；④(非 p)∨q.
其中为假命题的序号为________．
解析：显然命题 p 为真命题，非 p 为假命题．
∵f(x)＝x2－x＝ x－1
2 2－1
4
，
∴函数 f(x)在区间
1
2
，＋∞
上单调递增．
∴命题 q 为假命题，非 q 为真命题．
∴p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，(非 p)∧(非 q)为假命题，(非 p)∨q 为假命题．
答案：②③④
13．设 t∈R，已知命题 p：函数 f(x)＝x2－2tx＋1 有零点；命题 q：∀x∈[1，＋∞)， 1
x
－x≤4t2－1.
(1)当 t＝1 时，判断命题 q 的真假；
(2)若 p∨q 为假命题，求 t 的取值范围．
解：(1)当 t＝1 时，
1
x
－x
max＝0，1
x
－x≤3 在[1，＋∞)上恒成立，故命题 q 为真命题．
(2)若 p∨q 为假命题，则 p，q 都是假命题．
当 p 为假命题时，Δ＝(－2t)2－4<0，解得－10，
x＋1>0，
x≠0，
解得－10，
lnx＋1≠0，
4－x2≥0，
得－10，所以 t>1，故 f(x)的解析式是 f(x)
＝lg 2
x－1(x>1)．
答案：lg 2
x－1
(x>1)
3.[口诀第 4 句]已知 f(x)满足 2f(x)＋f
1
x ＝3x，则 f(x)＝________.
解析：∵2f(x)＋f
1
x ＝3x，①
把①中的 x 换成1
x
，得 2f
1
x ＋f(x)＝3
x.②
联立①②可得
2fx＋f
1
x ＝3x，
2f
1
x ＋fx＝3
x
，
解此方程组可得 f(x)＝2x－1
x(x≠0)．
答案：2x－1
x(x≠0)
考点三 分段函数
考法(一) 求函数值
[典例] (2019·石家庄模拟)已知 f(x)＝ log3x，x>0，
ax＋b，x≤0
(00，
1
2 x＋1，x≤0，
则 f(－3)＝
1
2 －3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.
[答案] B
[解题技法] 求分段函数的函数值的策略
(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间
对应的解析式求值；
(2)当出现 f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值；
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的
端点．
考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)
[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝ 2－x，x≤0，
1，x>0，
则满足 f(x＋1)0
时，不等式组无解．
③当 x＋1>0，
2x≤0，
即－10，
2x>0，
即 x>0 时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式 f(x＋1)0，
∴函数 f(x)的图象如图所示．
结合图象知，要使 f(x＋1)1，
则 f(f(3))＝________.
解析：由题意，得 f(3)＝f(2)＝f(1)＝21＝2，
∴f(f(3))＝f(2)＝2.
答案：2
3．(2018·全国卷Ⅲ)设函数 f(x)＝ x＋1，x≤0，
2x，x>0，
则满足 f(x)＋f x－1
2 >1 的 x 的取值范
围是________．
解析：由题意知，可对不等式分 x≤0,01
2
讨论．
①当 x≤0 时，原不等式为 x＋1＋x＋1
2>1，解得 x>－1
4
，
故－1
41，显然成立．
③当 x>1
2
时，原不等式为 2x＋2x－1
2>1，显然成立．
综上可知，所求 x 的取值范围是 －1
4
，＋∞
.
答案： －1
4
，＋∞
4．设函数 f(x)＝
1
2 x－7，x<0，
x，x≥0，
若 f(a)<1，则实数 a 的取值范围是____________．
解析：若 a<0，则 f(a)<1⇔
1
2 a－7<1⇔
1
2 a<8，解得 a>－3，故－30，
4x－2－1，x≤0.
若 f(a)＝3，则 f(a－2)＝( )
A．－15
16 B．3
C．－63
64
或 3 D．－15
16
或 3
解析：选 A 当 a>0 时，若 f(a)＝3，则 log2a＋a＝3，解得 a＝2(满足 a>0)；当 a≤0 时，
若 f(a)＝3，则 4a－2－1＝3，解得 a＝3，不满足 a≤0，所以舍去．于是，可得 a＝2.故 f(a－2)
＝f(0)＝4－2－1＝－15
16.
6．已知函数 y＝f(2x－1)的定义域是[0,1]，则函数 f2x＋1
log2x＋1
的定义域是( )
A．[1,2] B．(－1,1]
C.
－1
2
，0 D．(－1,0)
解析：选 D 由 f(2x－1)的定义域是[0,1]，
得 0≤x≤1，故－1≤2x－1≤1，
∴f(x)的定义域是[－1,1]，
∴要使函数 f2x＋1
log2x＋1
有意义，
需满足
－1≤2x＋1≤1，
x＋1>0，
x＋1≠1，
解得－11.
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①
解析：选 B 对于①，f(x)＝x－1
x
，f
1
x ＝1
x
－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f
1
x ＝1
x
＋x
＝f(x)，不满足题意；对于③，f
1
x ＝
1
x
，0<1
x<1，
0，1
x
＝1，
－x，1
x>1，
即 f
1
x ＝
1
x
，x>1，
0，x＝1，
－x，00，
1－x2≥0
⇒ x<－1 或 x>0，
－1≤x≤1
⇒0f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数．
增(减)函数定义中的 x1，x2 的三个特征
一是任意性；二是有大小，即 x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．
2．单调性、单调区间
若函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)
单调性，区间 D 叫做函数 y＝f(x)的单调区间.
有关单调区间的两个防范
(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．
(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用
“逗号”或“和”连接．
3．函数的最值
设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：
(1)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M 或 f(x)≥M.
(2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M.
那么，我们称 M 是函数 y＝f(x)的最大值或最小值．
函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定
在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
二、常用结论
在公共定义域内：
(1)函数 f(x)单调递增，g(x)单调递增，则 f(x)＋g(x)是增函数；
(2)函数 f(x)单调递减，g(x)单调递减，则 f(x)＋g(x)是减函数；
(3)函数 f(x)单调递增，g(x)单调递减，则 f(x)－g(x)是增函数；
(4)函数 f(x)单调递减，g(x)单调递增，则 f(x)－g(x)是减函数；
(5)若 k>0，则 kf(x)与 f(x)单调性相同；若 k<0，则 kf(x)与 f(x)单调性相反；
(6)函数 y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与 y＝－f(x)，y＝ 1
fx
的单调性相反；
(7)复合函数 y＝f[g(x)]的单调性与 y＝f(u)和 u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异
减”．
考点一 确定函数的单调性区间
[典例] (1)求函数 f(x)＝－x2＋2|x|＋1 的单调区间．
(2)试讨论函数 f(x)＝ ax
x－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
[解] (1)易知 f(x)＝
－x2＋2x＋1，x≥0，
－x2－2x＋1，x<0
＝
－x－12＋2，x≥0，
－x＋12＋2，x<0.
画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，
单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
(2)法一：定义法
设－10，x1－1<0，x2－1<0，
故当 a>0 时，f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)，
函数 f(x)在(－1,1)上单调递减；
当 a<0 时，f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)0 时，f′(x)<0，函数 f(x)在(－1,1)上单调递减；
当 a<0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(－1,1)上单调递增．
[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法
(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．
(2)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，则可由图象的上升
或下降确定单调性．
(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．
(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复
合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．
[题组训练]
1．下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且 x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是
( )
A．f(x)＝2x B．f(x)＝|x－1|
C．f(x)＝1
x
－x D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：选 C 由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0 可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A、D 选
项中，f(x)为增函数；B 中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；对于 f(x)＝1
x
－x，因为 y＝1
x
与
y＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此 f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
2．函数 f(x)＝log1
2(x2－4)的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
解析：选 D 令 t＝x2－4，则 y＝log1
2t.因为 y＝log1
2t 在定义域上是减函数，所以求原函
数的单调递增区间，即求函数 t＝x2－4 的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间
为(－∞，－2)．
3．判断函数 f(x)＝x＋a
x(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．
解：设 x1，x2 是任意两个正数，且 x10，即 f(x1)>f(x2)，
所以函数 f(x)在(0， a ]上是减函数；
当 a≤x1a，x1－x2<0，
所以 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)0)在(0， a ]上是减函数，在[ a，＋∞)上是增函数．
考点二 求函数的值域最值
[典例] (1)(2019•深圳调研)函数 y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．
(2)若函数 f(x)＝－a
x
＋b(a>0)在
1
2
，2 上的值域为
1
2
，2 ，则 a＝________，b＝________.
(3)函数 f(x)＝
－x2－4x，x≤0，
sin x，x>0
的最大值为________．
[解析] (1)图象法
函数 y＝
－2x＋1，x≤－1，
3，－10)在
1
2
，2 上是增函数，
∴f(x)min＝f
1
2 ＝1
2
，f(x)max＝f(2)＝2.
即
－2a＋b＝1
2
，
－a
2
＋b＝2，
解得 a＝1，b＝5
2.
(3)当 x≤0 时，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时 f(x)在 x＝－2 处
取得最大值，且 f(－2)＝4；当 x>0 时，f(x)＝sin x，此时 f(x)在区间(0，＋∞)上的最大值为 1.
综上所述，函数 f(x)的最大值为 4.
[答案] (1)[3，＋∞) (2)1 5
2 (3)4
[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．
(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数
的最大值，最小的作为分段函数的最小值．
[题组训练]
1．函数 f(x)＝x2＋4
x
的值域为________．
解析：当 x>0 时，f(x)＝x＋4
x
≥4，
当且仅当 x＝2 时取等号；
当 x<0 时，－x＋ －4
x ≥4，
即 f(x)＝x＋4
x
≤－4，
当且仅当 x＝－2 取等号，
所以函数 f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)
2．若 x∈ －π
6
，2π
3 ，则函数 y＝4sin2x－12sin x－1 的最大值为________，最小值为
________．
解析：令 t＝sin x，因为 x∈ －π
6
，2π
3 ，
所以 t∈ －1
2
，1 ，y＝f(t)＝4t2－12t－1，
因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为 t＝3
2
，所以当 t∈ －1
2
，1 时，函数 f(t)
单调递减，
所以当 t＝－1
2
时，ymax＝6；
当 t＝1 时，ymin＝－9.
答案：6 －9
3．已知 f(x)＝x2＋2x＋a
x
，x∈[1，＋∞)，且 a≤1.若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，
则实数 a 的取值范围是________．
解析：对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立等价于 x2＋2x＋a>0 在 x∈[1，＋∞)上恒成
立，即 a>－x2－2x 在 x∈[1，＋∞)上恒成立．
又函数 y＝－x2－2x 在[1，＋∞)上单调递减，
∴(－x2－2x)max＝－3，故 a>－3，
又∵a≤1，∴－3f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)f(3)>f(2)，即 f(π)>f(－3)>f(－2)．
[答案] A
[解题技法] 比较函数值大小的解题思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化
到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
考法(二) 解函数不等式
[典例] 设函数 f(x)＝ 2x，x<2，
x2，x≥2.
若 f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，2]
C．[2,6] D．[2，＋∞)
[解析] 易知函数 f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f(a＋1)≥f(2a－1)，
∴a＋1≥2a－1，解得 a≤2.故实数 a 的取值范围是(－∞，2]．
[答案] B
[解题技法] 求解含“f”的函数不等式的解题思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为 f(g(x))>f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉
“f”，得到一般的不等式 g(x)>h(x)(或 g(x)1.
∵函数 f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
∴f(x1)－f(x2)＝x1－a
x1
＋a
2
－ x2－a
x2
＋a
2
＝(x1－x2) 1＋ a
x1x2 <0.
∵x1－x2<0，∴1＋ a
x1x2
>0，即 a>－x1x2.
∵11，∴－x1x2<－1，∴a≥－1.
∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．
[答案] [－1，＋∞)
[解题技法]
利用单调性求参数的范围(或值)的方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单
调区间比较求参数；
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调
的．
[题组训练]
1．已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称，当 x2>x1>1 时，[f(x2)－
f(x1)]·(x2－x1)<0 恒成立，设 a＝f
－1
2 ，b＝f(2)，c＝f(3)，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
解析：选 D 由于函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后得到的图象关于 y 轴对称，故函
数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，所以 a＝f
－1
2 ＝f
5
2 .当 x2>x1>1 时，[f(x2)－f(x1)](x2
－x1)<0 恒成立，等价于函数 f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以 b>a>c.
2．已知函数 f(x)＝
ax2－x－1
4
，x≤1，
logax－1，x>1
是 R 上的单调函数，则实数 a 的取值范围是
( )
A.
1
4
，1
2 B.
1
4
，1
2
C. 0，1
2 D.
1
2
，1
解析：选 B 由对数函数的定义可得 a>0，且 a≠1.
又函数 f(x)在 R 上单调，而二次函数 y＝ax2－x－1
4
的图象开口向上，
所以函数 f(x)在 R 上单调递减，
故有
00 时，f(x)＝3－x 为减函数；当 x∈ 0，3
2 时，f(x)＝x2－3x 为减函数，
当 x∈
3
2
，＋∞ 时，f(x)＝x2－3x 为增函数；当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－ 1
x＋1
为增函数；当
x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
2．若函数 f(x)＝ax＋1 在 R 上单调递减，则函数 g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间是
( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(4，＋∞) D．(－∞，4)
解析：选 B 因为 f(x)＝ax＋1 在 R 上单调递减，所以 a<0.
而 g(x)＝a(x2－4x＋3)＝a(x－2)2－a.
因为 a<0，所以 g(x)在(－∞，2)上单调递增．
3．已知函数 f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足 f(2x
－1)＜f
1
3 的 x 的取值范围是( )
A.
1
3
，2
3 B.
1
3
，2
3
C.
1
2
，2
3 D.
1
2
，2
3
解析：选 D 因为函数 f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足 f(2x－1)＜f
1
3 .
所以 0≤2x－1＜1
3
，解得1
2
≤x＜2
3.
4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当 a≥b 时，a⊕b＝a；当 a1 是 R 上的增函数，则实数 a 的取值范围是
( )
A．[－3,0) B．(－∞，－2]
C．[－3，－2] D．(－∞，0)
解析：选 C 若 f(x)是 R 上的增函数，则应满足
－a
2
≥1，
a<0，
－12－a×1－5≤a
1
，
解得－3≤a≤
－2.
7．已知函数 f(x)＝ x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为________．
解析：设 t＝x2－2x－3，由 t≥0，即 x2－2x－3≥0，解得 x≤－1 或 x≥3，所以函数 f(x)
的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数 t＝x2－2x－3 的图象的对称轴为 x＝1，所
以函数 t＝x2－2x－3 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数 f(x)的
单调递增区间为[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
8．函数 f(x)＝
1
x
，x≥1，
－x2＋2，x<1
的最大值为________．
解析：当 x≥1 时，函数 f(x)＝1
x
为减函数，所以 f(x)在 x＝1 处取得最大值，为 f(1)＝1；
当 x<1 时，易知函数 f(x)＝－x2＋2 在 x＝0 处取得最大值，为 f(0)＝2.故函数 f(x)的最大值为
2.
答案：2
9．若函数 f(x)＝1
x
在区间[2，a]上的最大值与最小值的和为3
4
，则 a＝________.
解析：由 f(x)＝1
x
的图象知，f(x)＝1
x
在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a]⊆(0，＋∞)，
∴f(x)＝1
x
在[2，a]上也是减函数，
∴f(x)max＝f(2)＝1
2
，f(x)min＝f(a)＝1
a
，
∴1
2
＋1
a
＝3
4
，∴a＝4.
答案：4
10．(2019·甘肃会宁联考)若 f(x)＝x＋a－1
x＋2
在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数 a 的
取值范围是________．
解析：f(x)＝x＋a－1
x＋2
＝x＋2＋a－3
x＋2
＝1＋a－3
x＋2
，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，
需使 a－3<0，解得 a<3.
答案：(－∞，3)
11．已知函数 f(x)＝1
a
－1
x(a＞0，x＞0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若 f(x)在
1
2
，2 上的值域是
1
2
，2 ，求 a 的值．
解：(1)证明：任取 x1＞x2＞0，
则 f(x1)－f(x2)＝1
a
－1
x1
－1
a
＋1
x2
＝x1－x2
x1x2
，
∵x1＞x2＞0，
∴x1－x2＞0，x1x2＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，
即 f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)可知，f(x)在
1
2
，2 上是增函数，
∴f
1
2 ＝1
a
－2＝1
2
，f(2)＝1
a
－1
2
＝2，
解得 a＝2
5.
12．已知 f(x)＝ x
x－a
(x≠a)．
(1)若 a＝－2，试证 f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若 a＞0 且 f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求 a 的取值范围．
解：(1)证明：当 a＝－2 时，f(x)＝ x
x＋2.
任取 x1，x2∈(－∞，－2)，且 x1＜x2，
则 f(x1)－f(x2)＝ x1
x1＋2
－ x2
x2＋2
＝ 2x1－x2
x1＋2x2＋2.
因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，
所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)，
所以 f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)任取 x1，x2∈(1，＋∞)，且 x1＜x2，
则 f(x1)－f(x2)＝ x1
x1－a
－ x2
x2－a
＝ ax2－x1
x1－ax2－a.
因为 a＞0，x2－x1＞0，又由题意知 f(x1)－f(x2)＞0，
所以(x1－a)(x2－a)＞0 恒成立，所以 a≤1.
所以 0＜a≤1.
所以 a 的取值范围为(0,1]．
B 级
1．若 f(x)＝－x2＋4mx 与 g(x)＝ 2m
x＋1
在区间[2,4]上都是减函数，则 m 的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(0,1] B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0，＋∞) D．(0,1]
解析：选 D 函数 f(x)＝－x2＋4mx 的图象开口向下，且以直线 x＝2m 为对称轴，若在
区间[2,4]上是减函数，则 2m≤2，解得 m≤1；g(x)＝ 2m
x＋1
的图象由 y＝2m
x
的图象向左平移
一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则 2m>0，解得 m>0.综上可得，m 的取值
范围是(0,1]．
2．已知函数 f(x)＝ln x＋x，若 f(a2－a)>f(a＋3)，则正数 a 的取值范围是________．
解析：因为 f(x)＝ln x＋x 在(0，＋∞)上是增函数，
所以
a2－a>a＋3，
a2－a>0，
a＋3>0，
解得－33.
又 a>0，所以 a>3.
答案：(3，＋∞)
3．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当 x>0 时，f(x)> －
1.
(1)求 f(0)的值，并证明 f(x)在 R 上是单调增函数;
(2)若 f(1)＝1，解关于 x 的不等式 f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
解：(1)令 x＝y＝0，得 f(0)＝－1.
在 R 上任取 x1>x2，则 x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.
又 f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，
所以函数 f(x)在 R 上是单调增函数．
(2)由 f(1)＝1，得 f(2)＝3，f(3)＝5.
由 f(x2＋2x)＋f(1－x)>4 得 f(x2＋x＋1)>f(3)，
又函数 f(x)在 R 上是增函数，故 x2＋x＋1>3，
解得 x<－2 或 x>1，
故原不等式的解集为{x|x<－2 或 x>1}．
第三节 函数的奇偶性与周期性
一、基础知
1．函数的奇偶性❶
偶函数 奇函数
定义
如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x
都有 f(－x)＝f(x)❷，那
么函数 f(x)是偶函数
都有 f(－x)＝－f(x)❷，那么
函数 f(x)是奇函数
图象特征 关于 y 轴对称 关于原点对称
❶函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
❷若 f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f－x
fx
＝1⇔f(x)为偶函数；
(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f－x
fx
＝－1⇔f(x)为奇函数．
2．函数的周期性
(1)周期函数
对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋
T)＝f(x)，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．
周期函数定义的实质
存在一个非零常数 T，使 f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量 x 每增加一个 T 后，函数值
就会重复出现一次．
(2)最小正周期
如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)
的最小正周期．
二、常用结论
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数 f(x)是奇函数且在 x＝0 处有定义，则一定有 f(0)＝0；如果函数 f(x)是偶函
数，那么 f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相
反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝
奇．
2．函数周期性常用结论
对 f(x)定义域内任一自变量 x：
(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0)．
(2)若 f(x＋a)＝ 1
fx
，则 T＝2a(a>0)．
(3)若 f(x＋a)＝－ 1
fx
，则 T＝2a(a>0)．
3．函数图象的对称性
(1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，即 f(a－x)＝f(a＋x)，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a
对称．
(2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象关于直
线 x＝a 对称．
(3)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，即 f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数 y＝f(x)关于点(b,0)中
心对称．
考点一 函数奇偶性的判断
[典例] 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝ 36－x2
|x＋3|－3
；
(2)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1；
(3)f(x)＝log21－x2
|x－2|－2
；
(4)f(x)＝ x2＋x，x<0，
x2－x，x>0.
[解] (1)由 f(x)＝ 36－x2
|x＋3|－3
，可知 36－x2≥0，
|x＋3|－3≠0
⇒
－6≤x≤6，
x≠0 且 x≠－6，
故函数 f(x)的定
义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故 f(x)为非奇非偶函数．
(2)由 1－x2≥0，
x2－1≥0
⇒x2＝1⇒x＝±1，故函数 f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，
且 f(x)＝0，所以 f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)由 1－x2>0，
|x－2|－2≠0
⇒－10
的图象如图所示，图象关于 y 轴对称，
故 f(x)为偶函数．
法二：定义法
易知函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
当 x>0 时，f(x)＝x2－x，则当 x<0 时，－x>0，故 f(－x)＝x2＋x＝f(x)；当 x<0 时，f(x)
＝x2＋x，则当 x>0 时，－x<0，故 f(－x)＝x2－x＝f(x)，故原函数是偶函数．
法三：f(x)还可以写成 f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故 f(x)为偶函数．
[题组训练]
1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( )
A．y＝tan x＋π
4 B．y＝x2＋e|x|
C．y＝xcos x D．y＝ln|x|－sin x
解析：选 B 对于选项 A，易知 y＝tan x＋π
4 为非奇非偶函数；对于选项 B，设 f(x)＝
x2＋e|x|，则 f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以 y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项 C，设 f(x)
＝xcos x，则 f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，所以 y＝xcos x 为奇函数；对于选项 D，
设 f(x)＝ln|x|－sin x，则 f(2)＝ln 2－sin 2，f(－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f(2)，所以 y
＝ln|x|－sin x 为非奇非偶函数，故选 B.
2．设函数 f(x)＝ex－e－x
2
，则下列结论错误的是( )
A．|f(x)|是偶函数
B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数
D．f(|x|)f(x)是偶函数
解析：选 D ∵f(x)＝ex－e－x
2
，
则 f(－x)＝e－x－ex
2
＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
∵f(|－x|)＝f(|x|)，
∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．
考点二 函数奇偶性的应用
[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数 y＝f(x)是 R 上的奇函数，当 x<0 时，f(x)＝2x，则
当 x>0 时，f(x)＝( )
A．－2x B．2－x
C．－2－x D．2x
(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数 f(x)＝a－ 2
ex＋1
(a∈R)是奇函数，则函数 f(x)的值域为
( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－3,3) D．(－4,4)
[解析] (1)当 x>0 时，－x<0，∵x<0 时，f(x)＝2x，∴当 x>0 时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是 R
上的奇函数，∴当 x>0 时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.
(2)法一：由 f(x)是奇函数知 f(－x)＝－f(x)，所以 a－ 2
e－x＋1
＝－a＋ 2
ex＋1
，得 2a＝ 2
ex＋1
＋
2
e－x＋1
，所以 a＝ 1
ex＋1
＋ ex
ex＋1
＝1，所以 f(x)＝1－ 2
ex＋1.因为 ex＋1>1，所以 0< 1
ex＋1<1，－
1<1－ 2
ex＋1
<1，所以函数 f(x)的值域为(－1,1)．
法二：函数 f(x)的定义域为 R，且函数 f(x)是奇函数，所以 f(0)＝a－1＝0，即 a＝1，所
以 f(x)＝1－ 2
ex＋1
.因为 ex＋1>1，所以 0< 1
ex＋1
<1，－1<1－ 2
ex＋1
<1，所以函数 f(x)的值域为(－
1,1)．
[答案] (1)C (2)A
[解题技法]
应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法
(1)求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式
先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构
造关于 f(x)的方程(组)，从而得到 f(x)的解析式．
(3)求函数解析式中参数的值
利用待定系数法求解，根据 f(x)±f(－x)＝0 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等
性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图象和判断单调性
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．
[题组训练]
1．(2019·贵阳检测)若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝log2(x＋2)－1，
则 f(－6)＝( )
A．2 B．4
C．－2 D．－4
解析：选 C 根据题意得 f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－2.
2．已知函数 f(x)为奇函数，当 x>0 时，f(x)＝x2－x，则当 x<0 时，函数 f(x)的最大值为
________．
解析：法一：当 x<0 时，－x>0，所以 f(－x)＝x2＋x.又因为函数 f(x)为奇函数，所以 f(x)
＝－f(－x)＝－x2－x＝－ x＋1
2 2＋1
4
，所以当 x<0 时，函数 f(x)的最大值为1
4.
法二：当 x>0 时，f(x)＝x2－x＝ x－1
2 2－1
4
，最小值为－1
4
，因为函数 f(x)为奇函数，所
以当 x<0 时，函数 f(x)的最大值为1
4.
答案：1
4
3．(2018·合肥八中模拟)若函数 f(x)＝xln(x＋ a＋x2)为偶函数，则 a＝________.
解析：∵f(x)＝xln(x＋ a＋x2)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，即－xln( a＋x2－x)＝xln(x＋ a＋x2)，从而 ln[( a＋x2)2－x2]＝0，即 ln a
＝0，故 a＝1.
答案：1
考点三 函数的周期性
[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝－f(x＋2)，当 x∈(0,2]
时，f(x)＝2x＋log2x，则 f(2 019)＝( )
A．5 B.1
2
C．2 D．－2
(2)(2018·江苏高考)函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝
cosπx
2
，00
的 x 的取值范围是____________．
解析：当 x>0 时，lg x>0，所以 x>1，
当 x<0 时，由奇函数的对称性得－10 时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求 f(x)的解析式．
解：当 x<0 时，－x>0，则 f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于 f(x)是奇函数，故 f(x)＝－f(－x)，
所以当 x<0 时，f(x)＝2x2＋3x－1.
因为 f(x)为 R 上的奇函数，故 f(0)＝0.
综上可得 f(x)的解析式为 f(x)＝
－2x2＋3x＋1，x>0，
0，x＝0，
2x2＋3x－1，x<0.
12．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意实数 x 有 f
3
2
＋x ＝－f
3
2
－x 成立．
(1)证明 y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若 f(1)＝2，求 f(2)＋f(3)的值．
解：(1)证明：由 f
3
2
＋x ＝－f
3
2
－x ，
且 f(－x)＝－f(x)，知 f(3＋x)＝f
3
2
＋
3
2
＋x
＝－f
3
2
－
3
2
＋x
＝－f(－x)＝f(x)，
所以 y＝f(x)是周期函数，且 T＝3 是其一个周期．
(2)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)＝0，
且 f(－1)＝－f(1)＝－2，又 T＝3 是 y＝f(x)的一个周期，所以 f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝
－2＋0＝－2.
B 级
1．已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，f(x)＝x3－x，则函数
y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选 B 因为 f(x)是最小正周期为 2 的周期函数，且 0≤x<2 时，f(x)＝x3－x＝x(x
－1)(x＋1)，
所以当 0≤x<2 时，f(x)＝0 有两个根，即 x1＝0，x2＝1.
由周期函数的性质知，当 2≤x<4 时，f(x)＝0 有两个根，即 x3＝2，x4＝3；当 4≤x≤6
时，f(x)＝0 有三个根，即 x5＝4，x6＝5，x7＝6，故 f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点
个数为 7.
2．(2019·洛阳统考)若函数 f(x)＝ln(ex＋1)＋ax 为偶函数，则实数 a＝________.
解析：法一：(定义法)∵函数 f(x)＝ln(ex＋1)＋ax 为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即 ln(e－x＋1)－ax＝ln(ex＋1)＋ax，
∴2ax＝ln(e－x＋1)－ln(ex＋1)＝lne－x＋1
ex＋1
＝ln1
ex
＝－x，
∴2a＝－1，解得 a＝－1
2.
法二：(特殊值法)由题意知函数 f(x)的定义域为 R，由 f(x)为偶函数得 f(－1)＝f(1)，
∴ln(e－1＋1)－a＝ln(e1＋1)＋a，∴2a＝ln(e－1＋1)－ln(e1＋1)＝lne－1＋1
e＋1
＝ln1
e
＝－1，
∴a＝－1
2.
答案：－1
2
3．已知函数 f(x)＝
－x2＋2x，x>0，
0，x＝0，
x2＋mx，x<0
是奇函数．
(1)求实数 m 的值；
(2)若函数 f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数 a 的取值范围．
解：(1)设 x<0，则－x>0，
所以 f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又 f(x)为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，
于是 x<0 时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以 m＝2.
(2)要使 f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合 f(x)的图象(如图所示)知 a－2>－1，
a－2≤1，
所以 1＜a≤3，
故实数 a 的取值范围是(1,3]．
第四节 函数性质的综合问题
考点一 函数的单调性与奇偶性
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若 f(1)
＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1 的 x 的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
(2)函数 y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数 f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
A．f(1)f(x2)或
f(x1)0 B．减函数且 f(x)<0
C．增函数且 f(x)>0 D．增函数且 f(x)<0
[解析] (1)法一：∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由 f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数 f(x)是周期为 4 的周期函数．
由 f(x)为奇函数得 f(0)＝0.
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又 f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)
＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
法二：由题意可设 f(x)＝2sin
π
2x ，作出 f(x)的部分图象如图所示．由图
可知，f(x)的一个周期为 4，所以 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)
＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
(2)当 x∈ 0，1
2 时，由 f(x)＝log 1
2
(1－x)可知，f(x)单调递增且 f(x)>0，又函数 f(x)为奇
函数，所以 f(x)在区间 －1
2
，0 上也单调递增，且 f(x)<0.由 f x＋3
2 ＝f(x)知，函数的周期为3
2
，
所以在区间 1，3
2 上，函数 f(x)单调递增且 f(x)<0.
[答案] (1)C (2)D
[解题技法]
(1)函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在 x＝0 处有定义，
则一定有 f(0)＝0；偶函数一定有 f(|x|)＝f(x)”在解题中的应用．
(2)解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区
间，再利用奇偶性和单调性求解．
[题组训练]
1．定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正
确的是( )
A．0f(0)>f(1)，
即 f(1)<00 恒成立；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函数．若 a＝f(6)，
b＝f(11)，c＝f(17)，则 a，b，c 的大小关系正确的是( )
A．a2 的解集为( )
A．(2，＋∞) B. 0，1
2 ∪(2，＋∞)
C. 0， 2
2 ∪( 2，＋∞) D．( 2，＋∞)
解析：选 B 因为 f(x)是 R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，
所以 f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
所以 f(log2x)>2＝f(1)⇔f(|log2x|)>f(1)⇔|log2x|>1⇔log2x>1 或 log2x<－1⇔x>2 或 00 的
解集为_______________．
解析：由奇函数 y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且 f
1
2 ＝0，可知函数 y＝f(x)在(－∞，
0)内单调递增，且 f
－1
2 ＝0.由 f(x)>0，可得 x>1
2
或－1
21
2
10．已知函数 f(x)为偶函数，且函数 f(x)与 g(x)的图象关于直线 y＝x 对称，若 g(3)＝2，
则 f(－2)＝________.
解析：因为函数 f(x)与 g(x)的图象关于直线 y＝x 对称，且 g(3)＝2，所以 f(2)＝3.因为函
数 f(x)为偶函数，所以 f(－2)＝f(2)＝3.
答案：3
11．设 f(x)是定义域为 R 的周期函数，最小正周期为 2，且 f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0
时，f(x)＝－x.
(1)判断 f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数 f(x)在区间[－1,2]上的表达式．
解：(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)．
又 f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)．
又 f(x)的定义域为 R，∴f(x)是偶函数．
(2)当 x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，则 f(x)＝f(－x)＝x；
从而当 1≤x≤2 时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故 f(x)＝
－x，x∈[－1，0]，
x，x∈0，1，
－x＋2，x∈[1，2].
12．设函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当 0≤x≤1 时，f(x)＝x.
(1)求 f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4 时，求函数 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积．
解：(1)由 f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数，
所以 f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由 f(x)是奇函数且 f(x＋2)＝－f(x)，
得 f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即 f(1＋x)＝f(1－x)．
故函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1 对称．
又当 0≤x≤1 时，f(x)＝x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所示．
当－4≤x≤4 时，设 f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S，
则 S＝4S△OAB＝4×
1
2
×2×1 ＝4.
B 级
1．已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则( )
A．f(0)>f(log32)>f(－log23)
B．f(log32)>f(0)>f(－log23)
C．f(－log23)>f(log32)>f(0)
D．f(－log23)>f(0)>f(log32)
解析：选 C ∵log23>log22＝1＝log33>log32>0，且函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(log23)>f(log32)>f(0)，又函数 f(x)为偶函数，∴f(log23)＝f(－log23)，
∴f(－log23)>f(log32)>f(0)．
2．定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＋f(x＋2)＝0，且 f(4－x)＝f(x)．现有以下三种
叙述：
①8 是函数 f(x)的一个周期；
②f(x)的图象关于直线 x＝2 对称；
③f(x)是偶函数．
其中正确的序号是________．
解析：由 f(x)＋f(x＋2)＝0，得 f(x＋2)＝－f(x)，
则 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即 4 是 f(x)的一个周期，8 也是 f(x)的一个周期，故①正确；
由 f(4－x)＝f(x)，得 f(x)的图象关于直线 x＝2 对称，故②正确；
由 f(4－x)＝f(x)与 f(x＋4)＝f(x)，
得 f(4－x)＝f(－x)，f(－x)＝f(x)，
即函数 f(x)为偶函数，故③正确．
答案：①②③
3．设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 x＝1 对称，对任意 x1，x2∈ 0，1
2 ，
都有 f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)．
(1)设 f(1)＝2，求 f
1
2 ，f
1
4 ；
(2)证明：f(x)是周期函数．
解：(1)由 f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，x1，x2∈ 0，1
2 ，知 f(x)＝f
x
2 ·f
x
2 ≥0，x∈[0,1]．
∵f(1)＝f
1
2
＋1
2 ＝f
1
2 ·f
1
2 ＝ f
1
2 2，f(1)＝2，
∴f
1
2 ＝2
1
2 .
∵f
1
2 ＝f
1
4
＋1
4 ＝f
1
4 ·f
1
4 ＝ f
1
4 2，f
1
2 ＝2
1
2 ，
∴f
1
4 ＝2
1
4 .
(2)证明：依题设，y＝f(x)关于直线 x＝1 对称，
∴f(x)＝f(2－x)．
又∵f(－x)＝f(x)，∴f(－x)＝f(2－x)，∴f(x)＝f(2＋x)，
∴f(x)是定义在 R 上的周期函数，且 2 是它的一个周期．
第五节 函数的图象
一、基础知识
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：(1)确定函数的定义域；
(2)化简函数解析式；
(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点，连线．
2．函数图象的变换
(1)平移变换
①y＝f(x)的图象 ――――――――→a>0，右移 a 个单位
a<0，左移|a|个单位 y＝f(x－a)的图象；
②y＝f(x)的图象 ――――――――→b>0，上移 b 个单位
b<0，下移|b|个单位 y＝f(x)＋b 的图象．
“左加右减，上加下减”，左加右减只针对 x 本身，与 x 的系数,无关，上加下减指的
是在 fx整体上加减.
(2)对称变换
①y＝f(x)的图象 ―――――→关于 x 轴对称
y＝－f(x)的图象；
②y＝f(x)的图象 ―――――→关于 y 轴对称
y＝f(－x)的图象；
③y＝f(x)的图象 ――――――→关于原点对称
y＝－f(－x)的图象；
④y＝ax(a>0 且 a≠1)的图象 ―――――――→关于直线 y＝x 对称
y＝logax(a>0 且 a≠1)的图象．
(3)伸缩变换
①y＝f(x)的图象 ―――――――――――――――――――→a>1，横坐标缩短为原来的1
a
纵坐标不变
01，纵坐标伸长为原来的 a 倍，横坐标不变
01；
(2)y＝2x＋2；
(3)y＝x2－2|x|－1.
[解] (1)分段分别画出函数的图象，如图①所示．
(2)y＝2x＋2 的图象是由 y＝2x 的图象向左平移 2 个单位长度得到的，其图象如图②所示．
(3)y＝ x2－2x－1，x≥0，
x2＋2x－1，x<0，
其图象如图③所示．
[变透练清]
1.[变条件]若本例(2)变为 y＝
1
2 x－2，试作出其图象．
解：y＝
1
2 x－2的图象是由 y＝
1
2 x 的图象向右平移 2 个单位长度得到的，其图象如图 所
示．
2.[变条件]若本例(3)变为 y＝|x2－2x－1|，试作出其图象．
解：y＝ x2－2x－1，x≥1＋ 2或 x≤1－ 2，
－x2＋2x＋1，1－ 20，排除 D 选项；
又 e>2，∴1
e<1
2
，∴e－1
e>1，排除 C 选项．故选 B.
[答案] B
[例 2] 已知定义在区间[0,4]上的函数 y＝f(x)的图象如图所示，则 y＝－f(2－x)的图象
为( )
[解析] 法一：先作出函数 y＝f(x)的图象关于 y 轴的对称图象，得到 y＝f(－x)的图象；
然后将 y＝f(－x)的图象向右平移 2 个单位，得到 y＝f(2－x)的图象；
再作 y＝f(2－x)的图象关于 x 轴的对称图象，得到 y＝－f(2－x)的图象．故选 D.
法二：先作出函数 y＝f(x)的图象关于原点的对称图象，得到 y＝－f(－x)的图象；然后
将 y＝－f(－x)的图象向右平移 2 个单位，得到 y＝－f(2－x)的图象．故选 D.
[答案] D
[解题技法]
1．函数图象与解析式之间的 4 种对应关系
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域(或有界性)，判断图象的上下
位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的升降变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性：奇函数的图象关于原点对称，在对称的区间
上单调性一致，偶函数的图象关于 y 轴对称，在对称的区间上单调性相反；
(4)从函数的周期性，判断图象是否具有循环往复特点．
2．通过图象变换识别函数图象要掌握的两点
(1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)；
(2)了解一些常见的变换形式，如平移变换、翻折变换．
3．借助动点探究函数图象
解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象，也可以采用“以
静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．
[题组训练]
1．(2019•郑州调研)已知函数 f(x)＝
x2，x≥0
1
x
，x<0 ，g(x)＝－f(－x)，则函数 g(x)的图象
是( )
解析：选 D 法一：由题设得函数 g(x)＝－f(－x)＝
－x2，x≤0，
1
x
，x>0， 据此可画出该函数
的图象，如题图选项 D 中图象．故选 D.
法二：先画出函数 f(x)的图象，如图 1 所示，再根据函数 f(x)与－f(－x)的图象关于坐标
原点对称，即可画出函数－f(－x)，即 g(x)的图象，如图 2 所示．故选 D.
2.如图，不规则四边形 ABCD 中，AB 和 CD 是线段，AD 和 BC 是圆
弧，直线 l⊥AB 交 AB 于 E，当 l 从左至右移动(与线段 AB 有公共点)时，
把四边形 ABCD 分成两部分，设 AE＝x，左侧部分的面积为 y，则 y 关于
x 的图象大致是( )
解析：选 C 当 l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了 D 点后面积
保持匀速增加，图象呈直线变化，过了 C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选 C.
考点三 函数图象的应用
考法(一) 研究函数的性质
[典例] 已知函数 f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
[解析] 将函数 f(x)＝x|x|－2x 去掉绝对值得 f(x)＝ x2－2x，x≥0，
－x2－2x，x<0，
画出函数 f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数 f(x)的图象关于原点对称，
故函数 f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
[答案] C
[解题技法] 利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
考法(二) 在不等式中的应用
[典例] 若不等式(x－1)20，且 a≠1)在 x∈(1,2)内恒成立，则实数 a 的取值范
围为( )
A．(1,2] B.
2
2
，1
C．(1， 2) D．( 2，2)
[解析] 要使当 x∈(1,2)时，不等式(x－1)21 时，如图，要使 x∈(1,2)时，y＝(x－1)2 的图象在 y
＝logax 的图象的下方，只需(2－1)2≤loga2，即 loga2≥1，解得 1－1，
若 f(x)在区间[m,4]上的值域为[－1,2]，
则实数 m 的取值范围为________．
解析：作出函数 f(x)的图象，当 x≤－1 时，函数 f(x)＝log2
－x
2 单调递减，且最小值为
f(－1)＝－1，则令 log2
－x
2 ＝2，解得 x＝－8；当 x>－1 时，函数 f(x)＝－1
3x2＋4
3x＋2
3
在(－
1,2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，则最大值为 f(2)＝2，又 f(4)＝2
3<2，f(－1)＝－1，
故所求实数 m 的取值范围为[－8，－1]．
答案：[－8，－1]
[课时跟踪检测]
A 级
1．为了得到函数 y＝2x－2 的图象，可以把函数 y＝2x 的图象上所有的点( )
A．向右平行移动 2 个单位长度
B．向右平行移动 1 个单位长度
C．向左平行移动 2 个单位长度
D．向左平行移动 1 个单位长度
解析：选 B 因为 y＝2x－2＝2(x－1)，所以只需将函数 y＝2x 的图象上所有的点向右平
移 1 个单位长度，即可得到 y＝2(x－1)＝2x－2 的图象．
2．若函数 y＝f(x)的图象如图所示，则函数 y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
解析：选 C 要想由 y＝f(x)的图象得到 y＝－f(x＋1)的图象，需要先将 y＝f(x)的图象关
于 x 轴对称得到 y＝－f(x)的图象，然后向左平移 1 个单位长度得到 y＝－f(x＋1)的图象，根
据上述步骤可知 C 正确．
3．(2018·浙江高考)函数 y＝2|x|sin 2x 的图象可能是( )
解析：选 D 由 y＝2|x|sin 2x 知函数的定义域为 R，
令 f(x)＝2|x|sin 2x，
则 f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|sin 2x.
∵f(x)＝－f(－x)，∴f(x)为奇函数．
∴f(x)的图象关于原点对称，故排除 A、B.
令 f(x)＝2|x|sin 2x＝0，解得 x＝kπ
2 (k∈Z)，
∴当 k＝1 时，x＝π
2
，故排除 C，选 D.
4．下列函数 y＝f(x)图象中，满足 f
1
4 ＞f(3)＞f(2)的只可能是( )
解析：选 D 因为 f
1
4 ＞f(3)＞f(2)，所以函数 f(x)有增有减，排除 A、B.在 C 中，f
1
4 ＜
f(0)＝1，f(3)＞f(0)，即 f
1
4 ＜f(3)，排除 C，选 D.
5.已知函数 f(x)的图象如图所示，则 f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝ln|x|
x B．f(x)＝ex
x
C．f(x)＝1
x2
－1 D．f(x)＝x－1
x
解析：选 A 由函数图象可知，函数 f(x)为奇函数，应排除 B、C.若函数为 f(x)＝x－1
x
，
则 x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除 D.
6．已知函数 y＝f(x＋1)的图象过点(3,2)，则函数 y＝f(x)的图象关于 x 轴的对称图形一定
过点________．
解析：因为函数 y＝f(x＋1)的图象过点(3,2)，所以函数 y＝f(x)的图象一定过点(4,2)，所
以函数 y＝f(x)的图象关于 x 轴的对称图形一定过点(4，－2)．
答案：(4，－2)
7.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数 f(x)的图象由一条线段及抛物线
的一部分组成，则 f(x)的解析式为________．
解析：当－1≤x≤0 时，设解析式为 f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则
－k＋b＝0，
b＝1，
得 k＝1，
b＝1.
∴当－1≤x≤0 时，f(x)＝x＋1.
当 x＞0 时，设解析式为 f(x)＝a(x－2)2－1(a≠0)，
∵图象过点(4,0)，
∴0＝a(4－2)2－1，∴a＝1
4.
故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝
x＋1，－1≤x≤0，
1
4
x－22－1，x＞0.
答案：f(x)＝
x＋1，－1≤x≤0，
1
4
x－22－1，x＞0
8．如图，函数 f(x)的图象为折线 ACB，则不等式 f(x)≥log2(x＋1)的解集为________．
解析：令 y＝log2(x＋1)，作出函数 y＝log2(x＋1)图象如图所示．
由 x＋y＝2，
y＝log2x＋1
得 x＝1，
y＝1.
∴结合图象知不等式 f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－10}且 y＝eln x＝x(x>0)，
所以其图象如图所示．
(2)当 x≥2，即 x－2≥0 时，
y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝ x－1
2 2－9
4
；
当 x<2，即 x－2<0 时，
y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－ x－1
2 2＋9
4.
所以 y＝
x－1
2 2－9
4
，x≥2，
－ x－1
2 2＋9
4
，x<2.
这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(其图象如图所示)．
10．已知函数 f(x)＝ 3－x2，x∈[－1，2]，
x－3，x∈2，5].
(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出 f(x)的图象；
(2)写出 f(x)的单调递增区间；
(3)由图象指出当 x 取什么值时 f(x)有最值．
解：(1)函数 f(x)的图象如图所示．
(2)由图象可知，函数 f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．
(3)由图象知当 x＝2 时，f(x)min＝f(2)＝－1，
当 x＝0 时，f(x)max＝f(0)＝3.
B 级
1．若函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在 (－
1,3)上的解集为( )
A．(1,3) B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
解析：选 C 作出函数 f(x)的图象如图所示．
当 x∈(－1,0)时，由 xf(x)>0 得 x∈(－1,0)；
当 x∈(0,1)时，由 xf(x)>0 得 x∈∅；
当 x∈(1,3)时，由 xf(x)>0 得 x∈(1,3)．
故 x∈(－1,0)∪(1,3)．
2．(2019·山西四校联考)已知函数 f(x)＝|x2－1|，若 00，且 a≠1)对于任意的 x>2 恒成立，求 a 的取值
范围．
解：不等式 4ax－1<3x－4 等价于 ax－1<3
4x－1.
令 f(x)＝ax－1，g(x)＝3
4x－1，
当 a>1 时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件；
当 00) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域 4ac－b2
4a
，＋∞ －∞，4ac－b2
4a
单调性
在 － b
2a
，＋∞ 上单调递增；在
－∞，－ b
2a 上单调递减
在 －∞，－ b
2a 上单调递增；在
－ b
2a
，＋∞ 上单调递减
奇偶性 当 b＝0 时为偶函数，当 b≠0 时为非奇非偶函数
顶点 － b
2a
，4ac－b2
4a
对称性 图象关于直线 x＝－ b
2a
成轴对称图形
二、常用结论
1．一元二次不等式恒成立的条件
(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”．
(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”．
2．二次函数在闭区间上的最值
设二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，闭区间为[m，n]．
(1)当－ b
2a
≤m 时，最小值为 f(m)，最大值为 f(n)；
(2)当 m<－ b
2a
≤m＋n
2
时，最小值为 f
－ b
2a ，最大值为 f(n)；
(3)当m＋n
2
<－ b
2a
≤n 时，最小值为 f
－ b
2a ，最大值为 f(m)；
(4)当－ b
2a>n 时，最小值为 f(n)，最大值为 f(m)．
考点一 求二次函数的解析式
求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其
方法也不同.
[典例] 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此
二次函数的解析式．
[解] 法一：利用二次函数的一般式
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得
4a＋2b＋c＝－1，
a－b＋c＝－1，
4ac－b2
4a
＝8，
解得
a＝－4，
b＝4，
c＝7.
故所求二次函数为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：利用二次函数的顶点式
设 f(x)＝a(x－m)2＋n.
∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为 x＝2＋－1
2
＝1
2.
∴m＝1
2
，又根据题意函数有最大值 8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝a x－1
2 2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a 2－1
2 2＋8＝－1，解得 a＝－4，
∴f(x)＝－4 x－1
2 2＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：利用零点式
由已知 f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1，
故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即 f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值 ymax＝8，即4a－2a－1－a2
4a
＝8.
解得 a＝－4 或 a＝0(舍去)，
故所求函数解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
[题组训练]
1．已知二次函数 f(x)的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解
析式为 f(x)＝________.
解析：法一：设所求解析式为 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由已知得
－ b
2a
＝－2，
4ac－b2
4a
＝－1，
a＋b＋c＝0，
解得
a＝1
9
，
b＝4
9
，
c＝－5
9
，
所以所求解析式为 f(x)＝1
9x2＋4
9x－5
9.
法二：设所求解析式为 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
依题意得
－ b
2a
＝－2，
4a－2b＋c＝－1，
a＋b＋c＝0，
解得
a＝1
9
，
b＝4
9
，
c＝－5
9
，
所以所求解析式为 f(x)＝1
9x2＋4
9x－5
9.
法三：设所求解析式为 f(x)＝a(x－h)2＋k.
由已知得 f(x)＝a(x＋2)2－1，
将点(1,0)代入，得 a＝1
9
，
所以 f(x)＝1
9(x＋2)2－1，
即 f(x)＝1
9x2＋4
9x－5
9.
答案：1
9x2＋4
9x－5
9
2．已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对任意 x
∈R，都有 f(2－x)＝f(2＋x)，则函数的解析式 f(x)＝____________.
解析：∵f(2－x)＝f(2＋x)对 x∈R 恒成立，
∴f(x)的对称轴为 x＝2.
又∵f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2，
∴f(x)＝0 的两根为 1 和 3.
设 f(x)的解析式为 f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
又∵f(x)的图象经过点(4,3)，
∴3a＝3，a＝1.
∴所求 f(x)的解析式为 f(x)＝(x－1)(x－3)，
即 f(x)＝x2－4x＋3.
答案：x2－4x＋3
考点二 二次函数的图象与性质
考法(一) 二次函数图象的识别
[典例] 若一次函数 y＝ax＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 y＝ax2＋bx
的图象只可能是( )
[解析] 因为一次函数 y＝ax＋b 的图象经过第二、三、四象限，所以 a<0，b<0，所以
二次函数的图象开口向下，对称轴方程 x＝－ b
2a<0，只有选项 C 适合．
[答案] C
考法(二) 二次函数的单调性与最值问题
[典例] (1)已知函数 f(x)＝－x2＋2ax＋1－a 在 x∈[0,1]时，有最大值 2，则 a 的值为
________．
(2)设二次函数 f(x)＝ax2－2ax＋c 在区间[0,1]上单调递减，且 f(m)≤f(0)，则实数 m 的取
值范围是________．
[解析] (1)函数 f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为 x＝a.
当 a<0 时，f(x)max＝f(0)＝1－a，
所以 1－a＝2，所以 a＝－1.
当 0≤a≤1 时，f(x)max＝a2－a＋1，
所以 a2－a＋1＝2，所以 a2－a－1＝0，
所以 a＝1± 5
2 (舍去)．
当 a>1 时，f(x)max＝f(1)＝a，所以 a＝2.
综上可知，a＝－1 或 a＝2.
(2)依题意 a≠0，二次函数 f(x)＝ax2－2ax＋c 图象的对称轴是直线 x＝1，因为函数 f(x)
在区间[0,1]上单调递减，所以 a>0，即函数图象的开口向上，所以 f(0)＝f(2)，则当 f(m)≤f(0)
时，有 0≤m≤2.
[答案] (1)－1 或 2 (2)[0,2]
[解题技法]
1．二次函数最值问题的类型及解题思路
(1)类型：
①对称轴、区间都是给定的；
②对称轴动、区间固定；
③对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和
中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．
2．二次函数单调性问题的求解策略
(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的
位置不确定，则需要分类讨论求解．
(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转
化到同一单调区间上比较．
考法(三) 与二次函数有关的恒成立问题
[典例] (1)已知函数 f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意 x∈[m，m＋1]，都有 f(x)<0 成立，
则实数 m 的取值范围是________；
(2)已知函数 f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)>x＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则 k 的取值范围为
________．
[解析] (1)作出二次函数 f(x)的草图如图所示，对于任意 x∈[m，m＋1]，都有 f(x)<0，
则有 fm<0，
fm＋1<0，
即 m2＋m2－1<0，
m＋12＋mm＋1－1<0，
解得－ 2
2 k 在区间[－3，－1]上恒成立．
设 g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，
则 g(x)在[－3，－1]上递减．
∴g(x)min＝g(－1)＝1.
∴k<1.故 k 的取值范围为(－∞，1)．
[答案] (1)
－ 2
2
，0 (2)(－∞，1)
[解题技法]
由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已
分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
[题组训练]
1．(2019·杭州模拟)已知 f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2 在[0,1]内的最大值为－5，则 a 的值
为( )
A.5
4 B．1 或5
4
C．－1 或5
4 D．－5 或5
4
解析：选 D f(x)＝－4 x－a
2 2－4a，对称轴为直线 x＝a
2.
①当a
2
≥1，即 a≥2 时，f(x)在[0,1]上单调递增，
∴f(x)max＝f(1)＝－4－a2.
令－4－a2＝－5，得 a＝±1(舍去)．
②当 01)，若在区间[－1,1]上 f(x)≤8 恒成立，则 a 的最大值
为________．
解析：令 ax＝t，因为 a>1，x∈[－1,1]，所以1
a
≤t≤a，原函数化为 g(t)＝t2＋3t－2，显
然 g(t)在
1
a
，a 上单调递增，所以 f(x)≤8 恒成立，即 g(t)max＝g(a)≤8 恒成立，所以有 a2＋
3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又 a>1，所以 a 的最大值为 2.
答案：2
[课时跟踪检测]
A 级
1．(2019·重庆三校联考)已知二次函数 y＝ax2＋bx＋1 的图象的对称轴方程是 x＝1，并
且过点 P(－1,7)，则 a，b 的值分别是( )
A．2,4 B．－2,4
C．2，－4 D．－2，－4
解析：选 C ∵y＝ax2＋bx＋1 的图象的对称轴是 x＝1，∴－ b
2a
＝1. ①
又图象过点 P(－1,7)，∴a－b＋1＝7，即 a－b＝6. ②
由①②可得 a＝2，b＝－4.
2．已知函数 f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若 f(x)有最小值－2，则 a 的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
解析：选 D 函数 f(x)＝－x2＋4x＋a 的对称轴为直线 x＝2，开口向下，f(x)＝－x2＋4x
＋a 在[0,1]上单调递增，则当 x＝0 时，f(x)的最小值为 f(0)＝a＝－2.
3．一次函数 y＝ax＋b 与二次函数 y＝ax2＋bx＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )
解析：选 C 若 a>0，则一次函数 y＝ax＋b 为增函数，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象
开口向上，故可排除 A；若 a<0，一次函数 y＝ax＋b 为减函数，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的
图象开口向下，故可排除 D；对于选项 B，看直线可知 a>0，b>0，从而－ b
2a<0，而二次函
数的对称轴在 y 轴的右侧，故可排除 B.故选 C.
4．已知 a，b，c∈R，函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，若 f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
解析：选 A 由 f(0)＝f(4)，得 f(x)＝ax2＋bx＋c 图象的对称轴为 x＝－ b
2a
＝2，∴4a＋b
＝0，又 f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是 a>0，故选 A.
5．若关于 x 的不等式 x2－4x－2－a>0 在区间(1,4)内有解，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
解析：选 A 不等式 x2－4x－2－a>0 在区间(1,4)内有解等价于 a<(x2－4x－2)max，
令 f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，
所以 f(x)0，
Δ＝16－8aa－1≥0，
解得 01，
即 a<－2，－2≤a≤2 和 a>2 三种情形讨论．
(1)当 a<－2 时，由图①可知 f(x)在[－1,1]上的最大值为 f(－1)＝－1－a＝－(a＋1)．
(2)当－2≤a≤2 时，由图②可知 f(x)在[－1,1]上的最大值为 f
a
2 ＝a2
4 .
(3)当 a>2 时，由图③可知 f(x)在[－1,1]上的最大值为 f(1)＝a－1.
综上可知，f(x)max＝
－a＋1，a<－2，
a2
4
，－2≤a≤2，
a－1，a>2.
10．已知二次函数 f(x)满足 f(x＋1)－f(x)＝2x，且 f(0)＝1.
(1)求 f(x)的解析式；
(2)当 x∈[－1,1]时，函数 y＝f(x)的图象恒在函数 y＝2x＋m 的图象的上方，求实数 m 的
取值范围．
解：(1)设 f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，
由 f(x＋1)－f(x)＝2x，得 2ax＋a＋b＝2x.
所以，2a＝2 且 a＋b＝0，解得 a＝1，b＝－1，
因此 f(x)的解析式为 f(x)＝x2－x＋1.
(2)因为当 x∈[－1,1]时，y＝f(x)的图象恒在 y＝2x＋m 的图象上方，
所以在[－1,1]上，x2－x＋1>2x＋m 恒成立；
即 x2－3x＋1>m 在区间[－1,1]上恒成立．
所以令 g(x)＝x2－3x＋1＝ x－3
2 2－5
4
，
因为 g(x)在[－1,1]上的最小值为 g(1)＝－1，
所以 m<－1.故实数 m 的取值范围为(－∞，－1)．
B 级
1.如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的一部分，图象过点 A(－3,0)，
对称轴为 x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a0，即 b2>4ac，①正确；
对称轴为 x＝－1，即－ b
2a
＝－1,2a－b＝0，②错误；
结合图象，当 x＝－1 时，y>0，即 a－b＋c>0，③错误；
由对称轴为 x＝－1 知，b＝2a.
又函数图象开口向下，所以 a<0，所以 5a<2a，即 5a0 时，f(x)＝(x－1)2，若当 x∈ －2，－1
2 时，n≤f(x)≤m
恒成立，则 m－n 的最小值为( )
A.1
3 B.1
2
C.3
4 D．1
解析：选 D 当 x<0 时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，因为 x∈ －2，－1
2 ，所以 f(x)min
＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，所以 m≥1，n≤0，m－n≥1.所以 m－n 的最小值是 1.
3．已知函数 f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当 a＝2，x∈[－2,3]时，求函数 f(x)的值域；
(2)若函数 f(x)在[－1,3]上的最大值为 1，求实数 a 的值．
解：(1)当 a＝2 时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
对称轴为 x＝－3
2
∈[－2,3]，
∴f(x)min＝f
－3
2 ＝9
4
－9
2
－3＝－21
4
，
f(x)max＝f(3)＝15，
∴函数 f(x)的值域为 －21
4
，15 .
(2)∵函数 f(x)的对称轴为 x＝－2a－1
2
.
①当－2a－1
2
≤1，即 a≥－1
2
时，
f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即 a＝－1
3
，满足题意；
②当－2a－1
2
＞1，即 a＜－1
2
时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即 a＝－1，满足题意．
综上可知，a＝－1
3
或－1.
4．求函数 y＝x2－2x－1 在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值．
解：函数 y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2 的图象的对称轴是直线 x＝1，顶
点坐标是(1，－2)，函数图象如图所示，对 t 进行讨论如下：
(1)当对称轴在闭区间右边，即当 t＋1<1，即 t<0 时，函数在区间[t，
t＋1]上单调递减，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－1.
(2)当对称轴在闭区间内时，0≤t≤1，有两种情况：
①当 t＋1－1≤1－t，即 0≤t≤1
2
时，
f(x)max＝f(t)＝t2－2t－1；
②当 t＋1－1>1－t，即1
21 时，函数在区间[t，t＋1]上单调递增，
f(x)max＝f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)－1＝t2－2.
综上所述，t≤1
2
时，所求最大值为 t2－2t－1；t>1
2
时，所求最大值为 t2－2.
第七节 幂函数
一、基础知识
1．幂函数的概念
一般地，形如 y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数 x 是自变量，α为常数．
幂函数的特征
(1)自变量 x 处在幂底数的位置，幂指数α为常数；
(2)xα的系数为 1；
(3)只有一项．
2．五种常见幂函数的图象与性质
函数特征性
质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x1
2 y＝x－1
图象
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增
(－∞，0)减，
(0，＋∞)增
增 增
(－∞，0)和
(0，＋∞)减
公共点 (1,1)
二、常用结论
对于形如 f(x)＝xn
m(其中 m∈N*，n∈Z，m 与 n 互质)的幂函数：
(1)当 n 为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于 y 轴对称；
(2)当 m，n 都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；
(3)当 m 为偶数时，x>0(或 x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限
及原点处)．
考点一 幂函数的图象与性质
[典例] (1)(2019·赣州阶段测试)幂函数 y＝f(x)的图象经过点(3，3 3)，则 f(x)是( )
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
(2)已知幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)x
2 3－n n (n∈Z)的图象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上是
减函数，则 n 的值为( )
A．－3 B．1
C．2 D．1 或 2
[解析] (1)设 f(x)＝xα，将点(3，3 3)代入 f(x)＝xα，解得α＝1
3
，所以 f(x)＝x
1
3 ，可知函
数 f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选 C.
(2)∵幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)x
2 3－n n 在(0，＋∞)上是减函数，
∴ n2＋2n－2＝1，
n2－3n<0，
∴n＝1，
又 n＝1 时，f(x)＝x－2 的图象关于 y 轴对称，故 n＝1.
[答案] (1)C (2)B
[解题技法] 幂函数 y＝xα的主要性质及解题策略
(1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)．
(2)当α>0 时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当α<0 时，
幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减．
(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．
(4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数
的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等．
[题组训练]
1.[口诀第 3、4、5 句]下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为
( )
A．y＝x－4 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝x
1
3
解析：选 A 函数 y＝x－4 为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数 y＝x－1 为奇
函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数 y＝x2 为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；
函数 y＝x
1
3 为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．
2.[口诀第 2、3、4 句]已知当 x∈(0,1)时，函数 y＝xp 的图象在直线 y＝x 的上方，则 p
的取值范围是________．
解析：当 p>0 时，根据题意知 p<1，所以 0b＝
1
5
2
3 ，因为 y＝
1
2 x 是
减函数，所以 a＝
1
2
2
3 b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
解析：选 B 因为 y＝x
2
5 在第一象限内为增函数，所以 a＝
3
5
2
5 >c＝
2
5
2
5 ，因为 y＝
2
5 x
是减函数，所以 c＝
2
5
2
5 >b＝
2
5
3
5 ，所以 a>c>b.
2．若(a＋1)
1
2 <(3－2a)
1
2 ，则实数 a 的取值范围是________．
解析：易知函数 y＝x
1
2 的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，
所以
a＋1≥0，
3－2a≥0，
a＋1<3－2a，
解得－1≤a<2
3.
答案： －1，2
3
[课时跟踪检测]
1．若幂函数 y＝f(x)的图象过点(4,2)，则 f(8)的值为( )
A．4 B. 2
C．2 2 D．1
解析：选 C 设 f(x)＝xn，由条件知 f(4)＝2，所以 2＝4n，n＝1
2
，
所以 f(x)＝x
1
2 ，f(8)＝8
1
2 ＝2 2.
2．若幂函数 f(x)＝xk 在(0，＋∞)上是减函数，则 k 可能是( )
A．1 B．2
C.1
2 D．－1
解析：选 D 由幂函数的性质得 k<0，故选 D.
3．已知幂函数 f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1 为偶函数，则 m＝( )
A．1 B．2
C．1 或 2 D．3
解析：选 A ∵函数 f(x)为幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即 m2－3m＋2＝0，解得 m＝1
或 m＝2.当 m＝1 时，幂函数 f(x)＝x2 为偶函数，满足条件；当 m＝2 时，幂函数 f(x)＝x3 为
奇函数，不满足条件．故选 A.
4．(2018·邢台期末)已知幂函数 f(x)的图象过点 2，1
4 ，则函数 g(x)＝f(x)＋x2
4
的最小值为
( )
A．1 B．2
C．4 D．6
解析：选 A 设幂函数 f(x)＝xα.
∵f(x)的图象过点 2，1
4 ，∴2α＝1
4
，解得α＝－2.
∴函数 f(x)＝x－2，其中 x≠0.
∴函数 g(x)＝f(x)＋x2
4
＝x－2＋x2
4
＝1
x2
＋x2
4
≥2 1
x2·x2
4
＝1，
当且仅当 x＝± 2时，g(x)取得最小值 1.
5．(2019·安徽名校联考)幂函数 y＝x|m－1|与 y＝x
23 －m m (m∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，
则满足条件的整数 m 的值为( )
A．0 B．1 和 2
C．2 D．0 和 3
解析：选 C 由题意可得
|m－1|>0，
3m－m2>0，
m∈Z，
解得 m＝2.
6．已知 a＝3
4
5 ，b＝4
2
5 ，c＝12
1
5 ，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．bb>c，故选 C.
7．设 x＝0.20.3，y＝0.30.2，z＝0.30.3，则 x，y，z 的大小关系为( )
A．xz.由函数 y＝x0.3 在(0，＋∞)上单
调递增，可得 x10－2a，
a＋1>0，
10－2a>0，
解得 3f(a－1)的实数 a 的取值范围．
解：(1)∵幂函数 f(x)的图象经过点(2， 2)，
∴ 2＝2 ( )2 1－＋m m ，即 2
1
2 ＝2 ( )2 1－＋m m .
∴m2＋m＝2，解得 m＝1 或 m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.
(2)由(1)知 f(x)＝x
1
2 ，
则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
由 f(2－a)>f(a－1)，得
2－a≥0，
a－1≥0，
2－a>a－1，
解得 1≤a<3
2.
∴a 的取值范围为 1，3
2 .
第八节 指数式、对数式的运算
一、基础知识
1.指数与指数运算
(1)根式的性质
①(n a)n＝a(a 使n a有意义)．
②当 n 是奇数时，n an＝a；
当 n 是偶数时，n an＝|a|＝ a，a≥0，
－a，a<0.
(2)分数指数幂的意义
分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键．
①a
m
n ＝n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．
②a
m
n ＝
1
a
m
n ＝
1
n am
(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．
③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义．
(3)有理数指数幂的运算性质
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②ar
as
＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；
③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
(1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于 0，否则不能用性质来运算．
(2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂．
2．对数的概念及运算性质
一般地，如果 a(a>0，且 a≠1)的 b 次幂等于 N，就是 ab＝N，那么，数 b 就叫做以 a
为底 N 的对数，记作：logaN＝b.
指数、对数之间的关系
(1)对数的性质
①负数和零没有对数；
②1 的对数是零；
③底数的对数等于1.
(2)对数的运算性质
如果 a>0，且 a≠1，M >0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga
M
N
＝logaM－logaN；
③loga(Nn)＝nlogaN(n∈R)．
二、常用结论
1．换底公式的变形
(1)logab·logba＝1，即 logab＝ 1
logba(a，b 均大于 0 且不等于 1)；
(2)logambn＝n
mlogab(a，b 均大于 0 且不等于 1，m≠0，n∈R)；
(3)logNM＝logaM
logaN
＝logbM
logbN(a，b，N 均大于 0 且不等于 1，M >0)．
2．换底公式的推广
logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c 均大于 0 且不等于 1，d>0)．
3．对数恒等式
a loga N ＝N(a>0 且 a≠1，N>0)．
考点一 指数幂的化简与求值
[典例] 化简下列各式：
(1) 2 3
5 0＋2－2· 2 1
4
1
2 －(0.01)0.5；
(2)5
6a
1
3 ·b－2· －3a
1
2 b－1 ÷(4a
2
3 ·b－3)
1
2 .
[解] (1)原式＝1＋1
4
×
4
9
1
2 －
1
100
1
2 ＝1＋1
4
×2
3
－ 1
10
＝1＋1
6
－ 1
10
＝16
15.
(2)原式＝－5
2a
1
6 b－3÷(4a
2
3 ·b－3)
1
2 ＝－5
4a
1
6 b－3÷(a
1
3 b
3
2 )＝－5
4a
1
2 ·b
3
2 ＝－5
4· 1
ab3
＝
－5 ab
4ab2 .
[解题技法] 指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里面的，没有括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假
分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来
解答．
(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．
[题组训练]
1．若实数 a>0，则下列等式成立的是( )
A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝ 1
2a3
C．(－2)0＝－1 D．(a
1
4 )4＝1
a
解析：选 D 对于 A，(－2)－2＝1
4
，故 A 错误；对于 B，2a－3＝ 2
a3
，故 B 错误；对于 C，
(－2)0＝1，故 C 错误；对于 D，(a
1
4 )4＝1
a
，故 D 正确．
2．化简 4a
2
3 ·b
1
3 ÷
－2
3a
1
3 b
2
3
的结果为( )
A．－2a
3b B．－8a
b
C．－6a
b D．－6ab
解析：选 C 原式＝－6a
2 1
3 3 b
1 2
3 3 ＝－6ab－1＝－6a
b .
3．计算：－
3
2 －2＋ －27
8
2
3 ＋(0.002)
1
2 ＝________.
解析：原式＝－
2
3 2＋ －3
2 3
2
3 ＋
1
500
1
2
＝－4
9
＋4
9
＋10 5＝10 5.
答案：10 5
考点二 对数式的化简与求值
[典例] 计算下列各式：
(1)lg 2＋lg 5－lg 8
lg 50－lg 40
；(2)log23·log38＋( 3)log34.
[解] (1)原式＝
lg2×5
8
lg50
40
＝
lg5
4
lg5
4
＝1.
(2)原式＝lg 3
lg 2·3lg 2
lg 3
＋3
log 43
1
2 ＝3＋3 log3 2 ＝3＋2＝5.
[题组训练]
1．(log29)·(log34)＝( )
A．1
4 B．1
2
C．2 D．4
解析：选 D 法一：原式＝lg 9
lg 2·lg 4
lg 3
＝2lg 3·2lg 2
lg 2·lg 3
＝4.
法二：原式＝2log23·log24
log23
＝2×2＝4.
2．计算： lg 1
4
－lg 25 ÷100
1
2 ＝________.
解析：原式＝lg
1
4
× 1
25 ×100
1
2 ＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.
答案：－20
3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝log2(x2＋a)．若 f(3)＝1，则 a＝________.
解析：∵f(x)＝log2(x2＋a)且 f(3)＝1，
∴1＝log2(9＋a)，
∴9＋a＝2，∴a＝－7.
答案：－7
4．计算：log5[4 2
1log 102 －(3 3)
2
3 －7 7log 2 ]＝________.
解析：原式＝log5[2 2log 10 －(3
3
2 )
2
3 －2]＝log5(10－3－2)＝log55＝1.
答案：1
[课时跟踪检测]
1．设1
x
＝log23，则 3x－3－x 的值为( )
A.8
3 B.3
2
C.5
2 D.7
3
解析：选 B 由1
x
＝log23，得 3x＝2，∴3x－3－x＝2－1
2
＝3
2.
2．化简 2a
2
3 b
1
2 (－6a
1
2 b
1
3 )÷ －3a
1
6 b
5
6 的结果为( )
A．－4a B．4a
C．11a D．4ab
解析：选 B 原式＝[2×(－6)÷(－3)]a
2 1 1
3 2 6 b
1 1 5
2 3 6 ＝4ab0＝4a.
3．(log29)(log32)＋loga
5
4
＋loga
4
5a (a>0，且 a≠1)的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选 B 原式＝(2log23)(log32)＋loga
5
4
×4
5a ＝2×1＋logaa＝3.
4．设 a>0，将
a2
a·3 a2
表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
A．a
1
2 B．a
5
6
C．a
7
6 D．a
3
2
解析：选 C
a2
a·3 a2
＝
a2
a·a
2
3 ＝
a2
a
5
3 ＝
a2
a
5
6 ＝a
52-6 ＝a
7
6 .
5．如果 2loga(P－2Q)＝logaP＋logaQ(a>0，且 a≠1)，那么P
Q
的值为( )
A.1
4 B．4
C．1 D．4 或 1
解析：选 B 由 2loga(P－2Q)＝logaP＋logaQ，得 loga(P－2Q)2＝loga(PQ)．由对数运算
性质得(P－2Q)2＝PQ，即 P2－5PQ＋4Q2＝0，所以 P＝Q(舍去)或 P＝4Q，解得P
Q
＝4.
6．若 lg 2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)成等差数列，则 x 的值等于( )
A．1 B．0 或1
8
C.1
8 D．log23
解析：选 D 由题意知 lg2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，由对数的运算性质得 2(2x＋5)＝(2x
＋1)2，即(2x)2－9＝0,2x＝3，x＝log23.
7．已知函数 f(x)＝ log2x，x>0，
3－x＋1，x≤0，
则 f(f(1))＋f log3
1
2 的值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选 D ∵log3
1
2<0，由题意得 f(f(1))＋f log3
1
2 ＝f(log21)＋3 3
1-log 2 ＋1＝f(0)＋3 3log 2
＋1＝30＋1＋2＋1＝5.
8．设 2a＝5b＝m，且1
a
＋1
b
＝2，则 m 等于( )
A. 10 B．10
C．20 D．100
解析：选 A 由 2a＝5b＝m 得 a＝log2m，b＝log5m，
所以1
a
＋1
b
＝logm2＋logm5＝logm10.
因为1
a
＋1
b
＝2，所以 logm10＝2.
所以 m2＝10，所以 m＝ 10.
9．已知 4a＝2，lg x＝a，则 x＝________.
解析：由 4a＝2，得 a＝1
2
，又因为 lg x＝a＝1
2
，
所以 x＝10
1
2 ＝ 10.
答案： 10
10．计算：9
5
9
1 log2
-
＝________.
解析：9
5
9
1 log2
-
＝9
1
2 ×9
5
9log- ＝3×1
5
＝3
5.
答案：3
5
11．化简：
a
2
3 ·b－1
1
2 ·a
1
2 ·b
1
3
6 a·b5
＝________.
解析：原式＝
a
1
3 ·b
1
2 ·a
1
2 ·b
1
3
a
1
6
·b
5
6
＝a
1 1 1
3 2 6 ·b
1 1 5
2 3 6 ＝1
a.
答案：1
a
12．已知指数函数 y＝f(x)，对数函数 y＝g(x)和幂函数 y＝h(x)的图象都过点 P
1
2
，2 ，
如果 f(x1)＝g(x2)＝h(x3)＝4，那么 x1＋x2＋x3＝________.
解析：令 f(x)＝ax(a>0,且 a≠1)，g(x)＝logbx(b>0,且 b≠1)，h(x)＝xc，则 f
1
2 ＝a
1
2 ＝2，
g
1
2 ＝logb
1
2
＝－logb2＝2，h
1
2 ＝
1
2 c＝2，∴a＝4，b＝ 2
2
，c＝－1，∴f(x1)＝4x1＝4⇒x1＝1，
同理，x2＝1
4
，x3＝1
4.∴x1＋x2＋x3＝3
2.
答案：3
2
13．化简下列各式：
(1) 27
9 0.5＋0.1－2＋ 210
27
2-3 －3π0＋37
48
；
(2)
3
a
7
2
· a－3÷
3
a－3· a－1；
(3)
lg 3＋2
5lg 9＋3
5lg 27－lg 3
lg 81－lg 27
.
解：(1)原式＝
25
9
1
2 ＋ 1
0.12
＋
64
27
2
3 －3＋37
48
＝5
3
＋100＋ 9
16
－3＋37
48
＝100.
(2)原式＝
3
a
7
2
·a
3
2
÷
3
a
3
2
·a
1
2
＝
3
a
7
2
÷
3
a
1
2
＝a
7
6 ÷a
1
6 ＝a
8
6 ＝a
4
3 .
(3)法一：原式＝
lg 3＋4
5lg 3＋ 9
10lg 3－1
2lg 3
4lg 3－3lg 3
＝
1＋4
5
＋ 9
10
－1
2 lg 3
4－3lg 3
＝11
5 .
法二：原式＝lg3×9
2
5 ×27
1 3
2 5 ×3
1
2
lg81
27
＝lg 3
11
5
lg 3
＝11
5 .
第九节 指数函数
一、基础知识
1．指数函数的概念
函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R，a
是底数．
形如 y＝kax，y＝ax＋k(k∈R 且 k≠0，a>0 且 a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函
数．
2．指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象与性质
底数 a>1 00 时，恒有 y>1；
当 x<0 时，恒有 00 时，恒有 01
在定义域 R 上为增函数 在定义域 R 上为减函数
注意
指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1）的图象和性质与 a 的取值有关，应分 a>1 与 00，且 a≠1)的图象关于 y 轴对称．
(3)底数 a 与 1 的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当 a>1 时，指数函数的图
象“上升”；当 00 的
解集为________．
[解析] ∵f(x)为偶函数，
当 x＜0 时，－x>0，则 f(x)＝f(－x)＝2－x－4.
∴f(x)＝ 2x－4， x≥0，
2－x－4，x＜0，
当 f(x－2)＞0 时，有 x－2≥0，
2x－2－4＞0
或 x－2＜0，
2－x＋2－4＞0，
解得 x＞4 或 x＜0.
∴不等式的解集为{x|x>4 或 x<0}．
[答案] {x|x>4 或 x<0}
[解题技法]
简单的指数方程或不等式问题的求解策略
(1)af(x)＝ag(x)⇔f(x)＝g(x)．
(2)af(x)>ag(x)，当 a>1 时，等价于 f(x)>g(x)；当 00，
g
2
a ＝3a－4
a
＝－1，
解得 a＝1，即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1.
[解题技法] 与指数函数有关的复合函数的单调性
形如函数 y＝af(x)的单调性，它的单调区间与 f(x)的单调区间有关：
(1)若 a>1，函数 f(x)的单调增(减)区间即函数 y＝af(x)的单调增(减)区间；
(2)若 01，
所以 b1 且 a≠2)在区间(0，＋
∞)上具有不同的单调性，则 M＝(a－1)0.2 与 N＝
1
a 0.1 的大小关系是( )
A．M＝N B．M≤N
C．MN
解析：选 D 因为 f(x)＝x2－a 与 g(x)＝ax(a>1 且 a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调
性，所以 a>2，所以 M＝(a－1)0.2>1，N＝
1
a 0.1<1，所以 M >N.
4．已知实数 a≠1，函数 f(x)＝ 4x，x≥0，
2a－x，x<0，
若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a 的值为________．
解析：当 a<1 时，41－a＝21，所以 a＝1
2
；当 a>1 时，代入可知不成立．所以 a 的值为1
2.
答案：1
2
[课时跟踪检测]
A 级
1．函数 f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
解析：选 A 因为函数 f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有 A 满足上述两
个性质．
2．(2019·贵阳监测)已知函数 f(x)＝4＋2ax－1 的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标是( )
A．(1,6) B．(1,5)
C．(0,5) D．(5,0)
解析：选 A 由于函数 y＝ax 的图象过定点(0,1)，当 x＝1 时，f(x)＝4＋2＝6，故函数 f(x)
＝4＋2ax－1 的图象恒过定点 P(1,6)．
3．已知 a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则 a，b，c 的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解析：选 A 由 0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知 0.40.2＞0.40.6，即 b＞c；
因为 a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以 a＞b.综上，a＞b＞c.
4．(2019·南宁调研)函数 f(x)＝
1
2 2x x 的单调递增区间是( )
A.
－∞，1
2 B. 0，1
2
C.
1
2
，＋∞
D.
1
2
，1
解析：选 D 令 x－x2≥0，得 0≤x≤1，所以函数 f(x)的定义域为[0,1]，因为 y＝
1
2 t
是减函数，所以函数 f(x)的增区间就是函数 y＝－x2＋x 在[0,1]上的减区间
1
2
，1 ，故选 D.
5.函数 f(x)＝ax－b 的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．00 时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x<0，则 f(－
x)＝2－x－1＝－f(x)；当 x<0 时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x>0，则 f(－x)＝1－2－(－
x)＝1－2x＝－f(x)．即函数 f(x)是奇函数，且单调递增，故选 C.
7．(2018·深圳摸底)已知 a＝
1
3 3.3，b＝
1
3 3.9，则 a________b．(填“<”或“>”)
解析：因为函数 y＝
1
3 x 为减函数，所以
1
3 3.3>
1
3 3.9，即 a>b.
答案：>
8．函数 y＝
1
4 x－
1
2 x＋1 在[－3,2]上的值域是________．
解析：令 t＝
1
2 x，由 x∈[－3,2]，得 t∈
1
4
，8 .
则 y＝t2－t＋1＝ t－1
2 2＋3
4
t∈
1
4
，8 .
当 t＝1
2
时，ymin＝3
4
；当 t＝8 时，ymax＝57.
故所求函数的值域是
3
4
，57 .
答案：
3
4
，57
9．已知函数 f(x)＝ax＋b(a>0，且 a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则 a＋b＝________.
解析：当 a>1 时，函数 f(x)＝ax＋b 在[－1，0]上为增函数，由题意得 a－1＋b＝－1，
a0＋b＝0
无解．当 00，t2－t－2＝0，
即(t－2)(t＋1)＝0，
又 t>0，故 t＝2，即
1
2 x＝2，解得 x＝－1，
故满足条件的 x 的值为－1.
12．已知函数 f(x)＝
2
3 |x|－a.
(1)求 f(x)的单调区间；
(2)若 f(x)的最大值是9
4
，求 a 的值．
解：(1)令 t＝|x|－a，则 f(x)＝
2
3 t，不论 a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋
∞)上单调递增，
又 y＝
2
3 t 在 R 上单调递减，
所以 f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，
单调递减区间是[0，＋∞)．
(2)由于 f(x)的最大值是9
4
，且9
4
＝
2
3 －2，
所以 g(x)＝|x|－a 应该有最小值－2，
从而 a＝2.
B 级
1．(2019·郴州质检)已知函数 f(x)＝ex－1
ex
，其中 e 是自然对数的底数，则关于 x 的不等
式 f(2x－1)＋f(－x－1)>0 的解集为( )
A.
－∞，－4
3 ∪(2，＋∞)
B．(2，＋∞)
C.
－∞，4
3 ∪(2，＋∞)
D．(－∞，2)
解析：选 B 函数 f(x)＝ex－1
ex
的定义域为 R，
∵f(－x)＝e－x－ 1
e－x
＝1
ex
－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，那么不等式 f(2x－1)＋f(－x－1)>0
等价于 f(2x－1)>－f(－x－1)＝f(1＋x)，易证 f(x)是 R 上的单调递增函数，∴2x－1>x＋1，解
得 x>2，∴不等式 f(2x－1)＋f(－x－1)>0 的解集为(2，＋∞)．
2．已知 a>0，且 a≠1，若函数 y＝|ax－2|与 y＝3a 的图象有两个交点，则实数 a 的取值
范围是________．
解析：①当 01 时，作出函数 y＝|ax－2|的图象如图(2)，若直线 y＝3a 与函数 y＝|ax－2|(a>1)
的图象有两个交点，则由图象可知 0<3a<2，此时无解．
所以实数 a 的取值范围是 0，2
3 .
答案： 0，2
3
3．已知函数 f(x)＝
1
ax－1
＋1
2 x3(a＞0，且 a≠1)．
(1)讨论 f(x)的奇偶性；
(2)求 a 的取值范围，使 f(x)＞0 在定义域上恒成立．
解：(1)由于 ax－1≠0，则 ax≠1，得 x≠0，
所以函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}．
对于定义域内任意 x，有
f(－x)＝
1
a－x－1
＋1
2 (－x)3＝
ax
1－ax
＋1
2 (－x)3＝
－1－ 1
ax－1
＋1
2 (－x)3
＝
1
ax－1
＋1
2 x3＝f(x)，
∴函数 f(x)为偶函数．
(2)由(1)知 f(x)为偶函数，
∴只需讨论 x＞0 时的情况．当 x＞0 时，要使 f(x)＞0，
则
1
ax－1
＋1
2 x3＞0，
即 1
ax－1
＋1
2
＞0，即 ax＋1
2ax－1
＞0，则 ax＞1.
又∵x＞0，∴a＞1.
∴当 a∈(1，＋∞)时，f(x)＞0.
第十节 对数函数
一、基础知识
1．对数函数的概念
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0， ＋
∞).
y＝logax 的 3 个特征
(1)底数 a>0，且 a≠1；
(2)自变量 x>0；
(3)函数值域为 R.
2．对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象与性质
底数 a>1 01 时，恒有 y>0；
当 01 时，恒有 y<0；
当 00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
注意 当对数函数的底数 a 的大小不确定时，需分 a>1 和 00，且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)互为反函数，它们的
图象关于直线 y＝x 对称．
二、常用结论
对数函数图象的特点
(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,1)，
1
a
，－1 ，依据这三点的坐标可得到对数函数的
大致图象．
(2)函数 y＝logax 与 y＝log1
a
x(a>0，且 a≠1)的图象关于 x 轴对称．
(3)当 a>1 时，对数函数的图象呈上升趋势；当 01，
lg1－x，x<1.
当 x＝1 时，函数无意义，故排除 B、D.
又当 x＝2 或 0 时，y＝0，所以 A 项符合题意．
(2)若 x1
4
， 解得 1
160，且 a≠1)对 x∈ 0，1
2 恒成立，求实数 a
的取值范围．
解：设 f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使 x∈ 0，1
2 时，不等式 x21 时，显然不成立；
当 0log2e＝a，
所以 c＞a.
因为 b＝ln 2＝ 1
log2e
＜1＜log2e＝a，所以 a＞b.
所以 c＞a＞b.
[答案] D
考法(二) 解简单对数不等式
[典例] 已知不等式 logx(2x2＋1)3x>1
①或 x>1，
2x2＋1<3x<1
②，解不等式组①得1
30，得－1b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
解析：选 C 01，∴c>a>b.
2．若定义在区间(－1,0)内的函数 f(x)＝log2a(x＋1)满足 f(x)>0，则实数 a 的取值范围是
( )
A. 0，1
2 B. 0，1
2
C.
1
2
，＋∞
D．(0，＋∞)
解析：选 A ∵－10，∴0<2a<1，∴00，若函数 f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上是增函数，则 a 的取值范围是________．
解析：要使 f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上单调递增，则 y＝ax2－x 在[3,4]上单调递增，且
y＝ax2－x>0 恒成立，即
1
2a
≤3，
9a－3>0，
解得 a>1
3.
答案：
1
3
，＋∞
[课时跟踪检测]
A 级
1．函数 y＝ log32x－1＋1的定义域是( )
A．[1,2] B．[1,2)
C.
2
3
，＋∞
D.
2
3
，＋∞
解析：选 C 由 log32x－1＋1≥0，
2x－1＞0，
即
log32x－1≥log3
1
3
，
x＞1
2
，
解得 x≥2
3.
2．若函数 y＝f(x)是函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的反函数，且 f(2)＝1，则 f(x)＝( )
A．log2x B. 1
2x
C．log 1
2
x D．2x－2
解析：选 A 由题意知 f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)．
∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.
3．如果 log 1
2
xy>1.
4．(2019·海南三市联考)函数 f(x)＝|loga(x＋1)|(a>0，且 a≠1)的大致图象是( )
解析：选 C 函数 f(x)＝|loga(x＋1)|的定义域为{x|x>－1}，且对任意的 x，均有 f(x)≥0，
结合对数函数的图象可知选 C.
5．(2018·惠州调研)若 a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2sin2π
5
，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．b>c>a B．b>a>c
C．c>a>b D．a>b>c
解析：选 D 依题意，得 a>1,01，得 c<0，故
a>b>c.
6．设函数 f(x)＝loga|x|(a>0，且 a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则 f(a＋1)与 f(2)的大小
关系是( )
A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)f(2)．
7．已知 a>0，且 a≠1，函数 y＝loga(2x－3)＋ 2的图象恒过点 P.若点 P 也在幂函数 f(x)
的图象上，则 f(x)＝________.
解析：设幂函数为 f(x)＝xα，因为函数 y＝loga(2x－3)＋ 2的图象恒过点 P(2， 2)，则
2α＝ 2，所以α＝1
2
，故幂函数为 f(x)＝x
1
2 .
答案：x
1
2
8．已知函数 f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，且 a≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则 logba＝
________.
解析：f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)．
则 f(－1)＝loga(－1＋b)＝0，
且 f(0)＝loga(0＋b)＝1，
所以 b－1＝1，
b＝a，
即 b＝2，
a＝2.
所以 logba＝1.
答案：1
9．(2019·武汉调研)函数 f(x)＝loga(x2－4x－5)(a>1)的单调递增区间是________．
解析：由函数 f(x)＝loga(x2－4x－5)，得 x2－4x－5>0，得 x<－1 或 x>5.令 m(x)＝x2－4x
－5，则 m(x)＝(x－2)2－9，m(x)在[2，＋∞)上单调递增，又由 a>1 及复合函数的单调性可
知函数 f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)．
答案：(5，＋∞)
10．设函数 f(x)＝
log2x，x＞0，
log
1
2 －x，x＜0， 若 f(a)＞f(－a)，则实数 a 的取值范围是
________________．
解析：由 f(a)＞f(－a)得
a＞0，
log2a＞log
1
2 a 或
a＜0，
log
1
2 －a＞log2－a，
即 a＞0，
log2a＞－log2a
或 a＜0，
－log2－a＞log2－a.
解得 a＞1 或－1＜a＜0.
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
11．求函数 f(x)＝log2 x·log 2(2x)的最小值．
解：显然 x>0，∴f(x)＝log2 x·log 2(2x)＝1
2log2x·log2(4x2)＝1
2log2x·(log24＋2log2x)＝log2x
＋(log2x)2＝ log2x＋1
2 2－1
4
≥－1
4
，当且仅当 x＝ 2
2
时，有 f(x)min＝－1
4.
12．设 f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且 a≠1)，且 f(1)＝2.
(1)求 a 的值及 f(x)的定义域；
(2)求 f(x)在区间 0，3
2 上的最大值．
解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，且 a≠1)，∴a＝2.
由 1＋x＞0，
3－x＞0，
得－1＜x＜3，
∴函数 f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当 x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；
当 x∈(1,3)时，f(x)是减函数，
故函数 f(x)在 0，3
2 上的最大值是 f(1)＝log24＝2.
B 级
1．已知函数 f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)满足 f
2
a >f
3
a ，则 f 1－1
x >0 的解集为( )
A．(0,1) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：选 C 因为函数 f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而2
a<3
a
且
f
2
a >f
3
a ，所以 f(x)＝logax 在(0，＋∞)上单调递减，即 00，得 0<1－1
x<1，所以 x>1，故选 C.
2．若函数 f(x)＝loga
x2＋3
2x (a>0，且 a≠1)在区间
1
2
，＋∞ 内恒有 f(x)>0，则 f(x)的单
调递增区间为________．
解析：令 M＝x2＋3
2x，当 x∈
1
2
，＋∞ 时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以 a>1，所以函
数 y＝logaM 为增函数，
又 M＝ x＋3
4 2－ 9
16
，
因此 M 的单调递增区间为 －3
4
，＋∞
.
又 x2＋3
2x>0，所以 x>0 或 x<－3
2
，
所以函数 f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
3．已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(0)＝0，当 x>0 时，f(x)＝log 1
2
x.
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)解不等式 f(x2－1)>－2.
解：(1)当 x<0 时，－x>0，则 f(－x)＝log 1
2
(－x)．
因为函数 f(x)是偶函数，
所以 f(x)＝f(－x)＝log 1
2
(－x)，
所以函数 f(x)的解析式为 f(x)＝
log1
2
x，x>0，
0，x＝0，
log
1
2
－x，x<0.
(2)因为 f(4)＝log 1
2
4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式 f(x2－1)>－2 转化为 f(|x2－1|)>f(4)．
又因为函数 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得－ 50， 则函数 y＝f(x)＋3x 的零
点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)设函数 f(x)＝1
3x－ln x，则函数 y＝f(x)( )
A．在区间
1
e
，1 ，(1，e)内均有零点
B．在区间
1
e
，1 ，(1，e)内均无零点
C．在区间
1
e
，1 内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间
1
e
，1 内无零点，在区间(1，e)内有零点
[解析] (1)解方程法
令 f(x)＋3x＝0，
则 x≤0，
x2－2x＋3x＝0
或
x>0，
1＋1
x
＋3x＝0，
解得 x＝0 或 x＝－1，
所以函数 y＝f(x)＋3x 的零点个数是 2.
(2)法一：图象法
令 f(x)＝0 得 1
3x＝ln x．作出函数 y＝1
3x 和 y＝ln x 的图象，如图，
显然 y＝f(x)在
1
e
，1 内无零点，在(1，e)内有零点．
法二：定理法
当 x∈
1
e
，e 时，函数图象是连续的，且 f′(x)＝1
3
－1
x
＝x－3
3x
<0，所以函数 f(x)在
1
e
，e 上
单调递减．
又 f
1
e ＝ 1
3e
＋1>0，f(1)＝1
3>0，f(e)＝1
3e－1<0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内．
[答案] (1)C (2)D
[解题技法] 掌握判断函数零点个数的 3 种方法
(1)解方程法
若对应方程 f(x)＝0 可解，通过解方程，即可判断函数是否有零点，其中方程有几个解
就对应有几个零点．
(2)定理法
利用函数零点的存在性定理进行判断，但必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶
性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数．
(3)数形结合法
合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看
其是否有交点，若有交点，其中交点的个数，就是函数零点的个数．
[题组训练]
1.[定理法]函数 f(x)＝x3－x2－1 的零点所在的区间是( )
A．(0,1) B．(－1,0)
C．(1,2) D．(2,3)
解析：选 C 函数 f(x)＝x3－x2－1 是连续函数．因为 f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(2)＝8－4
－1＝3>0，所以 f(1)f(2)<0，结合选项可知函数的零点所在的区间是(1,2)．
2.[解方程法或图象法]函数 f(x)＝ x2＋x－2，x≤0，
－1＋ln x，x>0
的零点个数为( )
A．3 B．2
C．7 D．0
解析：选 B 法一：(解方程法)
由 f(x)＝0 得 x≤0，
x2＋x－2＝0
或 x>0，
－1＋ln x＝0，
解得 x＝－2 或 x＝e.
因此函数 f(x)共有 2 个零点．
法二：(图象法)
作出函数 f(x)的图象如图所示，
由图象知函数 f(x)共有 2 个零点．
3.[图象法]设 f(x)＝ln x＋x－2，则函数 f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选 B 函数 f(x)的零点所在的区间可转化为函数 g(x)＝ln x，h(x)
＝－x＋2 图象交点的横坐标所在区间．如图如示，可知 f(x)的零点所在的区
间为(1,2)．
考点二 函数零点的应用
考法(一) 已知函数零点个数求参数范围
[典例] (2018·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝ ex，x≤0，
ln x，x>0， g(x)＝f(x)＋x＋a.若 g(x)存在 2
个零点，则 a 的取值范围是( )
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
[解析] 令 h(x)＝－x－a，
则 g(x)＝f(x)－h(x)．
在同一坐标系中画出 y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．
若 g(x)存在 2 个零点，则 y＝f(x)的图象与 y＝h(x)的图象有 2 个交点，
平移 y＝h(x)的图象，可知当直线 y＝－x－a 过点(0,1)时，有 2 个交点，此时 1＝－0－a，a
＝－1.
当 y＝－x－a 在 y＝－x＋1 上方，即 a<－1 时，仅有 1 个交点，不符合题意．
当 y＝－x－a 在 y＝－x＋1 下方，即 a>－1 时，有 2 个交点，符合题意．
综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．
[答案] C
考法(二) 已知函数零点所在区间求参数范围
[典例] (2019·安庆摸底)若函数 f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数 a 的取值
范围是________．
[解析] ∵函数 f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，
∴方程 4x－2x－a＝0 在[－1,1]上有解，
即方程 a＝4x－2x 在[－1,1]上有解．
方程 a＝4x－2x 可变形为 a＝ 2x－1
2 2－1
4
，
∵x∈[－1,1]，∴2x∈
1
2
，2 ，
∴ 2x－1
2 2－1
4
∈ －1
4
，2 .
∴实数 a 的取值范围是 －1
4
，2 .
[答案]
－1
4
，2
[题组训练]
1．(2019·北京西城区模拟)若函数 f(x)＝2x－2
x
－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a
的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
解析：选 C 因为函数 f(x)＝2x－2
x
－a 在区间(1,2)上单调递增，又函数 f(x)＝2x－2
x
－a
的一个零点在区间(1,2)内，则有 f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，
即 a(a－3)<0，解得 00.
若方程 f(x)＝a 有两个不相等的实数根，则实
数 a 的取值范围是( )
A.
－5
2
，－9
4 ∪[－2，＋∞)
B．(－2，＋∞)
C.
－5
2
，－9
4 ∪(－2，＋∞)
D.
－5
2
，－9
4 ∪(－2，＋∞)
解析：选 C 方程 f(x)＝a 有两个不相等的实数根等价于函数 y＝f(x)
的图象与直线 y＝a 有两个不同的交点，作出函数 f(x)的图象如图所示，
由图可知，a∈ －5
2
，－9
4 ∪(－2，＋∞)．
[课时跟踪检测]
1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )
A．y＝log 1
2
x B．y＝2x－1
C．y＝x2－1
2 D．y＝－x3
解析：选 B 函数 y＝log 1
2
x 在定义域上单调递减，y＝x2－1
2
在(－1,1)上不是单调函数，
y＝－x3 在定义域上单调递减，均不符合要求．对于 y＝2x－1，当 x＝0∈(－1,1)时，y＝0 且
y＝2x－1 在 R 上单调递增．故选 B.
2．(2018·重庆一中期中)函数 f(x)＝ex＋x－3 在区间(0,1)上的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选 B 由题知函数 f(x)是增函数．根据函数的零点存在性定理及 f(0)＝－2，f(1)
＝e－2>0，可知函数 f(x)在区间(0,1)上有且只有一个零点，故选 B.
3．(2018·豫西南部分示范性高中联考)函数 f(x)＝ln x－2
x2
的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选 B 易知 f(x)＝ln x－2
x2
的定义域为(0，＋∞)，且在定义域上单调递增．
∵f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2－1
2>0，
∴f(1)·f(2)<0，∴根据零点存在性定理知 f(x)＝ln x－2
x2
的零点所在的区间为(1,2)．
4．若函数 f(x)＝ax＋1 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,1)
解析：选 C 由题意知，f(－1)·f(1)＜0，
即(1－a)(1＋a)＜0，解得 a＜－1 或 a＞1.
5．已知实数 a＞1,0＜b＜1，则函数 f(x)＝ax＋x－b 的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：选 B 因为 a＞1,0＜b＜1，所以 f(x)＝ax＋x－b 在 R 上是单调增函数，所以
f(－1)＝1
a
－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，由零点存在性定理可知，f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
6．若 a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
由函数零点的存在性定理可知函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
7．函数 f(x)＝|x－2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选 C 由题意可知 f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直
角坐标系中作出函数 y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象如图所示．
由图可知函数 f(x)在定义域内的零点个数为 2.
8．(2019·郑州质量测试)已知函数 f(x)＝ ex－a，x≤0，
2x－a，x>0
(a∈R)，若函数 f(x)在 R 上有
两个零点，则实数 a 的取值范围是( )
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，1]
解析：选 A 画出函数 f(x)的大致图象如图所示．因为函数 f(x)在 R
上有两个零点，所以 f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当 x≤0
时，f(x)有一个零点，需 00 时，f(x)有一个零点，需－a<0，
即 a>0.综上，00，b≠1)；
(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a 为常数，m≠0，a>0，a≠1)；
(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n 为常数，a≠0，n≠1)；
(8)“对勾”函数模型：y＝x＋a
x(a>0)．
(1)形如 f(x)＝x＋a
x(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：
①该函数在(－∞，－ a]和[ a，＋∞)上单调递增，在[－ a，0)和(0， a]上单调递减．
②当 x>0 时，x＝ a时取最小值 2 a，当 x<0 时，x＝－ a时取最大值－2 a.
(2)函数 f(x)＝x
a
＋b
x(a>0，b>0，x>0)在区间(0， ab]内单调递减，在区间[ ab，＋∞)内
单调递增．
2．三种函数模型的性质
函数性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减
性
单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化
随 x 的增大，逐渐表
现为与 y 轴平行
随 x 的增大，逐渐表
现为与 x 轴平行
随 n 值变化而各有不
同
值的比较 存在一个 x0，当 x>x0 时，有 logax0可以描述增长幅度不同的变化，当 n,值较小n≤1时，增长较慢；
当 n 值较大n>1时，增长较快.
考点一 二次函数、分段函数模型
[典例] 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在 30 或 30 以下，飞机票
每张收费 900 元；若每团人数多于 30，则给予优惠：每多 1 人，机票每张减少 10 元，直到
达到规定人数 75 为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
[解] (1)设每团人数为 x，由题意得 0A.
已
知某家庭 2018 年前三个月的煤气费如表：
月份 用气量 煤气费
一月份 4 m3 4 元
二月份 25 m3 14 元
三月份 35 m3 19 元
若四月份该家庭使用了 20 m3 的煤气，则其煤气费为( )
A．11.5 元 B．11 元
C．10.5 元 D．10 元
解析：选 A 根据题意可知 f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)
＝19，解得 A＝5，B＝1
2
，C＝4，所以 f(x)＝
4，05， 所以 f(20)＝4＋1
2
×(20
－5)＝11.5.
2．A，B 两城相距 100 km，在两城之间距 A 城 x(km)处建一核电站给 A，B 两城供电，
为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于 10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方
与供电量(亿度)之积的 0.25 倍，若 A 城供电量为每月 20 亿度，B 城供电量为每月 10 亿度．
(1)求 x 的取值范围；
(2)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数；
(3)核电站建在距 A 城多远，才能使月供电总费用 y 最少？
解：(1)由题意知 x 的取值范围为[10,90]．
(2)y＝5x2＋5
2(100－x)2(10≤x≤90)．
(3)因为 y＝5x2＋5
2(100－x)2
＝15
2 x2－500x＋25 000
＝15
2
x－100
3 2＋50 000
3
，
所以当 x＝100
3
时，ymin＝50 000
3 .
故核电站建在距 A 城100
3 km 处，能使月供电总费用 y 最少．
考点二 指数函数、对数函数模型
[典例] 某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药
后每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出第一次服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y＝f(t)；
(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时治疗疾病有效，求服药一次
后治疗疾病有效的时间．
[解] (1)由题图，设 y＝
kt，0≤t≤1，
1
2 t－a，t>1，
当 t＝1 时，由 y＝4，得 k＝4，
由
1
2 1－a＝4，得 a＝3.所以 y＝
4t，0≤t≤1，
1
2 t－3，t>1.
(2)由 y≥0.25 得 0≤t≤1，
4t≥0.25
或
t>1，
1
2 t－3≥0.25，
解得 1
16
≤t≤5.
故服药一次后治疗疾病有效的时间是 5－ 1
16
＝79
16(小时)．
[解题技法]
1．掌握 2 种函数模型的应用技巧
(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，
在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于 1)的一类函数模型，与增长率、
银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析
式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．
2．建立函数模型解应用问题的 4 步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．
[题组训练]
1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了 n 次涨停(每
次上涨 10%)，又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其
他费用)为( )
A．略有盈利 B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况
解析：选 B 设该股民购进这支股票的价格为 a 元，则经历 n 次涨停后的价格为 a(1＋
10%)n ＝ a×1.1n 元 ， 经 历 n 次 跌 停 后 的 价 格 为 a×1.1n×(1 － 10%)n ＝ a×1.1n×0.9n ＝
a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a10，
即 y＝ 3x，0≤x≤10，
5x－20，x>10.
易知该职工这个月的实际用水量超过 10
立方米，所以 5x－20＝55，解得 x＝15.
3．利民工厂某产品的年产量在 150 吨至 250 吨之间，年生产的总成本 y(万元)与年产量
x(吨)之间的关系可近似地表示为y＝x2
10
－30x＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( )
A．240 吨 B．200 吨
C．180 吨 D．160 吨
解析：选 B 依题意，得每吨的成本为y
x
＝ x
10
＋4 000
x
－30，则y
x
≥2 x
10 ·4 000
x
－30＝
10，
当且仅当 x
10
＝4 000
x
，即 x＝200 时取等号，
因此，当每吨成本最低时，年产量为 200 吨．
4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过 1%.已知在过滤
过程中废气中的污染物数量 P(单位：毫克/升)与过滤时间 t(单位：时)之间的函数关系为 P＝
P0e－kt(k，P0 均为正常数)．如果在前 5 个小时的过滤过程中污染物被排除了 90%，那么排放
前至少还需要过滤的时间是( )
A.1
2
小时 B.5
9
小时
C．5 小时 D．10 小时
解析：选 C 由题意，前 5 个小时消除了 90%的污染物．
∵P＝P0e－kt，
∴(1－90%)P0＝P0e－5k，
∴0.1＝e－5k，即－5k＝ln 0.1，
∴k＝－1
5ln 0.1.
由 1%P0＝P0e－kt，即 0.01＝e－kt，得－kt＝ln 0.01，
∴
1
5ln 0.1 t＝ln 0.01，∴t＝10.
∴排放前至少还需要过滤的时间为 t－5＝5(时)．
5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量 y(单位：只)与时间 x(单位：年)的关系式为 y
＝alog2(x＋1)，若这种动物第 1 年有 100 只，则到第 7 年它们发展到________只．
解析：由题意，得 100＝alog2(1＋1)，解得 a＝100，所以 y＝100log2(x＋1)，当 x＝7 时，
y＝100log2(7＋1)＝300，故到第 7 年它们发展到 300 只．
答案：300
6.某人根据经验绘制了从 12 月 21 日至 1 月 8 日自己种植的西
红柿的销售量 y(千克)随时间 x(天)变化的函数图象如图所示，则此
人在 12 月 26 日大约卖出了西红柿________千克．
解析：前 10 天满足一次函数关系，设为 y＝kx＋b，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析
式得 10＝k＋b，
30＝10k＋b，
解得 k＝20
9
，b＝70
9
，所以 y＝20
9 x＋70
9
，则当 x＝6 时，y＝190
9 .
答案：190
9
7．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟
类的飞行速度 v(单位：m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为：v＝a＋blog3
Q
10(其中 a，b 是实数)．据
统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，其飞行速
度为 1 m/s.
(1)求出 a，b 的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，求其耗氧量至少要多少个单位？
解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s，此时耗氧量为 30 个单位，
故有 a＋blog3
30
10
＝0，即 a＋b＝0.
当耗氧量为 90 个单位时，速度为 1 m/s，
故 a＋blog3
90
10
＝1，整理得 a＋2b＝1.
解方程组 a＋b＝0，
a＋2b＝1，
得 a＝－1，
b＝1.
(2)由(1)知，v＝a＋blog3
Q
10
＝－1＋log3
Q
10.
所以要使飞行速度不低于 2 m/s，则有 v≥2，
所以－1＋log3
Q
10
≥2，
即 log3
Q
10
≥3，解得Q
10
≥27，即 Q≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要 270 个单位．
8.据气象中心观察和预测：发生于沿海 M 地的台风一直向正南方向
移动，其移动速度 v(单位：km/h)与时间 t(单位：h)的函数图象如图所示，
过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴的垂线 l，梯形 OABC 在直线 l 左侧部分
的面积为时间 t 内台风所经过的路程 s(单位：km)．
(1)当 t＝4 时，求 s 的值；
(2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若 N 城位于 M 地正南方向，且距 M 地 650 km，试判断这场台风是否会侵袭到 N 城，
如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到 N 城？如果不会，请说明理由．
解：(1)由图象可知，直线 OA 的方程是 v＝3t(0≤t≤10)，直线 BC 的方程是 v＝－2t＋
70(200，a≠1)；⑦(ln x)′＝1
x
；
⑧(logax)′＝ 1
xln a(a>0，a≠1)．
(2)导数的四则运算法则
①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；
②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；
③
ux
vx ′＝u′xvx－uxv′x
[vx]2 (v(x)≠0)．
熟记以下结论：
(1)
1
x ′＝－1
x2
；
(2)
1
fx ′＝－f′x
[fx]2(f(x)≠0)；
(3)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)；
(4)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
考点一 导数的运算
[典例] 求下列函数的导数．
(1)y＝ln x＋1
x
；
(2)y＝(2x＋1)·ex；
(3)y＝
1＋x
5 x2
；
(4)y＝x－sinx
2cosx
2.
[解] (1)y′＝ ln x＋1
x ′＝(ln x)′＋
1
x ′＝1
x
－1
x2.
(2)y′＝[(2x＋1)·ex]′＝(2x＋1)′·ex＋(2x＋1)·(ex)′＝2ex＋(2x＋1)·ex＝(2x＋3)·ex.
(3)∵
1＋x
5 x2
＝x
3
5 ＋x
2
5 ，
∴y′＝
1＋x
5 x2 ′＝(x
3
5 )′＋(x
2
5 )′＝3
5x
2
5 －2
5x
7
5 .
(4)∵y＝x－sinx
2cosx
2
＝x－1
2sin x，
∴y′＝1－1
2cos x.
[题组训练]
1．已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足 f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则 f′(1)＝( )
A．－e B．－1
C．1 D．e
解析：选 B 由 f(x)＝2xf′(1)＋ln x，
得 f′(x)＝2f′(1)＋1
x.
所以 f′(1)＝2f′(1)＋1，则 f′(1)＝－1.
2．求下列函数的导数．
(1)y＝cos x－sin x；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(3)y＝ ln x
x2＋1
.
解：(1)y′＝(cos x)′－(sin x)′＝－sin x－cos x.
(2)∵y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)
＝(x2＋3x＋2)(x＋3)
＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝3x2＋12x＋11.
(3)y′＝ln x′x2＋1－ln xx2＋1′
x2＋12
＝
1
x
x2＋1－2x·ln x
x2＋12
＝x21－2ln x＋1
xx2＋12 .
考点二 导数的几何意义
考法(一) 求曲线的切线方程
[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若 f(x)为奇函数，则曲线 y＝f(x)
在点(0,0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
[解析] ∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，
∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.
又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，
即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax 恒成立，
∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，
∴曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y＝x.
[答案] D
[解题技法]
若已知曲线 y＝f(x)过点 P(x0，y0)，求曲线过点 P 的切线方程的方法
(1)当点 P(x0，y0)是切点时，切线方程为 y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)当点 P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标 P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过点 P′(x1，f(x1))的切线方程 y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程求出 x1；
第四步：将 x1 的值代入方程 y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点 P(x0，y0)的切线方程．
考法(二) 求切点坐标
[典例] 曲线 f(x)＝x3－x＋3 在点 P 处的切线平行于直线 y＝2x－1，则 P 点的坐标为
( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)
[解析] f′(x)＝3x2－1，令 f′(x)＝2，则 3x2－1＝2，解得 x＝1 或 x＝－1，∴P(1,3)
或(－1,3)．经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线 y＝2x－1 上，故选 C.
[答案] C
[解题技法] 求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜
率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
考法(三) 求参数的值(范围)
[典例] 函数 f(x)＝ln x＋ax 的图象上存在与直线 2x－y＝0 平行的切线，则实数 a 的取
值范围是________．
[解析] 函数 f(x)＝ln x＋ax 的图象上存在与直线 2x－y＝0 平行的切线，即 f′(x)＝2 在
(0，＋∞)上有解，而 f′(x)＝1
x
＋a，即1
x
＋a＝2 在(0，＋∞)上有解，a＝2－1
x
在(0，＋∞)上
有解，因为 x>0，所以 2－1
x<2，所以 a 的取值范围是(－∞，2)．
[答案] (－∞，2)
[解题技法]
1．利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的
不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
[题组训练]
1.曲线 y＝ex 在点 A 处的切线与直线 x－y＋3＝0 平行，则点 A 的坐标为( )
A．(－1，e－1) B．(0,1)
C．(1，e) D．(0,2)
解析：选 B ∵y′＝ex，令 ex＝1，得 x＝0.当 x＝0 时，y＝1，∴点 A 的坐标为(0,1)．
2.设曲线 y＝a(x－1)－ln x 在点(1,0)处的切线方程为 y＝2x－2，则 a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选 D ∵y＝a(x－1)－ln x，
∴y′＝a－1
x
，
∴y′|x＝1＝a－1.
又∵曲线在点(1,0)处的切线方程为 y＝2x－2，
∴a－1＝2，解得 a＝3.
3.已知函数 f(x)＝xln x，若直线 l 过点(0，－1)，并且与曲线 y＝f(x)相切，则直线 l 的方
程为( )
A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
解析：选 B 因为点(0，－1)不在曲线 y＝f(x)上，所以设切点坐标为(x0，y0)．又因为 f′(x)
＝1＋ln x，所以 y0＝x0ln x0，
y0＋1＝1＋ln x0x0，
解得 x0＝1，
y0＝0.
所以切点坐标为(1,0)，所以 f′(1)
＝1＋ln 1＝1，所以直线 l 的方程为 y＝x－1，即 x－y－1＝0.
[课时跟踪检测]
A 级
1．设 f(x)＝xex 的导函数为 f′(x)，则 f′(1)的值为( )
A．e B．e＋1
C．2e D．e＋2
解析：选 C 由题意知 f(x)＝xex，所以 f′(x)＝ex＋xex，所以 f′(1)＝e＋e＝2e.
2．曲线 y＝sin x＋ex 在 x＝0 处的切线方程是( )
A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0
解析：选 C ∵y′＝cos x＋ex，∴当 x＝0 时，y′＝2.又∵当 x＝0 时，y＝1，∴所求
切线方程为 y－1＝2x，即 2x－y＋1＝0.
3．设 f(x)＝x(2 019＋ln x)，若 f′(x0)＝2 020，则 x0 等于( )
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
解析：选 B f′(x)＝2 019＋ln x＋1＝2 020＋ln x，由 f′(x0)＝2 020，得 2 020＋ln x0
＝2 020，则 ln x0＝0，解得 x0＝1.
4．已知函数 f(x)＝aln x＋bx2 的图象在点 P(1,1)处的切线与直线 x－y＋1＝0 垂直，则 a
的值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．－3
解析：选 D 由已知可得 P(1,1)在函数 f(x)的图象上，
所以 f(1)＝1，即 aln 1＋b×12＝1，解得 b＝1，
所以 f(x)＝aln x＋x2，故 f′(x)＝a
x
＋2x.
则函数 f(x)的图象在点 P(1,1)处的切线的斜率 k＝f′(1)＝a＋2，
因为切线与直线 x－y＋1＝0 垂直，
所以 a＋2＝－1，即 a＝－3.
5．(2018·合肥第一次教学质量检测)已知直线 2x－y＋1＝0 与曲线 y＝aex＋x 相切(其中
e 为自然对数的底数)，则实数 a 的值是( )
A.1
2 B．1
C．2 D．e
解析：选 B 由题意知 y′＝aex＋1，令 aex＋1＝2，则 a>0，x＝－ln a，代入曲线方程
得 y＝1－ln a，所以切线方程为 y－(1－ln a)＝2(x＋ln a)，即 y＝2x＋ln a＋1＝2x＋1⇒a＝1.
6．设函数 f(x)＝x3＋ax2，若曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 x＋y＝0，则点
P 的坐标为( )
A．(0,0) B．(1，－1)
C．(－1,1) D．(1，－1)或(－1,1)
解析：选 D 因为 f′(x)＝3x2＋2ax，所以 f′(x0)＝3x20＋2ax0＝－1.又因为切点 P 的坐
标为(x0，－x0)，所以 x30＋ax20＝－x0.联立两式得 3x20＋2ax0＝－1，
x30＋ax20＝－x0，
解得 a＝2，
x0＝－1
或
a＝－2，
x0＝1.
所以点 P 的坐标为(－1,1)或(1，－1)．
7．已知直线 y＝－x＋1 是函数 f(x)＝－1
a·ex 图象的切线，则实数 a＝________.
解析：设切点为(x0，y0)，则 f′(x0)＝－1
a·e 0x ＝－1，
∴e 0x ＝a，又－1
a·e 0x ＝－x0＋1，∴x0＝2，a＝e2.
答案：e2
8．(2019·安徽名校联考)已知函数 f(x)＝2
x
－ax 的图象在点(－1，f(－1))处的切线斜率是
1，则此切线方程是________．
解析：因为 f′(x)＝－2
x2
－a，所以 f′(－1)＝－2－a＝1，所以 a＝－3，所以 f(x)＝2
x
＋
3x，所以 f(－1)＝－5，则所求切线的方程为 y＋5＝x＋1，即 x－y－4＝0.
答案：x－y－4＝0
9．设曲线 y＝1＋cos x
sin x
在点
π
2
，1 处的切线与直线 x－ay＋1＝0 平行，则实数 a＝
________.
解析：因为 y′＝－1－cos x
sin2x
，
所以 y′|
2
x ＝－1，由条件知1
a
＝－1，
所以 a＝－1.
答案：－1
10．若点 P 是曲线 y＝x2－ln x 上任意一点，则点 P 到直线 y＝x－2 的最小距离为
________．
解析：由 y＝x2－ln x，得 y′＝2x－1
x(x＞0)，
设点 P0(x0，y0)是曲线 y＝x2－ln x 上到直线 y＝x－2 的距离最小的点，
则 y′|x＝x0＝2x0－1
x0
＝1，解得 x0＝1 或 x0＝－1
2(舍去)．
∴点 P0 的坐标为(1,1)．
∴所求的最小距离为|1－1－2|
2
＝ 2.
答案： 2
11．求下列函数的导数．
(1)y＝(1－ x) 1＋ 1
x ；
(2)y＝x·tan x；
(3)y＝cos x
ex .
解：(1)∵y＝(1－ x) 1＋ 1
x ＝ 1
x
－ x＝x
1
2 －x
1
2 ，
∴y′＝(x
1
2 )′－(x
1
2 )′＝－1
2x
3
2 －1
2x
1
2 .
(2)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′
＝tan x＋x·
sin x
cos x ′＝tan x＋x·cos2x＋sin2x
cos2x
＝tan x＋ x
cos2x.
(3)y′＝
cos x
ex ′＝cos x′ex－cos xex′
ex2
＝－sin x＋cos x
ex .
12．已知点 M 是曲线 y＝1
3x3－2x2＋3x＋1 上任意一点，曲线在 M 处的切线为 l，求：
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线 l 的倾斜角α的取值范围．
解：(1)∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
∴当 x＝2 时，y′min＝－1，此时 y＝5
3
，
∴斜率最小时的切点为 2，5
3 ，斜率 k＝－1，
∴切线方程为 3x＋3y－11＝0.
(2)由(1)得 k≥－1，∴tan α≥－1，
又∵α∈[0，π)，∴α∈ 0，π
2 ∪
3π
4
，π .
故α的取值范围为 0，π
2 ∪
3π
4
，π .
B 级
1.如图，y＝f(x)是可导函数，直线 l：y＝kx＋2 是曲线 y＝f(x)在 x＝3
处的切线，令 g(x)＝xf(x)，g′(x)是 g(x)的导函数，则 g′(3)＝( )
A．－1 B．0
C．2 D．4
解析：选 B 由题图可知切线过点(0,2)，(3,1)，则曲线 y＝f(x)在 x＝3 处的切线的斜率
为－1
3
，即 f′(3)＝－1
3
，又因为 g(x)＝xf(x)，所以 g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
所以 g′(3)＝1＋3× －1
3 ＝0.
2．已知曲线 f(x)＝x3＋ax＋1
4
在 x＝0 处的切线与曲线 g(x)＝－ln x 相切，则 a 的值为
________．
解析：由 f(x)＝x3＋ax＋1
4
，得 f′(x)＝3x2＋a，f′(0)＝a，f(0)＝1
4
，
∴曲线 y＝f(x)在 x＝0 处的切线方程为 y－1
4
＝ax.
设直线 y－1
4
＝ax 与曲线 g(x)＝－ln x 相切于点(x0，－ln x0)，
g′(x)＝－1
x
，
∴
－ln x0－1
4
＝ax0， ①
a＝－1
x0
. ②
将②代入①得 ln x0＝3
4
，
∴x0＝e
3
4 ，∴a＝－
1
e
3
4 ＝－e
3
4 .
答案：－e
3
4
3．已知函数 f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数 f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求 a，b 的值；
(2)若曲线 y＝f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线，求 a 的取值范围．
解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意，得{f0＝b＝0， f′0＝－aa＋2＝－3，
解得 b＝0，a＝－3 或 a＝1.
(2)因为曲线 y＝f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线，
所以关于 x 的方程 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0 有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，
即 4a2＋4a＋1＞0，
所以 a≠－1
2.
所以 a 的取值范围为 －∞，－1
2 ∪ －1
2
，＋∞
.
第二节 导数与函数的单调性
一、基础知识
函数的单调性与导数的关系
函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
(1)若 f′(x)>0，则 f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数；
(2)若 f′(x)<0，则 f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数；
(3)若恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在区间(a，b)内是常数函数．
讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优
先”原则.
二、常用结论
(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
(2) 可 导 函 数 f(x) 在 (a ， b) 上 是 增 ( 减 ) 函 数 的 充 要 条 件 是 对 ∀ x ∈ (a ， b) ， 都 有
f′(x)≥0(f′(x)≤0)且 f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
考点一 利用导数研究函数的单调性
[典例] 已知函数 f(x)＝ln x＋ 1
ax
－1
a(a∈R 且 a≠0)，讨论函数 f(x)的单调性．
[解] f′(x)＝ax－1
ax2 (x>0)，
①当 a<0 时，f′(x)>0 恒成立，
∴函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当 a>0 时，由 f′(x)＝ax－1
ax2 >0，得 x>1
a
；
由 f′(x)＝ax－1
ax2 <0，得 00 时，函数 f(x)在
1
a
，＋∞ 上单调递增，在 0，1
a 上单调递减．
[解题技法] 讨论函数 f(x)单调性的步骤
(1)确定函数 f(x)的定义域；
(2)求导数 f′(x)，并求方程 f′(x)＝0 的根；
(3)利用 f′(x)＝0 的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论 f′(x)
的正负，由符号确定 f(x)在该区间上的单调性．
[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分
类讨论．
[题组训练]
1．函数 f(x)＝ex－ 1
x＋1
在定义域内为________函数(填“增”或“减”)．
解析：由已知得函数 f(x)的定义域为{x|x≠－1}．
∵f(x)＝ex－ 1
x＋1
，∴f′(x)＝ex＋ 1
x＋12>0.
∴f(x)在定义域内为增函数．
答案：增
2．已知函数 f(x)＝aln x＋x2(a∈R 且 a≠0)，讨论函数 f(x)的单调性．
解：函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)．
因为 f(x)＝aln x＋x2，所以 f′(x)＝a
x
＋2x＝2x2＋a
x
.
①当 a>0 时，f′(x)>0，
所以函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当 a<0 时，令 f′(x)＝0，解得 x＝ －a
2(负值舍去)，
当 0 －a
2
时，f′(x)>0，
所以函数 f(x)在 －a
2
，＋∞ 上单调递增．
综上所述，当 a>0 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当 a<0 时，函数 f(x)在 0， －a
2 上单调递减，在 －a
2
，＋∞ 上单调递增．
考点二 利用导数求函数的单调区间
[典例] (2018·湘东五校联考节选)已知函数 f(x)＝(ln x－k－1)x(k∈R)．当 x>1 时，求 f(x)
的单调区间．
[解] f′(x)＝1
x·x＋ln x－k－1＝ln x－k，
①当 k≤0 时，因为 x>1，所以 f′(x)＝ln x－k>0，
所以函数 f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间．
②当 k>0 时，令 ln x－k＝0，解得 x＝ek，
当 1ek 时，f′(x)>0.
所以函数 f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，＋∞)．
综上所述，当 k≤0 时，函数 f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间；当 k>0
时，函数 f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，＋∞)．
[解题技法] 利用导数求函数单调区间的方法
(1)当导函数不等式可解时，解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 求出单调区间．
(2)当方程 f′(x)＝0 可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区
间，确定各区间 f′(x)的符号，从而确定单调区间．
(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据 f′(x)结构特征，利用图象与性质确定 f′(x)
的符号，从而确定单调区间．
[提醒] 若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，
只能用“，”“和”字隔开．
[题组训练]
1．若幂函数 f(x)的图象过点
2
2
，1
2 ，则函数 g(x)＝exf(x)的单调递减区间为( )
A．(－∞，0) B．(－∞，－2)
C．(－2，－1) D．(－2,0)
解析：选 D 设幂函数 f(x)＝xα，因为图象过点
2
2
，1
2 ，所以1
2
＝
2
2 α，α＝2，所以 f(x)
＝x2，故 g(x)＝exx2，令 g′(x)＝exx2＋2exx＝ex(x2＋2x)<0，得－20)，
则 f′(x)＝x2－4x－5
4x2
，令 f′(x)＝0，
解得 x＝－1 或 x＝5，
因为 x＝－1 不在 f(x)的定义域(0，＋∞)内，所以舍去．
当 x∈(0,5)时，f′(x)<0，故 f(x)在(0,5)内单调递减；
当 x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故 f(x)在(5，＋∞)内单调递增．
故 f(x)的单调递减区间是(0,5)，单调递增区间是(5，＋∞)．
考点三 函数单调性的应用
[典例] 设函数 f(x)＝1
3x3－a
2x2＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y＝1.
(1)求 b，c 的值；
(2)设函数 g(x)＝f(x)＋2x，且 g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数 a 的取
值范围．
[解] (1)f′(x)＝x2－ax＋b，
由题意得 f0＝1，
f′0＝0，
即 c＝1，
b＝0.
(2)由(1)知 f(x)＝1
3x3－a
2x2＋1，
则 g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在 x∈(－2，－1)，
使不等式 g′(x)＝x2－ax＋2<0 成立，
即 x∈(－2，－1)时，a< x＋2
x max＝－2 2，
当且仅当 x＝2
x
，即 x＝－ 2时等号成立．
所以满足要求的 a 的取值范围是(－∞，－2 2)．
[变透练清]
1.[变条件]本例(2)变为：若 g(x)在(－2，－1)内为减函数，其他条件不变，求实数 a 的
取值范围．
解：∵g′(x)＝x2－ax＋2，且 g(x)在(－2，－1)内为减函数，
∴x2－ax＋2≤0 在(－2，－1)内恒成立，
∴ g′－2≤0，
g′－1≤0，
即 4＋2a＋2≤0，
1＋a＋2≤0，
解得 a≤－3.
即实数 a 的取值范围是(－∞，－3]．
2.[变条件]本例(2)变为：若 g(x)的单调递减区间为(－2，－1)，其他条件不变，求实数 a
的值．
解：∵g(x)的单调递减区间为(－2，－1)，
∴x1＝－2，x2＝－1 是 g′(x)＝0 的两个根，
∴(－2)＋(－1)＝a，即 a＝－3.
3.[变条件]本例(2)变为：若 g(x)在(－2，－1)内不单调，其他条件不变，求实数 a 的取
值范围．
解：由 1 知 g(x)在(－2，－1)内为减函数时，实数 a 的取值范围是(－∞，－3]．
若 g(x)在(－2，－1)内为增函数，则 a≥x＋2
x
在(－2，－1)内恒成立，
又∵y＝x＋2
x
在(－2，－ 2)内单调递增，在(－ 2，－1)内单调递减，
∴y＝x＋2
x
的值域为(－3，－2 2)，
∴实数 a 的取值范围是[－2 2，＋∞)，
∴函数 g(x)在(－2，－1)内单调时，a 的取值范围是(－∞，－3]∪[－2 2，＋∞)，
故 g(x)在(－2，－1)上不单调时，实数 a 的取值范围是(－3，－2 2)．
[解题技法]
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)由可导函数 f(x)在 D 上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为 f′(x)≥0(或
f′(x)≤0)对 x∈D 恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．
(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是 f′(x)>0(或 f′(x)<0)在该区间上
存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题．
(3)若已知 f(x)在区间 I 上的单调性，区间 I 中含有参数时，可先求出 f(x)的单调区间，
令 I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．
[课时跟踪检测]
A 级
1．函数 f(x)＝3＋xln x 的单调递减区间是( )
A.
1
e
，e B. 0，1
e
C.
－∞，1
e D.
1
e
，＋∞
解析：选 B 因为函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且 f′(x)＝ln x＋x·1
x
＝ln x＋1，令 f′(x)
＜0，解得 0＜x＜1
e
，
所以 f(x)的单调递减区间是 0，1
e .
2．已知函数 f(x)＝x2(x－m)，m∈R，若 f′(－1)＝－1，则函数 f(x)的单调递增区间是
( )
A.
－4
3
，0
B. 0，4
3
C.
－∞，－4
3 ，(0，＋∞)
D.
－∞，－4
3 ∪(0，＋∞)
解析：选 C ∵f′(x)＝3x2－2mx，
∴f′(－1)＝3＋2m＝－1，解得 m＝－2，
由 f′(x)＝3x2＋4x＞0，解得 x＜－4
3
或 x＞0，
即 f(x)的单调递增区间是 －∞，－4
3 ，(0，＋∞)．
3．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝sin 2x B．f(x)＝xex
C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln x
解析：选 B 对于 A，f(x)＝sin 2x 的单调递增区间是 kπ－π
4
，kπ＋π
4 (k∈Z)；对于 B，f′(x)
＝ex(x＋1)，当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数 f(x)＝xex 在(0，＋∞)上为增函数；对于 C，
f′(x)＝3x2－1，令 f′(x)>0，得 x> 3
3
或 x<－ 3
3
，∴函数 f(x)＝x3－x 在 －∞，－ 3
3 和
3
3
，＋∞ 上单调递增；对于 D，f′(x)＝－1＋1
x
＝－x－1
x
，令 f′(x)>0，得 00 时，f′(x)>0，即 a>0 时，f(x)在 R 上单调递增；
由 f(x)在 R 上单调递增，可得 a≥0.故“a＞0”是“f(x)在 R 上单调递增”的充分不必要条件．
6．(2019·百校联盟联考)若函数 f(x)＝ex(sin x＋a)在区间 －π
2
，π
2 上单调递增，则实数 a
的取值范围是( )
A．[ 2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－ 2，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选 D 由题意知 f′(x)＝ex(sin x＋cos x＋a)≥0 在区间 －π
2
，π
2 上恒成立，即 a≥
－ 2sin x＋π
4 在区间 －π
2
，π
2 上恒成立，∵x＋π
4
∈ －π
4
，3π
4 ，∴sin x＋π
4 ∈ － 2
2
，1 ，∴
－ 2sin x＋π
4 ∈[－ 2，1)，∴a≥1，故选 D.
7．函数 f(x)＝x3－15x2－33x＋6 的单调递减区间为________．
解析：由 f(x)＝x3－15x2－33x＋6，得 f′(x)＝3x2－30x－33，令 f′(x)＜0，即 3(x－11)(x
＋1)＜0，解得－1＜x＜11，所以函数 f(x)的单调递减区间为(－1,11)．
答案：(－1,11)
8．函数 f(x)＝ln x－ x
1＋2x
在定义域内为________函数(填“增”或“减”)．
解析：由已知得 f(x)的定义域为(0，＋∞)．
∵f(x)＝ln x－ x
1＋2x
，
∴f′(x)＝1
x
－1＋2x－2x
1＋2x2
＝4x2＋3x＋1
x1＋2x2 .
∵x>0，∴4x2＋3x＋1>0，x(1＋2x)2>0.
∴当 x>0 时，f′(x)>0.
∴f(x)在(0，＋∞)内为增函数．
答案：增
9．已知函数 f(x)＝x2－5x＋2ln x，则函数 f(x)的单调递增区间是________．
解析：对 f(x)求导可得 f′(x)＝2x－5＋2
x
＝2x2－5x＋2
x
(x>0)．令 f′(x)＝2x2－5x＋2
x
＝
2x－1x－2
x
>0(x>0)，解得 x>2 或 00，则当 x＝1
a
时，f′(x)＝0，
当 01
a
时，f′(x)>0.
故 f(x)在 0，1
a 上单调递减，在
1
a
，＋∞ 上单调递增．
③若 a<0，则当 x＝－ 1
2a
时，f′(x)＝0，
当 0－ 1
2a
时，f′(x)>0.
故 f(x)在 0，－ 1
2a 上单调递减，在 － 1
2a
，＋∞ 上单调递增．
综上所述，当 a＝0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当 a>0 时，f(x)在 0，1
a 上单调递减，在
1
a
，＋∞ 上单调递增；
当 a<0 时，f(x)在 0，－ 1
2a 上单调递减，在 － 1
2a
，＋∞ 上单调递增．
12．已知函数 f(x)＝aln x＋1
2x2＋(a＋1)x＋3.
(1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的单调递减区间；
(2)若函数 f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，求实数 a 的取值范围．
解：(1)当 a＝－1 时，f(x)＝－ln x＋1
2x2＋3，定义域为(0，＋∞)，
则 f′(x)＝－1
x
＋x＝x2－1
x
.
由 f′x＜0，
x＞0，
得 0＜x＜1.
所以函数 f(x)的单调递减区间为(0,1)．
(2)法一：因为函数 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以 f′(x)＝a
x
＋x＋a＋1≥0 在(0，＋∞)上恒成立，
所以 x2＋(a＋1)x＋a≥0，即(x＋1)(x＋a)≥0 在(0，＋∞)上恒成立．
因为 x＋1＞0，所以 x＋a≥0 对 x∈(0，＋∞)恒成立，
所以 a≥0，故实数 a 的取值范围是[0，＋∞)．
法二：因为函数 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以 f′(x)＝a
x
＋x＋a＋1≥0 在(0，＋∞)上恒成立，
即 x2＋(a＋1)x＋a≥0 在(0，＋∞)上恒成立．
令 g(x)＝x2＋(a＋1)x＋a，
因为Δ＝(a＋1)2－4a≥0 恒成立，
所以
－a＋1
2
≤0，
g0≥0，
即 a≥0，
所以实数 a 的取值范围是[0，＋∞)．
B 级
1．(2018·广东一模)已知函数 y＝fx
ex
在其定义域上单调递减，则函数 f(x)的图象可能是
( )
解析：选 A ∵函数 y＝fx
ex
在其定义域上单调递减，
∴
fx
ex ′＝f′x－fx
ex
≤0 在定义域上恒成立，且不恒为 0，即 f(x)≥f′(x)恒成立．结
合图象知 A 正确．
2．(2018·南昌摸底)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，设函数 f(x)的导函数为 f′(x)，
若对任意 x>0 都有 2f(x)＋xf′(x)>0 成立，则( )
A．4f(－2)<9f(3) B．4f(－2)>9f(3)
C．2f(3)>3f(－2) D．3f(－3)<2f(－2)
解析：选 A 设 g(x)＝x2f(x)⇒g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]，则当 x>0
时，g′(x)>0，所以 g(x)在(0，＋∞)上是增函数，易得 g(x)是偶函数，则 4f(－2)＝g(－2)＝
g(2)0，
即 f(x)在 R 上单调递增；
若 a>0，令 ex－a≥0，解得 x≥ln a.
即 f(x)在[ln a，＋∞)上单调递增，
因此当 a≤0 时，f(x)的单调递增区间为 R，
当 a>0 时，f(x)的单调递增区间是[ln a，＋∞)．
(2)存在实数 a 满足条件．
因为 f′(x)＝ex－a≤0 在(－2,3)上恒成立，
所以 a≥ex 在(－2,3)上恒成立．
又因为－21，则当 x∈
1
a
，1 时，f′(x)<0；
当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.
所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值．
若 a≤1，则当 x∈(0,1)时，ax－1≤x－1<0，
所以 f′(x)>0.
所以 1 不是 f(x)的极小值点．
综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．
[解题技法]
已知函数极值点或极值求参数的 2 个要领
列式 根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解
验证
因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须
验证根的合理性
[题组训练]
1．设函数 f(x)＝2
x
＋ln x，则( )
A．x＝1
2
为 f(x)的极大值点 B．x＝1
2
为 f(x)的极小值点
C．x＝2 为 f(x)的极大值点 D．x＝2 为 f(x)的极小值点
解析：选 D ∵f(x)＝2
x
＋ln x(x>0)，
∴f′(x)＝－2
x2
＋1
x
，令 f′(x)＝0，则 x＝2.
当 02 时，f′(x)>0.
所以 x＝2 为 f(x)的极小值点．
2．(2019·广州高中综合测试)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2 在 x＝1 处的极值为 10，则
数对(a，b)为( )
A．(－3,3) B．(－11,4)
C．(4，－11) D．(－3,3)或(4，－11)
解析：选 C f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意可得 f′1＝0，
f1＝10，
即 3＋2a＋b＝0，
1＋a＋b＋a2＝10，
消去b可得a2－a－12＝0，解得a＝－3或a＝4，故 a＝－3，
b＝3
或 a＝4，
b＝－11.
当 a＝－3，
b＝3
时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，这时 f(x)无极值，不合题意，舍去，故选 C.
3．设函数 f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a>0)．
(1)当 a＝1，且函数 f(x)的图象过点(0,1)时，求函数 f(x)的极小值；
(2)若 f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求 a 的取值范围．
解：f′(x)＝3ax2－4x＋1.
(1)函数 f(x)的图象过点(0,1)时，有 f(0)＝c＝1.
当 a＝1 时，f(x)＝x3－2x2＋x＋1，f′(x)＝3x2－4x＋1，
由 f′(x)>0，解得 x<1
3
或 x>1；
由 f′(x)<0，解得1
30，所以 f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0 在(－∞，＋∞)上恒成立，
则有Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0，即 16－12a≤0，解得 a≥4
3.
故 a 的取值范围为
4
3
，＋∞
.
考点二 利用导数解决函数的最值问题
[典例] (2017·北京高考)已知函数 f(x)＝excos x－x.
(1)求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数 f(x)在区间 0，π
2 上的最大值和最小值．
[解] (1)因为 f(x)＝excos x－x，
所以 f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.
又因为 f(0)＝1，
所以曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y＝1.
(2)设 h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
则 h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x.
当 x∈ 0，π
2 时，h′(x)＜0，
所以 h(x)在区间 0，π
2 上单调递减．
所以对任意 x∈ 0，π
2 ，有 h(x)＜h(0)＝0，
即 f′(x)＜0.
所以函数 f(x)在区间 0，π
2 上单调递减．
因此 f(x)在区间 0，π
2 上的最大值为 f(0)＝1，
最小值为 f
π
2 ＝－π
2.
[解题技法]
导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤
(1)求函数 f(x)的导数 f′(x)；
(2)求 f(x)在给定区间上的单调性和极值；
(3)求 f(x)在给定区间上的端点值；
(4)将 f(x)的各极值与 f(x)的端点值进行比较，确定 f(x)的最大值与最小值；
(5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．
[题组训练]
1.(2018·珠海摸底)如图，将一张 16 cm×10 cm 的长方形纸片剪下四个全等
的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸
盒的最大容积是________ cm3.
解析：设剪下的四个小正方形的边长为 x cm，则经过折叠以后，糊成的长方体纸盒是
一个底面是长为(16－2x) cm，宽为(10－2x) cm 的长方形，其面积为(16－2x)(10－2x)cm2，
长方体纸盒的高为 x cm，则体积 V＝(16－2x)(10－2x)×x＝4x3－52x2＋160x(00，得 00，试判断 f(x)在定义域内的单调性；
(2)若 f(x)在[1，e]上的最小值为3
2
，求实数 a 的值．
解：(1)由题意得 f(x)的定义域是(0，＋∞)，且 f′(x)＝x＋a
x2
，
因为 a>0，所以 f′(x)>0，
故 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)可得 f′(x)＝x＋a
x2
，
因为 x∈[1，e]，
①若 a≥－1，则 x＋a≥0，即 f′(x)≥0 在[1，e]上恒成立，
此时 f(x)在[1，e]上单调递增，
所以 f(x)min＝f(1)＝－a＝3
2
，
所以 a＝－3
2(舍去)．
②若 a≤－e，则 x＋a≤0，即 f′(x)≤0 在[1，e]上恒成立，
此时 f(x)在[1，e]上单调递减，
所以 f(x)min＝f(e)＝1－a
e
＝3
2
，
所以 a＝－e
2(舍去)．
③若－e0，
所以 f(x)在(－a，e)上单调递增，
所以 f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝3
2
，所以 a＝－ e.
综上，a＝－ e.
[课时跟踪检测]
A 级
1．(2019·辽宁鞍山一中模拟)已知函数 f(x)＝x3－3x－1，在区间[－3,2]上的最大值为 M，
最小值为 N，则 M－N＝( )
A．20 B．18
C．3 D．0
解析：选 A ∵f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，∴f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调
递增，在(－1,1)上单调递减，又∵f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，∴M＝1，
N＝－19，M－N＝1－(－19)＝20.
2．(2018·梅州期末)函数 y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )
A．(－1,3)为函数 y＝f(x)的单调递增区间
B．(3,5)为函数 y＝f(x)的单调递减区间
C．函数 y＝f(x)在 x＝0 处取得极大值
D．函数 y＝f(x)在 x＝5 处取得极小值
解析：选 C 由函数 y＝f(x)的导函数的图象可知，当 x<－1 或 35 或－10，y＝f(x)单调递增．所以函数 y＝f(x)的单调
递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数 y＝f(x)在 x＝－1,5
处取得极小值，在 x＝3 处取得极大值，故选项 C 错误．
3．(2019·湖北襄阳四校联考)函数 f(x)＝1
2x2＋xln x－3x 的极值点一定在区间( )
A．(0,1)内 B．(1,2)内
C．(2,3)内 D．(3,4)内
解析：选 B 函数的极值点即导函数的零点，f′(x)＝x＋ln x＋1－3＝x＋ln x－2，则 f′(1)
＝－1<0，f′(2)＝ln 2>0，由零点存在性定理得 f′(x)的零点在(1,2)内，故选 B.
4．已知函数 f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若 f(x)在区间[k,2]上的最大值为 28，则实数 k 的取
值范围为( )
A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞)
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]
解析：选 D 由题意知 f′(x)＝3x2＋6x－9，令 f′(x)＝0，解得 x＝1 或 x＝－3，所以 f′(x)，
f(x)随 x 的变化情况如下表：
x (－∞，－3) －3 (－3,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 极大值 极小值
又 f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k,2]上的最大值为 28，所以 k≤－3.
5．(2019·皖南八校联考)已知函数 f(x)＝－1
3x3＋bx2＋cx＋bc 在 x＝1 处有极值－4
3
，则 b
＝( )
A．－1 B．1
C．1 或－1 D．－1 或 3
解析：选 A f′(x)＝－x2＋2bx＋c，因为 f(x)在 x＝1 处有极值－4
3
，
所以
f′1＝－1＋2b＋c＝0，
f1＝－1
3
＋b＋c＋bc＝－4
3
，
Δ＝4b2＋4c>0，
解得 b＝－1，
c＝3，
故选 A.
6．设直线 x＝t 与函数 h(x)＝x2，g(x)＝ln x 的图象分别交于点 M，N，则当|MN|最小时
t 的值为( )
A．1 B.1
2
C. 5
2 D. 2
2
解析：选 D 由已知条件可得|MN|＝t2－ln t，
设 f(t)＝t2－ln t(t>0)，则 f′(t)＝2t－1
t
，
令 f′(t)＝0，得 t＝ 2
2
，
当 01；
令 f′(x)>0，得－20)，
则获得最大利润时的年产量为________百万件．
解析：y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，
当 00；当 x>3 时，y′<0.
故当 x＝3 时，该商品的年利润最大．
答案：3
10．已知函数 f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c 在 x＝2 处有极值，其图象在 x＝1 处的切线平行
于直线 6x＋2y＋5＝0，则 f(x)的极大值与极小值之差为________．
解析：因为 f′(x)＝3x2＋6ax＋3b，
所以 f′2＝3×22＋6a×2＋3b＝0，
f′1＝3×12＋6a＋3b＝－3
⇒ a＝－1，
b＝0.
所以 y′＝3x2－6x，令 3x2－6x＝0，得 x＝0 或 x＝2.
当 x<0 或 x>2 时，y′>0；当 00，得 f(x)在(0，e)上是增函数；
当 x>e 时，有 f′(x)<0，得 f(x)在(e，＋∞)上是减函数．
故 f(x)在 x＝e 处取得最大值 f(e)＝1
e.
12．已知函数 f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)当 a＝1
2
时，求 f(x)的极值；
(2)讨论函数 f(x)在定义域内极值点的个数．
解：(1)当 a＝1
2
时，f(x)＝ln x－1
2x，函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1
x
－1
2
＝2－x
2x
.
令 f′(x)＝0，得 x＝2，
于是当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ln 2－1
故 f(x)在定义域上的极大值为 f(2)＝ln 2－1，无极小值．
(2)由(1)知，函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1
x
－a＝1－ax
x
(x>0)．
当 a≤0 时，f′(x)>0 在(0，＋∞)上恒成立，
即函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时函数 f(x)在定义域上无极值点；
当 a>0 时，令 f′(x)＝0，得 x＝1
a.
当 x∈ 0，1
a 时，f′(x)>0，
当 x∈
1
a
，＋∞ 时，f′(x)<0，
故函数 f(x)在 x＝1
a
处有极大值．
综上所述，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值点；
当 a>0 时，函数 f(x)有一个极大值点．
B 级
1．已知函数 f(x)＝x3－3ax＋b 的单调递减区间为(－1,1)，其极小值为 2，则 f(x)的极大
值是________．
解析：因为 f(x)的单调递减区间为(－1,1)，所以 a>0.
由 f′(x)＝3x2－3a＝3(x－ a)(x＋ a)，可得 a＝1，
由 f(x)＝x3－3x＋b 在 x＝1 处取得极小值 2，
可得 1－3＋b＝2，故 b＝4.
所以 f(x)＝x3－3x＋4 的极大值为 f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋4＝6.
答案：6
2．(2019·“超级全能生”高考全国卷 26 省联考)已知函数 f(x)＝t
3x3－3
2x2＋2x＋t 在区间
(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，则 t 的取值范围是________．
解析：f′(x)＝tx2－3x＋2，由题意可得 f′(x)＝0 在(0，＋∞)上有两个不等实根，即 tx2
－3x＋2＝0 在(0，＋∞)有两个不等实根，所以
t≠0，
3
t>0，
2
t>0，
Δ＝9－8t>0，
解得 00)．
(1)求函数 f(x)的单调区间和极值；
(2)是否存在实数 a，使得函数 f(x)在[1，e]上的最小值为 0？若存在，求出 a 的值；若
不存在，请说明理由．
解：由题意，知函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝a
x
－1
x2
＝ax－1
x2 (a>0)．
(1)由 f′(x)>0，解得 x>1
a
，
所以函数 f(x)的单调递增区间是
1
a
，＋∞ ；
由 f′(x)<0，解得 01 时，求证：f(x)>3(x－1)．
[解] (1)因为 f(x)＝ax＋xln x，
所以 f′(x)＝a＋ln x＋1，
因为函数 f(x)在 x＝e－2 处取得极小值，
所以 f′(e－2)＝0，即 a＋ln e－2＋1＝0，
所以 a＝1，所以 f′(x)＝ln x＋2.
当 f′(x)>0 时，x>e－2；当 f′(x)<0 时，00)．
g′(x)＝ln x－1，由 g′(x)＝0，得 x＝e.
由 g′(x)>0，得 x>e；由 g′(x)<0，得 00.
于是在(1，＋∞)上，都有 g(x)≥g(e)>0，所以 f(x)>3(x－1)．
[解题技法]
(1)欲证函数不等式 f(x)>g(x)(x>a)，只需证明 f(x)－g(x)>0(x>a)，设 h(x)＝f(x)－g(x)，即
证 h(x)>0(x>a)．若 h(a)＝0，h(x)>h(a)(x>a)．接下来往往用导数证得函数 h(x)是增函数即可．
(2)欲证函数不等式 f(x)>g(x)(x∈I，I 是区间)，只需证明 f(x)－g(x)>0(x∈I)．
设 h(x)＝f(x)－g(x)(x∈I)，即证 h(x)>0(x∈I)，也即证 h(x)min>0(x∈I)(若 h(x)min 不存在，
则须求函数 h(x)的下确界)，而这用导数往往容易解决．
[对点训练]
(2019·广州模拟)已知函数 f(x)＝ex－ax(e 为自然对数的底数，a 为常数)的图象在点(0,1)
处的切线斜率为－1.
(1)求 a 的值及函数 f(x)的极值；
(2)证明：当 x>0 时，x2ln 2 时，f′(x)>0，f(x)在(ln 2，＋∞)上单调递增．
所以当 x＝ln 2 时，f(x)取得极小值，且极小值为 f(ln 2)
＝eln 2－2ln 2＝2－2ln 2，f(x)无极大值．
(2)证明：令 g(x)＝ex－x2，则 g′(x)＝ex－2x.
由(1)得 g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)>0，
故 g(x)在 R 上单调递增．
所以当 x>0 时，g(x)>g(0)＝1>0，即 x21
2x.
[解] (1)f′(x)＝2ax－ln x－1－1
x
，
由题意，可得 f′(1)＝2a－2＝0，所以 a＝1.
(2)证明：由(1)得 f(x)＝x2－(x＋1)ln x，
要证当 01
2x，
只需证当 01
2
，即 x－ln x>ln x
x
＋1
2.
令 g(x)＝x－ln x，h(x)＝ln x
x
＋1
2
，
令 g′(x)＝1－1
x
＝0，得 x＝1，
易知 g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，
故当 00，所以 h(x)在(0,2]上单调递增，故当 01
2x.
[解题技法]
对于一些不等式可转化为 f(x)≥g(x)的形式，证明 f(x)min≥g(x)max 即可，在转化中，一定
要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准．
[对点训练]
(2018·福建高三期末)已知函数 f(x)＝eln x－ax(a∈R)．
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)当 a＝e 时，求证：xf(x)－ex＋2ex≤0.
解：(1)f′(x)＝e
x
－a(x>0)，
①若 a≤0，则 f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②若 a>0，令 f′(x)＝0，得 x＝e
a
，
则当 00；当 x>e
a
时，f′(x)<0，
故 f(x)在 0，e
a 上单调递增，在
e
a
，＋∞ 上单调递减．
(2)证明：因为 x>0，所以只需证 f(x)≤ex
x
－2e，
当 a＝e 时，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以 f(x)max＝f(1)
＝－e.
记 g(x)＝ex
x
－2e(x>0)，则 g′(x)＝x－1ex
x2
，
当 01 时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以 g(x)min＝g(1)＝－e.
综上，当 x>0 时，f(x)≤g(x)，即 f(x)≤ex
x
－2e，即 xf(x)－ex＋2ex≤0.
考点三 换元法构造函数证明不等式
[典例] 已知函数 f(x)＝ln x－ax(x>0)，a 为常数，若函数 f(x)有两个零点 x1，x2(x1≠x2)．求
证：x1x2>e2.
[证明] 不妨设 x1>x2>0，
因为 ln x1－ax1＝0，ln x2－ax2＝0，
所以 ln x1＋ln x2＝a(x1＋x2)，ln x1－ln x2＝a(x1－x2)，所以ln x1－ln x2
x1－x2
＝a，
欲证 x1x2>e2，即证 ln x1＋ln x2>2.
因为 ln x1＋ln x2＝a(x1＋x2)，
所以即证 a> 2
x1＋x2
，
所以原问题等价于证明ln x1－ln x2
x1－x2
> 2
x1＋x2
，
即 ln x1
x2
>2x1－x2
x1＋x2
，
令 c＝x1
x2
(c>1)，则不等式变为 ln c>2c－1
c＋1
.
令 h(c)＝ln c－2c－1
c＋1
，c>1，
所以 h′(c)＝1
c
－ 4
c＋12
＝ c－12
cc＋12>0，
所以 h(c)在(1，＋∞)上单调递增，
所以 h(c)>h(1)＝ln 1－0＝0，
即 ln c－2c－1
c＋1
>0(c>1)，
因此原不等式 x1x2>e2 得证．
[对点训练]
已知函数 f(x)＝ln x－1
2ax2＋x，a∈R.
(1)当 a＝0 时，求函数 f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若 a＝－2，正实数 x1，x2 满足 f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，求证：x1＋x2≥ 5－1
2 .
解：(1)当 a＝0 时，f(x)＝ln x＋x，则 f(1)＝1，所以切点为(1,1)，又因为 f ′(x)＝1
x
＋1，
所以切线斜率 k＝f′(1) ＝2，
故切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 2x－y－1＝0.
(2)证明：当 a＝－2 时，f(x)＝ln x＋x2＋x(x>0)．
由 f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，
得 ln x1＋x21＋x1＋ln x2＋x22＋x2＋x1x2＝0，
从而(x1＋x2)2＋(x1＋x2)＝x1x2－ln(x1x2)，
令 t＝x1x2(t>0)，令φ(t)＝t－ln t，
得φ′(t)＝1－1
t
＝t－1
t
，
易知φ(t)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以φ(t)≥φ(1)＝1，所
以(x1＋x2)2＋(x1＋x2)≥1，
因为 x1>0，x2>0，所以 x1＋x2≥ 5－1
2
成立．
[课时跟踪检测]
1．设函数 f(x)＝ln x－x＋1.
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)求证：当 x∈(1，＋∞)时，10)．
由 f′(x)>0，解得 01.
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
(2)证明：要证当 x∈(1，＋∞)时，10，F(x)单调递增．
∴F(x)>F(1)＝0，即有 xln x>x－1.
∴原不等式成立．
2．(2019·武汉调研)已知函数 f(x)＝ln x＋a
x
，a∈R.
(1)讨论函数 f(x)的单调性；
(2)当 a>0 时，求证：f(x)≥2a－1
a
.
解：(1)f′(x)＝1
x
－a
x2
＝x－a
x2 (x>0)．
①当 a≤0 时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当 a>0 时，若 x>a，则 f′(x)>0，函数 f(x)在(a，＋∞)上单调递增；
若 00 时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
(2)证明：由(1)知，当 a>0 时，f(x)min＝f(a)＝ln a＋1.
要证 f(x)≥2a－1
a
，只需证 ln a＋1≥2a－1
a
.
即证 ln a＋1
a
－1≥0.
令函数 g(a)＝ln a＋1
a
－1(a>0)，则 g′(a)＝1
a
－ 1
a2
＝a－1
a2
，
当 01 时，g′(a)>0，
所以 g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以 g(a)min＝g(1)＝0.
所以 ln a＋1
a
－1≥0 恒成立，
所以 f(x)≥2a－1
a
成立．
3．已知 f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)若对一切 x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围．
(2)求证：对一切 x∈(0，＋∞)，ln x＞1
ex
－ 2
ex
恒成立．
解：(1)由题意知 2xln x≥－x2＋ax－3 对一切 x∈(0，＋∞)恒成立，
则 a≤2ln x＋x＋3
x.
设 h(x)＝2ln x＋x＋3
x(x＞0)，
则 h′(x)＝x＋3x－1
x2 .
当 x∈(0,1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；
当 x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．
所以 h(x)min＝h(1)＝4，
因为对一切 x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，
所以 a≤h(x)min＝4，故实数 a 的取值范围是(－∞，4]．
(2)证明：问题等价于证明 xln x＞x
ex
－2
e(x＞0)．
因为 f(x)＝xln x(x＞0)，f′(x)＝ln x＋1，
当 x∈ 0，1
e 时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当 x∈
1
e
，＋∞ 时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
所以 f(x)min＝f
1
e ＝－1
e.
设 m(x)＝x
ex
－2
e(x＞0)，
则 m′(x)＝1－x
ex
，
当 x∈(0,1)时，m′(x)＞0，m(x)单调递增；
当 x∈(1，＋∞)时，m′(x)＜0，m(x)单调递减，
所以 m(x)max＝m(1)＝－1
e
，
从而对一切 x∈(0，＋∞)，f(x)＞m(x)恒成立，
即 xln x＞x
ex
－2
e
恒成立．
所以对一切 x∈(0，＋∞)，ln x＞1
ex
－ 2
ex
恒成立．
4．(2018·黄冈模拟)已知函数 f(x)＝λln x－e－x(λ∈R)．
(1)若函数 f(x)是单调函数，求λ的取值范围；
(2)求证：当 01－x2
x1
.
解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∵f(x)＝λln x－e－x，
∴f′(x)＝λ
x
＋e－x＝λ＋xe－x
x
，
∵函数 f(x)是单调函数，
∴f′(x)≤0 或 f′(x)≥0 在(0，＋∞)上恒成立，
①当函数 f(x)是单调递减函数时，f′(x)≤0，
∴λ＋xe－x
x
≤0，即λ＋xe－x≤0，λ≤－xe－x＝－ x
ex.
令φ(x)＝－x
ex
，则φ′(x)＝x－1
ex
，
当 01 时，φ′(x)>0，
则φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴当 x>0 时，φ(x)min＝φ(1)＝－1
e
，∴λ≤－1
e.
②当函数 f(x)是单调递增函数时，f′(x)≥0，
∴λ＋xe－x
x
≥0，即λ＋xe－x≥0，λ≥－xe－x＝－ x
ex
，
由①得φ(x)＝－x
ex
在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
又φ(0)＝0，x―→＋∞时，φ(x)<0，∴λ≥0.
综上，λ的取值范围为 －∞，－1
e ∪[0，＋∞).
(2)证明：由(1)可知，当λ＝－1
e
时，f(x)＝－1
eln x－e－x 在(0，＋∞)上单调递减，
∵0f(x2)，
即－1
eln x1－e－x1>－1
eln x2－e－x2，
∴e1－x2－e1－x1>ln x1－ln x2.
要证 e1－x2－e1－x1>1－x2
x1
，
只需证 ln x1－ln x2>1－x2
x1
，即证 ln x1
x2
>1－x2
x1
.
令 t＝x1
x2
，t∈(0,1)，则只需证 ln t>1－1
t
，
令 h(t)＝ln t＋1
t
－1，则 h′(t)＝1
t
－1
t2
＝t－1
t2
，
当 00，即 ln t>1－1
t
，原不等式得证．
第五节 利用导数研究不等式恒成立问题
考点一 分离参数法解决不等式恒成立问题
[典例] (2019·石家庄质量检测)已知函数 f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)．
(1)若 a＝1，求函数 f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当 x>0 时，函数 f(x)≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
[解] (1)若 a＝1，则 f(x)＝xex－2(2x－1)．
即 f′(x)＝xex＋ex－4，则 f′(0)＝－3，f(0)＝2，
所以所求切线方程为 3x＋y－2＝0.
(2)由 f(1)≥0，得 a≥ 1
e－1>0，
则 f(x)≥0 对任意的 x>0 恒成立可转化为 a
a＋1
≥2x－1
xex
对任意的 x>0 恒成立．
设函数 F(x)＝2x－1
xex (x>0)，
则 F′(x)＝－2x＋1x－1
x2ex .
当 00；当 x>1 时，F′(x)<0，
所以函数 F(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以 F(x)max＝F(1)＝1
e.
于是 a
a＋1
≥1
e
，解得 a≥ 1
e－1
.
故实数 a 的取值范围是
1
e－1
，＋∞
.
[对点训练]
已知函数 f(x)＝x
ex
，且对任意的 x∈(0,2)，都有 f(x)< 1
k＋2x－x2
成立，求 k 的取值范围．
解：由题意知 f(x)＝x
ex< 1
k＋2x－x2
对任意的 x∈(0,2)都成立，由x
ex>0，知 k＋2x－x2>0，
即 k>x2－2x 对任意的 x∈(0,2)都成立，从而 k≥0，
故不等式可转化为 k0，
所以函数 h(x)在[0，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增，
所以 h(x)min＝h(－a)，
又因为 h(－a)0；
当 x∈(－1＋ 2，＋∞)时，f′(x)<0.
所以 f(x)在(－∞，－1－ 2)，(－1＋ 2，＋∞)上单调递减，在(－1－ 2，－1＋ 2)上
单调递增．
(2)令 g(x)＝f(x)－ax－1＝(1－x2)ex－(ax＋1)，
令 x＝0，可得 g(0)＝0.
g′(x)＝(1－x2－2x)ex－a，
令 h(x)＝(1－x2－2x)ex－a，则 h′(x)＝－(x2＋4x＋1)ex，
当 x≥0 时，h′(x)<0，h(x)在[0，＋∞)上单调递减，
故 h(x)≤h(0)＝1－a，即 g′(x)≤1－a，
要使 f(x)－ax－1≤0 在 x≥0 时恒成立，需要 1－a≤0，
即 a≥1，此时 g(x)≤g(0)＝0，故 a≥1.
综上所述，实数 a 的取值范围是[1，＋∞)．
[课时跟踪检测]
1．(2019·西安质检)已知函数 f(x)＝ln x，g(x)＝x－1.
(1)求函数 y＝f(x)的图象在 x＝1 处的切线方程；
(2)若不等式 f(x)≤ag(x)对任意的 x∈(1，＋∞)均成立，求实数 a 的取值范围．
解：(1)∵f′(x)＝1
x
，∴f′(1)＝1.
又∵f(1)＝0，
∴所求切线的方程为 y－f(1)＝f′(1)(x－1)，
即为 x－y－1＝0.
(2)易知对任意的 x∈(1，＋∞)，f(x)>0，g(x)>0.
①当 a≥1 时，f(x)0，ag(x)≤0，不满足不等式 f(x)≤ag(x)；
③当 01)，
令φ′(x)＝0，得 x＝1
a
，
当 x 变化时，φ′(x)，φ(x)的变化情况如下表：
x 1，1
a
1
a
1
a
，＋∞
φ′(x) ＋ 0 －
φ(x) 极大值
∴φ(x)max＝φ
1
a >φ(1)＝0，不满足不等式．
综上所述，实数 a 的取值范围为[1，＋∞)．
2．已知函数 f(x)＝2a－x2
ex (a∈R)．
(1)求函数 f(x)的单调区间；
(2)若∀x∈[1，＋∞)，不等式 f(x)>－1 恒成立，求实数 a 的取值范围．
解：(1)f′(x)＝x2－2x－2a
ex
，
当 a≤－1
2
时，x2－2x－2a≥0，f′(x)≥0，
∴函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
当 a>－1
2
时，令 x2－2x－2a＝0，
解得 x1＝1－ 2a＋1，x2＝1＋ 2a＋1.
∴函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，1－ 2a＋1)和(1＋ 2a＋1，＋∞)，单调递减区间
为(1－ 2a＋1，1＋ 2a＋1)．
(2)f(x)>－1⇔2a－x2
ex >－1⇔2a>x2－ex，
由条件知，2a>x2－ex 对∀x≥1 恒成立．
令 g(x)＝x2－ex，h(x)＝g′(x)＝2x－ex，∴h′(x)＝2－ex.
当 x∈[1，＋∞)时，h′(x)＝2－ex≤2－e<0，
∴h(x)＝g′(x)＝2x－ex 在[1，＋∞)上单调递减，
∴h(x)＝2x－ex≤2－e<0，即 g′(x)<0，
∴g(x)＝x2－ex 在[1，＋∞)上单调递减，
∴g(x)＝x2－ex≤g(1)＝1－e，
故若 f(x)>－1 在[1，＋∞)上恒成立，
则需 2a>g(x)max＝1－e，
∴a>1－e
2
，即实数 a 的取值范围是
1－e
2
，＋∞
.
3．设 f(x)＝xex，g(x)＝1
2x2＋x.
(1)令 F(x)＝f(x)＋g(x)，求 F(x)的最小值；
(2)若任意 x1，x2∈[－1，＋∞)，且 x1>x2，有 m[f(x1)－f(x2)]>g(x1)－g(x2)恒成立，求
实数 m 的取值范围．
解：(1)∵F(x)＝f(x)＋g(x)＝xex＋1
2x2＋x，
∴F′(x)＝(x＋1)(ex＋1)，
令 F′(x)>0，解得 x>－1，令 F′(x)<0，解得 x<－1，
∴F(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增．
故 F(x)min＝F(－1)＝－1
2
－1
e.
(2)∵任意 x1，x2∈[－1，＋∞)，且 x1>x2，有 m[f(x1)－f(x2)]>g(x1)－g(x2)恒成立，
∴mf(x1)－g(x1)>mf(x2)－g(x2)恒成立．
令 h(x)＝mf(x)－g(x)＝mxex－1
2x2－x，x∈[－1，＋∞)，
即只需 h(x)在[－1，＋∞)上单调递增即可．
故 h′(x)＝(x＋1)(mex－1)≥0 在[－1，＋∞)上恒成立，
故 m≥1
ex
，而1
ex
≤e，故 m≥e，
即实数 m 的取值范围是[e，＋∞)．
4．(2018·开封高三定位考试)已知函数 f(x)＝ax＋x2－xln a(a>0，a≠1)．
(1)求函数 f(x)的极小值；
(2)若存在 x1，x2∈[－1,1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1(e 是自然对数的底数)，求实数 a 的
取值范围．
解：(1)f′(x)＝axln a＋2x－ln a＝2x＋(ax－1)ln a.
∵当 a>1 时，ln a>0，函数 y＝(ax－1)ln a 在 R 上是增函数，
当 01 或 00 的解集为(0，＋∞)，f′(x)<0 的解集为(－∞，0)，故函数 f(x)
的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)，
∴函数 f(x)在 x＝0 处取得极小值 1.
(2)∵存在 x1，x2∈[－1,1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，
∴只需 f(x)max－f(x)min≥e－1 即可．
由(1)可知，当 x∈[－1,1]时，f(x)在[－1,0]上是减函数，在(0,1]上是增函数，
∴当 x∈[－1,1]时，f(x)min＝f(0)＝1，f(x)max 为 f(－1)和 f(1)中的较大者．
f(1)－f(－1)＝(a＋1－ln a)－
1
a
＋1＋ln a ＝a－1
a
－2ln a，
令 g(a)＝a－1
a
－2ln a(a>0)，
∵g′(a)＝1＋ 1
a2
－2
a
＝ 1－1
a 2>0，
∴g(a)＝a－1
a
－2ln a 在(0，＋∞)上是增函数．
而 g(1)＝0，故当 a>1 时，g(a)>0，即 f(1)>f(－1)；
当 01 时，f(1)－f(0)≥e－1，即 a－ln a≥e－1.
由函数 y＝a－ln a 在(1，＋∞)上是增函数，解得 a≥e；
当 00；
当 x∈(3－2 3，3＋2 3)时，f′(x)<0.
故 f(x)的单调递增区间为(－∞，3－2 3)，(3＋2 3，＋∞)，单调递减区间为(3－2 3，
3＋2 3)．
(2)证明：因为 x2＋x＋1>0，
所以 f(x)＝0 等价于 x3
x2＋x＋1
－3a＝0.
设 g(x)＝ x3
x2＋x＋1
－3a，
则 g′(x)＝x2x2＋2x＋3
x2＋x＋12
≥0，
仅当 x＝0 时，g′(x)＝0，
所以 g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
故 g(x)至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点．
又 f(3a－1)＝－6a2＋2a－1
3
＝－6 a－1
6 2－1
6<0，f(3a＋1)＝1
3>0，
故 f(x)有一个零点．
综上，f(x)只有一个零点．
[对点训练]
设函数 f(x)＝ln x＋m
x
，m∈R.
(1)当 m＝e(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值；
(2)讨论函数 g(x)＝f′(x)－x
3
零点的个数．
解：(1)由题意知，当 m＝e 时，f(x)＝ln x＋e
x(x>0)，
则 f′(x)＝x－e
x2
，
∴当 x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；
当 x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，
∴当 x＝e 时，f(x)取得极小值 f(e)＝ln e＋e
e
＝2，
∴f(x)的极小值为 2.
(2)由题意知 g(x)＝f′(x)－x
3
＝1
x
－m
x2
－x
3(x>0)，
令 g(x)＝0，得 m＝－1
3x3＋x(x>0)．
设φ(x)＝－1
3x3＋x(x≥0)，
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)．
当 x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增；
当 x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴x＝1 是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，
因此 x＝1 也是φ(x)的最大值点，
∴φ(x)的最大值为φ(1)＝2
3
，
又∵φ(0)＝0.
结合 y＝φ(x)的图象(如图)，可知，
①当 m>2
3
时，函数 g(x)无零点；
②当 m＝2
3
时，函数 g(x)有且只有一个零点；
③当 02
3
时，函数 g(x)无零点；
当 m＝2
3
或 m≤0 时，函数 g(x)有且只有一个零点；
当 00；
当 x>1
2
时，f′(x)<0.
∴f(x)的单调递增区间为 0，1
2 ，单调递减区间为
1
2
，＋∞
.
(2)令 f(x)＝－x2＋ax＋ln x＝0，得 a＝x－ln x
x .
令 g(x)＝x－ln x
x
，其中 x∈
1
3
，3 ，
则 g′(x)＝1－1－ln x
x2
＝x2＋ln x－1
x2
，令 g′(x)＝0，得 x＝1，当1
3
≤x<1 时，g′(x)<0；
当 10，
∴g(x)的单调递减区间为
1
3
，1 ，单调递增区间为(1,3]，
∴g(x)min＝g(1)＝1，∵函数 f(x)在
1
3
，3 上有两个零点，g
1
3 ＝3ln 3＋1
3
，g(3)＝3－ln 3
3
，
3ln 3＋1
3>3－ln 3
3
，
∴实数 a 的取值范围是 1，3－ln 3
3 .
[解题技法]
本题是已知区间上有零点，求参数的范围问题．由于有些函数图象较为复杂，也没有固
定的形状特点，所以在研究此类问题时，可以从两个方面去思考：
(1)根据区间上零点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满
足的条件，进而求出参数满足的条件；
(2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，
推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多
次求导，层层推理得解．
[对点训练]
设函数 f(x)＝ln x－x，若关于 x 的方程 f(x)＝x2－10
3 x＋m 在区间[1,3]上有解，求 m 的取
值范围．
解：方程 f(x)＝x2－10
3 x＋m 在区间[1,3]上有解，
即 ln x－x2＋7
3x＝m 在区间[1,3]上有解．
令 h(x)＝ln x－x2＋7
3x，
则 h′(x)＝1
x
－2x＋7
3
＝－3x＋12x－3
3x
.
∴当 x∈[1,3]时，h′(x)，h(x)随 x 的变化情况如下表：
x 1 1，3
2
3
2
3
2
，3 3
h′(x) ＋ 0 －
h(x) 4
3
极大值 ln 3－2
∵h(1)＝4
3
，h(3)＝ln 3－2< 4
3
，h
3
2 ＝ln 3
2
＋5
4
，
∴当 x∈[1,3]时，h(x)∈ ln 3－2，ln 3
2
＋5
4 ，
∴m 的取值范围为 ln 3－2，ln 3
2
＋5
4 .
[课时跟踪检测]
1．(2019·贵阳摸底考试)已知函数 f(x)＝kx－ln x(k>0)．
(1)若 k＝1，求 f(x)的单调区间；
(2)若函数 f(x)有且只有一个零点，求实数 k 的值．
解：(1)若 k＝1，则 f(x)＝x－ln x，定义域为(0，＋∞)，
则 f′(x)＝1－1
x
，
由 f′(x)>0，得 x>1；由 f′(x)<0，得 00)．
令 g(x)＝ln x
x (x>0)，则 g′(x)＝1－ln x
x2
，
当 00；当 x>e 时，g′(x)<0.
∴g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∴g(x)max＝g(e)＝1
e.
当 x→＋∞时，g(x)→0.
又∵k>0，∴要使 f(x)仅有一个零点，则 k＝1
e.
法二：f(x)＝kx－ln x，f′(x)＝k－1
x
＝kx－1
x
(x>0，k>0)．
当 01
k
时，f′(x)>0.
∴f(x)在 0，1
k 上单调递减，在
1
k
，＋∞ 上单调递增，
∴f(x)min＝f
1
k ＝1－ln 1
k
，
∵f(x)有且只有一个零点，∴1－ln 1
k
＝0，即 k＝1
e.
法三：∵k>0，∴函数 f(x)有且只有一个零点等价于直线 y＝kx 与曲线 y＝ln x 相切，
设切点为(x0，y0)，由 y＝ln x，
得 y′＝1
x
，∴
k＝1
x0
，
y0＝kx0，
y0＝ln x0，
∴k＝1
e
，∴实数 k 的值为1
e.
2．已知函数 f(x)＝x3＋x2＋ax＋b.
(1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的单调递增区间；
(2)若函数 f(x)的图象与直线 y＝ax 恰有两个不同的交点，求实数 b 的值．
解：(1)当 a＝－1 时，f(x)＝x3＋x2－x＋b，
则 f′(x)＝3x2＋2x－1，
由 f′(x)>0，得 x<－1 或 x>1
3
，所以函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和
1
3
，＋∞
.
(2)函数 f(x)的图象与直线 y＝ax 恰有两个不同的交点，等价于 f(x)－ax＝0 有两个不等的
实根．
令 g(x)＝f(x)－ax＝x3＋x2＋b，则 g′(x)＝3x2＋2x.
由 g′(x)>0，得 x<－2
3
或 x>0；
由 g′(x)<0，得－2
30 恒成立，
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；
当 a>0 时，令 f′(x)<0，得 x0，得 x>ln a，
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞)．
(2)令 g(x)＝0，得 f(x)＝0 或 x＝1
2
，
先考虑 f(x)在区间[0,1]上的零点个数，
①当 a≤1 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增且 f(0)＝0，
∴f(x)在[0,1]上有一个零点．
②当 a≥e 时，f(x)在(－∞，1)上单调递减，
∴f(x)在[0,1]上有一个零点．
③当 1e－1 或 a＝2( e－1)时，g(x)在[0,1]上有两个零点；
当 10)，
①当 a≤0 时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值．
②当 a>0 时，令 f′(x)>0，得 01
a.
故 f(x)在 0，1
a 上单调递增，在
1
a
，＋∞ 上单调递减，
∴f(x)存在极大值，极大值为 f
1
a ＝ln 1
a
＋1
a
－1，无极小值．
综上所述，当 a≤0 时，f(x)无极值；当 a>0 时，f(x)存在极大值，极大值为 ln 1
a
＋1
a
－1，
无极小值．
(2)g(x)＝x
ex
－2，g′(x)＝1－x
ex
，
令 g′(x)>0，得 x<1；令 g′(x)<0，得 x>1.
则 g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
∵g(0)＝－2，g(1)＝1
e
－2，g(e)＝e
ee
－2>－2，
∴当 x∈(0，e]时，g(x)∈ －2，1
e
－2 .
由(1)得，当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时在(0，e]上 f(x)＝g(x0)总有两个
不相等的实数根不成立，因此 a>0.
当 a>0 时，依题意，得
0<1
agxmax，
fe≤－2，
由 f(e)＝1－ae2＋2e－ea≤－2，得 a≥3＋2e
e2＋e
，
由 f
1
a ＝ln1
a
＋1
a
－1>1
e
－2，
即 ln a－1
a
＋1
e<1，令 h(x)＝ln x－1
x
＋1
e(x>0)，
易知 h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且 h(e)＝1，
∴ln a－1
a
＋1
e<1，得 a∈(0，e)．
综上所述，3＋2e
e2＋e
≤a0 时，cos θ＝ 5
5
；
当 t<0 时，cos θ＝－ 5
5 .因此 cos 2θ＝2cos2θ－1＝2
5
－1＝－3
5.
考点三 三角函数值符号的判定
[典例] 若 sin αtan α<0，且cos α
tan α<0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析] 由 sin αtan α<0 可知 sin α，tan α异号，
则α为第二象限角或第三象限角．
由cos α
tan α<0 可知 cos α，tan α异号，
则α为第三象限角或第四象限角．
综上可知，α为第三象限角．
[答案] C
[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断
三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，
cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.
学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如 sin θ在一、二象限为正，
那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，
如 sinπ
2
＝1>0，cos π＝－1<0.
[题组训练]
1．下列各选项中正确的是( )
A．sin 300°>0 B．cos(－305°)<0
C．tan
－22π
3 >0 D．sin 10<0
解析：选 D 300°＝360°－60°，则 300°是第四象限角，故 sin 300°<0；－305°＝－360°
＋55°，则－305°是第一象限角，故 cos(－305°)>0；－22π
3
＝－8π＋2π
3
，则－22π
3
是第二象限
角，故 tan
－22π
3 <0；3π<10<7π
2
，则 10 是第三象限角，故 sin 10<0，故选 D.
2．已知点 P(cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选 B 由题意得 cos α<0，
tan α<0
⇒ cos α<0，
sin α>0，
所以角α的终边在第二象限．
[课时跟踪检测]
A 级
1．已知扇形的面积为 2，扇形圆心角的弧度数是 4，则扇形的周长为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选 C 设扇形的半径为 r(r>0)，弧长为 l，则由扇形面积公式可得 2＝1
2lr＝1
2|α|r2
＝1
2
×4×r2，解得 r＝1，l＝|α|r＝4，所以所求扇形的周长为 2r＋l＝6.
2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，
则α＝( )
A．150° B．135°
C．300° D．60°
解析：选 C 由 sin 150°＝1
2>0，cos 150°＝－ 3
2 <0，可知角α终边上一点的坐标为
1
2
，－ 3
2 ，故该点在第四象限，由三角函数的定义得 sin α＝－ 3
2
，因为 0°≤α<360°，所以
角α为 300°.
3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在 x 轴的非负半轴上，终边在直线 y
＝－ 3x 上，则角α的取值集合是( )
A. α|α＝2kπ－π
3
，k∈Z B. α|α＝2kπ＋2π
3
，k∈Z
C. α|α＝kπ－2π
3
，k∈Z D. α|α＝kπ－π
3
，k∈Z
解析：选 D 当α的终边在射线 y＝－ 3x(x≤0)上时，对应的角为2π
3
＋2kπ，k∈Z，当α
的终边在射线 y＝－ 3x(x≥0)上时，对应的角为－π
3
＋2kπ，k∈Z，所以角α的取值集合是
α|α＝kπ－π
3
，k∈Z .
4．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且 cos α≤0，sin α＞0，则实数 a 的取值范围
是( )
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
解析：选 A 由 cos α≤0，sin α＞0 可知，角α的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上，
所以有 3a－9≤0，
a＋2＞0，
解得－2＜a≤3.
5．在平面直角坐标系 xOy 中，α为第二象限角，P(－ 3，y)为其终边上一点，且 sin α
＝ 2y
4
，则 y 的值为( )
A. 3 B．－ 5
C. 5 D. 3或 5
解析：选 C 由题意知|OP|＝ 3＋y2，则 sin α＝ y
3＋y2
＝ 2y
4
，解得 y＝0(舍去)或 y＝± 5，
因为α为第二象限角，所以 y>0，则 y＝ 5.
6．已知角α＝2kπ－π
5(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则 y＝ sin θ
|sin θ|
＋ cos θ
|cos θ|
＋ tan θ
|tan θ|
的值
为( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
解析：选 B 由α＝2kπ－π
5(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角
θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以 sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.
所以 y＝－1＋1－1＝－1.
7．已知一个扇形的圆心角为3π
4
，面积为3π
2
，则此扇形的半径为________．
解析：设此扇形的半径为 r(r>0)，由3π
2
＝1
2
×3π
4
×r2，得 r＝2.
答案：2
8．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，60°角终边上一点 P 的坐标为(1，
m)，则实数 m 的值为________．
解析：∵60°角终边上一点 P 的坐标为(1，m)，∴tan 60°＝m
1
，∵tan 60°＝ 3，∴m＝ 3.
答案： 3
9．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.
解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，
所以与α终边相同的角为 360°×k＋120°，k∈Z，
令 k＝－1 或 k＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°.
答案：120°或－240°
10．在直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，A( 3，1)，将点 A 绕 O 逆时针旋转 90°到 B
点，则 B 点坐标为__________．
解析：依题意知 OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，
设点 B 坐标为(x，y)，
则 x＝2cos 120°＝－1，y＝2sin 120°＝ 3，即 B(－1， 3)．
答案：(－1， 3)
11．已知 1
|sin α|
＝－ 1
sin α
，且 lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点 M
3
5
，m ，且|OM|＝1(O 为坐标原点)，求 m 的值及 sin α的值．
解：(1)由 1
|sin α|
＝－ 1
sin α
，得 sin α<0，
由 lg(cos α)有意义，可知 cos α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以
3
5 2＋m2＝1，解得 m＝±4
5.
又因为α是第四象限角，所以 m<0，
从而 m＝－4
5
，
sin α＝y
r
＝ m
|OM|
＝
－4
5
1
＝－4
5.
12．已知α为第三象限角．
(1)求角α
2
终边所在的象限；
(2)试判断 tanα
2sin α
2cos α
2
的符号．
解：(1)由 2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π
2
，k∈Z，
得 kπ＋π
2
＜α
2
＜kπ＋3π
4
，k∈Z，
当 k 为偶数时，角α
2
终边在第二象限；
当 k 为奇数时，角α
2
终边在第四象限．
故角α
2
终边在第二或第四象限．
(2)当角α
2
在第二象限时，
tan α
2
＜0，sin α
2
＞0, cos α
2
＜0，
所以 tanα
2sinα
2cos α
2
取正号；
当角α
2
在第四象限时，
tanα
2
＜0，sinα
2
＜0, cosα
2
＞0，
所以 tanα
2sinα
2cos α
2
也取正号．
因此 tanα
2sin α
2cos α
2
取正号．
B 级
1．若－3π
4 <α<－π
2
，从单位圆中的三角函数线观察 sin α，cos α，tan α的大小是( )
A．sin αOM>MP，故有 sin α0，
tan α>0，
即 sin α>cos α，
tan α>0.
由 tan α>0 可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．
又 sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示
的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是
π
4
，π
2 ∪ π，5π
4 .
3．已知角θ的终边过点 P(－4a,3a)(a≠0)．
(1)求 sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断 cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．
解：(1)因为角θ的终边过点 P(－4a,3a)(a≠0)，
所以 x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当 a＞0 时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝3
5
－4
5
＝－1
5
；
当 a＜0 时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－3
5
＋4
5
＝1
5.
(2)当 a＞0 时，sin θ＝3
5
∈ 0，π
2 ，
cos θ＝－4
5
∈ －π
2
，0 ，
则 cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 3
5·sin
－4
5 ＜0；
当 a＜0 时，sin θ＝－3
5
∈ －π
2
，0 ，
cos θ＝4
5
∈ 0，π
2 ，
则 cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos
－3
5 ·sin 4
5
＞0.
综上，当 a＞0 时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；
当 a＜0 时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
一、基础知识
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tan α＝sin α
cos α.
平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋π
2(k∈Z)．
2．诱导公式
一 二 三 四 五 六
2kπ＋
α(k∈Z)
π＋α －α π－α π
2
－α π
2
＋α
sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α
cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α
tan α tan α －tan α －tan_α
诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·π
2
＋αk∈Z”中
的 k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若 k 是奇数，则正、余弦
互变；若 k 为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k·π
2
＋αk∈Z”中，将α看
成锐角时，“k·π
2
＋αk∈Z”的终边所在的象限.
二、常用结论
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
(2)sin α＝tan αcos α α≠π
2
＋kπ，k∈Z .
考点一 三角函数的诱导公式
[典例] (1)已知 f(α)＝cos
π
2
＋α sin
3π
2
－α
cos－π－αtanπ－α
，则 f
－25π
3 的值为________．
(2)已知 cos
π
6
－α ＝2
3
，则 sin α－2π
3 ＝________.
[解析] (1)因为 f(α)＝cos
π
2
＋α sin
3π
2
－α
cos－π－αtanπ－α
＝
－sin α－cos α
－cos α
－sin α
cos α
＝cos α，
所以 f
－25π
3 ＝cos
－25π
3 ＝cosπ
3
＝1
2.
(2)sin α－2π
3 ＝－sin
2π
3
－α ＝－sin π－
π
3
＋α ＝－sin
π
3
＋α ＝－sin
π
2
－
π
6
－α
＝－
cos
π
6
－α ＝－2
3.
[答案] (1)1
2 (2)－2
3
[题组训练]
1.已知 tan α＝1
2
，且α∈ π，3π
2 ，则 cos α－π
2 ＝________.
解析：法一：cos α－π
2 ＝sin α，由α∈ π，3π
2 知α为第三象限角，
联立
tan α＝sin α
cos α
＝1
2
，
sin2α＋cos2α＝1，
解得 5sin2α＝1，故 sin α＝－ 5
5 .
法二：cos α－π
2 ＝sin α，由α∈ π，3π
2 知α为第三象限角，由 tan α＝1
2
，可知点(－2，
－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得 sin α＝－ 5
5 .
答案：－ 5
5
2. sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________.
解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)
sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°
＝3
4
＋1
4
＋1＝2.
答案：2
3.已知 tan
π
6
－α ＝ 3
3
，则 tan
5π
6
＋α ＝________.
解析：tan
5π
6
＋α ＝tan π－π
6
＋α ＝tan π－
π
6
－α ＝－tan
π
6
－α ＝－ 3
3 .
答案：－ 3
3
考点二 同角三角函数的基本关系及应用
[典例] (1)若 tan α＝2，则sin α＋cos α
sin α－cos α
＋cos2α＝( )
A.16
5 B．－16
5
C.8
5 D．－8
5
(2)已知 sin αcos α＝3
8
，且π
4<α<π
2
，则 cos α－sin α的值为( )
A.1
2 B．±1
2
C．－1
4 D．－1
2
[解析] (1)sin α＋cos α
sin α－cos α
＋cos2α
＝sin α＋cos α
sin α－cos α
＋ cos2α
sin2α＋cos2α
＝tan α＋1
tan α－1
＋ 1
tan2α＋1
，
将 tan α＝2 代入上式，则原式＝16
5 .
(2)因为 sin αcos α＝3
8
，所以(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α＝1－2sin αcos α＝
1－2×3
8
＝1
4
，因为π
4<α<π
2
，所以 cos α0，
所以 cos α－sin α>0，故 cos α－sin α＝7
5.
答案：7
5
[课时跟踪检测]
A 级
1．已知 x∈ －π
2
，0 ，cos x＝4
5
，则 tan x 的值为( )
A.3
4 B．－3
4
C.4
3 D．－4
3
解析：选 B 因为 x∈ －π
2
，0 ，所以 sin x＝－ 1－cos2x＝－3
5
，所以 tan x＝sin x
cos x
＝－3
4.
2．(2019·淮南十校联考)已知 sin α－π
3 ＝1
3
，则 cos α＋π
6 的值为( )
A．－1
3 B.1
3
C.2 2
3 D．－2 2
3
解析：选 A ∵sin α－π
3 ＝1
3
，∴cos α＋π
6 ＝cos
π
2
＋ α－π
3 ＝－sin α－π
3 ＝－1
3.
3．计算：sin 11π
6
＋cos 10π
3
的值为( )
A．－1 B．1
C．0 D.1
2
－ 3
2
解析：选 A 原式＝sin 2π－π
6 ＋cos 3π＋π
3
＝－sinπ
6
－cosπ
3
＝－1
2
－1
2
＝－1.
4．若sinπ－θ＋cosθ－2π
sin θ＋cosπ＋θ
＝1
2
，则 tan θ的值为( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
解析：选 D 因为sinπ－θ＋cosθ－2π
sin θ＋cosπ＋θ
＝sin θ＋cos θ
sin θ－cos θ
＝1
2
，
所以 2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，
所以 sin θ＝－3cos θ，所以 tan θ＝－3.
5．(2018·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角，且 sin
π
2
＋α ＋cos
3π
2
＋α ＝1
5
，
则 tan α的值为( )
A．－4
3 B．－3
4
C．－4
3
或－3
4 D．不存在
解析：选 A 由 sin
π
2
＋α ＋cos
3π
2
＋α ＝1
5
，
得 cos α＋sin α＝1
5
，∴2sin αcos α＝－24
25<0.
∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0，
∴sin α－cos α＝ 1－2sin αcos α＝7
5
，
∴sin α＝4
5
，cos α＝－3
5
，
∴tan α＝－4
3.
6．在△ABC 中， 3sin
π
2
－A ＝3sin(π－A)，且 cos A＝－ 3cos(π－B)，则△ABC 为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析：选 B 将 3sin
π
2
－A ＝3sin(π－A)化为 3cos A＝3sin A，则 tan A＝ 3
3
，则 A＝π
6
，
将 cos A＝－ 3cos(π－B)化为 cosπ
6
＝ 3cos B，则 cos B＝1
2
，则 B＝π
3
，故△ABC 为直角三角
形．
7．化简： 1－cos22θ
cos 2θtan 2θ
＝________.
解析： 1－cos22θ
cos 2θtan 2θ
＝ sin22θ
cos 2θ·sin 2θ
cos 2θ
＝sin 2θ.
答案：sin 2θ
8．化简：
cos α－π
2
sin
5π
2
＋α ·sin(α－π)·cos(2π－α)＝________.
解析：原式＝
cos
π
2
－α
sin 2π＋π
2
＋α ·(－sin α)·cos α
＝
sin α
sin
π
2
＋α ·(－sin α)·cos α
＝sin α
cos α·(－sin α)·cos α＝－sin2α.
答案：－sin2α
9．sin4π
3 ·cos5π
6 ·tan
－4π
3 的值为________．
解析：原式＝sin π＋π
3 ·cos π－π
6 ·tan
－π－π
3
＝ －sin π
3 ·
－cosπ
6 ·
－tanπ
3
＝ － 3
2 × － 3
2 ×(－ 3)＝－3 3
4 .
答案：－3 3
4
10．(2019·武昌调研)若 tan α＝cos α，则 1
sin α
＋cos4α＝________.
解析：tan α＝cos α⇒sin α
cos α
＝cos α⇒sin α＝cos2α，故 1
sin α
＋cos4α＝sin2α＋cos2α
sin α
＋cos4α
＝sin α＋cos2α
sin α
＋cos4α＝sin α＋sin α
sin α
＋sin2α＝sin2α＋sin α＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.
答案：2
11．已知α为第三象限角，
f(α)＝sin α－π
2 ·cos
3π
2
＋α ·tanπ－α
tan－α－π·sin－α－π .
(1)化简 f(α)；
(2)若 cos α－3π
2 ＝1
5
，求 f(α)的值．
解：(1)f(α)＝sin α－π
2 ·cos
3π
2
＋α ·tanπ－α
tan－α－π·sin－α－π
＝－cos α·sin α·－tan α
－tan α·sin α
＝－cos α.
(2)∵cos α－3π
2 ＝1
5
，
∴－sin α＝1
5
，从而 sin α＝－1
5.
又∵α为第三象限角，
∴cos α＝－ 1－sin2α＝－2 6
5
，
∴f(α)＝－cos α＝2 6
5 .
12．已知 sin α＝2 5
5
，求 tan(α＋π)＋
sin
5π
2
＋α
cos
5π
2
－α
的值．
解：因为 sin α＝2 5
5 >0，
所以α为第一或第二象限角．
tan(α＋π)＋
sin
5π
2
＋α
cos
5π
2
－α
＝tan α＋cos α
sin α
＝sin α
cos α
＋cos α
sin α
＝ 1
sin αcos α.
①当α为第一象限角时，cos α＝ 1－sin2α＝ 5
5
，
原式＝ 1
sin αcos α
＝5
2.
②当α为第二象限角时，cos α＝－ 1－sin2α＝－ 5
5
，
原式＝ 1
sin αcos α
＝－5
2.
综合①②知，原式＝5
2
或－5
2.
B 级
1．已知 sin α＋cos α＝1
2
，α∈(0，π)，则1－tan α
1＋tan α
＝( )
A．－ 7 B. 7
C. 3 D．－ 3
解析：选 A 因为 sin α＋cos α＝1
2
，
所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1
4
，
所以 sin αcos α＝－3
8
，又因为α∈(0，π)，
所以 sin α>0，cos α<0，所以 cos α－sin α<0，
因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2× －3
8 ＝7
4
，
所以 cos α－sin α＝－ 7
2
，
所以1－tan α
1＋tan α
＝
1－sin α
cos α
1＋sin α
cos α
＝cos α－sin α
cos α＋sin α
＝
－ 7
2
1
2
＝－ 7.
2．已知θ是第一象限角，若 sin θ－2cos θ＝－2
5
，则 sin θ＋cos θ＝________.
解析：∵sin θ－2cos θ＝－2
5
，
∴sin θ＝2cos θ－2
5
，
∴ 2cos θ－2
5 2＋cos2θ＝1，
∴5cos2θ－8
5cos θ－21
25
＝0，
即 cos θ－3
5 5cos θ＋7
5 ＝0.
又∵θ为第一象限角，∴cos θ＝3
5
，
∴sin θ＝4
5
，∴sin θ＋cos θ＝7
5.
答案：7
5
3．已知关于 x 的方程 2x2－( 3＋1)x＋m＝0 的两根分别是 sin θ和 cos θ，θ∈(0,2π)，求：
(1) sin2θ
sin θ－cos θ
＋ cos θ
1－tan θ
的值；
(2)m 的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
解：(1)原式＝ sin2θ
sin θ－cos θ
＋ cos θ
1－sin θ
cos θ
＝ sin2θ
sin θ－cos θ
＋ cos2θ
cos θ－sin θ
＝sin2θ－cos2θ
sin θ－cos θ
＝sin θ＋cos θ.
由条件知 sin θ＋cos θ＝ 3＋1
2
，
故 sin2θ
sin θ－cos θ
＋ cos θ
1－tan θ
＝ 3＋1
2
.
(2)由已知，得 sin θ＋cos θ＝ 3＋1
2
，sin θcos θ＝m
2
，
因为 1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，
所以 1＋2×m
2
＝
3＋1
2 2，解得 m＝ 3
2 .
(3)由
sin θ＋cos θ＝ 3＋1
2
，
sin θcos θ＝ 3
4
，
得
sin θ＝ 3
2
，
cos θ＝1
2
或
sin θ＝1
2
，
cos θ＝ 3
2 .
又θ∈(0,2π)，故θ＝π
3
或θ＝π
6.
故当 sin θ＝ 3
2
，cos θ＝1
2
时，θ＝π
3
；
当 sin θ＝1
2
，cos θ＝ 3
2
时，θ＝π
6.
第三节 三角函数的图象与性质
一、基础知识
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，
π
2
，1 ，(π，0)，
3π
2
，－1 ，
(2π，0)．
在余弦函数 y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，
π
2
，0 ，(π，－1)，
3π
2
，0 ，(2π，1).
函数 y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值
点最值点.
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义
域
R R x|x∈R，且 x≠kπ＋π
2
，k∈Z
值域 [－1,1] [－1,1] R
奇偶
性
奇函数 偶函数 奇函数
单
调
性
在 －π
2
＋2kπ，π
2
＋2kπ (k
∈Z)上是递增函数，在
π
2
＋2kπ，3π
2
＋2kπ (k∈Z)
上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ](k
∈Z)上是递增函数，
在[2kπ，2kπ＋π](k
∈Z)上是递减函数
在 －π
2
＋kπ，π
2
＋kπ (k∈Z)上是
递增函数
周
期
性
周 期 是 2kπ(k ∈ Z 且
k≠0)，最小正周期是 2π
周 期 是 2kπ(k ∈ Z 且
k≠0)，最小正周期是
周期是 kπ(k∈Z 且 k≠0)，最小
正周期是π
2π
对
称
性
对称轴是 x＝π
2
＋kπ(k∈
Z)，对称中心是(kπ，0)(k
∈Z)
对称轴是 x＝kπ(k∈
Z)，对称中心是
kπ＋π
2
，0 (k∈Z)
对称中心是
kπ
2
，0 (k∈Z)
三角函数性质的注意点
(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tan x 无单调递减区间；y
＝tan x 在整个定义域内不单调．
(2)要注意求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时 A 和ω的符号，尽量化成ω>0 的形式，避
免出现增减区间的混淆.
二、常用结论
1．对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，
相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的
距离是半个周期．
2．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若 y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋π
2(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ (k
∈Z)．
(2)若 y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋π
2 (k
∈Z)．
(3)若 y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
第一课时 三角函数的单调性
考点一 求三角函数的单调区间
[典例] (2017·浙江高考)已知函数 f(x)＝sin2x－cos2x－2 3sin xcos x(x∈R)．
(1)求 f
2π
3 的值；
(2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间．
[解] (1)由题意，f(x)＝－cos 2x－ 3sin 2x＝－2
3
2 sin 2x＋1
2cos 2x ＝－2sin 2x＋π
6 ，
故 f
2π
3 ＝－2sin
4π
3
＋π
6 ＝－2sin 3π
2
＝2.
(2)由(1)知 f(x)＝－2sin 2x＋π
6 .
则 f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质，
令π
2
＋2kπ≤2x＋π
6
≤3π
2
＋2kπ(k∈Z)，
解得π
6
＋kπ≤x≤2π
3
＋kπ(k∈Z)，
所以 f(x)的单调递增区间是
π
6
＋kπ，2π
3
＋kπ (k∈Z)．
[题组训练]
1．函数 y＝|tan x|在 －π
2
，3π
2 上的单调递减区间为________．
解析：
作出 y＝|tan x|的示意图如图，观察图象可知，y＝|tan x|在 －π
2
，3π
2 上的单调递减区间
为 －π
2
，0 和
π
2
，π .
答案：－π
2
，0 ，
π
2
，π
2．函数 g(x)＝－cos
－2x＋π
3 x∈ －π
2
，π
2 的单调递增区间为________．
解析：g(x)＝－cos
－2x＋π
3 ＝－cos 2x－π
3 ，
欲求函数 g(x)的单调递增区间，
只需求函数 y＝cos 2x－π
3 的单调递减区间．
由 2kπ≤2x－π
3
≤2kπ＋π(k∈Z)，
得 kπ＋π
6
≤x≤kπ＋2π
3 (k∈Z)．
故函数 g(x)的单调递增区间为 kπ＋π
6
，kπ＋2π
3 (k∈Z)．
因为 x∈ －π
2
，π
2 ，
所以函数 g(x)的单调递增区间为 －π
2
，－π
3 ，
π
6
，π
2 .
答案：－π
2
，－π
3 ，
π
6
，π
2
3．(2019·金华适应性考试)已知函数 f(x)＝ 3cos 2x－2sin2(x－α)，其中 0<α<π
2
，且 f
π
2 ＝
－ 3－1.
(1)求α的值；
(2)求 f(x)的最小正周期和单调递减区间．
解：(1)由已知得 f
π
2 ＝－ 3－2sin2
π
2
－α ＝－ 3－2cos2α＝－ 3－1，整理得 cos2α＝1
2.
因为 0<α<π
2
，所以 cos α＝ 2
2
，α＝π
4.
(2)由(1)知，f(x)＝ 3cos 2x－2sin2 x－π
4
＝ 3cos 2x－1＋cos 2x－π
2
＝ 3cos 2x＋sin 2x－1
＝2sin 2x＋π
3 －1.
易知函数 f(x)的最小正周期 T＝π.
令 t＝2x＋π
3
，
则函数 f(x)可转化为 y＝2sin t－1.
显然函数 y＝2sin t－1 与 y＝sin t 的单调性相同，
当函数 y＝sin t 单调递减时，
2kπ＋π
2
≤t≤2kπ＋3π
2 (k∈Z)，
即 2kπ＋π
2
≤2x＋π
3
≤2kπ＋3π
2 (k∈Z)，
解得 kπ＋ π
12
≤x≤kπ＋7π
12(k∈Z)．
所以函数 f(x)的单调递减区间为 kπ＋ π
12
，kπ＋7π
12 (k∈Z)．
考点二 求三角函数的值域最值
[典例] (1)函数 f(x)＝3sin 2x－π
6 在区间 0，π
2 上的值域为( )
A.
－3
2
，3
2 B.
－3
2
，3
C.
－3 3
2
，3 3
2 D.
－3 3
2
，3
(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数 f(x)＝sin2x＋ 3cos x－3
4
x∈ 0，π
2 的最大值是________．
[解析] (1)当 x∈ 0，π
2 时，
2x－π
6
∈ －π
6
，5π
6 ，sin 2x－π
6 ∈ －1
2
，1 ，
故 3sin 2x－π
6 ∈ －3
2
，3 ，
所以函数 f(x)的值域为 －3
2
，3 .
(2)依题意，f(x)＝sin2x＋ 3cos x－3
4
＝－cos2x＋ 3cos x＋1
4
＝－ cos x－ 3
2 2＋1，
因为 x∈ 0，π
2 ，所以 cos x∈[0,1]，
因此当 cos x＝ 3
2
时，f(x)max＝1.
[答案] (1)B (2)1
[变透练清]
1.变条件若本例(1)中函数 f(x)的解析式变为：f(x)＝3cos 2x－π
6 ，则 f(x)在区间 0，π
2 上
的值域为________．
解析：当 x∈ 0，π
2 时，2x－π
6
∈ －π
6
，5π
6 ，
cos 2x－π
6 ∈ － 3
2
，1 ，
故 f(x)＝3cos 2x－π
6 ∈ －3 3
2
，3 .
答案： －3 3
2
，3
2.变条件若本例(2)中函数 f(x)的解析式变为：函数 f(x)＝sin x＋cos x＋sin xcos x，则 f(x)
的最大值为________．
解析：设 t＝sin x＋cos x(－ 2≤t≤ 2)，
则 sin xcos x＝t2－1
2
，
y＝t＋1
2t2－1
2
＝1
2(t＋1)2－1，
当 t＝ 2时，y＝t＋1
2t2－1
2
取最大值为 2＋1
2.
故 f(x)的最大值为2 2＋1
2 .
答案：2 2＋1
2
3．已知函数 f(x)＝sin x＋π
6 ，其中 x∈ －π
3
，a ，若 f(x)的值域是 －1
2
，1 ，则实数 a
的取值范围是________．
解析：由 x∈ －π
3
，a ，知 x＋π
6
∈ －π
6
，a＋π
6 .
∵x＋π
6
∈ －π
6
，π
2 时，f(x)的值域是 －1
2
，1 ，
∴由函数的图象知π
2
≤a＋π
6
≤7π
6
，
∴π
3
≤a≤π.
答案：
π
3
，π
考点三 根据三角函数单调性确定参数
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)若 f(x)＝cos x－sin x 在[－a，a]是减函数，则 a 的最大值是
( )
A.π
4 B.π
2
C.3π
4 D．π
(2)若 f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间 －π
2
，2π
3 上是增函数，则ω的取值范围是________．
[解析] (1)f(x)＝cos x－sin x＝－ 2sin x－π
4 ，
当 x∈ －π
4
，3π
4 ，即 x－π
4
∈ －π
2
，π
2 时，
y＝sin x－π
4 单调递增，
则 f(x)＝－ 2sin x－π
4 单调递减．
∵函数 f(x)在[－a，a]是减函数，
∴[－a，a]⊆ －π
4
，3π
4 ，∴00)，
所以ωx∈ －πω
2
，2πω
3 ，
因为 f(x)＝2sin ωx 在 －π
2
，2π
3 上是增函数，
所以
－πω
2
≥－π
2
，
2πω
3
≤π
2
，
ω>0，
故 0<ω≤3
4.
法二：画出函数 f(x)＝2sin ωx(ω>0)的图象如图所示．
要使 f(x)在 －π
2
，2π
3 上是增函数，
需 － π
2ω
≤－π
2
， 2π
3
≤ π
2ω
， ω>0， 即 0<ω≤3
4.
[答案] (1)A (2) 0，3
4
[解题技法]
已知三角函数的单调区间求参数范围的 3 种方法
(1)求出原函数的相应单调区间，由所给区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．
(2)由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的
子集，列不等式(组)求解．
(3)由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过1
4
周期列不等式(组)求解．
[题组训练]
1．若函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) ω>0，且|φ|<π
2 在区间
π
6
，2π
3 上是单调递减函数，且函数值
从 1 减少到－1，则 f
π
4 ＝________.
解析：由题意知T
2
＝2π
3
－π
6
＝π
2
，故 T＝π，
所以ω＝2π
T
＝2，
又因为 f
π
6 ＝1，所以 sin
π
3
＋φ ＝1.
因为|φ|<π
2
，所以φ＝π
6
，
即 f(x)＝sin 2x＋π
6 .
故 f
π
4 ＝sin
π
2
＋π
6 ＝cosπ
6
＝ 3
2 .
答案： 3
2
2．（2019·贵阳检测）已知函数 f(x)＝sin ωx＋π
4 (ω>0)在
π
2
，π 上单调递减，则ω的取
值范围是________．
解析：由π
20)在区间 0，π
3 上单调递增，在区间
π
3
，π
2 上单调递减，则ω
＝________.
解析：法一：由于函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数
的图象可知，π
3
为函数 f(x)的1
4
周期，故2π
ω
＝4π
3
，解得ω＝3
2.
法二：由题意，得 f(x)max＝f
π
3 ＝sinπ
3ω＝1.
由已知并结合正弦函数图象可知，π
3ω＝π
2
，解得ω＝3
2.
答案：3
2
11．已知函数 f(x)＝ 2sin 2x＋π
4 .
(1)求函数 f(x)的单调递增区间；
(2)当 x∈
π
4
，3π
4 时，求函数 f(x)的最大值和最小值．
解：(1)令 2kπ－π
2
≤2x＋π
4
≤2kπ＋π
2
，k∈Z，
则 kπ－3π
8
≤x≤kπ＋π
8
，k∈Z.
故函数 f(x)的单调递增区间为 kπ－3π
8
，kπ＋π
8 ，k∈Z.
(2)因为当 x∈
π
4
，3π
4 时，3π
4
≤2x＋π
4
≤7π
4
，
所以－1≤sin 2x＋π
4 ≤ 2
2
，所以－ 2≤f(x)≤1，
所以当 x∈
π
4
，3π
4 时，函数 f(x)的最大值为 1，最小值为－ 2.
12．已知函数 f(x)＝1
2sin 2x－ 3
2 cos 2x－ 3
2 .
(1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论函数 f(x)在
π
6
，2π
3 上的单调性．
解：(1)因为函数 f(x)＝1
2sin 2x－ 3
2 cos 2x－ 3
2
＝sin 2x－π
3 － 3
2
，
所以函数 f(x)的最小正周期为π，最大值为2－ 3
2
.
(2)当 x∈
π
6
，2π
3 时，0≤2x－π
3
≤π，
从而当 0≤2x－π
3
≤π
2
，即π
6
≤x≤5π
12
时，f(x)单调递增；
当π
2
≤2x－π
3
≤π，即5π
12
≤x≤2π
3
时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在
π
6
，5π
12 上单调递增，在
5π
12
，2π
3 上单调递减．
B 级
1．已知函数 f(x)＝2sin x＋7π
3 ，设 a＝f
π
7 ，b＝f
π
6 ，c＝f
π
3 ，则 a，b，c 的大小关系
是________(用“<”表示)．
解析：函数 f(x)＝2sin x＋π
3
＋2π ＝2sin x＋π
3 ，
a＝f
π
7 ＝2sin 10π
21
，
b＝f
π
6 ＝2sin π
2
，
c＝f
π
3 ＝2sin 2π
3
＝2sin π
3
，
因为 y＝sin x 在 0，π
2 上单调递增，且π
3<10π
21 <π
2
，
所以 sin π
30)，f
π
6 ＝f
π
3 ，且 f(x)在
π
2
，π
上单调递减，则ω＝________.
解析：由 f
π
6 ＝f
π
3 ，可知函数 f(x) 的图象关于直线 x＝π
4
对称，
∴π
4ω＋π
4
＝π
2
＋kπ，k∈Z，
∴ω＝1＋4k，k∈Z，
又∵f(x)在
π
2
，π 上单调递减，
∴T
2
≥π－π
2
＝π
2
，T≥π，
∴2π
ω
≥π，∴ω≤2，
又∵ω＝1＋4k，k∈Z，∴当 k＝0 时，ω＝1.
答案：1
3．已知函数 f(x)＝ 2asin x＋π
4 ＋a＋b.
(1)若 a＝－1，求函数 f(x)的单调递增区间；
(2)若 x∈[0，π]，函数 f(x)的值域是[5,8]，求 a，b 的值．
解：(1)当 a＝－1 时，f(x)＝－ 2sin x＋π
4 ＋b－1，
由 2kπ＋π
2
≤x＋π
4
≤2kπ＋3π
2 (k∈Z)，
得 2kπ＋π
4
≤x≤2kπ＋5π
4 (k∈Z)，
所以 f(x)的单调递增区间为 2kπ＋π
4
，2kπ＋5π
4 (k∈Z)．
(2)因为 0≤x≤π，所以π
4
≤x＋π
4
≤5π
4
，
所以－ 2
2
≤sin x＋π
4 ≤1，依题意知 a≠0.
①当 a>0 时，有{ 2a＋a＋b＝8， b＝5，
所以 a＝3 2－3，b＝5.
②当 a<0 时，有{b＝8， 2a＋a＋b＝5，
所以 a＝3－3 2，b＝8.
综上所述，a＝3 2－3，b＝5 或 a＝3－3 2，b＝8.
第二课时 三角函数的周期性、奇偶性及对称性
考点一 三角函数的周期性
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅲ)函数 f(x)＝ tan x
1＋tan2x
的最小正周期为( )
A.π
4 B.π
2
C．π D．2π
(2)若函数 f(x)＝2tan kx＋π
3 的最小正周期 T 满足 10)的最小正周期为 4π，则该函数的图象( )
A．关于点
π
3
，0 对称 B．关于点
5π
3
，0 对称
C．关于直线 x＝π
3
对称 D．关于直线 x＝5π
3
对称
(2)(2018·江苏高考)已知函数 y＝sin(2x＋φ)
－π
2<φ<π
2 的图象关于直线 x＝π
3
对称，则φ的
值为________．
[解析] (1)因为函数 f(x)＝2sin ωx＋π
6 (ω>0)的最小正周期是 4π，而 T＝2π
ω
＝4π，所以ω
＝1
2
，
即 f(x)＝2sin
x
2
＋π
6 .
令x
2
＋π
6
＝π
2
＋kπ(k∈Z)，解得 x＝2π
3
＋2kπ(k∈Z)，
故 f(x)的对称轴为 x＝2π
3
＋2kπ(k∈Z)，
令x
2
＋π
6
＝kπ(k∈Z)，解得 x＝－π
3
＋2kπ(k∈Z)．
故 f(x)的对称中心为 －π
3
＋2kπ，0 (k∈Z)，对比选项可知 B 正确．
(2)由题意得 f
π
3 ＝sin
2π
3
＋φ ＝±1，
∴2π
3
＋φ＝kπ＋π
2(k∈Z)，∴φ＝kπ－π
6(k∈Z)．
∵φ∈ －π
2
，π
2 ，∴φ＝－π
6.
[答案] (1)B (2)－π
6
[解题技法]
三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法
求三角函数图象的对称轴及对称中心，须先把所给三角函数式化为 y＝Asin(ωx＋φ)或 y
＝Acos(ωx＋φ)的形式，再把(ωx＋φ)整体看成一个变量，若求 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)图象
的对称轴，则只需令ωx＋φ＝π
2
＋kπ(k∈Z)，求 x；若求 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)图象的对称
中心的横坐标，则只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求 x.
[题组训练]
1．若函数 y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点
4π
3
，0 对称，则|φ|的最小值为( )
A.π
6 B.π
4
C.π
3 D.π
2
解析：选 A 由题意得 3cos 2×4π
3
＋φ ＝3cos
2π
3
＋φ＋2π ＝3cos
2π
3
＋φ ＝0，
∴2π
3
＋φ＝kπ＋π
2
，k∈Z，∴φ＝kπ－π
6
，k∈Z.
取 k＝0，得|φ|的最小值为π
6.
2．(2018·长春质检)函数 f(x)＝2sin(2x＋φ) 0<φ<π
2 ，且 f(0)＝1，则下列结论中正确的是
( )
A．f(φ)＝2
B.
π
6
，0 是 f(x)图象的一个对称中心
C．φ＝π
3
D．x＝－π
6
是 f(x)图象的一条对称轴
解析：选 A 由 f(0)＝1 且 0<φ<π
2
，可得φ＝π
6
，故选项 C 错误；可得 f(x)＝2sin 2x＋π
6 ，
把 x＝π
6
代入 f(x)＝2sin 2x＋π
6 ，得 f(φ)＝2，选项 A 正确；f
π
6 ＝2，f(x)取得最大值，选项 B
错误；而 f
－π
6 ＝－1，非最值，选项 D 错误，故选 A.
3．已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意 x 都有 f
π
6
＋x ＝f
π
6
－x ，则 f
π
6 的值为
________．
解析：∵f
π
6
＋x ＝f
π
6
－x ，∴x＝π
6
是函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴，∴f
π
6 ＝±2.
答案：2 或－2
[课时跟踪检测]
A 级
1．下列函数中，周期为 2π的奇函数为( )
A．y＝sinx
2cosx
2 B．y＝sin2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x
解析：选 A y＝sin2x 为偶函数；y＝tan 2x 的周期为π
2
；y＝sin 2x＋cos 2x 为非奇非偶函
数，故 B、C、D 都不正确，故选 A.
2．已知函数 f(x)＝sin 3x＋π
6 －1，则 f(x)的图象的一条对称轴方程是( )
A．x＝π
9 B．x＝π
6
C．x＝π
3 D．x＝π
2
解析：选 A 令 3x＋π
6
＝kπ＋π
2
，k∈Z，
解得 x＝kπ
3
＋π
9
，k∈Z，当 k＝0 时，x＝π
9.
因此函数 f(x)的图象的一条对称轴方程是 x＝π
9.
3．(2018·南宁二中、柳州高中联考)同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关
于直线 x＝π
3
对称；③在 －π
6
，π
3 上是增函数；④图象的一个对称中心为
π
12
，0 ”的一个函
数是( )
A．y＝sin
x
2
＋π
6 B．y＝sin 2x＋π
3
C．y＝sin 2x－π
6 D．y＝sin 2x－π
3
解析：选 C 因为最小正周期是π，所以ω＝2，排除 A 选项；当 x＝π
3
时，对于 B，y＝
sin 2×π
3
＋π
3 ＝0，对于 D，y＝sin 2×π
3
－π
3 ＝ 3
2
，因为图象关于直线 x＝π
3
对称，所以排除 B、
D 选项，对于 C，sin 2×π
3
－π
6 ＝1，sin 2× π
12
－π
6 ＝0，且在 －π
6
，π
3 上是增函数，故 C 满
足条件．
4．函数 f(x)＝cos ωx＋π
6 (ω>0)的最小正周期为π，则 f(x)满足( )
A．在 0，π
3 上单调递增 B．图象关于直线 x＝π
6
对称
C．f
π
3 ＝ 3
2 D．当 x＝5π
12
时有最小值－1
解析：选 D 由函数 f(x)＝cos ωx＋π
6 (ω>0)的最小正周期为π，得ω＝2，则 f(x)＝
cos 2x＋π
6 .当 x∈ 0，π
3 时，2x＋π
6
∈
π
6
，5π
6 ，显然此时 f(x)不单调递增，故 A 错误；当 x＝
π
6
时，f
π
6 ＝cosπ
2
＝0，故 B 错误；f
π
3 ＝cos5π
6
＝－ 3
2
，故 C 错误；当 x＝5π
12
时，f
5π
12 ＝cos
5π
6
＋π
6
＝cos π＝－1，故 D 正确．
5．设函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ) ω>0，|φ|<π
2 的最小正周期为π，且 f(－x)＝f(x)，
则( )
A．f(x)在 0，π
2 内单调递减
B．f(x)在
π
4
，4π
3 内单调递减
C．f(x)在 0，π
2 内单调递增
D．f(x)在
π
4
，4π
3 内单调递增
解析：选 A 由题意知 f(x)＝ 2sin ωx＋φ＋π
4 .
∵f(x)的最小正周期为π，∴ω＝2，
∴f(x)＝ 2sin 2x＋φ＋π
4 .
由 f(x)＝f(－x)知 f(x)是偶函数，
因此φ＋π
4
＝kπ＋π
2(k∈Z)．
又∵|φ|<π
2
，∴φ＝π
4
，
∴f(x)＝ 2cos 2x.
当 0<2x<π，即 00，所以 0<ω≤2，②
由①②得ω＝3
2.
7．若函数 f(x)＝cos ωx＋π
6 (ω∈N*)的一个对称中心是
π
6
，0 ，则ω的最小值为________．
解析：因为 f
π
6 ＝0，所以 cos
π
6ω＋π
6 ＝0，
即πω
6
＋π
6
＝π
2
＋kπ(k∈Z)，故ω＝2＋6k(k∈Z)，
又因为ω∈N*，故ω的最小值为 2.
答案：2
8．若函数 y＝2sin(3x＋φ) |φ|<π
2 图象的一条对称轴为 x＝ π
12
，则φ＝________.
解析：因为 y＝sin x 图象的对称轴为 x＝kπ＋π
2(k∈Z)，
所以 3× π
12
＋φ＝kπ＋π
2(k∈Z)，
得φ＝kπ＋π
4(k∈Z)．
又因为|φ|<π
2
，
所以 k＝0，故φ＝π
4.
答案：π
4
9．若函数 f(x)＝|sin ωx＋π
3 |(ω>0)的最小正周期为π，则 f
π
3 ＝________.
解析：由题设及周期公式得 T＝π
ω
＝π，所以ω＝1，即 f(x)＝|sin x＋π
3 |，所以 f
π
3 ＝
|sin 2π
3 |＝ 3
2 .
答案： 3
2
10．设函数 f(x)＝3sin
π
2x＋π
4 ，若存在这样的实数 x1，x2，对任意的 x∈R，都有
f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
解析：f(x)＝3sin
π
2x＋π
4 的周期 T＝2π×2
π
＝4，
f(x1)，f(x2)应分别为函数 f(x)的最小值和最大值，
故|x1－x2|的最小值为T
2
＝2.
答案：2
11．已知函数 f(x)＝2sin 2x－π
4 .
(1)求函数的最大值及相应的 x 值集合；
(2)求函数 f(x)的图象的对称轴与对称中心．
解：(1)当 sin 2x－π
4 ＝1 时，2x－π
4
＝2kπ＋π
2
，k∈Z，
即 x＝kπ＋3π
8
，k∈Z，此时函数取得最大值为 2.
故 f(x)的最大值为 2，使函数取得最大值的 x 的集合为 x|x＝3π
8
＋kπ，k∈Z .
(2)由 2x－π
4
＝π
2
＋kπ，k∈Z，得 x＝3π
8
＋1
2kπ，k∈Z，
即函数 f(x)的图象的对称轴为 x＝3π
8
＋1
2kπ，k∈Z.
由 2x－π
4
＝kπ，k∈Z，得 x＝π
8
＋1
2kπ，k∈Z，
即对称中心为
π
8
＋1
2kπ，0 ，k∈Z.
12．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) ω>0，0<φ<2π
3 的最小正周期为π.
(1)求当 f(x)为偶函数时φ的值；
(2)若 f(x)的图象过点
π
6
， 3
2 ，求 f(x)的单调递增区间．
解：由 f(x)的最小正周期为π，得 T＝2π
ω
＝π，
所以ω＝2，所以 f(x)＝sin(2x＋φ)．
(1)当 f(x)为偶函数时，有φ＝π
2
＋kπ(k∈Z)．
因为 0<φ<2π
3
，所以φ＝π
2.
(2)因为 f
π
6 ＝ 3
2
，
所以 sin 2×π
6
＋φ ＝ 3
2
，
即π
3
＋φ＝π
3
＋2kπ或π
3
＋φ＝2π
3
＋2kπ(k∈Z)，
故φ＝2kπ或φ＝π
3
＋2kπ(k∈Z)，
又因为 0<φ<2π
3
，所以φ＝π
3
，
即 f(x)＝sin 2x＋π
3 .
由－π
2
＋2kπ≤2x＋π
3
≤π
2
＋2kπ(k∈Z)，
得 kπ－5π
12
≤x≤kπ＋ π
12(k∈Z)，
故 f(x)的单调递增区间为 kπ－5π
12
，kπ＋ π
12 (k∈Z)．
B 级
1．若函数 f(x)＝cos(2x＋φ)的图象关于点
4π
3
，0 成中心对称，且－π
2<φ<π
2
，则函数 y＝
f x＋π
3 为( )
A．奇函数且在 0，π
4 内单调递增
B．偶函数且在 0，π
2 内单调递增
C．偶函数且在 0，π
2 内单调递减
D．奇函数且在 0，π
4 内单调递减
解析：选 D 因为函数 f(x)＝cos(2x＋φ)的图象关于点
4π
3
，0 成中心对称，
所以8π
3
＋φ＝kπ＋π
2
，k∈Z，
即φ＝kπ－13π
6
，k∈Z.
又因为－π
2<φ<π
2
，所以φ＝－π
6
，
则 y＝f x＋π
3 ＝cos 2 x＋π
3 －π
6 ＝cos 2x＋π
2 ＝－sin 2x，
所以该函数为奇函数且在 0，π
4 内单调递减，故选 D.
2．已知函数 f(x)＝sin ωx＋π
4 (ω>0，x∈R)．若函数 f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且
函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝ω对称，则ω的值为( )
A.1
2 B．2
C.π
2 D. π
2
解析：选 D 因为 f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线 x＝ω对称，
所以 f(ω)必为一个周期上的最大值，
所以有ω·ω＋π
4
＝2kπ＋π
2
，k∈Z，
所以ω2＝π
4
＋2kπ，k∈Z.
又ω－(－ω)≤1
2·2π
ω
，
即ω2≤π
2
，即ω2＝π
4
，所以ω＝ π
2 .
3．已知函数 f(x)＝2sin2
π
4
＋x － 3cos 2x－1，x∈R.
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)若 h(x)＝f(x＋t)的图象关于点 －π
6
，0 对称，且 t∈(0，π)，求 t 的值；
(3)当 x∈
π
4
，π
2 时，不等式|f(x)－m|<3 恒成立，求实数 m 的取值范围．
解：(1)因为 f(x)＝－cos
π
2
＋2x － 3cos 2x
＝sin 2x－ 3cos 2x
＝2
1
2sin 2x－ 3
2 cos 2x
＝2sin 2x－π
3 ，
故 f(x)的最小正周期为 T＝2π
2
＝π.
(2)由(1)知 h(x)＝2sin 2x＋2t－π
3 .
令 2× －π
6 ＋2t－π
3
＝kπ(k∈Z)，
得 t＝kπ
2
＋π
3(k∈Z)，
又 t∈(0，π)，故 t＝π
3
或5π
6 .
(3)当 x∈
π
4
，π
2 时，2x－π
3
∈
π
6
，2π
3 ，
所以 f(x)∈[1,2]．
又|f(x)－m|<3，
即 f(x)－30，ω>0)
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝2π
ω f＝1
T
＝ ω
2π ωx＋φ φ
2．用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图
用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表
所示：
ωx＋φ 0 π
2 π 3π
2 2π
x －φ
ω
π
2ω
－φ
ω
π－φ
ω
3π
2ω
－φ
ω
2π－φ
ω
y＝Asin(ωx＋
φ)
0 A 0 －A 0
3．由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
(1)两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变
换)再相位变换，平移的量是|φ|
ω(ω>0)个单位长度．
(2)变换的注意点
无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量 x 而言的，即图象变换要看“自变量 x”发
生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．
考点一 求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
[典例] (1)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其部分图象如图所示，则
函数 f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin
1
2x＋π
4
B．f(x)＝2sin
1
2x＋3π
4
C．f(x)＝2sin
1
4x＋3π
4
D．f(x)＝2sin 2x＋π
4
(2)(2019·皖南八校联考)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) ω>0，－π
2
≤φ≤π
2 的图象上的一个最
高点和它相邻的一个最低点的距离为 2 2，且过点 2，－1
2 ，则函数 f(x)＝________________.
[解析] (1)由题图可知 A＝2，T＝2×
3π
2
－ －π
2 ＝4π，故2π
ω
＝4π，解得ω＝1
2.
所以 f(x)＝2sin
1
2x＋φ .
把点 －π
2
，2 代入可得 2sin
1
2
× －π
2 ＋φ ＝2，
即 sin φ－π
4 ＝1，所以φ－π
4
＝2kπ＋π
2(k∈Z)，
解得φ＝2kπ＋3π
4 (k∈Z)．
又 0<φ<π，所以φ＝3π
4 .
所以 f(x)＝2sin
1
2x＋3π
4 .
(2)依题意得 22＋
π
ω 2＝2 2，则π
ω
＝2，即ω＝π
2
，所以 f(x)＝sin
π
2x＋φ ，由于该函数
图象过点 2，－1
2 ，因此 sin(π＋φ)＝－1
2
，即 sin φ＝1
2
，而－π
2
≤φ≤π
2
，故φ＝π
6
，所以 f(x)＝
sin
π
2x＋π
6 .
[答案] (1)B (2)sin
π
2x＋π
6
[解题技法]
确定 y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤
(1)求 A，B，确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A＝M－m
2
，B＝M＋m
2
.
(2)求ω，确定函数的周期 T，则ω＝2π
T .
(3)求φ，常用方法有以下 2 种
[题组训练]
1.函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|<π
2 的部分图象如图所
示，则 f
11π
24 的值为( )
A．－ 6
2 B．－ 3
2
C．－ 2
2 D．－1
解析：选 D 由图象可得 A＝ 2，最小正周期 T＝4×
7π
12
－π
3 ＝π，则ω＝2π
T
＝2.由 f
7π
12
＝ 2sin
7π
6
＋φ ＝－ 2，|φ|<π
2
，得φ＝π
3
，则 f(x)＝ 2sin 2x＋π
3 ，所以 f
11π
24 ＝ 2sin
11π
12
＋π
3
＝ 2sin5π
4
＝－1.
2.(2018·咸阳三模)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，
则 f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2 3sin
πx
8
＋π
4
B．f(x)＝2 3sin
πx
8
＋3π
4
C．f(x)＝2 3sin
πx
8
－π
4
D．f(x)＝2 3sin
πx
8
－3π
4
解析：选 D 由图象可得，A＝2 3，T＝2×[6－(－2)]＝16，
所以ω＝2π
T
＝2π
16
＝π
8.
所以 f(x)＝2 3sin
π
8x＋φ .
由函数的对称性得 f(2)＝－2 3，
即 f(2)＝2 3sin
π
8
×2＋φ ＝－2 3，
即 sin
π
4
＋φ ＝－1，
所以π
4
＋φ＝2kπ－π
2(k∈Z)，
解得φ＝2kπ－3π
4 (k∈Z)．
因为|φ|<π，所以 k＝0，φ＝－3π
4 .
故函数的解析式为 f(x)＝2 3sin
πx
8
－3π
4 .
考点二 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与变换
[典例] (2017·全国卷Ⅰ)已知曲线 C1：y＝cos x，C2：y＝sin 2x＋2π
3 ，则下面结论正确
的是( )
A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6
个单位长度，得到曲线 C2
B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π
12
个单位长度，得到曲线 C2
C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6
个
单位长度，得到曲线 C2
D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π
12
个单位长度，得到曲线 C2
[解析] 易知 C1：y＝cos x＝sin x＋π
2 ，把曲线 C1 上的各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，
纵坐标不变，得到函数 y＝sin 2x＋π
2 的图象，再把所得函数的图象向左平移 π
12
个单位长度，
可得函数 y＝sin 2 x＋ π
12 ＋π
2 ＝sin 2x＋2π
3 的图象，即曲线 C2.
[答案] D
[解题技法] 三角函数图象变换中的 3 个注意点
(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；
(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不
可弄错方向；
(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数 y＝Asin x 到 y＝Asin(x＋φ)的变换
量是|φ|个单位，而函数 y＝Asin ωx 到 y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是|φ
ω|个单位．
[题组训练]
1．将函数 y＝sin x＋π
6 的图象上所有的点向左平移π
4
个单位长度，再把图象上各点的横
坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为( )
A．y＝sin 2x＋5π
12 B．y＝sin
x
2
＋5π
12
C．y＝sin
x
2
－ π
12 D．y＝sin
x
2
＋5π
24
解析：选 B 将函数 y＝sin x＋π
6 的图象上所有的点向左平移π
4
个单位长度，得到函数 y
＝sin
x＋π
4 ＋π
6 ＝sin x＋5π
12 的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标
不变)，可得函数 y＝sin
1
2x＋5π
12 的图象，因此变换后所得图象对应的函数解析式为 y＝
sin
x
2
＋5π
12 .
2．(2019·潍坊统一考试)函数 y＝ 3sin 2x－cos 2x 的图象向右平移φ 0<φ<π
2 个单位长度
后，得到函数 g(x)的图象，若函数 g(x)为偶函数，则φ的值为( )
A. π
12 B.π
6
C.π
4 D.π
3
解析：选 B 由题意知 y＝ 3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－π
6 ，其图象向右平移φ个单位长
度后，得到函数 g(x)＝2sin 2x－2φ－π
6 的图象，因为 g(x)为偶函数，所以 2φ＋π
6
＝π
2
＋kπ，k
∈Z，所以φ＝π
6
＋kπ
2
，k∈Z，又因为φ∈ 0，π
2 ，所以φ＝π
6.
考点三 三角函数模型及其应用
[典例] 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上，按月呈 f(x)＝
Asin(ωx＋φ)＋B A>0，ω>0，|φ|<π
2 的模型波动(x 为月份)，已知 3 月份达到最高价 9 千元，
9 月份价格最低为 5 千元，则 7 月份的出厂价格为________元．
[解析] 作出函数 f(x)的简图如图所示，
三角函数模型为：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，
由题意知：A＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，
∴ω＝2π
T
＝π
6.
将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，
则有π
6
×3＋φ＝π
2
，∴φ＝0，
故 f(x)＝2 000sinπ
6x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．
∴f(7)＝2 000×sin7π
6
＋7 000＝6 000.
故 7 月份的出厂价格为 6 000 元．
[答案] 6 000
[解题技法]
三角函数模型在实际应用中的 2 种类型及解题策略
(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意
义及自变量与函数之间的对应法则；
(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识
解决问题，其关键是建模．
[题组训练]
1.如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数
y＝3sin
π
6x＋φ ＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最
大值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：选 C 设水深的最大值为 M，由题意并结合函数图象可得 3＋k＝M，
k－3＝2，
解得 M
＝8.
2 ． 某 城 市 一 年 中 12 个 月 的 平 均 气 温 与 月 份 的 关 系 可 近 似 地 用 函 数 y ＝ a ＋
Acos
π
6
x－6
(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知 6 月份的月平均气温最高为 28 ℃，12 月份的
月平均气温最低为 18 ℃，则 10 月份的平均气温为________℃.
解析：由题意得 a＋A＝28，
a－A＝18，
即 a＝23，
A＝5，
所以 y＝23＋5cos
π
6
x－6 ，令 x＝10，得
y＝20.5.
答案：20.5
[课时跟踪检测]
A 级
1．函数 y＝sin 2x－π
3 在区间 －π
2
，π 上的简图是( )
解析：选 A 令 x＝0，得 y＝sin
－π
3 ＝－ 3
2
，排除 B、D.由 f
－π
3 ＝0，f
π
6 ＝0，排除
C，故选 A.
2．函数 f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线 y＝2 所得线段长为π
2
，则 f
π
6 的值
是( )
A．－ 3 B. 3
3
C．1 D. 3
解析：选 D 由题意可知该函数的周期为π
2
，
∴π
ω
＝π
2
，ω＝2，f(x)＝tan 2x.
∴f
π
6 ＝tan π
3
＝ 3.
3．(2018·天津高考)将函数 y＝sin 2x＋π
5 的图象向右平移 π
10
个单位长度，所得图象对应
的函数( )
A．在区间
3π
4
，5π
4 上单调递增
B．在区间
3π
4
，π 上单调递减
C．在区间
5π
4
，3π
2 上单调递增
D．在区间
3π
2
，2π 上单调递减
解析：选 A 将函数 y＝sin 2x＋π
5 的图象向右平移 π
10
个单位长度后的解析式为 y＝
sin 2 x－ π
10 ＋π
5 ＝sin 2x，则函数 y＝sin 2x 的一个单调递增区间为
3π
4
，5π
4 ，一个单调递减
区间为
5π
4
，7π
4 .由此可判断选项 A 正确．
4.(2019·贵阳检测)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) ω>0，－π
2<φ<π
2 的部
分图象如图所示，则φ的值为( )
A．－π
3 B.π
3
C．－π
6 D.π
6
解析：选 B 由题意，得T
2
＝π
3
－ －π
6 ＝π
2
，所以 T＝π，由 T＝2π
ω
，得ω＝2，由图可知 A
＝1，所以 f(x)＝sin(2x＋φ)．又因为 f
π
3 ＝sin
2π
3
＋φ ＝0，－π
2<φ<π
2
，所以φ＝π
3.
5.(2019·武汉调研)函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：
①f(x)的最小正周期为 2；
②f(x)图象的一条对称轴为直线 x＝－1
2
；
③f(x)在 2k－1
4
，2k＋3
4 ，k∈Z 上是减函数；
④f(x)的最大值为 A.
则正确结论的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 B 由题图可知，函数 f(x)的最小正周期 T＝2×
5
4
－1
4 ＝2，故①正确；因为
函数f(x)的图象过点
1
4
，0 和
5
4
，0 ，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1
2
1
4
＋5
4 ＋kT
2
＝3
4
＋
k(k∈Z)，故直线 x＝－1
2
不是函数 f(x)图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当1
4
－T
4
＋
kT≤x≤1
4
＋T
4
＋kT(k∈Z)，即 2k－1
4
≤x≤2k＋3
4(k∈Z)时，f(x)是减函数，故③正确；若 A>0，
则最大值是 A，若 A<0，则最大值是－A，故④不正确．综上知正确结论的个数为 2.
6．(2018·山西大同质量检测)将函数 f(x)＝tan ωx＋π
3 (0<ω<10)的图象向右平移π
6
个单位
长度后与函数 f(x)的图象重合，则ω＝( )
A．9 B．6
C．4 D．8
解析：选 B 函数 f(x)＝tan ωx＋π
3 的图象向右平移π
6
个单位长度后所得图象对应的函数
解析式为 y＝tan ω x－π
6 ＋π
3 ＝tan ωx－ωπ
6
＋π
3 ，∵平移后的图象与函数 f(x)的图象重合，
∴－ωπ
6
＋π
3
＝π
3
＋kπ，k∈Z，解得ω＝－6k，k∈Z.又∵0<ω<10，∴ω＝6.
7．已知函数 f(x)＝2sin
π
3x＋φ |φ|＜π
2 的图象经过点(0,1)，则该函数的振幅为
____________，最小正周期 T 为__________，频率为___________，初相φ为___________．
解析：振幅 A＝2，最小正周期 T＝2π
π
3
＝6，频率 f＝1
6.
因为图象过点(0,1)，
所以 2sin φ＝1，所以 sin φ＝1
2
，
又因为|φ|＜π
2
，所以φ＝π
6.
答案：2 6 1
6
π
6
8.函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，
则 f(x)＝________.
解析：由图象可知 A＝2，3
4T＝11π
12
－π
6
＝3π
4
，∴T＝π，∴ω＝2，
∵当 x＝π
6
时，函数 f(x)取得最大值，
∴2×π
6
＋φ＝π
2
＋2kπ(k∈Z)，
∴φ＝π
6
＋2kπ(k∈Z)，
∵0<φ<π，∴φ＝π
6
，∴f(x)＝2sin 2x＋π
6 .
答案：2sin 2x＋π
6
9．已知函数 f(x)＝sin
π
3
－ωx (ω>0)向左平移半个周期得 g(x)的图象，若 g(x)在[0，π]
上的值域为 － 3
2
，1 ，则ω的取值范围是________．
解析：由题意，得 g(x)＝sin
π
3
－ω x＋π
ω
＝sin －π－ ωx－π
3 ＝sin ωx－π
3 ，
由 x∈[0，π]，得ωx－π
3
∈ －π
3
，ωπ－π
3 .
因为 g(x)在[0，π]上的值域为 － 3
2
，1 ，
所以π
2
≤ωπ－π
3
≤4π
3
，解得5
6
≤ω≤5
3.
故ω的取值范围是
5
6
，5
3 .
答案：
5
6
，5
3
10．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下
表是今年前四个月的统计情况：
月份 x 1 2 3 4
收购价格 y(元/斤) 6 7 6 5
选用一个三角函数模型来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为
________________．
解析：设 y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，
由题意得 A＝1，B＝6，T＝4，
因为 T＝2π
ω
，所以ω＝π
2
，所以 y＝sin
π
2x＋φ ＋6.
因为当 x＝1 时，y＝6，所以 sin
π
2
＋φ ＝0，
故π
2
＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－π
2
，
所以 y＝sin
π
2x－π
2 ＋6＝－cosπ
2x＋6.
答案：y＝－cosπ
2x＋6
11．设函数 f(x)＝cos(ωx＋φ) ω>0，－π
2<φ<0 的最小正周期为π，且 f
π
4 ＝ 3
2 .
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0，π]上的图象．
解：(1)因为 T＝2π
ω
＝π，所以ω＝2，
又因为 f
π
4 ＝cos 2×π
4
＋φ ＝cos
π
2
＋φ ＝－sin φ＝ 3
2
且－π
2<φ<0，所以φ＝－π
3.
(2)由(1)知 f(x)＝cos 2x－π
3 .
列表：
2x－π
3
－π
3 0 π
2 π 3π
2
5π
3
x 0 π
6
5π
12
2π
3
11π
12 π
f(x) 1
2 1 0 －1 0 1
2
描点，连线，可得函数 f(x)在[0，π]上的图象如图所示．
12．(2019·湖北八校联考)函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) ω>0，|φ|<π
2 在它的某一个周期内的单调
递减区间是
5π
12
，11π
12 .将 y＝f(x)的图象先向左平移π
4
个单位长度，再将图象上所有点的横坐
标变为原来的1
2(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为 g(x)．
(1)求 g(x)的解析式；
(2)求 g(x)在区间 0，π
4 上的最大值和最小值．
解：(1)∵T
2
＝11π
12
－5π
12
＝π
2
，∴T＝π，ω＝2π
T
＝2，
又∵sin 2×5π
12
＋φ ＝1，|φ|<π
2
，
∴φ＝－π
3
，f(x)＝sin 2x－π
3 ，
将函数 f(x)的图象向左平移π
4
个单位长度得
y＝sin 2 x＋π
4 －π
3 ＝sin 2x＋π
6 ，
再将 y＝sin 2x＋π
6 的图象上所有点的横坐标变为原来的1
2(纵坐标不变)得 g(x)＝
sin 4x＋π
6 .
∴g(x)＝sin 4x＋π
6 .
(2)∵x∈ 0，π
4 ，∴4x＋π
6
∈
π
6
，7π
6 ，
当 4x＋π
6
＝π
2
时，x＝ π
12
，
∴g(x)在 0， π
12 上为增函数，在
π
12
，π
4 上为减函数，
所以 g(x)max＝g
π
12 ＝1，
又因为 g(0)＝1
2
，g
π
4 ＝－1
2
，所以 g(x)min＝－1
2
，
故函数 g(x)在区间 0，π
4 上的最大值和最小值分别为 1 和－1
2.
B 级
1．(2019·惠州调研)函数 f(x)＝Asin(2x＋θ) A>0，|θ|≤π
2 的部分图象如图
所示，且 f(a)＝f(b)＝0，对不同的 x1，x2∈[a，b]，若 f(x1)＝f(x2)，有 f(x1＋
x2)＝ 3，则( )
A．f(x)在 －5π
12
， π
12 上是减函数
B．f(x)在 －5π
12
， π
12 上是增函数
C．f(x)在
π
3
，5π
6 上是减函数
D．f(x)在
π
3
，5π
6 上是增函数
解析：选 B 由题图知 A＝2，设 m∈[a，b]，且 f(0)＝f(m)，则 f(0＋m)＝f(m)＝f(0)＝ 3，
∴2sin θ＝ 3，sin θ＝ 3
2
，又∵|θ|≤π
2
，∴θ＝π
3
，∴f(x)＝2sin 2x＋π
3 ，令－π
2
＋2kπ≤2x＋π
3
≤π
2
＋2kπ，k∈Z，解得－5π
12
＋kπ≤x≤ π
12
＋kπ，k∈Z，此时 f(x)单调递增．所以选项 B 正确．
2．(2019·福州四校联考)函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移 π
12
个单位长度得到函数 y
＝g(x)的图象，并且函数 g(x)在区间
π
6
，π
3 上单调递增，在区间
π
3
，π
2 上单调递减，则实数ω
的值为( )
A.7
4 B.3
2
C．2 D.5
4
解析：选 C 因为将函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移 π
12
个单位长度得到函数 y＝
g(x)的图象，所以 g(x)＝sin ω x－ π
12 ，又因为函数 g(x)在区间
π
6
，π
3 上单调递增，在区间
π
3
，π
2 上单调递减，所以 g
π
3 ＝sinωπ
4
＝1 且2π
ω
≥π
3
，所以{ω＝8k＋2k∈Z， 0<ω≤6， 所
以ω＝2.
3.(2018·南昌模拟)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|<π
2 的部
分图象如图所示．
(1)求函数 f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；
(2)若方程 f(x)＋2cos 4x＋π
3 ＝a 有实数解，求 a 的取值范围．
解：(1)由图可得 A＝2，T
2
＝2π
3
－π
6
＝π
2
，
所以 T＝π，所以ω＝2.
当 x＝π
6
时，f(x)＝2，可得 2sin 2×π
6
＋φ ＝2，
因为|φ|<π
2
，所以φ＝π
6.
所以函数 f(x)的解析式为 f(x)＝2sin 2x＋π
6 .
令 2x＋π
6
＝kπ(k∈Z)，得 x＝kπ
2
－ π
12(k∈Z)，
所以函数 f(x)图象的对称中心为
kπ
2
－ π
12
，0 (k∈Z)．
(2)设 g(x)＝f(x)＋2cos 4x＋π
3 ，
则 g(x)＝2sin 2x＋π
6 ＋2cos 4x＋π
3
＝2sin 2x＋π
6 ＋2 1－2sin2 2x＋π
6 ，
令 t＝sin 2x＋π
6 ，t∈[－1,1]，
记 h(t)＝－4t2＋2t＋2＝－4 t－1
4 2＋9
4
，
因为 t∈[－1,1]，
所以 h(t)∈ －4，9
4 ，
即 g(x)∈ －4，9
4 ，故 a∈ －4，9
4 .
故 a 的取值范围为 －4，9
4 .
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
一、基础知识
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
S(α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
C(α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.
T(α±β)：tan(α±β)＝ tan α±tan β
1∓tan αtan β
α，β，α±β≠π
2
＋kπ，k∈Z .
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C(α±β)同名相乘，
符号反；S(α±β)异名相乘，符号同；T(α±β)分子同，分母反.
2．二倍角公式
S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
T2α：tan 2α＝ 2tan α
1－tan2α
α≠kπ＋π
2
且α≠kπ
2
＋π
4
，k∈Z .
二倍角是相对的，例如，α
2
是α
4
的二倍角，3α是3α
2
的二倍角．
二、常用结论
(1)降幂公式：cos2α＝1＋cos 2α
2
，sin2α＝1－cos 2α
2
.
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
(4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)
其中 sin φ＝ b
a2＋b2
，cos φ＝ a
a2＋b2 .
考点一 三角函数公式的直接应用
[典例] (1)已知 sin α＝3
5
，α∈
π
2
，π ，tan β＝－1
2
，则 tan(α－β)的值为( )
A．－ 2
11 B. 2
11
C.11
2 D．－11
2
(2)(2019·呼和浩特调研)若 sin(π－α)＝1
3
，且π
2
≤α≤π，则 sin 2α的值为( )
A．－2 2
9 B．－4 2
9
C.2 2
9 D.4 2
9
[解析] (1)因为 sin α＝3
5
，α∈
π
2
，π ，
所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－4
5
，
所以 tan α＝sin α
cos α
＝－3
4.
所以 tan(α－β)＝ tan α－tan β
1＋tan αtan β
＝－ 2
11.
(2)因为 sin(π－α)＝sin α＝1
3
，π
2
≤α≤π，
所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－2 2
3
，
所以 sin 2α＝2sin αcos α＝2×1
3
× －2 2
3 ＝－4 2
9 .
[答案] (1)A (2)B
[解题技法] 应用三角公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同
名相乘，符号反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
[题组训练]
1．已知 sin α＝1
3
＋cos α，且α∈ 0，π
2 ，则
cos 2α
sin α＋π
4
的值为( )
A．－ 2
3 B. 2
3
C．－1
3 D.1
3
解析：选 A 因为 sin α＝1
3
＋cos α，所以 sin α－cos α＝1
3
，
所以
cos 2α
sin α＋π
4
＝ cos2α－sin2α
sin αcosπ
4
＋cos αsin π
4
＝
cos α－sin αcos α＋sin α
2
2
sin α＋cos α
＝
－1
3
2
2
＝－ 2
3 .
2．已知 sin α＝4
5
，且α∈
π
2
，3π
2 ，则 sin 2α＋π
3 的值为________．
解析：因为 sin α＝4
5
，且α∈
π
2
，3π
2 ，所以α∈
π
2
，π ，
所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－ 1－
4
5 2＝－3
5.
因为 sin 2α＝2sin αcos α＝－24
25
，cos 2α＝2cos2α－1＝－ 7
25.
所以 sin 2α＋π
3 ＝sin 2αcosπ
3
＋cos 2αsinπ
3
＝－24＋7 3
50
.
答案：－24＋7 3
50
考点二 三角函数公式的逆用与变形用
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知 sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则 sin(α＋β)＝
________.
(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋ 3tan 25°tan 35°＝________.
[解析] (1)∵sin α＋cos β＝1，①
cos α＋sin β＝0，②
∴①2＋②2 得 1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝－1
2
，
∴sin(α＋β)＝－1
2.
(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋ 3tan 25°·tan 35°＝ 3(1－tan 25°tan 35°)＋
3tan 25°tan 35°＝ 3.
[答案] (1)－1
2 (2) 3
[解题技法]
两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)公式的一些常用变形：
sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；
cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；
1±sin α＝ sinα
2±cosα
2 2；
sin 2α＝ 2sin αcos α
sin2α＋cos2α
＝ 2tan α
tan2α＋1
；
cos 2α＝cos2α－sin2α
cos2α＋sin2α
＝1－tan2α
1＋tan2α
.
[提醒]
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或 tan α－tan β)，tan(α＋β)(或 tan(α－β))三者中可以知二求一，
且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．
(3)注意特殊角的应用，当式子中出现1
2
，1，3
2
， 3等这些数值时，一定要考虑引入特
殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
[题组训练]
1.设 a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝ 2
2 (sin 56°－cos 56°)，c＝1－tan239°
1＋tan239°
，则
a，b，c 的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
解析：选 D 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得 a＝cos 50°cos 127°＋cos
40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin
13°，b＝ 2
2 (sin 56°－cos 56°)＝ 2
2 sin 56°－ 2
2 cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c＝1－tan239°
1＋tan239°
＝
1－sin239°
cos239°
1＋sin239°
cos239°
＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数 y＝sin x，x∈ 0，π
2 为增函数，
所以 sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以 a>c>b.
2.已知 cos α－π
6 ＋sin α＝4 3
5
，则 sin α＋π
6 ＝________.
解析：由 cos α－π
6 ＋sin α＝4 3
5
，
可得 3
2 cos α＋1
2sin α＋sin α＝4 3
5
，
即 3
2sin α＋ 3
2 cos α＝4 3
5
，
∴ 3sin α＋π
6 ＝4 3
5
，即 sin α＋π
6 ＝4
5.
答案：4
5
3.化简 sin2 α－π
6 ＋sin2 α＋π
6 －sin2α的结果是________．
解析：原式＝1－cos 2α－π
3
2
＋1－cos 2α＋π
3
2
－sin2α
＝1－1
2
cos 2α－π
3 ＋cos 2α＋π
3 －sin2α
＝1－cos 2α·cos π
3
－sin2α
＝1－cos 2α
2
－1－cos 2α
2
＝1
2.
答案：1
2
考点三 角的变换与名的变换
考法(一) 三角公式中角的变换
[典例] (2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重
合，它的终边过点 P
－3
5
，－4
5 .若角β满足 sin(α＋β)＝ 5
13
，则 cos β的值为________．
[解析] 由角α的终边过点 P
－3
5
，－4
5 ，
得 sin α＝－4
5
，cos α＝－3
5.
由 sin(α＋β)＝ 5
13
，得 cos(α＋β)＝±12
13.
由β＝(α＋β)－α，得 cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以 cos β＝－56
65
或 cos β＝16
65.
[答案] －56
65
或16
65
[解题技法]
1．三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，
再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2．常见的配角技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β
2
－α－β
2
，α＝α＋β
2
＋α－β
2
，α－β
2
＝ α＋β
2 －
α
2
＋β 等．
考法(二) 三角公式中名的变换
[典例] (2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝4
3
，cos(α＋β)＝－ 5
5 .
(1)求 cos 2α的值；
(2)求 tan(α－β)的值．
[解] (1)因为 tan α＝4
3
，tan α＝sin α
cos α
，
所以 sin α＝4
3cos α .
因为 sin2α＋cos2α＝1，
所以 cos2α＝ 9
25
，
所以 cos 2α＝2cos2α－1＝－ 7
25.
(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为 cos(α＋β)＝－ 5
5
，所以α＋β∈
π
2
，π .
所以 sin(α＋β)＝ 1－cos2α＋β＝2 5
5
，
所以 tan(α＋β)＝－2.
因为 tan α＝4
3
，
所以 tan 2α＝ 2tan α
1－tan2α
＝－24
7 .
所以 tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]
＝ tan 2α－tanα＋β
1＋tan 2αtanα＋β
＝－ 2
11.
[解题技法] 三角函数名的变换技巧
明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为
正切，或者把正切化为正弦、余弦．
[题组训练]
1．已知 tan θ＋ 1
tan θ
＝4，则 cos2 θ＋π
4 ＝( )
A.1
2 B.1
3
C.1
4 D.1
5
解析：选 C 由 tan θ＋ 1
tan θ
＝4，得sin θ
cos θ
＋cos θ
sin θ
＝4，即sin2θ＋cos2θ
sin θcos θ
＝4，∴sin θcos θ
＝1
4
，∴cos2 θ＋π
4 ＝1＋cos 2θ＋π
2
2
＝1－sin 2θ
2
＝1－2sin θcos θ
2
＝
1－2×1
4
2
＝1
4.
2．(2018·济南一模)若 sin A＋π
4 ＝7 2
10
，A∈
π
4
，π ，则 sin A 的值为( )
A.3
5 B.4
5
C.3
5
或4
5 D.3
4
解析：选 B ∵A∈
π
4
，π ，∴A＋π
4
∈
π
2
，5π
4 ，
∴cos A＋π
4 ＝－ 1－sin2 A＋π
4 ＝－ 2
10
，
∴sin A＝sin
A＋π
4 －π
4
＝sin A＋π
4 cosπ
4
－cos A＋π
4 sinπ
4
＝4
5.
3．已知 sin α＝－4
5
，α∈
3π
2
，2π ，若sinα＋β
cos β
＝2，则 tan(α＋β)＝( )
A. 6
13 B.13
6
C．－ 6
13 D．－13
6
解析：选 A ∵sin α＝－4
5
，α∈
3π
2
，2π ，
∴cos α＝3
5.
又∵sinα＋β
cos β
＝2，
∴sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]．
展开并整理，得 6
5cos(α＋β)＝13
5 sin(α＋β)，
∴tan(α＋β)＝ 6
13.
[课时跟踪检测]
A 级
1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( )
A．1 B.1
2
C. 3
2 D．－1
2
解析：选 B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝
sin(45°－15°)＝sin 30°＝1
2.
2．若 2sin x＋cos
π
2
－x ＝1，则 cos 2x＝( )
A．－8
9 B．－7
9
C.7
9 D．－ 7
25
解析：选 C 因为 2sin x＋cos
π
2
－x ＝1，所以 3sin x＝1，所以 sin x＝1
3
，所以 cos 2x＝
1－2sin2x＝7
9.
3．(2018·山西名校联考)若 cos α－π
6 ＝－ 3
3
，则 cos α－π
3 ＋cos α＝( )
A．－2 2
3 B．±2 2
3
C．－1 D．±1
解析：选 C cos α－π
3 ＋cos α＝1
2cos α＋ 3
2 sin α＋cos α＝3
2cos α＋ 3
2 sin α＝ 3cos α－π
6
＝－1.
4．tan 18°＋tan 12°＋ 3
3 tan 18°tan 12°＝( )
A. 3 B. 2
C. 2
2 D. 3
3
解析：选 D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝ tan 18°＋tan 12°
1－tan 18°tan 12°
＝ 3
3
，
∴tan 18°＋tan 12°＝ 3
3 (1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝ 3
3 .
5．若α∈
π
2
，π ，且 3cos 2α＝sin
π
4
－α ，则 sin 2α的值为( )
A．－ 1
18 B. 1
18
C．－17
18 D.17
18
解析：选 C 由 3cos 2α＝sin
π
4
－α ，可得 3(cos2α－sin2α)＝ 2
2 (cos α－sin α)，又由α∈
π
2
，π ，可知 cos α－sin α≠0，于是 3(cos α＋sin α)＝ 2
2
，所以 1＋2sin αcos α＝ 1
18
，故 sin 2α
＝－17
18.
6．已知 sin 2α＝1
3
，则 cos2 α－π
4 ＝( )
A．－1
3 B.1
3
C．－2
3 D.2
3
解析：选 D cos2 α－π
4 ＝1＋cos 2α－π
2
2
＝1
2
＋1
2sin 2α＝1
2
＋1
2
×1
3
＝2
3.
7．已知 sin
π
2
＋α ＝1
2
，α∈ －π
2
，0 ，则 cos α－π
3 的值为________．
解析：由已知得 cos α＝1
2
，sin α＝－ 3
2
，
所以 cos α－π
3 ＝1
2cos α＋ 3
2 sin α＝－1
2.
答案：－1
2
8．(2019·湘东五校联考)已知 sin(α＋β)＝1
2
，sin(α－β)＝1
3
，则tan α
tan β
＝________.
解析：因为 sin(α＋β)＝1
2
，sin(α－β)＝1
3
，所以 sin αcos β＋cos αsin β＝1
2
，sin αcos β－cos
αsin β＝1
3
，所以 sin αcos β＝ 5
12
，cos αsin β＝ 1
12
，所以tan α
tan β
＝sin αcos β
cos αsin β
＝5.
答案：5
9．(2017·江苏高考)若 tan α－π
4 ＝1
6
，则 tan α＝________.
解析：tan α＝tan
α－π
4 ＋π
4
＝
tan α－π
4 ＋tanπ
4
1－tan α－π
4 tanπ
4
＝
1
6
＋1
1－1
6
＝7
5.
答案：7
5
10．化简：
sin235°－1
2
cos 10°cos 80°
＝________.
解析：
sin235°－1
2
cos 10°cos 80°
＝
1－cos 70°
2
－1
2
cos 10°sin 10°
＝
－1
2cos 70°
1
2sin 20°
＝－1.
答案：－1
11．已知 tan α＝2.
(1)求 tan α＋π
4 的值；
(2)求 sin 2α
sin2α＋sin αcos α－cos 2α－1
的值．
解：(1)tan α＋π
4 ＝
tan α＋tanπ
4
1－tan αtanπ
4
＝2＋1
1－2
＝－3.
(2) sin 2α
sin2α＋sin αcos α－cos 2α－1
＝ 2sin αcos α
sin2α＋sin αcos α－2cos2α－1－1
＝ 2sin αcos α
sin2α＋sin αcos α－2cos2α
＝ 2tan α
tan2α＋tan α－2
＝ 2×2
22＋2－2
＝1.
12．已知α，β均为锐角，且 sin α＝3
5
，tan(α－β)＝－1
3.
(1)求 sin(α－β)的值；
(2)求 cos β的值．
解：(1)∵α，β∈ 0，π
2 ，∴－π
2<α－β<π
2.
又∵tan(α－β)＝－1
3<0，∴－π
2<α－β<0.
∴sin(α－β)＝－ 10
10 .
(2)由(1)可得，cos(α－β)＝3 10
10 .
∵α为锐角，且 sin α＝3
5
，∴cos α＝4
5.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝4
5
×3 10
10
＋3
5
× － 10
10 ＝9 10
50 .
B 级
1．(2019·广东五校联考)若 tan
π
2
－θ ＝4cos(2π－θ)，|θ|<π
2
，则 tan 2θ＝________.
解析：∵tan
π
2
－θ ＝4cos(2π－θ)，∴cos θ
sin θ
＝4cos θ，
又∵|θ|<π
2
，∴sin θ＝1
4
，
∴0<θ<π
2
，cos θ＝ 15
4
，tan θ＝sin θ
cos θ
＝ 1
15
，
从而 tan 2θ＝ 2tan θ
1－tan2θ
＝ 15
7 .
答案： 15
7
2．(2018·江西新建二中期中)已知 A，B 均为锐角，cos(A＋B)＝－24
25
，sin B＋π
3 ＝3
5
，则
cos A－π
3 ＝________.
解析：因为 A，B 均为锐角，cos(A＋B)＝－24
25
，sin B＋π
3 ＝3
5
，
所以π
20，
所以 sin α>0，cos α<0，cos α－sin α<0，cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－ sin
α)<0.
所以 cos 2α＝－ 1－sin22α＝－ 1－ －2
3 2＝－ 5
3 .
法二：由 cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)，且α为第二象限角，得 cos
α－sin α<0，
因为 sin α＋cos α＝ 3
3
，
所以(sin α＋cos α)2＝1
3
＝1＋2sin αcos α，
得 2sin αcos α＝－2
3
，从而(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝5
3
，则 cos α－sin α＝－ 15
3
，
所以 cos 2α＝ 3
3
× － 15
3 ＝－ 5
3 .
3．已知锐角α，β满足 sin α＝ 5
5
，cos β＝3 10
10
，则α＋β等于( )
A.3π
4 B.π
4
或3π
4
C.π
4 D．2kπ＋π
4(k∈Z)
解析：选 C 由 sin α＝ 5
5
，cos β＝3 10
10
，且α，β为锐角，
可知 cos α＝2 5
5
，sin β＝ 10
10
，
故 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝2 5
5
×3 10
10
－ 5
5
× 10
10
＝ 2
2
，
又 0<α＋β<π，故α＋β＝π
4.
考点三 三角恒等变换的综合应用
[典例] (2018·北京高考)已知函数 f(x)＝sin2x＋ 3sin xcos x.
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)若 f(x)在区间 －π
3
，m 上的最大值为3
2
，求 m 的最小值．
[解] (1)因为 f(x)＝sin2x＋ 3sin xcos x
＝1
2
－1
2cos 2x＋ 3
2 sin 2x
＝sin 2x－π
6 ＋1
2
，
所以 f(x)的最小正周期为 T＝2π
2
＝π.
(2)由(1)知 f(x)＝sin 2x－π
6 ＋1
2.
由题意知－π
3
≤x≤m，
所以－5π
6
≤2x－π
6
≤2m－π
6.
要使 f(x)在区间 －π
3
，m 上的最大值为3
2
，
即 sin 2x－π
6 在区间 －π
3
，m 上的最大值为 1，
所以 2m－π
6
≥π
2
，即 m≥π
3.
所以 m 的最小值为π
3.
[解题技法]
三角恒等变换综合应用的解题思路
(1)将 f(x)化为 asin x＋bcos x 的形式；
(2)构造 f(x)＝ a2＋b2
a
a2＋b2·sin x＋ b
a2＋b2·cos x ；
(3)和角公式逆用，得 f(x)＝ a2＋b2sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)；
(4)利用 f(x)＝ a2＋b2sin(x＋φ)研究三角函数的性质；
(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
[题组训练]
1．已知ω>0，函数 f(x)＝sin ωxcos ωx＋ 3cos2ωx－ 3
2
的最小正周期为π，则下列结论正
确的是( )
A．函数 f(x)的图象关于直线 x＝π
3
对称
B．函数 f(x)在区间
π
12
，7π
12 上单调递增
C．将函数 f(x)的图象向右平移π
6
个单位长度可得函数 g(x)＝cos 2x 的图象
D．当 x∈ 0，π
2 时，函数 f(x)的最大值为 1，最小值为－ 3
2
解析 ：选 D 因为 f(x)＝sin ωxcos ωx ＋ 3 cos2ωx － 3
2
＝1
2 sin 2ωx ＋ 3
2 cos 2ωx ＝
sin 2ωx＋π
3 ，所以 T＝2π
2ω
＝π，所以ω＝1，所以 f(x)＝sin 2x＋π
3 .对于 A，因为 f
π
3 ＝0，所
以不正确；对于 B，当 x∈
π
12
，7π
12 时，2x＋π
3
∈
π
2
，3π
2 ，所以函数 f(x)在区间
π
12
，7π
12 上单
调递减，故不正确；对于 C，将函数 f(x)的图象向右平移π
6
个单位长度所得图象对应的函数 y
＝f x－π
6 ＝sin 2 x－π
6 ＋π
3 ＝sin 2x，所以不正确；对于 D，当 x∈ 0，π
2 时，2x＋π
3
∈
π
3
，4π
3 ，
所以 f(x)∈ － 3
2
，1 ，故正确．故选 D.
2．已知函数 f(x)＝4sin xcos x－π
3 － 3.
(1)求函数 f(x)的单调区间；
(2)求函数 f(x)图象的对称轴和对称中心．
解：(1)f(x)＝4sin xcos x－π
3 － 3
＝4sin x
1
2cos x＋ 3
2 sin x － 3
＝2sin xcos x＋2 3sin2x－ 3
＝sin 2x＋ 3(1－cos 2x)－ 3
＝sin 2x－ 3cos 2x
＝2sin 2x－π
3 .
令 2kπ－π
2
≤2x－π
3
≤2kπ＋π
2(k∈Z)，
得 kπ－ π
12
≤x≤kπ＋5π
12(k∈Z)，
所以函数 f(x)的单调递增区间为 kπ－ π
12
，kπ＋5π
12 (k∈Z)．
令 2kπ＋π
2
≤2x－π
3
≤2kπ＋3π
2 (k∈Z)，
得 kπ＋5π
12
≤x≤kπ＋11π
12 (k∈Z)，
所以函数 f(x)的单调递减区间为 kπ＋5π
12
，kπ＋11π
12 (k∈Z)．
(2)令 2x－π
3
＝kπ＋π
2(k∈Z)，得 x＝kπ
2
＋5π
12(k∈Z)，
所以函数 f(x)的对称轴方程为 x＝kπ
2
＋5π
12(k∈Z)．
令 2x－π
3
＝kπ(k∈Z)，得 x＝kπ
2
＋π
6(k∈Z)，
所以函数 f(x)的对称中心为
kπ
2
＋π
6
，0 (k∈Z)．
[课时跟踪检测]
A 级
1．已知 sin
π
6
－α ＝cos
π
6
＋α ，则 tan α＝( )
A．1 B．－1
C.1
2 D．0
解析：选 B ∵sin
π
6
－α ＝cos
π
6
＋α ，
∴1
2cos α－ 3
2 sin α＝ 3
2 cos α－1
2sin α，
即
3
2
－1
2 sin α＝
1
2
－ 3
2 cos α，
∴tan α＝sin α
cos α
＝－1.
2．化简： cos 40°
cos 25° 1－sin 40°
＝( )
A．1 B. 3
C. 2 D．2
解析：选 C 原式＝ cos220°－sin220°
cos 25°cos 20°－sin 20°
＝cos 20°＋sin 20°
cos 25°
＝ 2cos 25°
cos 25°
＝ 2.
3．(2018·唐山五校联考)已知α是第三象限的角，且 tan α＝2，则 sin α＋π
4 ＝( )
A．－ 10
10 B. 10
10
C．－3 10
10 D.3 10
10
解析：选 C 因为α是第三象限的角，tan α＝2，
所以
sin α
cos α
＝2， sin2α＋cos2α＝1， 所以 cos α＝－ 5
5
，sin α＝－2 5
5
，
则 sin α＋π
4 ＝sin αcosπ
4
＋cos αsinπ
4
＝－2 5
5
× 2
2
－ 5
5
× 2
2
＝－3 10
10 .
4．(2019·咸宁模拟)已知 tan(α＋β)＝2，tan β＝3，则 sin 2α＝( )
A. 7
25 B.14
25
C．－ 7
25 D．－14
25
解析：选 C 由题意知 tan α＝tan[(α＋β)－β]＝ tanα＋β－tan β
1＋tanα＋βtan β
＝－1
7
，
所以 sin 2α＝ 2sin αcos α
sin2α＋cos2α
＝ 2tan α
tan2α＋1
＝－ 7
25.
5．已知 cos
2π
3
－2θ ＝－7
9
，则 sin
π
6
＋θ 的值为( )
A.1
3 B．±1
3
C．－1
9 D.1
9
解析：选 B ∵cos
2π
3
－2θ ＝－7
9
，
∴cos π－
π
3
＋2θ ＝－cos
π
3
＋2θ
＝－cos 2
π
6
＋θ ＝－ 1－2sin2
π
6
＋θ ＝－7
9
，
解得 sin2
π
6
＋θ ＝1
9
，∴sin
π
6
＋θ ＝±1
3.
6．若 sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝4
5
，且α为第二象限角，则 tan α＋π
4 ＝( )
A．7 B.1
7
C．－7 D．－1
7
解析：选 B ∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝4
5
，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝4
5
，
∴cos α＝－4
5.又∵α为第二象限角，∴tan α＝－3
4
，∴tan α＋π
4 ＝1＋tan α
1－tan α
＝1
7.
7．化简：2sinπ－α＋sin 2α
cos2α
2
＝________.
解析：2sinπ－α＋sin 2α
cos2α
2
＝2sin α＋2sin αcos α
1
2
1＋cos α
＝4sin α1＋cos α
1＋cos α
＝4sin α.
答案：4sin α
8．(2018·洛阳第一次统考)已知 sin α＋cos α＝ 5
2
，则 cos 4α＝________.
解析：由 sin α＋cos α＝ 5
2
，得 sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝5
4
，所以 sin 2α＝
1
4
，从而 cos 4α＝1－2sin22α＝1－2×
1
4 2＝7
8.
答案：7
8
9．若锐角α，β满足 tan α＋tan β＝ 3－ 3tan αtan β，则α＋β＝________.
解析：由已知可得 tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝ 3，
即 tan(α＋β)＝ 3.
又因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π
3.
答案：π
3
10．函数 y＝sin xcos x＋π
3 的最小正周期是________．
解析：y＝sin xcos x＋π
3 ＝1
2sin xcos x－ 3
2 sin2x＝1
4sin 2x－ 3
2 ·1－cos 2x
2
＝1
2sin 2x＋π
3 －
3
4
，故函数 f(x)的最小正周期 T＝2π
2
＝π.
答案：π
11．化简：(1) 3tan 12°－3
sin 12°4cos212°－2
；
(2)
cos2α
1
tan α
2
－tan α
2
.
解：(1)原式＝
3sin 12°
cos 12°
－3
22cos212°－1sin 12°
＝ 3sin 12°－3cos 12°
2sin 12°cos 12°cos 24°
＝2 3sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60°
sin 24°cos 24°
＝4 3sin12°－60°
sin 48°
＝－4 3.
(2)法一：原式＝
cos2α
cosα
2
sinα
2
－
sinα
2
cosα
2
＝
cos2 α
cos2 α
2
－sin2 α
2
sinα
2cosα
2
＝
cos2αsinα
2cosα
2
cos2 α
2
－sin2 α
2
＝cos2αsinα
2cosα
2
cos α
＝sinα
2cosα
2cos α＝1
2sin αcos α＝1
4sin 2α.
法二：原式＝
cos2αtanα
2
1－tan2 α
2
＝1
2cos2α·
2tanα
2
1－tan2 α
2
＝1
2cos2α·tan α＝1
2cos αsin α＝1
4sin 2α.
12．已知函数 f(x)＝2sin xsin x＋π
6 .
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当 x∈ 0，π
2 时，求函数 f(x)的值域．
解：(1)因为 f(x)＝2sin x
3
2 sin x＋1
2cos x ＝ 3×1－cos 2x
2
＋1
2sin 2x＝sin 2x－π
3 ＋ 3
2
，
所以函数 f(x)的最小正周期为 T＝π.
由－π
2
＋2kπ≤2x－π
3
≤π
2
＋2kπ，k∈Z，
解得－ π
12
＋kπ≤x≤5π
12
＋kπ，k∈Z，
所以函数 f(x)的单调递增区间是 － π
12
＋kπ，5π
12
＋kπ ，k∈Z.
(2)当 x∈ 0，π
2 时，2x－π
3
∈ －π
3
，2π
3 ，
sin 2x－π
3 ∈ － 3
2
，1 ，f(x)∈ 0，1＋ 3
2 .
故 f(x)的值域为 0，1＋ 3
2 .
B 级
1．(2018·大庆中学期末)已知 tan α， 1
tan α
是关于 x 的方程 x2－kx＋k2－3＝0 的两个实根，
且 3π<α<7π
2
，则 cos α＋sin α＝( )
A. 3 B. 2
C．－ 2 D．－ 3
解析：选 C ∵tan α， 1
tan α
是关于 x 的方程 x2－kx＋k2－3＝0 的两个实根，∴tan α＋ 1
tan α
＝k，tan α· 1
tan α
＝k2－3.
∵3π<α<7π
2
，∴k>0，∴k＝2，
∴tan α＝1，∴α＝3π＋π
4
，
则 cos α＝－ 2
2
，sin α＝－ 2
2
，∴cos α＋sin α＝－ 2.
2．在△ABC 中，sin(C－A)＝1，sin B＝1
3
，则 sin A＝________.
解析：∵sin(C－A)＝1，
∴C－A＝90°，即 C＝90°＋A，
∵sin B＝1
3
，
∴sin B＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2A)＝cos 2A＝1
3
，
即 1－2sin2A＝1
3
，∴sin A＝ 3
3 .
答案： 3
3
3．已知角α的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点 P(－3， 3)．
(1)求 sin 2α－tan α的值；
(2)若函数 f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数 g(x)＝ 3f
π
2
－2x －2f 2(x)在区间
0，2π
3 上的值域．
解：(1)∵角α的终边经过点 P(－3， 3)，
∴sin α＝1
2
，cos α＝－ 3
2
，tan α＝－ 3
3 .
∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－ 3
2
＋ 3
3
＝－ 3
6 .
(2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，
∴g(x)＝ 3cos
π
2
－2x －2cos2x＝ 3sin 2x－1－cos 2x＝2sin 2x－π
6 －1.
∵0≤x≤2π
3
，
∴－π
6
≤2x－π
6
≤7π
6 .
∴－1
2
≤sin 2x－π
6 ≤1，
∴－2≤2sin 2x－π
6 －1≤1，
故函数 g(x)＝ 3f
π
2
－2x －2f2(x)在区间 0，2π
3 上的值域是[－2,1]．
第七节 正弦定理和余弦定理
一、基础知识
1．正弦定理
a
sin A
＝ b
sin B
＝ c
sin C
＝2R(R 为△ABC 外接圆的半径)．
正弦定理的常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝ a
2R
，sin B＝ b
2R
，sin C＝ c
2R
；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4) a＋b＋c
sin A＋sin B＋sin C
＝ a
sin A.
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C.
3．三角形的面积公式
(1)S△ABC＝1
2aha(ha 为边 a 上的高)；
(2)S△ABC＝1
2absin C＝1
2bcsin A＝1
2acsin B；
(3)S＝1
2r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)．
二、常用结论汇总——规律多一点
1．三角形内角和定理
在△ABC 中，A＋B＋C＝π；变形：A＋B
2
＝π
2
－C
2.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sinA＋B
2
＝cosC
2
；(4)cosA＋B
2
＝sinC
2.
3．三角形中的射影定理
在△ABC 中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
4．用余弦定理判断三角形的形状
在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，当 b2＋c2－a2>0 时，可知 A 为锐角；
当 b2＋c2－a2＝0 时，可知 A 为直角；当 b2＋c2－a2<0 时，可知 A 为钝角．
第一课时 正弦定理和余弦定理(一)
考点一 利用正、余弦定理解三角形
考法(一) 正弦定理解三角形
[典例] (1)(2019·江西重点中学联考)在△ABC 中，a＝3，b＝2，A＝30°，则 cos B＝
________.
(2)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a＝ 3，sin B＝1
2
，C＝π
6
，则 b
＝________.
[解析] (1)由正弦定理可得 sin B＝bsin A
a
＝2×sin 30°
3
＝1
3
，∵a＝3>b＝2，∴B1.
∴角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在．
3．(2018·重庆六校联考)在△ABC 中，cos B＝a
c(a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边)，
则△ABC 的形状为( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解析：选 A 因为 cos B＝a
c
，由余弦定理得a2＋c2－b2
2ac
＝a
c
，整理得 b2＋a2＝c2，即 C 为
直角，则△ABC 为直角三角形．
4．在△ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边．若 bsin A＝3csin B，a＝3， cos
B＝2
3
，则 b＝( )
A．14 B．6
C. 14 D. 6
解析：选 D ∵bsin A＝3csin B⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，∴b2＝a2＋c2－2accos B＝9
＋1－2×3×1×2
3
＝6，∴b＝ 6.
5．(2019·莆田调研)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 asin Bcos C
＋csin Bcos A＝1
2b，且 a>b，则 B＝( )
A.π
6 B.π
3
C.2π
3 D.5π
6
解析：选 A ∵asin Bcos C＋csin Bcos A＝1
2b，∴根据正弦定理可得 sin Asin Bcos C＋sin
Csin Bcos A＝1
2sin B，即 sin B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝1
2sin B．∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝1
2
，
即 sin B＝1
2.∵a>b，∴A>B，即 B 为锐角，∴B＝π
6.
6．(2019·山西大同联考)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2(bcos A
＋acos B)＝c2，b＝3,3cos A＝1，则 a＝( )
A. 5 B．3
C. 10 D．4
解析：选 B 由正弦定理可得 2(sin Bcos A＋sin Acos B)＝csin C，
∵2(sin Bcos A＋sin Acos B)＝2sin(A＋B)＝2sin C，
∴2sin C＝csin C，∵sin C>0，∴c＝2，由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋22－
2×3×2×1
3
＝9，∴a＝3.
7．在△ABC 中，AB＝ 6，A＝75°，B＝45°，则 AC＝________.
解析：C＝180°－75°－45°＝60°，
由正弦定理得 AB
sin C
＝ AC
sin B
，
即 6
sin 60°
＝ AC
sin 45°
，解得 AC＝2.
答案：2
8．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a＝2，cos C＝－1
4
，3sin A＝
2sin B，则 c＝________.
解析：∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b.
又∵a＝2，∴b＝3.
由余弦定理可知 c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴c2＝22＋32－2×2×3× －1
4 ＝16，∴c＝4.
答案：4
9．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a＝ 7，b＝2，
A＝60°，则 sin B＝________，c＝________.
解析：由正弦定理 a
sin A
＝ b
sin B
，
得 sin B＝b
a·sin A＝ 2
7
× 3
2
＝ 21
7 .
由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，
得 7＝4＋c2－4c×cos 60°，
即 c2－2c－3＝0，解得 c＝3 或 c＝－1(舍去)．
答案： 21
7 3
10．在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，sin A，sin B，sin C 成等差数
列，且 a＝2c，则 cos A＝________.
解析：因为 sin A，sin B，sin C 成等差数列，所以 2sin B＝sin A＋sin C．由正弦定理得
a＋c＝2b，又因为 a＝2c，可得 b＝3
2c，所以 cos A＝b2＋c2－a2
2bc
＝
9
4c2＋c2－4c2
2×3
2c2
＝－1
4.
答案：－1
4
11．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 A＝2B.
(1)求证：a＝2bcos B；
(2)若 b＝2，c＝4，求 B 的值．
解：(1)证明：因为 A＝2B，所以由正弦定理 a
sin A
＝ b
sin B
，得 a
sin 2B
＝ b
sin B
，
所以 a＝2bcos B.
(2)由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A，
因为 b＝2，c＝4，A＝2B，
所以 16cos2B＝4＋16－16cos 2B，所以 cos2B＝3
4
，
因为 A＋B＝2B＋B<π，
所以 B<π
3
，所以 cos B＝ 3
2
，所以 B＝π
6.
12．(2019·绵阳模拟)在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asin A＝(2b
＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求 A 的大小；
(2)若 sin B＋sin C＝1，试判断△ABC 的形状．
解：(1)由已知，结合正弦定理，
得 2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即 a2＝b2＋c2＋bc.
又由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以 bc＝－2bccos A，即 cos A＝－1
2.
由于 A 为△ABC 的内角，所以 A＝2π
3 .
(2)由已知 2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，
结合正弦定理，得 2sin2A＝(2sin B＋sin C)sin B＋(2sin C＋sin B)sin C，
即 sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin22π
3
＝3
4.
又由 sin B＋sin C＝1，
得 sin2B＋sin2C＋2sin Bsin C＝1，
所以 sin Bsin C＝1
4
，结合 sin B＋sin C＝1，
解得 sin B＝sin C＝1
2.
因为 B＋C＝π－A＝π
3
，所以 B＝C＝π
6
，
所以△ABC 是等腰三角形．
B 级
1．(2019·郑州质量预测)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 2cos2A＋B
2
－cos 2C＝1,4sin B＝3sin A，a－b＝1，则 c 的值为( )
A. 13 B. 7
C. 37 D．6
解析：选 A 由 2cos2A＋B
2
－cos 2C＝1，得 1＋cos(A＋B)－(2cos2C－1)＝2－2cos2C－
cos C＝1，即 2cos2C＋cos C－1＝0，解得 cos C＝1
2
或 cos C＝－1(舍去)．由 4sin B＝3sin A
及正弦定理，得 4b＝3a，结合 a－b＝1，得 a＝4，b＝3.由余弦定理，知 c2＝a2＋b2－2abcos C＝42
＋32－2×4×3×1
2
＝13，所以 c＝ 13.
2．(2019·长春模拟)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 c＝ 3，2sin A
a
＝tan C
c
，若 sin(A－B)＋sin C＝2sin 2B，则 a＋b＝________.
解析：∵2sin A
a
＝tan C
c
＝ sin C
ccos C
，且由正弦定理可得 a＝2Rsin A，c＝2Rsin C(R 为△ABC
的外接圆的半径)，∴cos C＝1
2.∵C∈(0，π)，∴C＝π
3.∵sin(A－B)＋sin C＝2sin 2B，sin C＝
sin(A＋B)，∴2sin Acos B＝4sin Bcos B．当 cos B＝0 时，B＝π
2
，则 A＝π
6
，∵c＝ 3， ∴
a＝1，b＝2，则 a＋b＝3.当 cos B≠0 时，sin A＝2sin B，即 a＝2b.∵cos C＝a2＋b2－c2
2ab
＝1
2
，
∴b2＝1，即 b＝1，∴a＝2，则 a＋b＝3.综上，a＋b＝3.
答案：3
3．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2acos C－c＝2b.
(1)求角 A 的大小；
(2)若 c＝ 2，角 B 的平分线 BD＝ 3，求 a.
解：(1)2acos C－c＝2b⇒2sin Acos C－sin C＝2sin B⇒2sin Acos C－sin C＝2sin(A＋C)
＝2sin Acos C＋2cos Asin C，
∴－sin C＝2cos Asin C，
∵sin C≠0，∴cos A＝－1
2
，
又 A∈(0，π)，∴A＝2π
3 .
(2)在△ABD 中，由正弦定理得， AB
sin∠ADB
＝ BD
sin A
，
∴sin∠ADB＝ABsin A
BD
＝ 2
2 .
又∠ADB∈(0，π)，A＝2π
3
，
∴∠ADB＝π
4
，∴∠ABC＝π
6
，∠ACB＝π
6
，b＝c＝ 2，
由余弦定理，得 a2＝c2＋b2－2c·b·cos A＝( 2)2＋( 2)2－2× 2× 2cos2π
3
＝6，∴a＝ 6.
第二课时 正弦定理和余弦定理(二)
考点一 有关三角形面积的计算
[典例] (1)(2019·广州调研)△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b
＝ 7，c＝4，cos B＝3
4
，则△ABC 的面积等于( )
A．3 7 B.3 7
2
C．9 D.9
2
(2)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若△ABC 的面积为 3
4 (a2＋c2
－b2)，则 B＝________.
[解析] (1)法一：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B，代入数据，得 a＝3，又 cos B＝3
4
，
B∈(0，π)，所以 sin B＝ 7
4
，所以 S△ABC＝1
2acsin B＝3 7
2 .
法二：由 cos B＝3
4
，B∈(0，π)，得 sin B＝ 7
4
，由正弦定理 b
sin B
＝ c
sin C
及 b＝ 7，c＝4，
可得 sin C＝1，所以 C＝π
2
，所以 sin A＝cos B＝3
4
，所以 S△ABC＝1
2bcsin A＝3 7
2 .
(2)由余弦定理得 cos B＝a2＋c2－b2
2ac
，
∴a2＋c2－b2＝2accos B.
又∵S＝ 3
4 (a2＋c2－b2)，∴1
2acsin B＝ 3
4
×2accos B，
∴tan B＝ 3，∵B∈(0，π)，∴B＝π
3.
[答案] (1)B (2)π
3
[变透练清]
1.变条件本例(1)的条件变为：若 c＝4，sin C＝2sin A，sin B＝ 15
4
，则 S△ABC＝________.
解析：因为 sin C＝2sin A，所以 c＝2a，所以 a＝2，所以 S△ABC＝1
2acsin B＝1
2
×2×4× 15
4
＝ 15.
答案： 15
2.变结论本例(2)的条件不变，则 C 为钝角时，c
a
的取值范围是________．
解析：∵B＝π
3
且 C 为钝角，∴C＝2π
3
－A>π
2
，∴0 3，
∴c
a>1
2
＋ 3
2
× 3＝2，即c
a>2.
答案：(2，＋∞)
3．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，(2b－a)cos C＝ccos A.
(1)求角 C 的大小；
(2)若 c＝3，△ABC 的面积 S＝4 3
3
，求△ABC 的周长．
解：(1)由已知及正弦定理得(2sin B－sin A)cos C＝sin Ccos A，
即 2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B，
∵B∈(0，π)，∴sin B>0，∴cos C＝1
2
，
∵C∈(0，π)，∴C＝π
3.
(2)由(1)知，C＝π
3
，故 S＝1
2absin C＝1
2absinπ
3
＝4 3
3
，
解得 ab＝16
3 .
由余弦定理可得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
又 c＝3，∴(a＋b)2＝c2＋3ab＝32＋3×16
3
＝25，得 a＋b＝5.
∴△ABC 的周长为 a＋b＋c＝5＋3＝8.
[解题技法]
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边
或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总
之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
考点二 平面图形中的计算问题
[典例] (2018·广东佛山质检)如图，在平面四边形 ABCD 中，∠ABC
＝3π
4
，AB⊥AD，AB＝1.
(1)若 AC＝ 5，求△ABC 的面积；
(2)若∠ADC＝π
6
，CD＝4，求 sin∠CAD.
[解] (1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
即 5＝1＋BC2＋ 2BC，解得 BC＝ 2，
所以△ABC 的面积 S△ABC＝1
2AB·BC·sin∠ABC＝1
2
×1× 2× 2
2
＝1
2.
(2)设∠CAD＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得 AC
sin∠ADC
＝ CD
sin∠CAD
，
即 AC
sinπ
6
＝ 4
sin θ
， ①
在△ABC 中，∠BAC＝π
2
－θ，∠BCA＝π－3π
4
－
π
2
－θ ＝θ－π
4
，
由正弦定理得 AC
sin∠ABC
＝ AB
sin∠BCA
，
即 AC
sin3π
4
＝
1
sin θ－π
4
，②
①②两式相除，得
sin3π
4
sinπ
6
＝4sin θ－π
4
sin θ
，
即 4
2
2 sin θ－ 2
2 cos θ ＝ 2sin θ，
整理得 sin θ＝2cos θ.
又因为 sin2θ＋cos2θ＝1，
所以 sin θ＝2 5
5
，即 sin∠CAD＝2 5
5 .
[解题技法]
与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三
角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定
理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
[提醒] 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平
行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
[题组训练]
1.如图，在△ABC 中，D 是边 AC 上的点，且 AB＝AD,2AB＝ 3BD，
BC＝2BD，则 sin C 的值为________．
解析：设 AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝ 3BD，BC＝2BD，
∴AD＝a，BD＝2a
3
，BC＝4a
3
.
在△ABD 中，cos∠ADB＝
a2＋4a2
3
－a2
2a×2a
3
＝ 3
3
，
∴sin∠ADB＝ 6
3
，∴sin∠BDC＝ 6
3 .
在△BDC 中， BD
sin C
＝ BC
sin∠BDC
，
∴sin C＝BD·sin∠BDC
BC
＝ 6
6 .
答案： 6
6
2.如图，在平面四边形 ABCD 中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝ 7，EA
＝2，∠ADC＝2π
3
，且∠CBE，∠BEC，∠BCE 成等差数列．
(1)求 sin∠CED；
(2)求 BE 的长．
解：设∠CED＝α.
因为∠CBE，∠BEC，∠BCE 成等差数列，
所以 2∠BEC＝∠CBE＋∠BCE，
又∠CBE＋∠BEC＋∠BCE＝π，所以∠BEC＝π
3.
(1)在△CDE 中，由余弦定理得 EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，
即 7＝CD2＋1＋CD，即 CD2＋CD－6＝0，
解得 CD＝2(CD＝－3 舍去)．
在△CDE 中，由正弦定理得 EC
sin∠EDC
＝ CD
sin α
，
于是 sin α＝CD·sin2π
3
EC
＝
2× 3
2
7
＝ 21
7
，即 sin∠CED＝ 21
7 .
(2)由题设知 0<α<π
3
，由(1)知 cos α＝ 1－sin2α＝ 1－21
49
＝2 7
7
，又∠AEB＝π－∠BEC
－α＝2π
3
－α，
所以 cos∠AEB＝cos
2π
3
－α ＝cos2π
3 cos α＋sin2π
3 sin α＝－1
2
×2 7
7
＋ 3
2
× 21
7
＝ 7
14.
在 Rt△EAB 中，cos∠AEB＝EA
BE
＝ 2
BE
＝ 7
14
，所以 BE＝4 7.
考点三 三角形中的最值、范围问题
[典例] (1)在△ABC 中，内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，A≠π
2
，sin C＋sin(B
－A)＝ 2sin 2A，则角 A 的取值范围为( )
A. 0，π
6 B. 0，π
4
C.
π
6
，π
4 D.
π
6
，π
3
(2)已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，
则 cos C 的最小值为( )
A. 3
2 B. 2
2
C.1
2 D．－1
2
[解析] (1)在△ABC 中，C＝π－(A＋B)，所以 sin(A＋B)＋sin(B－A)＝ 2sin 2A，即 2sin
Bcos A＝2 2sin Acos A，因为 A≠π
2
，所以 cos A≠0，所以 sin B＝ 2sin A，由正弦定理得，b
＝ 2a，所以 A 为锐角．又因为 sin B＝ 2sin A∈(0,1]，所以 sin A∈ 0， 2
2 ，所以 A∈ 0，π
4 .
(2)因为 cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，所以 1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，得 a2＋b2＝
2c2，cos C＝a2＋b2－c2
2ab
＝a2＋b2
4ab
≥2ab
4ab
＝1
2
，当且仅当 a＝b 时等号成立，故选 C.
[答案] (1)B (2)C
[解题技法]
1．三角形中的最值、范围问题的解题策略
解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的
量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．
2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点
(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解， 已知
边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．
(2)注意题目中的隐含条件，如 A＋B＋C＝π，00)，使 ka＋b＝λ(a＋kb)，
即 ka＋b＝λa＋λkb.
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b 是不共线的非零向量，
∴ k－λ＝0，
λk－1＝0，
解得 k＝1，
λ＝1
或 k＝－1，
λ＝－1，
又∵λ>0，∴k＝1.
1.向量共线问题的注意事项
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的
其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与
联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
[题组训练]
1．在四边形 ABCD 中， AB―→＝a＋2b， BC―→＝－4a－b， CD―→＝－5a－3b，则四边形
ABCD 的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
解析：选 C 由已知，得 AD―→＝ AB―→＋ BC―→＋ CD―→＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2 BC―→，故
AD―→∥ BC―→.又因为 AB―→与 CD―→不平行，所以四边形 ABCD 是梯形．
2．已知向量 e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量 a 与向量 b 共线，则( )
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2 或λ＝0
解析：选 D 因为向量 e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，又因为向量 a 和 b 共线，
存在实数 k，使得 a＝kb，所以 e1＋λe2＝2ke1，所以λe2＝(2k－1)e1，所以 e1∥e2 或λ＝0.
3．已知 O 为△ABC 内一点，且 AO―→＝1
2( OB―→＋ OC―→)， AD―→＝t AC―→，若 B，O，D 三点
共线，则 t＝( )
A.1
4 B.1
3
C.1
2 D.2
3
解析：选 B 设 E 是 BC 边的中点，则1
2( OB―→＋ OC―→)＝ OE―→，由题意得 AO―→＝ OE―→，所
以 AO―→＝1
2 AE―→＝1
4( AB―→＋ AC―→)＝1
4 AB―→＋1
4t AD―→，又因为 B，O，D 三点共线，所以1
4
＋1
4t
＝1，
解得 t＝1
3
，故选 B.
4．已知 O，A，B 三点不共线，P 为该平面内一点，且 OP―→＝ OA―→＋ AB―→
| AB―→|
，则( )
A．点 P 在线段 AB 上
B．点 P 在线段 AB 的延长线上
C．点 P 在线段 AB 的反向延长线上
D．点 P 在射线 AB 上
解析：选 D 由 OP―→＝ OA―→＋ AB―→
| AB―→|
，得 OP―→－ OA―→＝ AB―→
| AB―→|
，∴ AP―→＝ 1
| AB―→|
· AB―→，∴点
P 在射线 AB 上，故选 D.
[课时跟踪检测]
1．设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则 EB―→＋ FC―→＝( )
A． AD―→ B.1
2 AD―→
C.1
2 BC―→ D． BC―→
解析：选 A 由题意得 EB―→＋ FC―→＝1
2( AB―→＋ CB―→)＋1
2( AC―→＋ BC―→)＝1
2( AB―→＋ AC―→)＝
AD―→.
2．已知向量 a，b 不共线，且 c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若 c 与 d 共线反向，则实
数λ的值为( )
A．1 B．－1
2
C．1 或－1
2 D．－1 或－1
2
解析：选 B 由于 c 与 d 共线反向，则存在实数 k 使 c＝kd(k＜0)，
于是λa＋b＝k[a＋2λ－1b].
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
由于 a，b 不共线，所以有 λ＝k，
2λk－k＝1，
整理得 2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1 或λ＝－1
2.
又因为 k＜0，所以λ＜0，故λ＝－1
2.
3．设向量 a，b 不共线， AB―→＝2a＋pb， BC―→＝a＋b， CD―→＝a－2b，若 A，B，D 三
点共线，则实数 p 的值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选 B 因为 BC―→＝a＋b，CD―→＝a－2b，所以 BD―→＝ BC―→＋ CD―→＝2a－b.又因为 A，
B，D 三点共线，所以 AB―→， BD―→共线．设 AB―→＝λ BD―→，所以 2a＋pb＝λ(2a－b)，所以 2＝
2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－1.
4．(2019·甘肃诊断)设 D 为△ABC 所在平面内一点， BC―→＝－4 CD―→，则 AD―→＝( )
A.1
4 AB―→－3
4 AC―→ B.1
4 AB―→＋3
4 AC―→
C.3
4 AB―→－1
4 AC―→ D.3
4 AB―→＋1
4 AC―→
解析：选 B 法一：设 AD―→＝x AB―→＋y AC―→，由 BC―→＝－4 CD―→可得，BA―→＋ AC―→＝－4 CA―→
－4 AD―→，即－ AB―→－3 AC―→＝－4x AB―→－4y AC―→，则
－4x＝－1，
－4y＝－3，
解得
x＝1
4
，
y＝3
4
，
即 AD―→
＝1
4 AB―→＋3
4 AC―→，故选 B.
法二：在△ABC 中，BC―→＝－4 CD―→，即－1
4 BC―→＝ CD―→，则 AD―→＝ AC―→＋ CD―→＝ AC―→－1
4 BC―→
＝ AC―→－1
4( BA―→＋ AC―→)＝1
4 AB―→＋3
4 AC―→，故选 B.
5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A，B，C 三点满足 OC―→＝3
4 OA―→＋1
4 OB―→，则| BC―→|
| AC―→|
等于( )
A．1 B．2
C．3 D.3
2
解析：选 C 因为 BC―→＝ OC―→－ OB―→＝3
4 OA―→＋1
4 OB―→－ OB―→＝3
4 BA―→，AC―→＝ OC―→－ OA―→＝
3
4 OA―→＋1
4 OB―→－ OA―→＝1
4 AB―→，所以| BC―→|
| AC―→|
＝3.故选 C.
6．已知△ABC 的边 BC 的中点为 D，点 G 满足 GA―→＋ BG―→＋ CG―→＝0，且 AG―→＝λ GD―→，
则λ的值是( )
A.1
2 B．2
C．－2 D．－1
2
解析：选 C 由 GA―→＋ BG―→＋ CG―→＝0，得 G 为以 AB，AC 为邻边的平行四边形的第四
个顶点，因此 AG―→＝－2 GD―→，则λ＝－2.故选 C.
7．下列四个结论：
① AB―→＋ BC―→＋ CA―→＝0；② AB―→＋ MB―→＋ BO―→＋ OM―→＝0；
③ AB―→－ AC―→＋ BD―→－ CD―→＝0；④ NQ―→＋ QP―→＋ MN―→－ MP―→＝0，
其中一定正确的结论个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 C ① AB―→＋ BC―→＋ CA―→＝ AC―→＋ CA―→＝0，①正确；② AB―→＋ MB―→＋ BO―→＋ OM―→
＝ AB―→＋ MO―→＋ OM―→＝ AB―→，②错误；③ AB―→－ AC―→＋ BD―→－ CD―→＝ CB―→＋ BD―→＋ DC―→＝ CD―→＋
DC―→＝0，③正确；④ NQ―→＋ QP―→＋ MN―→－ MP―→＝ NP―→＋ PN―→＝0，④正确．故①③④正确．
8.如图，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 AB，AD 上的点，且 AM―→
＝3
4 AB―→，AN―→＝2
3 AD―→，AC，MN 交于点 P.若 AP―→＝λ AC―→，则λ的值为( )
A.3
5 B.3
7
C. 3
16 D. 6
17
解 析：选 D ∵ AM―→ ＝3
4 AB―→ ， AN―→ ＝ 2
3 AD―→ ，∴ AP―→＝ λ AC―→ ＝λ( AB―→ ＋ AD―→ )＝
λ
4
3 AM―→＋3
2 AN―→
＝4
3λ AM―→＋3
2λ AN―→.∵点 M，N，P 三点共线，∴4
3λ＋3
2λ＝1，则λ＝ 6
17.故选 D.
9．设向量 a，b 不平行，向量λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数λ＝________.
解析：因为向量λa＋b 与 a＋2b 平行，
所以可设λa＋b＝k(a＋2b)，则 λ＝k，
1＝2k，
所以λ＝1
2.
答案：1
2
10．若 AP―→＝1
2 PB―→， AB―→＝(λ＋1) BP―→，则λ＝________.
解析：如图，由 AP―→＝1
2 PB―→，可知点 P 是线段 AB 上靠近点 A 的三等分点，
则 AB―→＝－3
2 BP―→，结合题意可得λ＋1＝－3
2
，所以λ＝－5
2.
答案：－5
2
11．已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且 OA―→＝a，OB―→＝b，则 DC―→
＝________， BC―→＝________.(用 a，b 表示)
解析：如图，DC―→＝ AB―→＝ OB―→－ OA―→＝b－a，BC―→＝ OC―→－ OB―→＝－
OA―→－ OB―→＝－a－b.
答案：b－a －a－b
12．(2019·长沙模拟)在平行四边形 ABCD 中，M 为 BC 的中点．若 AB―→＝λ AM―→＋μ DB―→，
则λ－μ＝________.
解析：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB―→＝ DC―→，所以 AB―→＝ AM―→＋
MB―→＝ AM―→＋1
2 CB―→＝ AM―→＋1
2( DB―→－ DC―→)＝ AM―→＋1
2( DB―→－ AB―→)＝ AM―→＋
1
2 DB―→－1
2 AB―→，所以3
2 AB―→＝ AM―→＋1
2 DB―→，所以 AB―→＝2
3 AM―→＋1
3 DB―→，所以λ＝2
3
，μ＝1
3
，所以
λ－μ＝1
3.
答案：1
3
13．设 e1，e2 是两个不共线的向量，已知 AB―→＝2e1－8e2， CB―→＝e1＋3e2， CD―→＝2e1
－e2.
(1)求证：A，B，D 三点共线；
(2)若 BF―→＝3e1－ke2，且 B，D，F 三点共线，求 k 的值．
解：(1)证明：由已知得 BD―→＝ CD―→－ CB―→＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
∵ AB―→＝2e1－8e2，
∴ AB―→＝2 BD―→.
又∵ AB―→与 BD―→有公共点 B，
∴A，B，D 三点共线．
(2)由(1)可知 BD―→＝e1－4e2，
∵ BF―→＝3e1－ke2，且 B，D，F 三点共线，
∴存在实数λ，使 BF―→＝λ BD―→，
即 3e1－ke2＝λe1－4λe2，
得 λ＝3，
－k＝－4λ.
解得 k＝12.
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
一、基础知识
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向
量 a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共线的向量 e1e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
1基底 e1，e2 必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；
2基底给定，同一向量的分解形式唯一；
3如果对于一组基底 e1，e2，有 a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到 λ1＝μ1，
λ2＝μ2.
2．平面向量的坐标运算
(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ x21＋y21.
若 a＝b，则 x1＝x2 且 y1＝y2.
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB―→＝(x2－x1，y2－y1)，
| AB―→|＝ x2－x12＋y2－y12.
3．平面向量共线的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
当且仅当 x2y2≠0 时，a∥b 与x1
x2
＝y1
y2
等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐
标成比例．
考点一 平面向量基本定理及其应用
[典例] 如图，以向量 OA―→＝a， OB―→＝b 为邻边作平行四边形
OADB， BM―→＝1
3 BC―→， CN―→＝1
3 CD―→，用 a，b 表示 OM―→，ON―→， MN―→.
[解] ∵ BA―→＝ OA―→－ OB―→＝a－b，
BM―→＝1
6 BA―→＝1
6
a－1
6
b，
∴ OM―→＝ OB―→＋ BM―→＝1
6
a＋5
6
b.
∵ OD―→＝a＋b，
∴ ON―→＝ OC―→＋1
3 CD―→
＝1
2 OD―→＋1
6 OD―→
＝2
3 OD―→＝2
3
a＋2
3
b，
∴ MN―→＝ ON―→－ OM―→＝2
3
a＋2
3
b－1
6
a－5
6
b＝1
2
a－1
6
b.
综上， OM―→＝1
6
a＋5
6
b， ON―→＝2
3
a＋2
3
b， MN―→＝1
2
a－1
6
b.
[解题技法]
1．平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运
算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平
面几何的一些性质定理．
2．应用平面向量基本定理应注意的问题
(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．
(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量
的加减运算或数乘运算．
[题组训练]
1．在△ABC 中，P，Q 分别是 AB，BC 的三等分点，且 AP＝1
3AB，BQ＝1
3BC，若 AB―→＝
a， AC―→＝b，则 PQ―→＝( )
A.1
3
a＋1
3
b B．－1
3
a＋1
3
b
C.1
3
a－1
3
b D．－1
3
a－1
3
b
解析：选 A 由题意知 PQ―→＝ PB―→＋ BQ―→＝2
3 AB―→＋1
3 BC―→＝2
3 AB―→＋1
3( AC―→－ AB―→)＝1
3 AB―→
＋1
3 AC―→＝1
3
a＋1
3
b.
2．已知在△ABC 中，点 O 满足 OA―→＋ OB―→＋ OC―→＝0，点 P 是 OC 上异于端点的任意一
点，且 OP―→＝m OA―→＋n OB―→，则 m＋n 的取值范围是________．
解析：依题意，设 OP―→＝λ OC―→ (0<λ<1)，
由 OA―→＋ OB―→＋ OC―→＝0，知 OC―→＝－( OA―→＋ OB―→)，
所以 OP―→＝－λ OA―→－λ OB―→，由平面向量基本定理可知，
m＋n＝－2λ，所以 m＋n∈(－2,0)．
答案：(－2,0)
考点二 平面向量的坐标运算
[典例] 已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设 AB―→＝a， BC―→＝b， CA―→＝c，且
CM―→＝3c， CN―→＝－2b，
(1)求 3a＋b－3c；
(2)求 M，N 的坐标及向量 MN―→的坐标．
[解] 由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)设 O 为坐标原点，∵ CM―→＝ OM―→－ OC―→＝3c，
∴ OM―→＝3c＋ OC―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．又∵ CN―→＝ ON―→－ OC―→＝－2b，
∴ ON―→＝－2b＋ OC―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴ MN―→＝(9，－18)．
[变透练清]
1.变结论本例条件不变，若 a＝mb＋nc，则 m＝________，n＝________.
解析：∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，a＝(5，－5)，
∴
－6m＋n＝5，
－3m＋8n＝－5，
解得 m＝－1，
n＝－1.
答案：－1 －1
2．已知 O 为坐标原点，向量 OA―→＝(2,3)， OB―→＝(4，－1)，且 AP―→＝3 PB―→，则| OP―→|＝
________.
解析：设 P(x，y)，由题意可得 A，B 两点的坐标分别为(2,3)，(4，－1)，由 AP―→＝3 PB―→，
可得 x－2＝12－3x，
y－3＝－3y－3，
解得
x＝7
2
，
y＝0，
故| OP―→|＝7
2.
答案：7
2
[解题技法]
1．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有
向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行
求解．
2．向量坐标运算的注意事项
(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同．
(2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．
(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆，需清楚结论推导过程与结果，加以区分．
考点三 平面向量共线的坐标表示
[典例] 已知 a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当 k 为何值时，ka－b 与 a＋2b 共线；
(2)若 AB―→＝2a＋3b， BC―→＝a＋mb，且 A，B，C 三点共线，求 m 的值．
[解] (1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，
∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，
∵ka－b 与 a＋2b 共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－1
2.
(2) AB―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
BC―→＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
∵A，B，C 三点共线，∴ AB―→∥ BC―→，
∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝3
2.
[解题技法]
1．平面向量共线的充要条件的 2 种形式
(1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件是 x1y2－x2y1＝0.
(2)若 a∥b(b≠0)，则 a＝λb.
2．两个向量共线的充要条件的作用
判断两个向量是否共线(或平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两个向量共线的
充要条件可以列出方程(组)，求参数的值．
[题组训练]
1．已知向量 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若(ka＋b)∥(a－3b)，则实数 k 的取值为( )
A．－1
3 B.1
3
C．－3 D．3
解析：选 A ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)．
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
则由(ka＋b)∥(a－3b)得
(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，所以 k＝－1
3.
2．(2019·唐山模拟)已知在平面直角坐标系 xOy 中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3 三
点共线且向量OP3
―→与向量 a＝(1，－1)共线，若OP3
―→＝λOP1
―→＋(1－λ)OP2
―→，则λ＝( )
A．－3 B．3
C．1 D．－1
解析：选 D 设OP3
―→＝(x，y)，则由OP3
―→∥a 知 x＋y＝0，于是OP3
―→＝(x，－x)．若OP3
―→＝
λOP1
―→＋(1－λ)OP2
―→，则有(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即 4λ－1＝x，
3－2λ＝－x，
所以 4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选 D.
3．在梯形 ABCD 中，AB∥CD，且 DC＝2AB，三个顶点 A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点
D 的坐标为________．
解析：∵在梯形 ABCD 中，DC＝2AB，AB∥CD，
∴ DC―→＝2 AB―→.
设点 D 的坐标为(x，y)，则 DC―→＝(4－x,2－y)， AB―→＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，
∴ 4－x＝2，
2－y＝－2，
解得 x＝2，
y＝4，
故点 D 的坐标为(2,4)．
答案：(2,4)
[课时跟踪检测]
1．(2019·昆明调研)已知向量 a＝(－1,2)，b＝(1,3)，则|2a－b|＝( )
A. 2 B．2
C. 10 D．10
解析：选 C 由已知，易得 2a－b＝2(－1,2)－(1,3)＝(－3,1)，所以|2a－b|＝ －32＋12
＝ 10.故选 C.
2．已知向量 a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若 3a－2b＋c＝0，则 c＝( )
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
解析：选A 由题意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，
所以 23＋x＝0，
12＋y＝0，
解得 x＝－23，
y＝－12，
所以 c＝(－23，－12)．
3．(2018·石家庄模拟)已知向量 a＝(1，m)，b＝(m,1)，则“m＝1”是“a∥b”成立的
( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 A 若 a∥b，则 m2＝1，即 m＝±1，故“m＝1”是“a∥b”的充分不必要条
件，选 A.
4．已知点 M 是△ABC 的边 BC 的中点，点 E 在边 AC 上，且 EC―→＝2 AE―→，则 EM―→＝
( )
A.1
2 AC―→＋1
3 AB―→ B.1
2 AC―→＋1
6 AB―→
C.1
6 AC―→＋1
2 AB―→ D.1
6 AC―→＋3
2 AB―→
解析：选 C 如图，因为 EC―→＝2 AE―→，所以 EC―→＝2
3 AC―→，所以 EM―→＝
EC―→＋ CM―→＝2
3 AC―→＋1
2 CB―→＝2
3 AC―→＋1
2( AB―→－ AC―→)＝1
2 AB―→＋1
6 AC―→.
5．已知点 A(8，－1)，B(1，－3)，若点 C(2m－1，m＋2)在直线 AB 上，则实数 m＝
( )
A．－12 B．13
C．－13 D．12
解析：选 C 因为点 C 在直线 AB 上，所以 AC―→与 AB―→同向．又 AB―→＝(－7，－2)， AC―→
＝(2m－9，m＋3)，故2m－9
－7
＝m＋3
－2
，所以 m＝－13.故选 C.
6．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0)，B(0,1)，C 为坐标平面内第一象限的点，且
∠AOC＝π
4
，|OC|＝2，若 OC―→＝λ OA―→＋μ OB―→，则λ＋μ＝( )
A．2 2 B. 2
C．2 D．4 2
解析：选 A 因为|OC|＝2，∠AOC＝π
4
，所以 C( 2， 2)，又因为 OC―→＝λ OA―→＋μ OB―→，
所以( 2， 2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝ 2，λ＋μ＝2 2.
7．已知| OA―→|＝1，| OB―→|＝ 3，OA―→⊥ OB―→， 点 C 在线段 AB 上，∠AOC＝30°.设 OC―→＝
m OA―→＋n OB―→ (m，n∈R)，则m
n
等于( )
A.1
3 B．3
C. 3
3 D. 3
解析：选 B 如图，由已知| OA―→|＝1，| OB―→|＝ 3， OA―→⊥ OB―→，可得 AB
＝2，∠A＝60°，因为点 C 在线段 AB 上，∠AOC＝30°，所以 OC⊥AB，过点
C 作 CD⊥OA，垂足为点 D，则 OD＝3
4
，CD＝ 3
4
，所以 OD―→＝3
4 OA―→， DC―→＝
1
4 OB―→，即 OC―→＝3
4 OA―→＋1
4 OB―→，所以m
n
＝3.
8.(2019·深圳模拟)如图，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，若 AC―→
＝λ AM―→＋μ BD―→，则λ＋μ＝( )
A.4
3 B.5
3
C.15
8 D．2
解析：选 B 以点 A 为坐标原点，分别以 AB―→， AD―→的方向为 x 轴，y 轴的正方向，建
立平面直角坐标系(图略)．设正方形的边长为 2，则 A(0,0)，C(2,2)，M(2,1)，B(2,0)，D(0,2)，
所以 AC―→＝(2,2)，AM―→＝(2,1)，BD―→＝(－2,2)，所以λ AM―→＋μ BD―→＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为 AC―→
＝λ AM―→＋μ BD―→，所以 2λ－2μ＝2，
λ＋2μ＝2，
解得
λ＝4
3
，
μ＝1
3
，
所以λ＋μ＝5
3.
9．已知向量 a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若 ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则 m－n 的值
为________．
解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴ 2m＋n＝9，
m－2n＝－8，
∴ m＝2，
n＝5，
∴m－n＝2－5＝－3.
答案：－3
10．已知向量 a＝(1，m)，b＝(4，m)，若有(2|a|－|b|)(a＋b)＝0，则实数 m＝________.
解析：因为 a＋b＝(5,2m)≠0，
所以由(2|a|－|b|)(a＋b)＝0 得 2|a|－|b|＝0，
所以|b|＝2|a|，
所以 42＋m2＝2 12＋m2，解得 m＝±2.
答案：±2
11．(2019·南昌模拟)已知向量 a＝(m，n)，b＝(1，－2)，若|a|＝2 5，a＝λb(λ<0)，则
m－n＝________.
解析：∵a＝(m，n)，b＝(1，－2)，
∴由|a|＝2 5，得 m2＋n2＝20， ①
由 a＝λb(λ<0)，得
m<0，
n>0，
－2m－n＝0，
②
由①②，解得 m＝－2，n＝4.
∴m－n＝－6.
答案：－6
12．已知向量 a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且 u∥v，则实数 x 的值为
________．
解析：因为 a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
所以 u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，
v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．
又因为 u∥v，所以 3(2x＋1)－4(2－x)＝0，
即 10x＝5，解得 x＝1
2.
答案：1
2
13．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点 P(x，y)在△ABC 三
边围成的区域(含边界)上．
(1)若 PA―→＋ PB―→＋ PC―→＝0，求| OP―→|；
(2)设 OP―→＝m AB―→＋n AC―→ (m，n∈R)，用 x，y 表示 m－n.
解：(1)∵ PA―→＋ PB―→＋ PC―→＝0， PA―→＋ PB―→＋ PC―→＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2
－y)＝(6－3x,6－3y)，
∴ 6－3x＝0，
6－3y＝0，
解得 x＝2，y＝2，
即 OP―→＝(2,2)，故| OP―→|＝2 2.
(2)∵ OP―→＝m AB―→＋n AC―→， AB―→＝(1,2)， AC―→＝(2,1)．
∴(x，y)＝(m＋2n,2m＋n)，
即 x＝m＋2n，
y＝2m＋n，
两式相减，得 m－n＝y－x.
第三节 平面向量的数量积
一、基础知识
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，如图所示，作 OA―→＝a， OB―→＝b，
则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a 与 b 的夹角，记作〈a，b〉．
只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角．
(2)范围：夹角θ的范围是[0，π]．
当θ＝0 时，两向量 a，b 共线且同向；
当θ＝π
2
时，两向量 a，b 相互垂直，记作 a⊥b；
当θ＝π时，两向量 a，b 共线但反向．
2．平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a 与b，我们把数量|a||b| cos θ叫做 a与b 的数量积(或内积)，记作a·b，
即 a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是 a 与 b 的夹角．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．
3．平面向量数量积的几何意义
(1)一个向量在另一个向量方向上的投影
设θ是 a，b 的夹角，则|b|cos θ叫做向量 b 在向量 a 的方向上的投影，|a|cos θ叫做向量
a 在向量 b 的方向上的投影．
(2)a·b 的几何意义
数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
投影和两向量的数量积都是数量，不是向量.
4．向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c 不一定等于 a·(b·c)，这是由于(a·b)·c
表示一个与 c 共线的向量，a·(b·c)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线．
5．平面向量数量积的性质
设 a，b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量，θ是 a 与 e 的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a.
(4)cos θ＝ a·b
|a||b|
.
(5)|a·b|≤|a||b|.
6．平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为 a 与 b 的夹角，则
(1)|a|＝ x21＋y21； (3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；
(2)a·b＝x1x2＋y1y2;_ (4)cos θ＝ x1x2＋y1y2
x21＋y21 x22＋y22
.
二、常用结论汇总
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)两个向量 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a·b>0，反之不成立(因为夹角为 0 时不成立)；
(2)两个向量 a 与 b 的夹角为钝角，则有 a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．
考点一 平面向量的数量积的运算
[典例] (1)(2018·新乡二模)若向量 m＝(2k－1，k)与向量 n＝(4,1)共线，则 m·n＝( )
A．0 B．4
C．－9
2 D．－17
2
(2)(2018·天津高考)在如图所示的平面图形中，已知 OM＝1，ON
＝2，∠MON＝120°， BM―→＝2 MA―→， CN―→＝2 NA―→，则 BC―→· OM―→的值为
( )
A．－15 B．－9
C．－6 D．0
[解析] (1)∵向量 m＝(2k－1，k)与向量 n＝(4,1)共线，∴2k－1－4k＝0，解得 k＝－1
2
，
∴m＝ －2，－1
2 ，
∴m·n＝－2×4＋ －1
2 ×1＝－17
2 .
(2)法一：如图，连接 MN.
∵ BM―→＝2 MA―→，CN―→＝2 NA―→，
∴AM
AB
＝AN
AC
＝1
3.
∴MN∥BC，且MN
BC
＝1
3.
∴ BC―→＝3 MN―→＝3( ON―→－ OM―→)．
∴ BC―→· OM―→＝3( ON―→· OM―→－ OM―→2)
＝3(2×1×cos 120°－12)＝－6.
法二：在△ABC 中，不妨设∠A＝90°，取特殊情况 ON⊥AC，以 A 为
坐标原点，AB，AC 所在直线分别为 x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角
坐标系，因为∠MON＝120°，ON＝2，OM＝1，所以 O 2， 3
2 ，C 0，3 3
2 ，
M
5
2
，0 ，B
15
2
，0 .
故 BC―→· OM―→＝ －15
2
，3 3
2 ·
1
2
，－ 3
2 ＝－15
4
－9
4
＝－6.
[答案] (1)D (2)C
[解题技法] 求非零向量 a，b 的数量积的策略
(1)若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量
的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算．
(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量 a，b，
然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．
(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出 a，b 的坐标，通过坐标运算
求解．
[题组训练]
1．(2019·济南模拟)已知矩形 ABCD 中，AB＝ 2，BC＝1，则 AC―→· CB―→＝( )
A．1 B．－1
C. 6 D．2 2
解析：选 B 设 AB―→＝a， AD―→＝b，则 a·b＝0，
∵|a|＝ 2，|b|＝1，
∴ AC―→· CB―→＝(a＋b)·(－b)＝－a·b－b2＝－1.
2．(2019·南昌调研)已知向量 a，b 满足 a·(b＋a)＝2，且 a＝(1,2)，则向量 b 在 a 方向
上的投影为( )
A. 5
5 B．－ 5
5
C．－2 5
5 D．－3 5
5
解析：选 D 由 a＝(1,2)，可得|a|＝ 5，
由 a·(b＋a)＝2，可得 a·b＋a2＝2，
∴a·b＝－3，
∴向量 b 在 a 方向上的投影为a·b
|a|
＝－3 5
5 .
3．(2018·石家庄质检)在△ABC 中，已知 AB―→与 AC―→的夹角为 90°，| AB―→|＝2，| AC―→|＝1，
M 为 BC 上的一点，且 AM―→＝λ AB―→＋μ AC―→ (λ，μ∈R)，且 AM―→· BC―→＝0，则 λ
μ
的值为________．
解析：法一：∵ BC―→＝ AC―→－ AB―→， AM―→· BC―→＝0，
∴(λ AB―→＋μ AC―→)·( AC―→－ AB―→)＝0，
∵ AB―→与 AC―→的夹角为 90°，| AB―→|＝2，| AC―→|＝1，
∴－λ| AB―→|2＋μ| AC―→|2＝0，即－4λ＋μ＝0，∴λ
μ
＝1
4.
法二：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(0,2)，
C(1,0)，所以 AB―→＝(0,2)， AC―→＝(1,0)， BC―→＝(1，－2)．设 M(x，y)，则 AM―→
＝(x，y)，所以 AM―→· BC―→＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以 x＝2y，又 AM―→＝
λ AB―→＋μ AC―→，即(x，y)＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以 x＝μ，y＝2λ，所以λ
μ
＝
1
2y
2y
＝1
4.
答案：1
4
考点二 平面向量数量积的性质
考法(一) 平面向量的模
[典例] (1)(2019·昆明适应性检测)已知非零向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|＝3，且 a 与 a
＋b 的夹角为π
4
，则|b|＝( )
A．6 B．3 2
C．2 2 D．3
(2)(2019·福州四校联考)已知向量 a，b 为单位向量，且 a·b＝－1
2
，向量 c 与 a＋b 共线，
则|a＋c|的最小值为( )
A．1 B.1
2
C.3
4 D. 3
2
[解析] (1)∵a·b＝0，|a|＝3，∴a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a||a＋b|cosπ
4
，∴|a＋b|＝3 2，
将|a＋b|＝3 2两边平方可得，a2＋2a·b＋b2＝18，解得|b|＝3，故选 D.
(2)∵向量 c 与 a＋b 共线，∴可设 c＝t(a＋b)(t∈R)，
∴a＋c＝(t＋1)a＋tb，∴(a＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t＋1)·a·b＋t2b2，
∵向量 a，b 为单位向量，且 a·b＝－1
2
，
∴(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2＋t＋1≥3
4
，
∴|a＋c|≥ 3
2
，∴|a＋c|的最小值为 3
2
，故选 D.
[答案] (1)D (2)D
考法(二) 平面向量的夹角
[典例] (1)已知平面向量a，b的夹角为π
3
，且|a|＝1，|b|＝1
2
，则a＋2b 与b的夹角是( )
A.π
6 B.5π
6
C.π
4 D.3π
4
(2)已知向量 a＝(1， 3)，b＝(3，m)且 b 在 a 方向上的投影为－3，则向量 a 与 b 的夹
角为________．
[解析] (1)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1×1
2
×cosπ
3
＝3，
所以|a＋2b|＝ 3.
又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1×1
2
×cosπ
3
＋2×1
4
＝1
4
＋1
2
＝3
4
，
所以 cos〈a＋2b，b〉＝a＋2b·b
|a＋2b||b|
＝
3
4
3×1
2
＝ 3
2
，
所以 a＋2b 与 b 的夹角为π
6.
(2)因为 b 在 a 方向上的投影为－3，所以|b|cos〈a，b〉＝－3，又|a|＝ 12＋ 32＝2，
所以 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－6，又 a·b＝3＋ 3m，所以 3＋ 3m＝－6，解得 m＝－3 3，
则 b＝(3，－3 3)，所以|b|＝ 32＋－3 32＝6，所以 cos 〈a，b〉＝ a·b
|a||b|
＝ －6
2×6
＝－
1
2
，因为 0≤〈a，b〉≤π，所以 a 与 b 的夹角为2π
3 .
[答案] (1)A (2)2π
3
考法(三) 平面向量的垂直
[典例] (1)若非零向量 a，b 满足|a|＝2 2
3 |b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则 a 与 b 的夹角
为( )
A.π
4 B.π
2
C.3π
4 D．π
(2)已知向量 AB―→与 AC―→的夹角为 120°，且| AB―→|＝3，| AC―→|＝2.若 AP―→＝λ AB―→＋ AC―→，且
AP―→⊥ BC―→，则实数λ的值为________．
[解析] (1)设 a 与 b 的夹角为θ，因为|a|＝2 2
3 |b|，(a－b)⊥(3a＋2b)，
所以(a－b)·(3a＋2b)＝3|a|2－2|b|2－a·b＝8
3|b|2－2|b|2－2 2
3 |b|2cos θ＝0，
解得 cos θ＝ 2
2
，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π
4.
(2)由 AP―→⊥ BC―→，知 AP―→· BC―→＝0，即 AP―→· BC―→＝(λ AB―→＋ AC―→)·( AC―→－ AB―→)＝(λ－
1) AB―→· AC―→－λ AB―→2＋ AC―→2＝(λ－1)×3×2× －1
2 －λ×9＋4＝0，解得λ＝ 7
12.
[答案] (1)A (2) 7
12
[解题技法]
1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数
量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为 0 即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
[题组训练]
1．(2018·深圳高级中学期中)已知向量 m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，
则λ＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
解析：选 B ∵(m＋n)⊥(m－n)，∴(m＋n)·(m－n)＝m2－n2＝(λ＋1)2＋1－(λ＋2)2－4＝0，
解得λ＝－3.故选 B.
2．(2018·永州二模)已知非零向量 a，b 的夹角为 60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝
( )
A.1
2 B．1
C. 2 D．2
解析：选 A ∵非零向量 a，b 的夹角为 60°，且|b|＝1，∴a·b＝|a|×1×1
2
＝|a|
2
，∵|2a
－b|＝1，∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，∴4|a|2－2|a|＝0，∴|a|＝1
2
，故选
A.
3．(2019·益阳、湘潭调研)已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1， 3)，记向量
a，b 的夹角为θ，则 tan θ＝________.
解析：∵|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1， 3)，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝1＋3，
∴a·b＝－1
2
，∴cos θ＝ a·b
|a|·|b|
＝－1
4
，∴sin θ＝ 1－ －1
4 2＝ 15
4
，∴tan θ＝sin θ
cos θ
＝－ 15.
答案：－ 15
[课时跟踪检测]
1．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2 3，a 与 b 的夹角的余弦值为 sin17π
3
，则 b·(2a－
b)等于( )
A．2 B．－1
C．－6 D．－18
解析：选 D ∵a 与 b 的夹角的余弦值为 sin17π
3
＝－ 3
2
，
∴a·b＝－3，b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.
2．已知平面向量 a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量λa＋b 与 b 垂直，则实数λ的值为( )
A. 4
13 B．－ 4
13
C.5
4 D．－5
4
解析：选 D ∵a＝(－2,3)，b＝(1,2)，∴λa＋b＝(－2λ＋1,3λ＋2)．∵λa＋b 与 b 垂直，
∴(λa＋b)·b＝0，∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0，即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－5
4.
3．已知向量 a，b 满足|a|＝1，b＝(2,1)，且 a·b＝0，则|a－b|＝( )
A. 6 B. 5
C．2 D. 3
解析：选 A 因为|a|＝1，b＝(2,1)，且 a·b＝0，所以|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋5－0
＝6，所以|a－b|＝ 6.故选 A.
4．已知向量 a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量 c 满足(a＋c)∥b，c⊥(a＋b)，则 c＝( )
A.
7
9
，7
3 B.
－7
3
，－7
9
C.
7
3
，7
9 D.
－7
9
，－7
3
解析：选 D 设 c＝(m，n)，
则 a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，
因为(a＋c)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)，
即 3m＋2n＝－7，又 c⊥(a＋b)，则有 3m－n＝0，
联立 3m＋2n＝－7，
3m－n＝0.
解得
m＝－7
9
，
n＝－7
3.
所以 c＝ －7
9
，－7
3 .
5．(2018·襄阳调研)已知 i，j 为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且 a 与 b 的
夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )
A.
－2，2
3 ∪
2
3
，＋∞
B.
1
2
，＋∞
C．(－∞，－2)∪ －2，1
2 D.
－∞，1
2
解析：选 C 不妨令 i＝(1,0)，j＝(0,1)，则 a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，因为它们的夹角
为锐角，所以 a·b＝1－2λ>0 且 a，b 不共线，所以λ<1
2
且λ≠－2，故选 C.
6．(2019·石家庄质检)若两个非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量 a＋b 与
a 的夹角为( )
A.π
6 B.π
3
C.2π
3 D.5π
6
解析：选 A ∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，∴a·b＝0.又|a＋b|＝2|b|，∴|a＋
b|2＝4|b|2，|a|2＝3|b|2，∴|a|＝ 3|b|，cos〈a＋b，a〉＝a＋b·a
|a＋b||a|
＝a2＋a·b
|a＋b||a|
＝ |a|2
2|b||a|
＝ |a|
2|b|
＝
3
2
，故 a＋b 与 a 的夹角为π
6.
7．(2018·宝鸡质检)在直角三角形 ABC 中，角 C 为直角，且 AC＝BC＝1，点 P 是斜边
上的一个三等分点，则 CP―→· CB―→＋ CP―→· CA―→＝( )
A．0 B．1
C.9
4 D．－9
4
解析：选 B 以点 C 为坐标原点，分别以 CA―→， CB―→的方向为 x 轴，y 轴的正方向建立
平面直角坐标系(图略)，则 C(0,0)，A(1，0)，B(0,1)，不妨设 P
1
3
，2
3 ，所以 CP―→· CB―→＋ CP―→· CA―→
＝ CP―→·( CB―→＋ CA―→)＝1
3
＋2
3
＝1.故选 B.
8．(2019·武汉调研)已知平面向量 a，b，e 满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，
则 a·b 的最大值为( )
A．－1 B．－2
C．－5
2 D．－5
4
解析：选 D 不妨设 e＝(1,0)，则 a＝(1，m)，b＝(－2，n)(m，n∈R)，则 a＋b＝(－1，
m＋n)，所以|a＋b|＝ 1＋m＋n2＝2，所以(m＋n)2＝3，即 3＝m2＋n2＋2mn≥2mn＋2mn＝
4mn，当且仅当 m＝n 时等号成立，所以 mn≤3
4
，所以 a·b＝－2＋mn≤－5
4
，综上可得 a·b
的最大值为－5
4.
9．已知平面向量 a，b 满足 a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量 a 与 b 的夹角的正
弦值为________．
解析：∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，
∴cos〈a，b〉＝－1
2
，又〈a，b〉∈[0，π]，
∴sin〈a，b〉＝ 1－cos2〈a，b〉＝ 3
2 .
答案： 3
2
10．(2018·湖北八校联考)已知平面向量 a，b 的夹角为2π
3
，且|a|＝1，|b|＝2，若(λa＋b)
⊥(a－2b)，则λ＝________.
解析：∵|a|＝1，|b|＝2，且 a，b 的夹角为2π
3
，∴a·b＝1×2× －1
2 ＝－1，又∵(λa＋b)
⊥(a－2b)，∴(λa＋b)·(a－2b)＝0，即(λa＋b)·(a－2b)＝λa2－2b2＋(1－2λ)a·b＝λ－8－(1
－2λ)＝0，解得λ＝3.
答案：3
11．(2018·合肥一检)已知平面向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝ 3，则 a 在 b 方
向上的投影等于________．
解析：∵|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝ 3，
∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝3，
∴a·b＝－1，
∴a 在 b 方向上的投影为a·b
|b|
＝－1
2.
答案：－1
2
12.如图所示，在等腰直角三角形 AOB 中，OA＝OB＝1， AB―→＝4 AC―→，则
OC―→·( OB―→－ OA―→)＝________.
解析：由已知得| AB―→|＝ 2，| AC―→|＝ 2
4
，
则 OC―→·( OB―→－ OA―→)＝( OA―→＋ AC―→)· AB―→＝ OA―→· AB―→＋ AC―→· AB―→＝ 2cos3π
4
＋ 2
4
× 2＝
－1
2.
答案：－1
2
13．(2019·南昌质检)设向量 a，b 满足|a|＝|b|＝1，且|2a－b|＝ 5.
(1)求|2a－3b|的值；
(2)求向量 3a－b 与 a－2b 的夹角θ.
解：(1)∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4－4a·b＋1＝5，∴a·b＝0，
∴|2a－3b|＝ 4a2－12a·b＋9b2＝ 4＋9＝ 13.
(2)cos θ＝3a－b·a－2b
|3a－b||a－2b|
＝ 3a2＋2b2
9a2＋b2× a2＋4b2
＝ 5
10× 5
＝ 2
2
，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝π
4.
第四节 平面向量的综合应用
考点一 平面向量与平面几何
[典例] (2019·石家庄模拟)在平行四边形 ABCD 中，| AB―→|＝12，| AD―→|＝8.若点 M，N
满足 BM―→＝3 MC―→， DN―→＝2 NC―→，则 AM―→· NM―→＝( )
A．20 B．15
C．36 D．6
[解析] 法一：由 BM―→＝3 MC―→， DN―→＝2 NC―→知，点 M 是 BC 的一个四等分点，且 BM
＝3
4BC，点 N 是 DC 的一个三等分点，且 DN＝2
3DC，所以 AM―→＝ AB―→＋ BM―→＝ AB―→＋3
4 AD―→，
AN―→＝ AD―→＋ DN―→＝ AD―→＋2
3 AB―→，所以 NM―→＝ AM―→－ AN―→＝ AB―→＋3
4 AD―→－ AD―→＋2
3 AB―→
＝
1
3 AB―→ － 1
4 AD―→ ， 所 以 AM―→ · NM―→ ＝ AB―→＋3
4 AD―→
·
1
3 AB―→－1
4 AD―→
＝
1
3
AB―→＋3
4 AD―→
· AB―→－3
4 AD―→
＝ 1
3
AB―→2－ 9
16 AD―→2
＝1
3
144－ 9
16
×64 ＝36，故选 C.
法二：不妨设∠DAB 为直角，以 AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为
y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．则 M(12,6)，N(8,8)，所以 AM―→＝(12,6)，
NM―→＝(4，－2)，所以 AM―→· NM―→＝12×4＋6×(－2)＝36，故选 C.
[答案] C
[题组训练]
1．若 O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足( OB―→－ OC―→)·( OB―→＋ OC―→－2 OA―→)＝0，则
△ABC 的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
解析：选 A 由( OB―→－ OC―→)·( OB―→＋ OC―→－2 OA―→)＝0，
得 CB―→·( AB―→＋ AC―→)＝0，∵ AB―→－ AC―→＝ CB―→，
∴( AB―→－ AC―→)·( AB―→＋ AC―→)＝0，即| AB―→|＝| AC―→|，
∴△ABC 是等腰三角形．
2．(2018·西安质检)已知 P 为△ABC 所在平面内一点， AB―→＋ PB―→＋ PC―→＝0，| AB―→|＝
| PB―→|＝| PC―→|＝2，则△ABC 的面积等于( )
A. 3 B．2 3
C．3 3 D．4 3
解析：选 B 由| PB―→|＝| PC―→|得，△PBC 是等腰三角形，取 BC 的中点 D，连接 PD(图
略)，则 PD⊥BC，又 AB―→＋ PB―→＋ PC―→＝0，所以 AB―→＝－( PB―→＋ PC―→)＝－2 PD―→，所以 PD
＝1
2AB＝1，且 PD∥AB，故 AB⊥BC，即△ABC 是直角三角形，由| PB―→|＝2，| PD―→|＝1 可得
| BD―→|＝ 3，则| BC―→|＝2 3，所以△ABC 的面积为1
2
×2×2 3＝2 3.
3.如图，在扇形 OAB 中，OA＝2，∠AOB＝90°，M 是 OA 的中点，点
P 在弧 AB 上，则 PM―→· PB―→的最小值为________．
解析：如图，以 O 为坐标原点， OA―→为 x 轴的正半轴， OB―→为 y 轴的正
半轴建立平面直角坐标系，则 M(1,0)，B(0,2)，设 P(2cos θ，2sin θ)，θ∈ 0，π
2 ，
所以 PM―→· PB―→＝(1－2cos θ，－2sin θ)·(－2cos θ，2－2sin θ)＝4－2cos θ－
4sin θ＝4－2(cos θ＋2sin θ)＝4－2 5sin(θ＋φ)
其中 sin φ＝ 5
5
，cos φ＝2 5
5 ，所以
PM―→· PB―→的最小值为 4－2 5.
答案：4－2 5
考点二 平面向量与解析几何
[典例] (2017·江苏高考)已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，x∈[0，π]．
(1)若 a∥b，求 x 的值；
(2)记 f(x)＝a·b，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值．
[解] (1)因为 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，a∥b，
所以－ 3cos x＝3sin x．则 tan x＝－ 3
3 .
又 x∈[0，π]，所以 x＝5π
6 .
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－ 3)＝3cos x－ 3sin x＝2 3cos x＋π
6 .
因为 x∈[0，π]，所以 x＋π
6
∈
π
6
，7π
6 ，
从而－1≤cos x＋π
6 ≤ 3
2 .
于是，当 x＋π
6
＝π
6
，即 x＝0 时，f(x)取到最大值 3；
当 x＋π
6
＝π，即 x＝5π
6
时，f(x)取到最小值－2 3.
[题组训练]
1．已知向量 OA―→＝(k,12)， OB―→＝(4,5)， OC―→＝(10，k)，且 A，B，C 三点共线，当 k<0
时，若 k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．
解析：∵ AB―→＝ OB―→－ OA―→＝(4－k，－7)，BC―→＝ OC―→－ OB―→＝(6，k－5)，且 AB―→∥ BC―→，
∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，解得 k＝－2 或 k＝11.由 k<0，可知 k＝－2，则过点(2，－1)且斜
率为－2 的直线方程为 y＋1＝－2(x－2)，即 2x＋y－3＝0.
答案：2x＋y－3＝0
2．若点 O 和点 F 分别为椭圆x2
4
＋y2
3
＝1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，
则 OP―→· FP―→的最大值为________．
解析：由题意，得 F(－1,0)，设 P(x0，y0)，则有x20
4
＋y20
3
＝1，解得 y20＝3 1－x20
4 ，因为 FP―→
＝(x0＋1，y0)， OP―→＝(x0，y0)，所以 OP―→· FP―→＝x0(x0＋1)＋y20＝x20＋x0＋3 1－x20
4 ＝x20
4
＋x0＋3，
对应的抛物线的对称轴方程为 x0＝－2，因为－2≤x0≤2，故当 x0＝2 时， OP―→· FP―→取得最
大值22
4
＋2＋3＝6.
答案：6
考点三 平面向量与三角函数
[典例] 已知点 A，B，C 在圆 x2＋y2＝1 上运动，且 AB⊥BC.若点 P 的坐标为(2,0)，则
| PA―→＋ PB―→＋ PC―→|的最大值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
[解析] 由 A，B，C 在圆 x2＋y2＝1 上，且 AB⊥BC，
知线段 AC 为圆的直径，设圆心为 O，
故 PA―→＋ PC―→＝2 PO―→＝(－4,0)，
设 B(a，b)，则 a2＋b2＝1 且 a∈[－1,1]， PB―→＝(a－2，b)，
所以 PA―→＋ PB―→＋ PC―→＝(a－6，b)．
故| PA―→＋ PB―→＋ PC―→|＝ －12a＋37，
所以当 a＝－1 时，| PA―→＋ PB―→＋ PC―→|取得最大值 49＝7.
[答案] B
[解题技法]
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)若给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题思路是运用向量共线或垂直
的坐标表示，或等式成立的条件等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)若给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者向量的其他表达形式，解题思
路是利用向量的运算，结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解．
[题组训练]
1．(2019·南昌模拟)已知 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos(－α)，sin(－α))，那么 a·b＝0 是α
＝kπ＋π
4(k∈Z)的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选 B ∵a·b＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)＝cos2α－sin2α＝cos 2α，若 a·b＝0，
则 cos 2α＝0，∴2α＝2kπ±π
2(k∈Z)，解得α＝kπ±π
4(k∈Z)．∴a·b＝0 是α＝kπ＋π
4(k∈Z)的必要
不充分条件．故选 B.
2．已知 a，b，c 为△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，向量 m＝( 3，－1)，n＝ (cos
A，sin A)．若 m⊥n，且 acos B＋bcos A＝csin C，则角 A，B 的大小分别为( )
A.π
6
，π
3 B.2π
3
，π
6
C.π
3
，π
6 D.π
3
，π
3
解析：选 C 由 m⊥n，得 m·n＝0，即 3cos A－sin A＝0，由题意得 cos A≠0，∴tan A
＝ 3，又 A∈(0，π)，∴A＝π
3.又 acos B＋bcos A＝2Rsin Acos B＋2Rsin Bcos A＝2Rsin(A＋B)
＝2Rsin C＝c(R 为△ABC 外接圆半径)，且 acos B＋bcos A＝csin C，所以 c＝csin C，所以
sin C＝1，又 C∈(0，π)，所以 C＝π
2
，所以 B＝π－π
3
－π
2
＝π
6.
[课时跟踪检测]
A 级
1．已知向量 a＝ cosπ
6
，sinπ
6 ，b＝ cos5π
6
，sin5π
6 ，则|a－b|＝( )
A．1 B. 6
2
C. 3 D. 10
2
解析：选 C 因为 a－b＝ cosπ
6
－cos5π
6
，sinπ
6
－sin5π
6 ＝( 3，0)，所以|a－b|＝ 3，故
选 C.
2．若向量OF1
―→＝(1,1)，OF2
―→＝(－3，－2)分别表示两个力 F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A. 10 B．2 5
C. 5 D. 15
解析：选 C 由于 F1＋F2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，
所以|F1＋F2|＝ －22＋－12＝ 5.
3．(2019·牡丹江第一高级中学月考)已知圆 O 是△ABC 的外接圆，其半径为 1，且 AB―→＋
AC―→＝2 AO―→，AB＝1，则 CA―→· CB―→＝( )
A.3
2 B．3
C. 3 D．2 3
解析：选 B 因为 AB―→＋ AC―→＝2 AO―→，所以点 O 是 BC 的中点，即 BC 是圆 O 的直径，
又 AB＝1，圆的半径为 1，所以∠ACB＝30°，且 AC＝ 3，则 CA―→· CB―→＝| CA―→|·| CB―→|cos∠
ACB＝3.
4．已知向量 m＝ sin A，1
2 与向量 n＝(3，sin A＋ 3cos A)共线，其中 A 是△ABC 的内
角，则角 A 的大小为( )
A.π
6 B.π
4
C.π
3 D.π
2
解析：选 C 因为 m∥n，所以 sin A(sin A＋ 3cos A)－3
2
＝0，
所以 2sin2A＋2 3sin Acos A＝3.可化为 1－cos 2A＋ 3sin 2A＝3，
所以 sin 2A－π
6 ＝1，因为 A∈(0，π)，所以 2A－π
6
∈ －π
6
，11π
6 .
因此 2A－π
6
＝π
2
，解得 A＝π
3.
5．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则
PA―→·( PB―→＋ PC―→)的最小值是( )
A．－2 B．－3
2
C．－4
3 D．－1
解析：选 B 如图，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x
轴，以 BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0， 3)，
B(－1,0)，C(1,0)，设 P(x，y)，则 PA―→＝(－x, 3－y)， PB―→＝(－1－x，
－y)，PC―→＝(1－x，－y)，所以 PA―→·( PB―→＋ PC―→)＝(－x， 3－y)·(－2x，
－2y)＝2x2＋2 y－ 3
2 2－3
2
，当 x＝0，y＝ 3
2
时， PA―→·( PB―→＋ PC―→)取得
最小值，为－3
2.
6．已知向量 a＝(4,0)，b＝(2,2 3)，非零向量 c 满足(a－c)·(b－c)＝0，|c|的最大值与
最小值分别为 m，n，则 m－n 的值为( )
A．1 B．3
C．2 D．4
解析：选 D 设 c＝(x，y)，因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(4－x，－y)·(2－x,2 3－y)＝x2
＋y2－6x－2 3y＋8＝0，所以(x－3)2＋(y－ 3)2＝4，所以满足条件的向量 c 的终点落在以(3，
3)为圆心，2 为半径的圆上，所以|c|的最大值与最小值分别为 m＝2＋2 3，n＝2 3－2，所
以 m－n＝4.
7．已知△ABC 中，D 为边 BC 上的点，且 BD＝2DC， AD―→＝x AB―→＋y AC―→，则 x－y＝
________.
解析：由向量的加法法则知 AD―→＝ AB―→＋ BD―→＝ AB―→＋2
3 BC―→＝ AB―→＋2
3( AC―→－ AB―→)＝
1
3 AB―→＋2
3 AC―→，所以 x＝1
3
，y＝2
3
，所以 x－y＝－1
3.
答案：－1
3
8．设 e1，e2，e3 为单位向量，且 e3＝1
2
e1＋ke2(k>0)，若以向量 e1，e2 为邻边的三角形
的面积为1
2
，则 k＝________.
解析：设 e1，e2 的夹角为θ，则由以向量 e1，e2 为邻边的三角形的面积为1
2
，得1
2
×1×1×
sin θ＝1
2
，得 sin θ＝1，所以θ＝90°，所以 e1·e2＝0，从而对 e3＝1
2e1＋ke2 两边同时平方得 1
＝1
4
＋k2，解得 k＝ 3
2
或－ 3
2 (舍去)，所以 k＝ 3
2 .
答案： 3
2
9.如图，在△ABC 中，O 为 BC 的中点，若 AB＝1，AC＝3， AB―→与
AC―→的夹角为 60°，则| OA―→|＝________.
解析：AB―→· AC―→＝| AB―→|·| AC―→|cos 60°＝1×3×1
2
＝3
2
，又 AO―→＝1
2( AB―→＋ AC―→)，所以 AO―→2
＝1
4( AB―→＋ AC―→)2＝1
4( AB―→2＋2 AB―→· AC―→＋ AC―→2)，即 AO―→2＝1
4(1＋3＋9)＝13
4
，所以| OA―→|＝
13
2 .
答案： 13
2
10．在平面直角坐标系中，A(－2,0)，B(1,3)，O 为坐标原点，且 OM―→＝α OA―→＋β OB―→ (α
＋β＝1)，N(1,0)，则| MN―→|的最小值为________．
解析：∵ OM―→＝α OA―→＋β OB―→ (α＋β＝1)，∴A，B，M 三点共线，∵A(－2,0)，B(1,3)，
∴直线 AB 的方程为 x－y＋2＝0，∵N(1,0)，设点 N 到直线 AB 的距离为 d，∴d＝|1－0＋2|
2
＝
3 2
2
，∴| MN―→|的最小值为 N 到直线 AB 的距离3 2
2 .
答案：3 2
2
11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m＝
2
2
，－ 2
2 ，n＝(sin x，cos x)，x∈ 0，π
2 .
(1)若 m⊥n，求 tan x 的值；
(2)若 m 与 n 的夹角为π
3
，求 x 的值．
解：(1)∵m＝
2
2
，－ 2
2 ，n＝(sin x，cos x)，m⊥n，
∴m·n＝ 2
2 sin x－ 2
2 cos x＝0，即 sin x＝cos x，
∴tan x＝sin x
cos x
＝1.
(2)由题意知，|m|＝
2
2 2＋ － 2
2 2＝1，
|n|＝ sin2x＋cos2x＝1，
m·n＝ 2
2 sin x－ 2
2 cos x＝sin x－π
4 .
而 m·n＝|m|·|n|·cos〈m，n〉＝cosπ
3
＝1
2
，
∴sin x－π
4 ＝1
2.
又∵x∈ 0，π
2 ，x－π
4
∈ －π
4
，π
4 ，
∴x－π
4
＝π
6
，∴x＝5π
12.
12．(2019·河南中原名校质检)在△ABC 中， AB―→⊥ AC―→，M 是 BC 的中点．
(1)若| AB―→|＝| AC―→|，求向量 AB―→＋2 AC―→与向量 2 AB―→＋ AC―→的夹角的余弦值；
(2)若 O 是线段 AM 上任意一点，且| AB―→|＝| AC―→|＝ 2，求 OA―→· OB―→＋ OC―→· OA―→的最小
值．
解 ： (1) 设 向 量 AB―→ ＋ 2 AC―→ 与 向 量 2 AB―→ ＋ AC―→ 的 夹 角 为 θ ， 则 cos θ ＝
AB―→＋2 AC―→·2 AB―→＋ AC―→
| AB―→＋2 AC―→|·|2 AB―→＋ AC―→|
，令| AB―→|＝| AC―→|＝a，则 cos θ＝2a2＋2a2
5a· 5a
＝4
5.
(2)∵| AB―→|＝| AC―→|＝ 2，∴| AM―→|＝1，
设| OA―→|＝x(0≤x≤1)，则| OM―→|＝1－x.
而 OB―→＋ OC―→＝2 OM―→，
∴ OA―→· OB―→＋ OC―→· OA―→＝ OA―→·( OB―→＋ OC―→)＝2 OA―→· OM―→＝2| OA―→|·| OM―→|cos π＝2x2－2x
＝2 x－1
2 2－1
2.
∴当 x＝1
2
时， OA―→· OB―→＋ OC―→· OA―→取得最小值，最小值是－1
2.
B
1．(2019·武汉调研)设 A，B，C 是半径为 1 的圆 O 上的三点，且 OA―→⊥ OB―→，则( OC―→－
OA―→)·( OC―→－ OB―→)的最大值是( )
A．1＋ 2 B．1－ 2
C. 2－1 D．1
解析： 选 A 如图，作出 OD―→，使得 OA―→＋ OB―→＝ OD―→，则( OC―→－ OA―→)·( OC―→
－ OB―→)＝ OC―→2－ OA―→· OC―→－ OB―→· OC―→＋ OA―→· OB―→＝1－( OA―→＋ OB―→)· OC―→＝1－ OD―→· OC―→，
由图可知，当点 C 在 OD 的反向延长线与圆 O 的交点处时， OD―→· OC―→取得最小值，最小值
为－ 2，此时( OC―→－ OA―→)·( OC―→－ OB―→)取得最大值，最大值为 1＋ 2，故选 A.
2．在△ABC 中，BC＝5，G，O 分别为△ABC 的重心和外心，且 OG―→· BC―→＝5，则△ABC
的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能
解析：选 B 如图，在△ABC 中，G，O 分别为△ABC 的重心和外心，
取 BC 的中点 D，连接 AD，OD，OG，则 OD⊥BC，GD＝1
3AD，结合 OG―→＝ OD―→＋ DG―→，AD―→
＝1
2( AB―→＋ AC―→)，OG―→· BC―→＝5，得( OD―→＋ DG―→)· BC―→＝ DG―→· BC―→＝－1
6( AB―→＋ AC―→)· BC―→＝5，
即－1
6( AB―→＋ AC―→)·( AC―→－ AB―→)＝5，∴ AC―→2－ AB―→2＝－30.又 BC＝5，则| AB―→|2＝| AC―→|2＋
6
5| BC―→|2>| AC―→|2＋| BC―→|2，结合余弦定理有 cos C<0，∴π
2an，
递减数列：an＋10 恒成立，∴λ>3－2n 恒成立，
∵(3－2n)max＝1，∴λ>1，
故实数λ的取值范围是(1，＋∞)．
(2)当 an 取得最大值时，有 an≥an－1，
an≥an＋1，
∴
n＋2
7
8 n≥n＋1
7
8 n－1，
n＋2
7
8 n≥n＋3
7
8 n＋1，
解得 n≤6，
n≥5，
∴当 an 取得最大值时，n＝5 或 6.
[答案] (1)(1，＋∞) (2)5 或 6
[解题技法]
1．解决数列的单调性问题的 3 种方法
2．解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
[题组训练]
1．设数列{an}，an＝ na
nb＋c
，其中 a，b，c 均为正数，则此数列( )
A．递增 B．递减
C．先增后减 D．先减后增
解析：选 A 因为 an＝ na
bn＋c
＝ a
b＋c
n
，而函数 f(x)＝ a
b＋c
x
(a>0，b>0，c>0)在(0，＋∞)上
是增函数，故数列{an}是递增数列．
2．已知数列{an}满足 an＋1＝ 1
1－an
，若 a1＝1
2
，则 a2 019＝( )
A．－1 B.1
2
C．1 D．2
解析：选 A 由 a1＝1
2
，an＋1＝ 1
1－an
，得 a2＝ 1
1－a1
＝2，
a3＝ 1
1－a2
＝－1，a4＝ 1
1－a3
＝1
2
，a5＝ 1
1－a4
＝2，…，
于是可知数列{an}是以 3 为周期的周期数列，因此 a2 019＝a3×673＝a3＝－1.
[课时跟踪检测]
A 级
1．(2019·郑州模拟)已知数列 1，3，5，7，…， 2n－1，若 3 5是这个数列的第 n 项，
则 n＝( )
A．20 B．21
C．22 D．23
解析：选 D 由 2n－1＝3 5＝ 45，得 2n－1＝45，即 2n＝46，解得 n＝23，故选 D.
2．(2019·福建四校联考)若数列的前 4 项分别是1
2
，－1
3
，1
4
，－1
5
，则此数列的一个通项公
式为( )
A.－1n＋1
n＋1
B.－1n
n＋1
C.－1n
n
D.－1n－1
n
解析：选 A 由于数列的前 4 项分别是1
2
，－1
3
，1
4
，－1
5
，可得奇数项为正数，偶数项为
负数，第 n 项的绝对值等于| 1
n＋1|，故此数列的一个通项公式为－1n＋1
n＋1
.故选 A.
3．(2019·莆田诊断)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则 a5 的值
为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选 A 由题意可得，an＋2＝an＋1－an，则 a3＝a2－a1＝2－1＝1，a4＝a3－a2＝1－2
＝－1，a5＝a4－a3＝－1－1＝－2.故选 A.
4．数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若 p－q＝5，则 ap－aq＝( )
A．10 B．15
C．－5 D．20
解析：选 D 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，当 n
＝1 时，a1＝S1＝－1，符合上式，所以 an＝4n－5，所以 ap－aq＝4(p－q)＝20.
5．设数列{an}的通项公式为 an＝n2－bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数 b 的取值
范围为( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，2]
C．(－∞，3) D.
－∞，9
2
解析：选 C 因为数列{an}是单调递增数列，
所以 an＋1－an＝2n＋1－b>0(n∈N*)，
所以 b<2n＋1(n∈N*)，
所以 b<(2n＋1)min＝3，即 b<3.
6．若数列{an}满足1
2
≤an＋1
an
≤2(n∈N*)，则称{an}是“紧密数列”．若{an}(n＝1,2,3,4)是
“紧密数列”，且 a1＝1，a2＝3
2
，a3＝x，a4＝4，则 x 的取值范围为( )
A．[1,3) B．[1,3]
C．[2,3] D．[2,3)
解析：选 C 依题意可得
1
2
≤x
3
2
≤2，
1
2
≤4
x
≤2，
解得 2≤x≤3，故 x 的取值范围为[2,3]．
7．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则 an＝________.
解析：当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
当 n＝1 时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，
因此 an＝ 4，n＝1，
2n＋1，n≥2.
答案： 4，n＝1，
2n＋1，n≥2
8．已知数列 3
2
， 5
4
， 7
6
， 9
m－n
， m＋n
10
，…，根据前 3 项给出的规律，实数对(m，n)为
________．
解析：由数列的前 3 项的规律可知 m－n＝8，
m＋n＝11，
解得
m＝19
2
，
n＝3
2
，
故实数对(m，n)
为
19
2
，3
2 .
答案：
19
2
，3
2
9．数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2，n∈N*)，且 S2＝3，则 a1＋a3
的值为________．
解析：∵Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令 n＝2，
得 S2＋S1＝3，由 S2＝3 得 a1＝S1＝0，
令 n＝3，得 S3＋S2＝5，所以 S3＝2，
则 a3＝S3－S2＝－1，
所以 a1＋a3＝0＋(－1)＝－1.
答案：－1
10．已知数列{an}满足 an＝(n－λ)2n(n∈N*)，若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围为
________．
解析：因为 an＝(n－λ)2n(n∈N*)且数列{an}是递增数列，所以 an＋1－an＝2n(n＋2－λ)>0，
所以 n＋2－λ>0，则λan，求实数 k 的取值范围．
解：(1)由 n2－5n＋4<0，解得 1an，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式 an＝n2＋kn＋4，可以看作是
关于 n 的二次函数，考虑到 n∈N*，所以－k
2<3
2
，解得 k>－3.
所以实数 k 的取值范围为(－3，＋∞)．
B 级
1.已知数列{an}的通项公式为 an＝(－1)n·2n＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该
数阵中的第 10 行第 3 个数为________．
a1
a2 a3
a4 a5 a6
……
解析：由题意可得该数阵中的第 10 行第 3 个数为数列{an}的第 1＋2＋3＋…＋9＋3＝
9×10
2
＋3＝48 项，而 a48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵中的第 10 行第 3 个数为 97.
答案：97
2．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有 anan＋1an＋2＝k(k 为常数)，那么这个数列叫做等
积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且 a1＝1，a2＝2，公积为 8，
则 a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.
解析：依题意得数列{an}是周期为 3 的数列，且 a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此 a1＋a2＋a3
＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
答案：28
3．在数列{an}中，an＝(n＋1)
10
11 n(n∈N*)．
(1)讨论数列{an}的增减性；
(2)求数列{an}的最大项．
解：(1)由题意，知 an>0，
令 an
an－1
>1(n≥2)，即
n＋1
10
11 n
n
10
11 n－1
>1(n≥2)，
解得 2≤n<10，即 a9>a8>…>a1.
令 an
an＋1
>1，即
n＋1
10
11 n
n＋2
10
11 n＋1
>1，
整理得n＋1
n＋2
>10
11
，解得 n>9，即 a10>a11>….
又 a9
a10
＝1，所以数列{an}从第 1 项到第 9 项单调递增，从第 10 项起单调递减．
(2)由(1)知 a9＝a10＝1010
119
为数列{an}的最大项．
第二节 等差数列及其前 n 项和
一、基础知识
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那
么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为 an＋1－an＝d(n∈
N*，d 为常数)．
(2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 A＝a＋b
2
，其中 A 叫做 a，b 的等
差中项．
在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项 有穷等差数列的末项除外 都是它的前一项
与后一项的等差中项.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前 n 项和公式：Sn＝na1＋nn－1
2
d＝na1＋an
2
.
3．等差数列的通项公式及前 n 项和公式与函数的关系
(1)an＝a1＋(n－1)d 可化为 an＝dn＋a1－d 的形式．当 d≠0 时，an 是关于 n 的一次函数；
当 d>0 时，数列为递增数列；当 d<0 时，数列为递减数列．
(2)数列{an}是等差数列，且公差不为 0⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)．
二、常用结论
已知{an}为等差数列，d 为公差，Sn 为该数列的前 n 项和．
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)在等差数列{an}中，当 m＋n＝p＋q 时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，
若 m＋n＝2p，则 2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．
(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为 md(k，m∈N*)．
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为 n2d.
(5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(6)若{an}是等差数列，则
Sn
n 也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差
的1
2.
(7)若项数为偶数 2n，则 S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S 偶－S 奇＝nd；S 奇
S 偶
＝ an
an＋1
.
(8)若项数为奇数 2n－1，则 S2n－1＝(2n－1)an；S 奇－S 偶＝an；S 奇
S 偶
＝ n
n－1
.
(9)在等差数列{an}中，若 a1>0，d<0，则满足 am≥0，
am＋1≤0
的项数 m 使得 Sn 取得最大值
Sm；若 a1<0，d>0，则满足 am≤0，
am＋1≥0
的项数 m 使得 Sn 取得最小值 Sm.
考点一 等差数列的基本运算
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 3S3＝S2＋S4，a1＝2，
则 a5＝( )
A．－12 B．－10
C．10 D．12
(2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2＝4，S4＝22，an＝28，则 n＝( )
A．3 B．7
C．9 D．10
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d，由 3S3＝S2＋S4，得 3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋
6d，即 3a1＋2d＝0.将 a1＝2 代入上式，解得 d＝－3，故 a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝
－10.
(2)因为 S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4a2＋2d＝22，d＝22－4a2
2
＝3，a1＝a2－d＝4－3＝1，an
＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，由 3n－2＝28，解得 n＝10.
[答案] (1)B (2)D
[解题技法] 等差数列的基本运算的解题策略
(1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个就
能求另外两个，体现了方程思想．
(2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而 a1 和 d 是等差数
列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
[提醒] 在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运
算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．
[题组训练]
1．(2019·开封高三定位考试)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＋a5＝10，S4＝
16，则数列{an}的公差为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 B 设等差数列{an}的公差为 d，则由题意，得
a1＋a1＋4d＝10，
4a1＋4×3
2
×d＝16， 解得
a1＝1，
d＝2，
故选 B.
2．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a3·a5＝12，a2＝0.若 a1>0，则 S20＝( )
A．420 B．340
C．－420 D．－340
解析：选 D 设数列{an}的公差为 d，则 a3＝a2＋d＝d，a5＝a2＋3d＝3d，由 a3·a5＝12
得 d＝±2，由 a1>0，a2＝0，可知 d<0，所以 d＝－2，所以 a1＝2，故 S20＝20×2＋20×19
2
×
(－2)＝－340，选 D.
3．在等差数列{an}中，已知 a5＋a10＝12，则 3a7＋a9＝( )
A．12 B．18
C．24 D．30
解析：选 C 设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，
因为 a5＋a10＝12，
所以 2a1＋13d＝12，
所以 3a7＋a9＝3(a1＋6d)＋a1＋8d＝4a1＋26d＝2(2a1＋13d)＝2×12＝24.
考点二 等差数列的判定与证明
[典例] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝1
2.
(1)求证：
1
Sn 是等差数列．
(2)求 an 的表达式．
[解] (1)证明：因为 an＝Sn－Sn－1(n≥2)，
又 an＝－2Sn·Sn－1，所以 Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0.
因此 1
Sn
－ 1
Sn－1
＝2(n≥2)．
故由等差数列的定义知
1
Sn 是以 1
S1
＝ 1
a1
＝2 为首项，2 为公差的等差数列．
(2)由(1)知 1
Sn
＝ 1
S1
＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，
即 Sn＝ 1
2n.
由于当 n≥2 时，有 an＝－2Sn·Sn－1＝－ 1
2nn－1
，
又因为 a1＝1
2
，不适合上式．
所以 an＝
1
2
，n＝1，
－ 1
2nn－1
，n≥2.
[题组训练]
1．(2019·陕西质检)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且 a2＝3，a6＝11，
则 S7 等于( )
A．13 B．49
C．35 D．63
解析：选 B 由 Sn＝an2＋bn(a，b∈R)可知数列{an}是等差数列，所以 S7＝7a1＋a7
2
＝
7a2＋a6
2
＝49.
2．已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－ 1
an－1
(n≥2，n∈N*)，设 bn＝ 1
an－1(n∈N*)．求证：
数列{bn}是等差数列．
证明：∵an＝2－ 1
an－1
(n≥2)，∴an＋1＝2－ 1
an
.
∴bn＋1－bn＝ 1
an＋1－1
－ 1
an－1
＝ 1
2－ 1
an
－1
－ 1
an－1
＝an－1
an－1
＝1，
∴{bn}是首项为 b1＝ 1
2－1
＝1，公差为 1 的等差数列．
考点三 等差数列的性质及应用
考法(一) 等差数列项的性质
[典例] (1)已知在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则 log2(2a1·2a2·…·2a10)＝( )
A．10 B．20
C．40 D．2＋log25
(2)(2019·福建模拟)设 Sn，Tn 分别是等差数列{an}，{bn}的前 n 项和，若 a5＝2b5，则S9
T9
＝
( )
A．2 B．3
C．4 D．6
[解析] (1)因为 2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4，
所以 log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log225×4＝20.选 B.
(2)由 a5＝2b5，得a5
b5
＝2，所以S9
T9
＝
9a1＋a9
2
9b1＋b9
2
＝a5
b5
＝2，故选 A.
[答案] (1)B (2)A
考法(二) 等差数列前 n 项和的性质
[典例] 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S6＝36，则 a7＋a8＋a9 等于( )
A．63 B．45
C．36 D．27
[解析] 由{an}是等差数列，
得 S3，S6－S3，S9－S6 为等差数列，
即 2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
得到 S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选 B.
[答案] B
考法(三) 等差数列前 n 项和的最值
[典例] 在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前 n 项和 Sn 的最大值为
( )
A．S15 B．S16
C．S15 或 S16 D．S17
[解析] ∵a1＝29，S10＝S20，
∴10a1＋10×9
2
d＝20a1＋20×19
2
d，解得 d＝－2，
∴Sn＝29n＋nn－1
2
×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.
∴当 n＝15 时，Sn 取得最大值．
[答案] A
[解题技法]
1．应用等差数列的性质解题的 2 个注意点
(1)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若
出现 am－n，am，am＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与 am(或其他项)有关的条件；
若求 am 项，可由 am＝1
2(am－n＋am＋n)转化为求 am－n，am＋n 或 am＋n＋am－n 的值．
(2)要注意等差数列通项公式及前 n 项和公式的灵活应用，如 an＝am＋(n－m)d，d＝
an－am
n－m
，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝na1＋an
2
＝na2＋an－1
2
(n，m∈N*)等．
2．求等差数列前 n 项和 Sn 最值的 2 种方法
(1)函数法：利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求
二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：
①当 a1>0，d<0 时，满足 am≥0，
am＋1≤0
的项数 m 使得 Sn 取得最大值为 Sm；
②当 a1<0，d>0 时，满足 am≤0，
am＋1≥0
的项数 m 使得 Sn 取得最小值为 Sm.
[题组训练]
1．在等差数列{an}中，若 a3＝－5，a5＝－9，则 a7＝( )
A．－12 B．－13
C．12 D．13
解析：选 B 法一：设公差为 d，则 2d＝a5－a3＝－9＋5＝－4，则 d＝－2，故 a7＝a3
＋4d＝－5＋4×(－2)＝－13，选 B.
法二：由等差数列的性质得 a7＝2a5－a3＝2×(－9)－(－5)＝－13，选 B.
2．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足 Sn>0 的最大
自然数 n 的值为( )
A．6 B．7
C．12 D．13
解析：选 C 因为 a1>0，a6a7<0，所以 a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又 a3＋a10
＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，所以 S12>0，S13<0，所以满足 Sn>0 的最大自然数 n 的值为 12.
3．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知前 6 项和为 36，最后 6 项的和为 180，Sn＝
324(n＞6)，则数列{an}的项数为________．
解析：由题意知 a1＋a2＋…＋a6＝36，①
an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②
①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，
∴a1＋an＝36，又 Sn＝na1＋an
2
＝324，
∴18n＝324，∴n＝18.
答案：18
[课时跟踪检测]
A 级
1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2，Sn 为{an}的前 n 项和，则 S10 等于( )
A．90 B．100
C．110 D．130
解析：选 C 由递推公式可知该数列是公差为 2 的等差数列，S10＝10×2＋10×9
2
×2＝
110.故选 C.
2．(2018·北京东城区二模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3＝3，a5＝5，则 S7 的
值是( )
A．30 B．29
C．28 D．27
解析：选 C 由题意，设等差数列的公差为 d，则 d＝a5－a3
5－3
＝1，故 a4＝a3＋d＝4，所
以 S7＝7a1＋a7
2
＝7×2a4
2
＝7×4＝28.故选 C.
3．(2019·山西五校联考)在数列{an}中，an＝28－5n，Sn 为数列{an}的前 n 项和，当 Sn
最大时，n＝( )
A．2 B．3
C．5 D．6
解析：选 C ∵an＝28－5n，∴数列{an}为递减数列．
令 an＝28－5n≥0，则 n≤28
5
，又 n∈N*，∴n≤5.
∵Sn 为数列{an}的前 n 项和，∴当 n＝5 时，Sn 最大．故选 C.
4．(2019·广东中山一中统测)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 an＝－2n＋1，则数列
Sn
n
的前 11 项和为( )
A．－45 B．－50
C．－55 D．－66
解析：选 D ∵an＝－2n＋1，∴数列{an}是以－1 为首项，－2 为公差的等差数列，
∴Sn＝n[－1＋－2n＋1]
2
＝－n2，∴Sn
n
＝－n2
n
＝－n，∴数列
Sn
n 是以－1 为首项，－1 为公差
的等差数列，∴数列
Sn
n 的前 11 项和为 11×(－1)＋11×10
2
×(－1)＝－66，故选 D.
5．(2018·南昌模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S5＝50，S10＝200，则 a10＋
a11 的值为( )
A．20 B．40
C．60 D．80
解析：选 D 设等差数列{an}的公差为 d，
由已知得
S5＝5a1＋5×4
2
d＝50，
S10＝10a1＋10×9
2
d＝200，
即
a1＋2d＝10，
a1＋9
2d＝20， 解得 a1＝2，
d＝4.
∴a10＋a11＝2a1＋19d＝80.故选 D.
6．(2019·广州高中综合测试)等差数列{an}的各项均不为零，其前 n 项和为 Sn.若 a2n＋1＝
an＋2＋an，则 S2n＋1＝( )
A．4n＋2 B．4n
C．2n＋1 D．2n
解析：选 A 因为{an}为等差数列，所以 an＋2＋an＝2an＋1，又 a2n＋1＝an＋2＋an，所以 a2n＋1
＝2an＋1.因为数列{an}的各项均不为零，所以 an＋1＝2，所以 S2n＋1＝a1＋a2n＋12n＋1
2
＝
2×an＋1×2n＋1
2
＝4n＋2.故选 A.
7．已知等差数列 5,42
7
，34
7
，…，则前 n 项和 Sn＝________.
解析：由题知公差 d＝－5
7
，所以 Sn＝na1＋nn－1
2
d＝ 5
14(15n－n2)．
答案： 5
14(15n－n2)
8．已知{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和．若 a1＝6，a3＋a5＝0，则 S6＝________.
解析：∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0.
∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2.
∴S6＝6a1＋6×6－1
2
d＝6×6－30＝6.
答案：6
9．等差数列{an}中，已知 a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前 n 项和 Sn 的最大值为________．
解析：∵ a4＋a7＝a5＋a6<0，
a5>0，
∴ a5>0，
a6<0，
∴Sn 的最大值为 S5.
答案：S5
10．在等差数列{an}中，公差 d＝1
2
，前 100 项的和 S100＝45，则 a1＋a3＋a5＋…＋a99＝
________.
解析：因为 S100＝100
2 (a1＋a100)＝45，所以 a1＋a100＝ 9
10
，
a1＋a99＝a1＋a100－d＝2
5
，
则 a1＋a3＋a5＋…＋a99＝50
2 (a1＋a99)＝50
2
×2
5
＝10.
答案：10
11．(2018·全国卷Ⅱ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求 Sn，并求 Sn 的最小值．
解：(1)设{an}的公差为 d，
由题意得 3a1＋3d＝－15.
又 a1＝－7，所以 d＝2.
所以{an}的通项公式为 an＝2n－9.
(2)由(1)得 Sn＝na1＋an
2
＝n2－8n＝(n－4)2－16，
所以当 n＝4 时，Sn 取得最小值，最小值为－16.
12．(2019·山东五校联考)已知等差数列{an}为递增数列，其前 3 项的和为－3，前 3 项
的积为 8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，d>0，
∵等差数列{an}的前 3 项的和为－3，前 3 项的积为 8，
∴ 3a1＋3d＝－3，
a1a1＋da1＋2d＝8，
∴ a1＝2，
d＝－3
或 a1＝－4，
d＝3.
∵d>0，∴a1＝－4，d＝3，∴an＝3n－7.
(2)∵an＝3n－7，∴a1＝3－7＝－4，
∴Sn＝n－4＋3n－7
2
＝n3n－11
2
.
B 级
1．设 an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，则下列命题中不正确的是( )
A．{an＋1－an}是等差数列 B．{bn＋1－bn}是等差数列
C．{an－bn}是等差数列 D．{an＋bn}是等差数列
解析：选 D 对于 A，因为 an＝(n＋1)2，
所以 an＋1－an＝(n＋2)2－(n＋1)2＝2n＋3，
设 cn＝2n＋3，
所以 cn＋1－cn＝2.
所以{an＋1－an}是等差数列，故 A 正确；
对于 B，因为 bn＝n2－n(n∈N*)，所以 bn＋1－bn＝2n，
设 cn＝2n，所以 cn＋1－cn＝2，
所以{bn＋1－bn}是等差数列，故 B 正确；
对于 C，因为 an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，
所以 an－bn＝(n＋1)2－(n2－n)＝3n＋1，
设 cn＝3n＋1，所以 cn＋1－cn＝3，
所以{an－bn}是等差数列，故 C 正确；
对于 D，an＋bn＝2n2＋n＋1，设 cn＝an＋bn，cn＋1－cn 不是常数，故 D 错误．
2．(2019·武汉调研)设等差数列{an}满足 a3＋a7＝36，a4a6＝275，且 anan＋1 有最小值，
则这个最小值为________．
解析：设等差数列{an}的公差为 d，∵a3＋a7＝36，
∴a4＋a6＝36，又 a4a6＝275，
联立，解得 a4＝11，
a6＝25
或 a4＝25，
a6＝11，
当 a4＝11，
a6＝25
时，可得 a1＝－10，
d＝7，
此时 an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当 n≤2
时，an<0，当 n≥3 时，an>0，
∴a2a3＝－12 为 anan＋1 的最小值；
当 a4＝25，
a6＝11
时，可得 a1＝46，
d＝－7，
此时 an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知当 n≤7
时，an>0，当 n≥8 时，an<0，
∴a7a8＝－12 为 anan＋1 的最小值．
综上，anan＋1 的最小值为－12.
答案：－12
3．(2018·辽宁五校协作体模考)已知数列{an}是等差数列，且 a1，a2(a10 且 q≠1 时，an＝a1
q ·qn 可以看成函数 y＝cqx，其是一个不为 0 的常数与指数函数
的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数 y＝cqx 的图象上；
对于非常数列的等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝a11－qn
1－q
＝－ a1
1－q
qn＋ a1
1－q
，若设 a＝
a1
1－q
，则 Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0，q≠1)．由此可知，数列{Sn}的图象是函数 y＝－aqx＋a
图象上一系列孤立的点．
对于常数列的等比数列，即 q＝1 时，因为 a1≠0，所以 Sn＝na1.由此可知，数列{Sn}的
图象是函数 y＝a1x 图象上一系列孤立的点．
二、常用结论汇总——规律多一点
设数列{an}是等比数列，Sn 是其前 n 项和．
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若 m＋n＝p＋q，则 aman＝apaq；若 2s＝p＋r，则 apar＝a2s，其中 m，n，p，q，s，r
∈N*.
(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为 qm(k，m∈N*)．
(4)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和
pan
qbn 也是
等比数列．
(5)若数列{an}的项数为 2n，则S 偶
S 奇
＝q；若项数为 2n＋1，则S 奇－a1
S 偶
＝q.
考点一 等比数列的基本运算
[典例] (2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记 Sn 为{an}的前 n 项和．若 Sm＝63，求 m.
[解] (1)设{an}的公比为 q，由题设得 an＝qn－1.
由已知得 q4＝4q2，解得 q＝0(舍去)或 q＝－2 或 q＝2.
故 an＝(－2)n－1 或 an＝2n－1.
(2)若 an＝(－2)n－1，则 Sn＝1－－2n
3
.
由 Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
若 an＝2n－1，则 Sn＝1－2n
1－2
＝2n－1.
由 Sm＝63，得 2m＝64，解得 m＝6.
综上，m＝6.
[题组训练]
1．已知等比数列{an}单调递减，若 a3＝1，a2＋a4＝5
2
，则 a1＝( )
A．2 B．4
C. 2 D．2 2
解析：选 B 由题意，设等比数列{an}的公比为 q，q>0，则 a23＝a2a4＝1，又 a2＋a4＝5
2
，
且{an}单调递减，所以 a2＝2，a4＝1
2
，则 q2＝1
4
，q＝1
2
，所以 a1＝a2
q
＝4.
2．(2019·长春质检)已知等比数列{an}的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn，若 a2＝2，S6
－S4＝6a4，则 a5＝( )
A．4 B．10
C．16 D．32
解析：选 C 设公比为 q(q>0)，S6－S4＝a5＋a6＝6a4，因为 a2＝2，所以 2q3＋2q4＝12q2，
即 q2＋q－6＝0，所以 q＝2，则 a5＝2×23＝16.
3．(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn.已知 S3＝7
4
，S6＝63
4
，
则 a8＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为 q，则由 S6≠2S3，得 q≠1，
则
S3＝a11－q3
1－q
＝7
4
，
S6＝a11－q6
1－q
＝63
4
，
解得
q＝2，
a1＝1
4
，
则 a8＝a1q7＝1
4
×27＝32.
答案：32
考点二 等比数列的判定与证明
[典例] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若 bn＝an＋1－2an，
求证：{bn}是等比数列．
[证明] 因为 an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，
所以bn＋1
bn
＝an＋2－2an＋1
an＋1－2an
＝4an＋1－4an－2an＋1
an＋1－2an
＝2an＋1－4an
an＋1－2an
＝2.
因为 S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以 a2＝5.
所以 b1＝a2－2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为 3，公比为 2 的等比数列．
[解题技法]
1．掌握等比数列的 4 种常用判定方法
定义法
中项公式法
通项公式法
前 n 项和公式法
2．等比数列判定与证明的 2 点注意
(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前 n 项和公式法经常
在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．
(2)证明一个数列{an}不是等比数列，只需要说明前三项满足 a22≠a1·a3，或者是存在一个
正整数 m，使得 a2m＋1≠am·am＋2 即可．
[题组训练]
1．数列{an}的前 n 项和为 Sn＝2an－2n，证明：{an＋1－2an}是等比数列．
证明：因为 a1＝S1,2a1＝S1＋2，
所以 a1＝2，由 a1＋a2＝2a2－4 得 a2＝6.
由于 Sn＝2an－2n，故 Sn＋1＝2an＋1－2n＋1，后式减去前式得 an＋1＝2an＋1－2an－2n，即 an＋
1＝2an＋2n，
所以 an＋2－2an＋1＝2an＋1＋2n＋1－2(2an＋2n)＝2(an＋1－2an)，
又 a2－2a1＝6－2×2＝2，
所以数列{an＋1－2an}是首项为 2、公比为 2 的等比数列．
2．(2019·西宁月考)已知在正项数列{an}中，a1＝2，点 An( an， an＋1)在双曲线 y2－x2
＝1 上．在数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线 y＝－1
2x＋1 上，其中 Tn 是数列{bn}的前 n 项和．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{bn}是等比数列．
解：(1)由已知点 An 在 y2－x2＝1 上知，an＋1－an＝1.
∴数列{an}是一个以 2 为首项，1 为公差的等差数列．
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1.
(2)证明：∵点(bn，Tn)在直线 y＝－1
2x＋1 上，
∴Tn＝－1
2bn＋1.①
∴Tn－1＝－1
2bn－1＋1(n≥2)．②
①②两式相减，得
bn＝－1
2bn＋1
2bn－1(n≥2)．
∴3
2bn＝1
2bn－1，∴bn＝1
3bn－1.
由①，令 n＝1，得 b1＝－1
2b1＋1，∴b1＝2
3.
∴数列{bn}是以2
3
为首项，1
3
为公比的等比数列．
考点三 等比数列的性质
考法(一) 等比数列项的性质
[典例] (1)(2019·洛阳联考)在等比数列{an}中，a3，a15 是方程 x2＋6x＋2＝0 的根，则a2a16
a9
的值为( )
A．－2＋ 2
2
B．－ 2
C. 2 D．－ 2 或 2
(2)(2018·河南四校联考)在等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2…a8＝16，
则 1
a1
＋ 1
a2
＋…＋ 1
a8
的值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
[解析] (1)设等比数列{an}的公比为 q，因为 a3，a15 是方程 x2＋6x＋2＝0 的根，所以
a3·a15＝a29＝2，a3＋a15＝－6，所以 a3<0，a15<0，则 a9＝－ 2，所以a2a16
a9
＝a29
a9
＝a9＝－ 2，
故选 B.
(2)由分数的性质得到 1
a1
＋ 1
a2
＋…＋ 1
a8
＝a8＋a1
a8a1
＋a7＋a2
a7a2
＋…＋a4＋a5
a4a5
.因为 a8a1＝a7a2＝
a3a6＝a4a5，所以原式＝a1＋a2＋…＋a8
a4a5
＝ 4
a4a5
，又 a1a2…a8＝16＝(a4a5)4，an>0，∴a4a5＝2，
∴ 1
a1
＋ 1
a2
＋…＋ 1
a8
＝2.故选 A.
[答案] (1)B (2)A
考法(二) 等比数列前 n 项和的性质
[典例] 各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sn＝2，S3n＝14，则 S4n 等于
( )
A．80 B．30
C．26 D．16
[解析] 由题意知公比大于 0，由等比数列性质知 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…
仍为等比数列．
设 S2n＝x，则 2，x－2,14－x 成等比数列．
由(x－2)2＝2×(14－x)，
解得 x＝6 或 x＝－4(舍去)．
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为 2，公比为 2 的等比数列．
又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.
[答案] B
[解题技法]
应用等比数列性质解题时的 2 个关注点
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 m
＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此
外，解题时注意设而不求思想的运用．
[题组训练]
1．(2019·郑州第二次质量预测)已知等比数列{an}中，a2a5a8＝－8，S3＝a2＋3a1，则 a1
＝( )
A.1
2 B．－1
2
C．－2
9 D．－1
9
解析：选 B 设等比数列{an}的公比为 q(q≠1)，因为 S3＝a1＋a2＋a3＝a2＋3a1，所以a3
a1
＝q2＝2.因为 a2a5a8＝a35＝－8，所以 a5＝－2，即 a1q4＝－2，所以 4a1＝－2，所以 a1＝－1
2
，
故选 B.
2．已知等比数列{an}共有 2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则
公比 q＝________.
解析：由题意，得 S 奇＋S 偶＝－240，
S 奇－S 偶＝80，
解得 S 奇＝－80，
S 偶＝－160，
所以 q＝S 偶
S 奇
＝－160
－80
＝2.
答案：2
[课时跟踪检测]
A 级
1．(2019·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}满足 a1a5＝16，a2＝2，则公比 q
＝( )
A．4 B.5
2
C．2 D.1
2
解析：选 C 由题意，得 a1·a1q4＝16，
a1q＝2，
解得 a1＝1，
q＝2
或 a1＝－1，
q＝－2
(舍去)，故选
C.
2．(2019·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4 与 a14 的等比中
项为 2 2，则 log2a7＋log2a11 的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 C 由题意得 a4a14＝(2 2)2＝8，由等比数列的性质，得 a4a14＝a7a11＝8，∴log2a7
＋log2a11＝log2(a7a11)＝log28＝3，故选 C.
3．在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则 a1＝( )
A．1 B．±1
C．2 D．±2
解析：选 A 因为数列{an}是等比数列，所以 a2a3a4＝a33＝8，所以 a3＝2，所以 a7＝a3q4
＝2q4＝8，所以 q2＝2，则 a1＝a3
q2
＝1，故选 A.
4．(2018·贵阳适应性考试)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝1
2
，a2a6＝8(a4－
2)，则 S2 019＝( )
A．22 018－1
2 B．1－
1
2 2 018
C．22 019－1
2 D．1－
1
2 2 019
解析：选 A 由等比数列的性质及 a2a6＝8(a4－2)，得 a24＝8a4－16，解得 a4＝4.
又 a4＝1
2q3，故 q＝2，所以 S2 019＝
1
2
1－22 019
1－2
＝22 018－1
2
，故选 A.
5．在等比数列{an}中，a1＋a3＋a5＝21，a2＋a4＋a6＝42，则 S9＝( )
A．255 B．256
C．511 D．512
解析：选 C 设等比数列的公比为 q，由等比数列的定义可得 a2＋a4＋a6＝a1q＋a3q＋a5q
＝q(a1＋a3＋a5)＝q×21＝42，解得 q＝2.又 a1＋a3＋a5＝a1(1＋q2＋q4)＝a1×21＝21，解得
a1＝1.所以 S9＝a11－q9
1－q
＝1×1－29
1－2
＝511.故选 C.
6．已知递增的等比数列{an}的公比为 q，其前 n 项和 Sn<0，则( )
A．a1<0,01
C．a1>0,00，q>1
解析：选 A ∵Sn<0，∴a1<0，又数列{an}为递增等比数列，∴an＋1>an，且|an|>|an＋1|，
则－an>－an＋1>0，则 q＝－an＋1
－an
∈(0,1)，
∴a1<0,00)，
由 a5＝a1q4＝16，a1＝1，得 16＝q4，解得 q＝2，
所以 S7＝a11－q7
1－q
＝1×1－27
1－2
＝127.
答案：127
8．在 3 与 192 中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．
解析：设该数列的公比为 q，由题意知，
192＝3×q3，q3＝64，所以 q＝4.
所以插入的两个数分别为 3×4＝12,12×4＝48.
答案：12,48
9．(2018·江西师范大学附属中学期中)若等比数列{an}满足 a2a4＝a5，a4＝8，则数列{an}
的前 n 项和 Sn＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为 q，∵a2a4＝a5，a4＝8，
∴ a1q·a1q3＝a1q4，
a1q3＝8，
解得 a1＝1，
q＝2，
∴Sn＝1×1－2n
1－2
＝2n－1.
答案：2n－1
10．已知等比数列{an}为递减数列，且 a25＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公
式 an＝________.
解析：设公比为 q，由 a25＝a10，
得(a1q4)2＝a1·q9，即 a1＝q.
又由 2(an＋an＋2)＝5an＋1，
得 2q2－5q＋2＝0，
解得 q＝1
2
(q＝2 舍去)，
所以 an＝a1·qn－1＝ 1
2n.
答案： 1
2n
11．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足 a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设 bn＝an
n .
(1)求 b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
解：(1)由条件可得 an＋1＝2n＋1
n
an.
将 n＝1 代入得，a2＝4a1，
而 a1＝1，所以 a2＝4.
将 n＝2 代入得，a3＝3a2，所以 a3＝12.
从而 b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2)数列{bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列．
由条件可得 an＋1
n＋1
＝2an
n
，即 bn＋1＝2bn，
又 b1＝1，
所以数列{bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列．
(3)由(2)可得an
n
＝2n－1，所以 an＝n·2n－1.
12．(2019·甘肃诊断)设数列{an＋1}是一个各项均为正数的等比数列，已知 a3＝7，a7＝
127.
(1)求 a5 的值；
(2)求数列{an}的前 n 项和．
解：(1)由题可知 a3＋1＝8，a7＋1＝128，
则有(a5＋1)2＝(a3＋1)(a7＋1)＝8×128＝1 024，
可得 a5＋1＝32，即 a5＝31.
(2)设数列{an＋1}的公比为 q，
由(1)知 a3＋1＝a1＋1q2，
a5＋1＝a1＋1q4，
得 a1＋1＝2，
q＝2，
所以数列{an＋1}是一个以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以 an＋1＝2×2n－1＝2n，
所以 an＝2n－1，
利用分组求和可得，数列{an}的前 n 项和 Sn＝21－2n
1－2
－n＝2n＋1－2－n.
B 级
1．在各项都为正数的数列{an}中，首项 a1＝2，且点(a2n，a2n－1)在直线 x－9y＝0 上，则
数列{an}的前 n 项和 Sn 等于( )
A．3n－1 B.1－－3n
2
C.1＋3n
2
D.3n2＋n
2
解析：选 A 由点(a2n，a2n－1)在直线 x－9y＝0 上，得 a2n－9a2n－1＝0，即(an＋3an－1)(an－3an
－1)＝0，又数列{an}各项均为正数，且 a1＝2，∴an＋3an－1>0，∴an－3an－1＝0，即 an
an－1
＝3，
∴数列{an}是首项 a1＝2，公比 q＝3 的等比数列，其前 n 项和 Sn＝21－3n
1－3
＝3n－1.
2．(2019·郑州一测)已知数列{an}满足 log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且 a1＋a2＋a3＋…＋
a10＝1，则 log2(a101＋a102＋…＋a110)＝________.
解析：因为 log2an＋1＝1＋log2an，可得 log2an＋1＝log22an，所以 an＋1＝2an，所以数列{an}
是以 a1 为首项，2 为公比的等比数列，又 a1＋a2＋…＋a10＝1，所以 a101＋a102＋…＋a110＝(a1
＋a2＋…＋a10)×2100＝2100，所以 log2(a101＋a102＋…＋a110)＝log22100＝100.
答案：100
3．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝
1
2 n，记 T2n 为{an}的前 2n 项的和，bn＝a2n＋a2n－
1，n∈N*.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出 bn；
(2)求 T2n.
解：(1)∵an·an＋1＝
1
2 n，
∴an＋1·an＋2＝
1
2 n＋1，
∴an＋2
an
＝1
2
，即 an＋2＝1
2an.
∵bn＝a2n＋a2n－1，
∴bn＋1
bn
＝a2n＋2＋a2n＋1
a2n＋a2n－1
＝
1
2a2n＋1
2a2n－1
a2n＋a2n－1
＝1
2
，
∵a1＝1，a1·a2＝1
2
，
∴a2＝1
2
，∴b1＝a1＋a2＝3
2.
∴{bn}是首项为3
2
，公比为1
2
的等比数列．
∴bn＝3
2
×
1
2 n－1＝ 3
2n.
(2)由(1)可知，an＋2＝1
2an，
∴a1，a3，a5，…是以 a1＝1 为首项，以1
2
为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以 a2＝1
2
为首项，以1
2
为公比的等比数列，
∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝1－
1
2 n
1－1
2
＋
1
2
1－
1
2 n
1－1
2
＝3－ 3
2n.
第四节 数列求和
一、基础知识
1．公式法
(1)等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝na1＋an
2
＝na1＋nn－1d
2
.
推导方法：倒序相加法．
(2)等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝
na1，q＝1，
a11－qn
1－q
，q≠1.
推导方法：乘公比，错位相减法．
(3)一些常见的数列的前 n 项和：
①1＋2＋3＋…＋n＝nn＋1
2
；
②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
③1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2.
2．几种数列求和的常用方法
(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成
的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，
从而求得前 n 项和．
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积
构成的，那么求这个数列的前 n 项和即可用错位相减法求解．
(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个
常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法求解．
考点一 分组转化法求和
[典例] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋n
2
，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前 2n 项和．
[解] (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝1；
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n
2
－n－12＋n－1
2
＝n.
又 a1＝1 也满足 an＝n，故数列{an}的通项公式为 an＝n.
(2)由(1)知 an＝n，故 bn＝2n＋(－1)nn.
记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n，
则 T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
记 A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
则 A＝21－22n
1－2
＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故数列{bn}的前 2n 项和 T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
[解题技法]
1．分组转化求和的通法
数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数
列或等比数列或可求数列的前 n 项和的数列求和．
2．分组转化法求和的常见类型
[题组训练]
1．已知数列{an}的通项公式是 an＝2n－
1
2 n，则其前 20 项和为( )
A．379＋ 1
220 B．399＋ 1
220
C．419＋ 1
220 D．439＋ 1
220
解析：选 C 令数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S20＝a1＋a2＋a3＋…＋a20＝2(1＋2＋3＋…
＋20)－
1
2
＋ 1
22
＋ 1
23
＋…＋ 1
220 ＝420－ 1－ 1
220 ＝419＋ 1
220.
2．(2019·资阳诊断)已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝ an＋2，n 是奇数，
2an，n 是偶数，
则数列{an}
的前 20 项和为( )
A．1 121 B．1 122
C．1 123 D．1 124
解析：选 C 由题意可知，数列{a2n}是首项为 1，公比为 2 的等比数列，数列{a2n－1}是
首项为 1，公差为 2 的等差数列，故数列{an}的前 20 项和为1×1－210
1－2
＋10×1＋10×9
2
×2
＝1 123.选 C.
考点二 裂项相消法求和
考法(一) 形如 an＝ 1
nn＋k
型
[典例] (2019·南宁摸底联考)已知等差数列{an}满足 a3＝7，a5＋a7＝26.
(1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)设 cn＝ 1
anan＋1
，n∈N*，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
[解] (1)设等差数列的公差为 d，
则由题意可得 a1＋2d＝7，
2a1＋10d＝26，
解得 a1＝3，
d＝2.
所以 an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
(2)因为 cn＝ 1
anan＋1
＝ 1
2n＋12n＋3
，
所以 cn＝1
2
1
2n＋1
－ 1
2n＋3 ，
所以 Tn＝1
2
1
3
－1
5
＋1
5
－1
7
＋…＋ 1
2n＋1
－ 1
2n＋3 ＝1
2
1
3
－ 1
2n＋3 ＝ n
6n＋9
.
考法(二) 形如 an＝ 1
n＋k＋ n
型
[典例] 已知函数 f(x)＝xα的图象过点(4,2)，令 an＝ 1
fn＋1＋fn
，n∈N*.记数列{an}的
前 n 项和为 Sn，则 S2 019＝( )
A. 2 018－1 B. 2 019－1
C. 2 020－1 D. 2 020＋1
[解析] 由 f(4)＝2 可得 4α＝2，解得α＝1
2
，
则 f(x)＝x
1
2 .
∴an＝ 1
fn＋1＋fn
＝ 1
n＋1＋ n
＝ n＋1－ n，
S2 019＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝( 2－ 1)＋( 3－ 2)＋( 4－ 3)＋…＋( 2 019－ 2 018)
＋( 2 020－ 2 019)＝ 2 020－1.
[答案] C
[解题技法]
1．用裂项法求和的裂项原则及消项规律
2．常见的拆项公式
(1) 1
nn＋1
＝1
n
－ 1
n＋1
；
(2) 1
2n－12n＋1
＝1
2
1
2n－1
－ 1
2n＋1 ；
(3) 1
n＋ n＋1
＝ n＋1－ n；
(4) 2n
2n－12n＋1－1
＝ 1
2n－1
－ 1
2n＋1－1
.
[题组训练]
1.在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＝6，a11＝8，则数列
1
an＋3·an＋4 的前 n 项和为( )
A.n＋1
n＋2
B. n
n＋2
C. n
n＋1 D. 2n
n＋1
解析：选 C 因为 a3＋a5＋a7＝6，
所以 3a5＝6，a5＝2，又 a11＝8，
所以等差数列{an}的公差 d＝a11－a5
11－5
＝1，
所以 an＝a5＋(n－5)d＝n－3，
所以 1
an＋3·an＋4
＝ 1
nn＋1
＝1
n
－ 1
n＋1
，
因此数列
1
an＋3·an＋4 的前 n 项和为 1－1
2
＋1
2
－1
3
＋…＋1
n
－ 1
n＋1
＝1－ 1
n＋1
＝ n
n＋1
，故选
C.
2.各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝8，且 2a1，a3,3a2 成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足 bn＝ 1
nlog2an
，求{bn}的前 n 项和 Sn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为 q(q>0)．
∵2a1，a3,3a2 成等差数列，
∴2a3＝2a1＋3a2，即 2a1q2＝2a1＋3a1q，
∴2q2－3q－2＝0，解得 q＝2 或 q＝－1
2(舍去)，
∴an＝8×2n－1＝2n＋2.
(2)由(1)可得 bn＝ 1
nlog22n＋2
＝ 1
nn＋2
＝1
2
1
n
－ 1
n＋2 ，
∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝1
2
1－1
3
＋1
2
－1
4
＋1
3
－1
5
＋…＋1
n
－ 1
n＋2
＝1
2
1＋1
2
－ 1
n＋1
－ 1
n＋2
＝3
4
－1
2
1
n＋1
＋ 1
n＋2
＝3
4
－ 2n＋3
2n＋1n＋2.
考点三 错位相减法
[典例] (2017·山东高考)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且 a1＋a2＝6，a1a2＝a3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2){bn}为各项非零的等差数列，其前 n 项和为 Sn.已知 S2n＋1＝bnbn＋1，求数列
bn
an 的前 n
项和 Tn.
[解] (1)设{an}的公比为 q，
由题意知：a1(1＋q)＝6，a21q＝a1q2.
又 an＞0，解得 a1＝2，q＝2，
所以 an＝2n.
(2)由题意知，
S2n＋1＝2n＋1b1＋b2n＋1
2
＝(2n＋1)bn＋1，
又 S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，
所以 bn＝2n＋1.
令 cn＝bn
an
，则 cn＝2n＋1
2n
，
因此 Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝3
2
＋ 5
22
＋ 7
23
＋…＋2n－1
2n－1
＋2n＋1
2n
，
又 1
2Tn＝ 3
22
＋ 5
23
＋ 7
24
＋…＋2n－1
2n
＋2n＋1
2n＋1
，
两式相减得
1
2Tn＝3
2
＋
1
2
＋ 1
22
＋…＋ 1
2n－1 －2n＋1
2n＋1
＝3
2
＋1－
1
2 n－1－2n＋1
2n＋1
＝5
2
－2n＋5
2n＋1
，
所以 Tn＝5－2n＋5
2n .
[变透练清]
1.变结论若本例中 an，bn 不变，求数列{anbn}的前 n 项和 Tn.
解：由本例解析知 an＝2n，bn＝2n＋1，
故 Tn＝3×21＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n，
2Tn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1，
上述两式相减，得，－Tn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)2n＋1
＝6＋81－2n－1
1－2
－(2n＋1)2n＋1
＝(1－2n)2n＋1－2
得 Tn＝(2n－1)×2n＋1＋2.
2．已知{an}为等差数列，前 n 项和为 Sn(n∈N*)，{bn}是首项为 2 的等比数列，且公比
大于 0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{a2nbn}的前 n 项和(n∈N*)．
解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q.
由已知 b2＋b3＝12，得 b1(q＋q2)＝12，
而 b1＝2，所以 q2＋q－6＝0.
因为 q>0，解得 q＝2，所以 bn＝2n.
由 b3＝a4－2a1，可得 3d－a1＝8. ①
由 S11＝11b4，可得 a1＋5d＝16. ②
联立①②，解得 a1＝1，d＝3，
由此可得 an＝3n－2.
所以{an}的通项公式为 an＝3n－2，{bn}的通项公式为 bn＝2n.
(2)设数列{a2nbn}的前 n 项和为 Tn，由 a2n＝6n－2，有
Tn＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n－2)×2n，
2Tn＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1，
上述两式相减，得
－Tn＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n－2)×2n＋1
＝12×1－2n
1－2
－4－(6n－2)×2n＋1
＝－(3n－4)2n＋2－16，
得 Tn＝(3n－4)2n＋2＋16.
所以数列{a2nbn}的前 n 项和为(3n－4)2n＋2＋16.
[易误提醒]
(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．
(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的 n－1 项和当作 n 项和．
(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比 q＝1 和 q≠1 两种情
况求解．
[课时跟踪检测]
A 级
1．数列{an}的通项公式为 an＝ 1
n＋ n－1
，若该数列的前 k 项之和等于 9，则 k＝( )
A．80 B．81
C．79 D．82
解析：选 B an＝ 1
n＋ n－1
＝ n－ n－1，故 Sn＝ n，令 Sk＝ k＝9，解得 k＝81，故
选 B.
2．若数列{an}的通项公式是 an＝(－1)n(3n－2)，则 a1＋a2＋…＋a10＝( )
A．15 B．12
C．－12 D．－15
解析：选 A a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝－1＋4－7＋10－13＋16－19
＋22－25＋28＝5×3＝15，故选 A.
3．已知{an}是首项为 1 的等比数列，Sn 是{an}的前 n 项和，且 9S3＝S6，则数列
1
an 的
前 5 项和为( )
A.15
8
或 5 B.31
16
或 5
C.31
16 D.15
8
解析：选 C 设{an}的公比为 q，显然 q≠1，由题意得91－q3
1－q
＝1－q6
1－q
，所以 1＋q3＝9，
得 q＝2，所以
1
an 是首项为 1，公比为1
2
的等比数列，前 5 项和为1－
1
2 5
1－1
2
＝31
16.
4．在等差数列{an}中，a4＝5，a7＝11.设 bn＝(－1)n·an，则数列{bn}的前 100 项之和 S100
＝( )
A．－200 B．－100
C．200 D．100
解析：选 D 设数列{an}的公差为 d，由题意可得 a1＋3d＝5，
a1＋6d＝11
⇒ a1＝－1，
d＝2
⇒an
＝2n－3⇒bn＝(－1)n(2n－3)⇒S100＝(－a1＋a2)＋(－a3＋a4)＋…＋(－a99＋a100)＝50×2＝
100，故选 D.
5．已知 Tn 为数列
2n＋1
2n 的前 n 项和，若 m>T10＋1 013 恒成立，则整数 m 的最小值为
( )
A．1 026 B．1 025
C．1 024 D．1 023
解析：选 C ∵2n＋1
2n
＝1＋
1
2 n，
∴Tn＝n＋1－ 1
2n
，
∴T10＋1 013＝11－ 1
210
＋1 013＝1 024－ 1
210
，
又 m>T10＋1 013，
∴整数 m 的最小值为 1 024.
6．已知数列：11
2
，21
4
，31
8
，…，n＋ 1
2n ，…，则其前 n 项和关于 n 的表达式为________．
解析：设所求的前 n 项和为 Sn，则
Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋
1
2
＋1
4
＋…＋ 1
2n ＝nn＋1
2
＋
1
2
1－ 1
2n
1－1
2
＝nn＋1
2
－ 1
2n
＋1.
答案：nn＋1
2
－ 1
2n
＋1
7．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3＝3，S4＝10，则错误! 1
Sk
＝________.
解析：设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，
依题意有 a1＋2d＝3，
4a1＋6d＝10，
解得 a1＝1，
d＝1，
所以 Sn＝nn＋1
2
， 1
Sn
＝ 2
nn＋1
＝2
1
n
－ 1
n＋1 ，
因此错误! 1
Sk
＝2
1－1
2
＋1
2
－1
3
＋…＋1
n
－ 1
n＋1 ＝ 2n
n＋1
.
答案： 2n
n＋1
8．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则 S2 018＝________.
解析：∵数列{an}满足 a1＝1，an＋1·an＝2n，①
∴n＝1 时，a2＝2，n≥2 时，an·an－1＝2n－1，②
由①÷②得an＋1
an－1
＝2，
∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列，
∴S2 018＝1－21 009
1－2
＋21－21 009
1－2
＝3·21 009－3.
答案：3·21 009－3
9．(2019·成都第一次诊断性检测)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a2＝3，S4＝16，n
∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 bn＝ 1
anan＋1
，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
解：(1)设数列{an}的公差为 d，
∵a2＝3，S4＝16，
∴a1＋d＝3,4a1＋6d＝16，
解得 a1＝1，d＝2.
∴an＝2n－1.
(2)由题意知，bn＝ 1
2n－12n＋1
＝1
2
1
2n－1
－ 1
2n＋1 ，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝1
2
1－1
3 ＋
1
3
－1
5 ＋…＋
1
2n－1
－ 1
2n＋1
＝1
2
1－ 1
2n＋1
＝ n
2n＋1
.
10．(2018·南昌摸底调研)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n＋1－2，记 bn＝anSn(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
解：(1)∵Sn＝2n＋1－2，
∴当 n＝1 时，a1＝S1＝21＋1－2＝2；
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n.
又 a1＝2＝21，∴an＝2n.
(2)由(1)知，bn＝anSn＝2·4n－2n＋1，
∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2(41＋42＋43＋…＋4n)－(22＋23＋…＋2n＋1)＝2×41－4n
1－4
－41－2n
1－2
＝2
3·4n＋1－2n＋2＋4
3.
B 级
1．(2019·潍坊统一考试)若数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn＝2an－λ(λ>0，n∈N*)．
(1)证明数列{an}为等比数列，并求 an；
(2)若λ＝4，bn＝ an，n 为奇数，
log2an，n 为偶数 (n∈N*)，求数列{bn}的前 2n 项和 T2n.
解：(1)∵Sn＝2an－λ，当 n＝1 时，得 a1＝λ，
当 n≥2 时，Sn－1＝2an－1－λ，
∴Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
即 an＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，
∴数列{an}是以λ为首项，2 为公比的等比数列，
∴an＝λ·2n－1.
(2)∵λ＝4，∴an＝4·2n－1＝2n＋1，
∴bn＝ 2n＋1，n 为奇数，
n＋1，n 为偶数，
∴T2n＝22＋3＋24＋5＋26＋7＋…＋22n＋2n＋1
＝(22＋24＋…＋22n)＋(3＋5＋…＋2n＋1)
＝4－4n·4
1－4
＋n3＋2n＋1
2
＝4n＋1－4
3
＋n(n＋2)，
∴T2n＝4n＋1
3
＋n2＋2n－4
3.
2．已知首项为 2 的数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＋1＝3Sn－2Sn－1(n≥2，n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 bn＝n＋1
an
，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
解：(1)因为 Sn＋1＝3Sn－2Sn－1(n≥2)，
所以 Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1(n≥2)，
即 an＋1＝2an(n≥2)，所以 an＋1＝2n＋1，则 an＝2n，当 n＝1 时，也满足，故数列{an}的通
项公式为 an＝2n.
(2)因为 bn＝n＋1
2n
＝(n＋1)
1
2 n，
所以 Tn＝2×1
2
＋3×
1
2 2＋4×
1
2 3＋…＋(n＋1)×
1
2 n，①
1
2Tn＝2×
1
2 2＋3×
1
2 3＋4×
1
2 4＋…＋n×
1
2 n＋(n＋1)×
1
2 n＋1，②
①－②得 1
2Tn＝2×1
2
＋
1
2 2＋
1
2 3＋…＋
1
2 n－(n＋1)
1
2 n＋1
＝1
2
＋
1
2 1＋
1
2 2＋
1
2 3＋…＋
1
2 n－(n＋1)
1
2 n＋1
＝1
2
＋
1
2
1－
1
2 n
1－1
2
－(n＋1)
1
2 n＋1
＝1
2
＋1－
1
2 n－(n＋1)
1
2 n＋1
＝3
2
－n＋3
2n＋1 .
故数列{bn}的前 n 项和为 Tn＝3－n＋3
2n .
第五节 数列的综合应用
考点一 数列在实际问题与数学文化问题中的应用
[典例] (1)《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数
列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺
三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注
释：①第一节的高度为 0.5 尺；②第一圈的周长为 1.3 尺；③每节比其下面的一节多 0.03 尺；
④每圈周长比其下面的一圈少 0.013 尺)问：此民谣提出的问题的答案是( )
A．72.705 尺 B．61.395 尺
C．61.905 尺 D．73.995 尺
(2)(2018·北京东城区模拟)为了观看 2022 年的冬奥会，小明打算从 2018 年起，每年的 1
月 1 日到银行存入 a 元的一年期定期储蓄，若年利率为 p，且保持不变，并约定每年到期存
款本息均自动转为新一年的定期.2019 年 1 月 1 日小明去银行继续存款 a 元后，他的账户中
一共有________元；到 2022 年的 1 月 1 日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则
可取回________元．
[解析] (1)因为每相邻两节竹节间的长度差为 0.03 尺，设从地面往上每节竹长分别为
a1，a2，a3，…，a30，所以数列{an}是以 a1＝0.5 为首项，以 d1＝0.03 为公差的等差数列．又
由题意知竹节圈长，每后一圈比前一圈细 0.013 尺，设从地面往上每节圈长分别为 b1，b2，
b3，…，b30，则数列{bn}是以 b1＝1.3 为首项，以 d＝－0.013 为公差的等差数列．所以一蚂
蚁 往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程为 S30＝ 30×0.5＋30×29
2
×0.03 ＋
30×1.3＋30×29
2
×－0.013 ＝61.395.故选 B.
(2)依题意，2019 年 1 月 1 日存款 a 元后，账户中一共有 a(1＋p)＋a＝(ap＋2a)(元)．
2022 年 1 月 1 日可取出钱的总数为
a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)
＝a·1＋p[1－1＋p4]
1－1＋p
＝a
p[(1＋p)5－(1＋p)]
＝a
p[(1＋p)5－1－p]．
[答案] (1)B (2)ap＋2a a
p[(1＋p)5－1－p]
[解题技法]
[题组训练]
1．(2019·贵阳适应性考试)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如
下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：已知甲、
乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、
丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这
个问题中，丙所得为( )
A.7
6
钱 B.5
6
钱
C.2
3
钱 D．1 钱
解析：选 D 因甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为 a－
2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，则 a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，解得 a＝1，即丙所得
为 1 钱，故选 D.
2．(2018·安徽知名示范高中联考)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：
今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半
牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗
主人要求赔偿 5 斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的
马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的
主人各应偿还粟 a 升，b 升，c 升，1 斗为 10 升，则下列判断正确的是( )
A．a，b，c 成公比为 2 的等比数列，且 a＝50
7
B．a，b，c 成公比为 2 的等比数列，且 c＝50
7
C．a，b，c 成公比为1
2
的等比数列，且 a＝50
7
D．a，b，c 成公比为1
2
的等比数列，且 c＝50
7
解析：选 D 由题意可得，a，b，c 成公比为1
2
的等比数列，b＝1
2a，c＝1
2b，故 4c＋2c
＋c＝50，解得 c＝50
7 .故选 D.
3．(2019·江西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为
200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养 5 年后，鱼的质量预计为原来的 t 倍．下
列选项中，与 t 值最接近的是( )
A．11 B．13
C．15 D．17
解析：选 B 设鱼原来的质量为 a，饲养 n 年后鱼的质量为 an，q＝200%＝2，则 a1＝
a(1＋q)，a2＝a1
1＋q
2 ＝a(1＋q) 1＋q
2 ，…，a5＝a(1＋2)×(1＋1)× 1＋1
2 × 1＋ 1
22 × 1＋ 1
23
＝405
32 a≈12.7a，即 5 年后，鱼的质量预计为原来的 12.7 倍，故选 B.
考点二 等差数列与等比数列的综合计算
[典例] (2018·北京高考)设{an}是等差数列，且 a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求 ea1＋ea2＋…＋ean.
[解] (1)设{an}的公差为 d.
因为 a2＋a3＝5ln 2，所以 2a1＋3d＝5ln 2.
又 a1＝ln 2 ，所以 d＝ln 2.所以 an＝a1＋(n－1)d＝nln 2.
(2)因为 ea1＝eln 2＝2， ean
ean－1
＝ean－an－1＝eln 2＝2，
所以数列{ean}是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
所以 ea1＋ea2＋…＋ean＝2×1－2n
1－2
＝2n＋1－2.
[解题技法] 等差数列与等比数列综合计算的策略
(1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、
前 n 项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求
解过程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论．
(2)一定条件下，等差数列与等比数列之间是可以相互转化的，即{an}为等差数列⇒
{aan}(a>0 且 a≠1)为等比数列；{an}为正项等比数列⇒{logaan}(a>0 且 a≠1)为等差数列．
[题组训练]
1．已知等差数列{an}的公差为 5，前 n 项和为 Sn，且 a1，a2，a5 成等比数列，则 S6＝
( )
A．95 B．90
C．85 D．80
解析：选 B 由 a1，a2，a5 成等比数列，得 a22＝a1·a5.又等差数列{an}的公差为 5，所以
(a1＋5)2＝a1(a1＋4×5)，解得 a1＝5
2.所以 S6＝6×5
2
＋6×5
2
×5＝90.故选 B.
2．已知数列{an}是公差为整数的等差数列，前 n 项和为 Sn，且 a1＋a5＋2＝0,2S1,3S2,8S3
成等比数列，则数列
1
anan＋1 的前 10 项和为________．
解析：设等差数列{an}的公差为 d，
因为 a1＋a5＋2＝0，所以 2a1＋4d＋2＝0，a1＝－1－2d.
因为 2S1,3S2,8S3 成等比数列，所以 16S1S3＝9S22，
即 16(－1－2d)(－3－3d)＝9(－2－3d)2.
因为 d 为整数，所以解得 d＝－2，则 a1＝3，
所以 an＝3－2(n－1)＝5－2n.
则 1
anan＋1
＝ 1
5－2n3－2n
＝1
2
1
2n－5
－ 1
2n－3 ，
所以数列
1
anan＋1 的前 10 项和为1
2
×
1
－3
－ 1
－1 ＋1
2
×
1
－1
－1
1 ＋…＋1
2
×
1
15
－ 1
17 ＝
1
2
×
1
－3
－ 1
17 ＝－10
51.
答案：－10
51
3．(2019·武汉调研)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn，
a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝3.
(1)若 a3＋b3＝7，求{bn}的通项公式；
(2)若 T3＝13，求 Sn.
解：(1)设{an}的公差为 d，{bn}的公比为 q，
则 an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.
由 a2＋b2＝3，得 d＋q＝4，①
由 a3＋b3＝7，得 2d＋q2＝8，②
联立①②，解得 q＝2 或 q＝0(舍去)，
因此{bn}的通项公式为 bn＝2n－1.
(2)∵T3＝b1(1＋q＋q2)，
∴1＋q＋q2＝13，解得 q＝3 或 q＝－4，
由 a2＋b2＝3 得 d＝4－q，∴d＝1 或 d＝8.
由 Sn＝na1＋1
2n(n－1)d，
得 Sn＝1
2n2－3
2n 或 Sn＝4n2－5n.
考点三 数列与函数、不等式的综合问题
[典例] 设函数 f(x)＝1
2
＋1
x
，正项数列{an}满足 a1＝1，an＝f
1
an－1 ，n∈N*，且 n≥2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证： 1
a1a2
＋ 1
a2a3
＋ 1
a3a4
＋…＋ 1
anan＋1
<2.
[解] (1)因为 an＝f
1
an－1 ，
所以 an＝1
2
＋an－1，n∈N*，且 n≥2，
所以数列{an}是以 1 为首项，1
2
为公差的等差数列，
所以 an＝a1＋(n－1)d＝1＋1
2(n－1)＝n＋1
2
.
(2)证明：由(1)可知 1
anan＋1
＝ 4
n＋1n＋2
＝4
1
n＋1
－ 1
n＋2 ，
所以 1
a1a2
＋ 1
a2a3
＋ 1
a3a4
＋…＋ 1
anan＋1
＝4
1
2
－1
3 ＋
1
3
－1
4 ＋
1
4
－1
5 …＋
1
n＋1
－ 1
n＋2 ＝
4
1
2
－ 1
n＋2 ＝2－ 4
n＋2
<2.
[解题技法]
1．数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前 n 项
和公式、求和方法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要
注意这一特殊性．
2．数列与不等式综合问题的求解策略
解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比
较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化
为研究最值问题来解决．
[题组训练]
1．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数 y＝3×2x 的图象上，等
比数列{bn}满足 bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前 n 项和为 Tn，则下列结论正确的是( )
A．Sn＝2Tn B．Tn＝2bn＋1
C．Tn>an D．Tn0 且 q>1.
因为 1＋a2－a4＋λ(a3－a5)＝0，所以 1＋λq＝ 1
a4－a2
，
所以 a6＋λa7＝a6(1＋λq)＝ a6
a4－a2
＝ q4
q2－1
＝q4－1＋1
q2－1
＝q2＋1＋ 1
q2－1
＝q2－1＋ 1
q2－1
＋
2≥2 q2－1· 1
q2－1
＋2＝4
当且仅当 q2－1＝ 1
q2－1
时，即 q＝ 2时，取等号
，即 a6＋λa7
的最小值为 4，故选 D.
7．某公司去年产值为 a，计划在今后 5 年内每年比上年产值增加 10%，则从今年起到
第 5 年，这个厂的总产值为________．
解析：每年的产值构成以 a(1＋10%)＝1.1a 为首项，1.1 为公比的等比数列，所以从今
年起到第 5 年的总产值 S5＝1.1a1－1.15
1－1.1
＝11(1.15－1)a.
答案：11(1.15－1)a
8．已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，S3，S9，S6 成等差数列，a2＋a5＝4，则 a8＝________.
解析：因为 S3，S9，S6 成等差数列，所以公比 q≠1，21－q9
1－q
＝1－q3
1－q
＋1－q6
1－q
，整理得
2q6＝1＋q3，所以 q3＝－1
2
，故 a2· 1－1
2 ＝4，解得 a2＝8，故 a8＝8×1
4
＝2.
答案：2
9．已知等差数列{an}满足 an－1＋an＋an＋1＝3n(n≥2)，函数 f(x)＝2x，bn＝log4f(an)，则数
列{bn}的前 n 项和为________．
解析：∵等差数列{an}满足 an－1＋an＋an＋1＝3n(n≥2)，∴3an＝3n，即 an＝n.又∵函数 f(x)
＝2x，∴f(an)＝2n，∴b1＋b2＋…＋bn＝log4[f(a1)·f(a2)·…·f(an)]＝log4(2×22×…×2n)＝log421
＋2＋…＋n＝1
2
×(1＋2＋…＋n)＝nn＋1
4
.
答案：nn＋1
4
10．(2018·沈阳质检)在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，则 an＝
________.
解析：法一：因为 an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，所以an＋1－an
an－an－1
＝2(n≥2)，所以 an＋1－an＝(a2
－a1)2n－1＝2n－1(n≥2)，又 a2－a1＝1，所以 an－an－1＝2n－2，an－1－an－2＝2n－3，…，a2－a1＝1，
累加，得 an＝2n－1(n∈N*)．
法二：因为 an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，所以 an＋1－2an＝an－2an－1，得 an＋1－2an＝an－2an
－1＝an－1－2an－2＝…＝a2－2a1＝0，即 an＝2an－1(n≥2)，所以数列{an}是以 1 为首项，2 为公
比的等比数列，所以 an＝2n－1(n∈N*)．
答案：2n－1
11．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，公比为3
2.
(1)若 S4＝65
24
，求 a1.
(2)若 a1＝2，cn＝1
2an＋nb，且 c2，c4，c5 成等差数列，求 b.
解：(1)∵公比 q＝3
2
，S4＝65
24
，
∴a1 1－
3
2 4
1－3
2
＝65
24
，
∴ 1－81
16 a1＝－65
48
，解得 a1＝1
3.
(2)∵a1＝2，公比为3
2
，∴a2＝3，a4＝27
4
，a5＝81
8 .
又∵cn＝1
2an＋nb，
∴c2＝1
2a2＋2b＝3
2
＋2b，c4＝1
2a4＋4b＝27
8
＋4b，c5＝1
2a5＋5b＝81
16
＋5b.
∵c2，c4，c5 成等差数列，
∴2
27
8
＋4b ＝3
2
＋2b＋81
16
＋5b，解得 b＝－ 3
16.
12．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，点 n，Sn
n ，n∈N*均在函数 y＝x 的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列
1
anan＋1 的前 n 项和为 Tn，若对任意的 n∈N*，不等式 4Tn0，b>0)过点(1,1)，则该直线在 x 轴，y 轴上的截距之和的最小
值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选 C ∵直线 ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，
∴a＋b＝ab，即1
a
＋1
b
＝1，
∴a＋b＝(a＋b)
1
a
＋1
b
＝2＋b
a
＋a
b
≥2＋2 b
a·a
b
＝4，
当且仅当 a＝b＝2 时上式等号成立．
∴直线在 x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为 4.
2．已知直线 l：x－my＋ 3m＝0 上存在点 M 满足与 A(－1,0)，B(1,0)两点连线的斜率
kMA 与 kMB 之积为 3，则实数 m 的取值范围是( )
A．[－ 6， 6 ]
B.
－∞，－ 6
6 ∪
6
6
，＋∞
C.
－∞，－ 6
6 ∪
6
6
，＋∞
D.
－ 2
2
， 2
2
解析：选 C 设 M(x，y)，由 kMA·kMB＝3，得 y
x＋1· y
x－1
＝3，即 y2＝3x2－3.
联立 x－my＋ 3m＝0，
y2＝3x2－3，
得
1
m2
－3 x2＋2 3
m x＋6＝0(m≠0)，
则Δ＝
2 3
m 2－24
1
m2
－3 ≥0，即 m2≥1
6
，解得 m≤－ 6
6
或 m≥ 6
6 .
∴实数 m 的取值范围是 －∞，－ 6
6 ∪
6
6
，＋∞
.
[课时跟踪检测]
1．(2019·合肥模拟)直线 l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0 的斜率是( )
A. 3
3 B. 3
C．－ 3 D．－ 3
3
解析：选 A 设直线 l 的斜率为 k，则 k＝－ sin 30°
cos 150°
＝ 3
3 .
2．倾斜角为 120°，在 x 轴上的截距为－1 的直线方程是( )
A. 3x－y＋1＝0 B. 3x－y－ 3＝0
C. 3x＋y－ 3＝0 D. 3x＋y＋ 3＝0
解析：选 D 由于倾斜角为 120°，故斜率 k＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程
为 y＝－ 3(x＋1)，即 3x＋y＋ 3＝0.
3．已知△ABC 的三个顶点坐标为 A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M 为 AB 的中点，N 为 AC
的中点，则中位线 MN 所在直线的方程为( )
A．2x＋y－12＝0 B．2x－y－12＝0
C．2x＋y－8＝0 D．2x－y＋8＝0
解析：选 C 由题知 M(2,4)，N(3,2)，则中位线 MN 所在直线的方程为y－4
2－4
＝x－2
3－2
，整
理得 2x＋y－8＝0.
4．方程 y＝ax－1
a
表示的直线可能是( )
解析：选 C 当 a＞0 时，直线的斜率 k＝a＞0，在 y 轴上的截距 b＝－1
a
＜0，各选项都
不符合此条件；当 a＜0 时，直线的斜率 k＝a＜0，在 y 轴上的截距 b＝－1
a
＞0，只有选项 C
符合此条件．故选 C.
5．在等腰三角形 MON 中，MO＝MN，点 O(0,0)，M(－1,3)，点 N 在 x 轴的负半轴上，
则直线 MN 的方程为( )
A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
解析：选 C 因为 MO＝MN，所以直线 MN 的斜率与直线 MO 的斜率互为相反数，所
以 kMN＝－kMO＝3，所以直线 MN 的方程为 y－3＝3(x＋1)，即 3x－y＋6＝0，选 C.
6．若直线 mx＋ny＋3＝0 在 y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线 3x－y＝3 3的
倾斜角的 2 倍，则( )
A．m＝－ 3，n＝1 B．m＝－ 3，n＝－3
C．m＝ 3，n＝－3 D．m＝ 3，n＝1
解析：选 D 对于直线 mx＋ny＋3＝0，令 x＝0 得 y＝－3
n
，即－3
n
＝－3，n＝1.
因为 3x－y＝3 3的斜率为 60°，直线 mx＋ny＋3＝0 的倾斜角是直线 3x－y＝3 3的
2 倍，所以直线 mx＋ny＋3＝0 的倾斜角为 120°，即－m
n
＝－ 3，m＝ 3.
7．当 00，
故直线 l1：kx－y＝k－1 与直线 l2：ky－x＝2k 的交点在第二象限．
8．若直线 l：kx－y＋2＋4k＝0(k∈R)交 x 轴负半轴于 A，交 y 轴正半轴于 B，则当△AOB
的面积取最小值时直线 l 的方程为( )
A．x－2y＋4＝0 B．x－2y＋8＝0
C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＋8＝0
解析：选 B 由 l 的方程，得 A
－2＋4k
k
，0 ，B(0,2＋4k)．依题意得
－2＋4k
k
＜0，
2＋4k＞0，
解得 k＞0.因为 S＝1
2|OA|·|OB|＝1
2
|2＋4k
k |·|2＋4k|＝1
2·2＋4k2
k
＝1
2
16k＋4
k
＋16 ≥1
2(2×8＋
16)＝16，当且仅当 16k＝4
k
，即 k＝1
2
时等号成立．此时 l 的方程为 x－2y＋8＝0.
9．以 A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的△ABC，其边 AB 上的高所在的直线方程是
________________．
解析：由 A，B 两点得 kAB＝1
2
，则边 AB 上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程
是 y－4＝－2(x－5)，即 2x＋y－14＝0.
答案：2x＋y－14＝0
10．已知直线 l 过点(1,0)，且倾斜角为直线 l0：x－2y－2＝0 的倾斜角的 2 倍，则直线 l
的方程为________________．
解析：由题意可设直线 l0，l 的倾斜角分别为α，2α，
因为直线 l0：x－2y－2＝0 的斜率为1
2
，则 tan α＝1
2
，
所以直线 l 的斜率 k＝tan 2α＝ 2tan α
1－tan2α
＝
2×1
2
1－
1
2 2
＝4
3
，
所以由点斜式可得直线 l 的方程为 y－0＝4
3(x－1)，
即 4x－3y－4＝0.
答案：4x－3y－4＝0
11．直线 l 经过点 A(1,2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范
围是________________．
解析：由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y－2＝k(x－1)，直线 l 在 x 轴上
的截距为 1－2
k
，令－3<1－2
k<3，解不等式得 k>1
2
或 k<－1.
答案：(－∞，－1)∪
1
2
，＋∞
12．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
解析：b 为直线 y＝－2x＋b 在 y 轴上的截距，如图，当直线 y＝－2x
＋b 过点 A(－1,0)和点 B(1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值
范围是[－2,2]．
答案：[－2,2]
13．已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，分别求满足下列条件的直线 l 的
方程：
(1)过定点 A(－3,4)；
(2)斜率为1
6.
解：(1)设直线 l 的方程为 y＝k(x＋3)＋4，它在 x 轴，y 轴上的截距分别是－4
k
－3,3k＋4，
由已知，得(3k＋4)
4
k
＋3 ＝±6，
解得 k1＝－2
3
或 k2＝－8
3.
故直线 l 的方程为 2x＋3y－6＝0 或 8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b，
则直线 l 的方程为 y＝1
6x＋b，它在 x 轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直线 l 的方程为 x－6y＋6＝0 或 x－6y－6＝0.
第二节 两直线的位置关系
一、基础知识
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线 l1，l2，若其斜率分别为 k1，k2，则有 l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线 l1，l2 不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线 l1，l2 的斜率存在，
设为 k1，k2，则有 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时，l1⊥l2.
2．两条直线的交点的求法
直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组
A1x＋B1y＋C1＝0，
A2x＋B2y＋C2＝0
的解．
3．三种距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12.
(2)点到直线的距离公式
点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝|Ax0＋By0＋C|
A2＋B2
.
(3)两平行直线间的距离公式
两条平行直线 Ax＋By＋C1＝0 与 Ax＋By＋C2＝0
间的距离 d＝|C1－C2|
A2＋B2
.
二、常用结论
(1)与直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直或平行的直线方程可设为：
①垂直：Bx－Ay＋m＝0；
②平行：Ax＋By＋n＝0.
(2)与对称问题相关的四个结论：
①点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
②点(x，y)关于直线 x＝a 的对称点为(2a－x，y)，关于直线 y＝b 的对称点为(x,2b－y)．
③点(x，y)关于直线 y＝x 的对称点为(y，x)，关于直线 y＝－x 的对称点为(－y，－x)．
④点(x，y)关于直线 x＋y＝k 的对称点为(k－y，k－x)，关于直线 x－y＝k 的对称点为(k
＋y，x－k)．
考点一 两条直线的位置关系
[典例] 已知两直线 l1：mx＋8y＋n＝0 和 l2：2x＋my－1＝0，试确定 m，n 的值，使
(1)l1 与 l2 相交于点 P(m，－1)；
(2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且 l1 在 y 轴上的截距为－1.
[解] (1)由题意得 m2－8＋n＝0，
2m－m－1＝0，
解得 m＝1，
n＝7.
即 m＝1，n＝7 时，l1 与 l2 相交于点 P(m，－1)．
(2)∵l1∥l2，∴ m2－16＝0，
－m－2n≠0，
解得 m＝4，
n≠－2
或 m＝－4，
n≠2.
即 m＝4，n≠－2 或 m＝－4，n≠2 时，l1∥l2.
(3)当且仅当 2m＋8m＝0，
即 m＝0 时，l1⊥l2.
又－n
8
＝－1，∴n＝8.
即 m＝0，n＝8 时，l1⊥l2，且 l1 在 y 轴上的截距为－1.
[解题技法]
1．．由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)
l1 与 l2 垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0
l1 与 l2 平行的充分条件 A1
A2
＝B1
B2
≠C1
C2
(A2B2C2≠0)
l1 与 l2 相交的充分条件 A1
A2
≠B1
B2
(A2B2≠0)
l1 与 l2 重合的充分条件 A1
A2
＝B1
B2
＝C1
C2
(A2B2C2≠0)
[题组训练]
1．已知直线 4x＋my－6＝0 与直线 5x－2y＋n＝0 垂直，垂足为(t,1)，则 n 的值为( )
A．7 B．9
C．11 D．－7
解析：选 A 由直线 4x＋my－6＝0 与直线 5x－2y＋n＝0 垂直得，20－2m＝0，m＝10.
直线 4x＋10y－6＝0 过点(t,1)，所以 4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1,1)又在直线 5x－2y＋n＝0
上，所以－5－2＋n＝0，n＝7.
2．(2019·保定五校联考)直线 l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”
是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选 C 由 l1∥l2 得－m(m－1)＝1×(－2)，得 m＝2 或 m＝－1，经验证，当 m＝－
1 时，直线 l1 与 l2 重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件，故选 C.
考点二 距离问题
[典例] (1)过点 P(2,1)且与原点 O 距离最远的直线方程为( )
A．2x＋y－5＝0 B．2x－y－3＝0
C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＝0
(2)若两平行直线 l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与 l2：2x＋ny－6＝0 之间的距离是 5，则 m
＋n＝( )
A．0 B．1
C．－2 D．－1
[解析] (1)过点 P(2,1)且与原点 O 距离最远的直线为过点 P(2,1)且与 OP 垂直的直线，
因为直线 OP 的斜率为1－0
2－0
＝1
2
，所以所求直线的斜率为－2，故所求直线方程为 2x＋y－5
＝0.
(2)因为 l1，l2 平行，所以 1×n＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m，解得 n＝－4，m≠－3，
所以直线 l2：x－2y－3＝0.又 l1，l2 之间的距离是 5，所以|m＋3|
1＋4
＝ 5，解得 m＝2 或 m＝
－8(舍去)，所以 m＋n＝－2，故选 C.
[答案] (1)A (2)C
[解题技法]
1．点到直线的距离的求法
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
2．两平行线间的距离的求法
(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的
距离．
(2)利用两平行线间的距离公式．
[题组训练]
1．已知点 P(2，m)到直线 2x－y＋3＝0 的距离不小于 2 5，则实数 m 的取值范围是
________________．
解析：由题意得，点 P 到直线的距离为|2×2－m＋3|
22＋12
≥2 5，即|m－7|≥10，解得 m≥17
或 m≤－3，所以实数 m 的取值范围是(－∞，－3]∪[17，＋∞)．
答案：(－∞，－3]∪[17，＋∞)
2．如果直线 l1：ax＋(1－b)y＋5＝0 和直线 l2：(1＋a)x－y－b＝0 都平行于直线 l3：x－
2y＋3＝0，则 l1，l2 之间的距离为________．
解析：因为 l1∥l3，所以－2a－(1－b)＝0，同理－2(1＋a)＋1＝0，解得 a＝－1
2
，b＝0，
因此 l1：x－2y－10＝0，l2：x－2y＝0，d＝ |－10－0|
12＋－22
＝2 5.
答案：2 5
考点三 对称问题
[典例] 已知直线 l：2x－3y＋1＝0，点 A(－1，－2)．
(1)求点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标；
(2)求直线 m：3x－2y－6＝0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程．
[解] (1)设 A′(x，y)，再由已知得
y＋2
x＋1
×2
3
＝－1，
2×x－1
2
－3×y－2
2
＋1＝0，
解得
x＝－33
13
，
y＝ 4
13
，
所以 A′ －33
13
， 4
13 .
(2)在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在 m′上．设
对称点为 M′(a，b)，则
2×a＋2
2
－3×b＋0
2
＋1＝0，
b－0
a－2
×2
3
＝－1，
解得 M′
6
13
，30
13 .设 m 与 l 的交
点为 N，则由 2x－3y＋1＝0，
3x－2y－6＝0，
得 N(4,3)．又因为 m′经过点 N(4,3)，所以由两点式得直线
m′方程为 9x－46y＋102＝0.
[变透练清]
1.变结论在本例条件下，则直线 l 关于点 A(－1，－2)对称的直线 l′的方程为
________________．
解析：法一：在 l：2x－3y＋1＝0 上任取两点，
如 M(1,1)，N(4,3)，
则 M，N 关于点 A 的对称点 M′，N′均在直线 l′上．
易知 M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，
由两点式可得 l′的方程为 2x－3y－9＝0.
法二：设 P(x，y)为 l′上任意一点，
则 P(x，y)关于点 A(－1，－2)的对称点为
P′(－2－x，－4－y)，
∵P′在直线 l 上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即 2x－3y－9＝0.
答案：2x－3y－9＝0
2．(2019·合肥四校联考)已知入射光线经过点 M(－3,4)，被直线 l：x－y＋3＝0 反射，
反射光线经过点 N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
解析：设点 M(－3,4)关于直线 l：x－y＋3＝0 的对称点为 M′(a，b)，则反射光线所在
直线过点 M′，所以
b－4
a－－3
＝－1，
－3＋a
2
－b＋4
2
＋3＝0，
解得 a＝1，b＝0.又反射光线经过点 N(2,6)，
所以所求直线的方程为y－0
6－0
＝x－1
2－1
，即 6x－y－6＝0.
答案：6x－y－6＝0
[解题技法]
1．中心对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于点对称
若点 M(x1，y1)及 N(x，y)关于 P(a，b)对称，则由中点坐标公式得 x＝2a－x1，
y＝2b－y1
进而
求解．
(2)直线关于点对称
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由
两点式求出直线方程；
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程；
③轨迹法，设对称直线上任一点 M(x，y)，其关于已知点的对称点在已知直线上．
2．轴对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于直线的对称
若两点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 对称，
由方程组
A×x1＋x2
2
＋B×y1＋y2
2
＋C＝0，
y2－y1
x2－x1
× －A
B ＝－1，
可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标
(x2，y2)(其中 B≠0，x1≠x2)．
(2)直线关于直线的对称
一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是
已知直线与对称轴平行．
[课时跟踪检测]
1．过点(1,0)且与直线 x－2y－2＝0 垂直的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：选 C 因为直线 x－2y－2＝0 的斜率为1
2
，
所以所求直线的斜率 k＝－2.
所以所求直线的方程为 y－0＝－2(x－1)，
即 2x＋y－2＝0.
2．已知直线 l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0 和 l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若 l1⊥l2，则 a＝( )
A．2 或1
2 B.1
3
或－1
C.1
3 D．－1
解析：选 B 因为直线 l1⊥l2，所以 2a(a＋1)＋(a＋1)(a－1)＝0，解得 a＝1
3
或－1.
3．若点 P 在直线 3x＋y－5＝0 上，且 P 到直线 x－y－1＝0 的距离为 2，则点 P 的坐
标为( )
A．(1,2) B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
解析：选 C 设 P(x,5－3x)，则 d＝|x－5＋3x－1|
12＋－12
＝ 2，化简得|4x－6|＝2，即 4x－6＝
±2，解得 x＝1 或 x＝2，故 P(1，2)或(2，－1)．
4．(2018·揭阳一模)若直线 l1：x－3y＋2＝0 与直线 l2：mx－y＋b＝0 关于 x 轴对称，则
m＋b＝( )
A.1
3 B．－1
C．－1
3 D．1
解析：选 B 直线 l1：x－3y＋2＝0 关于 x 轴对称的直线为 x＋3y＋2＝0.由题意知 m≠0.
因为 mx－y＋b＝0，即 x－y
m
＋b
m
＝0，且直线 l1 与 l2 关于 x 轴对称，
所以有
－1
m
＝3，
b
m
＝2，
解得
m＝－1
3
，
b＝－2
3
，
则 m＋b＝－1
3
＋ －2
3 ＝－1.
5．点 A(1,3)关于直线 y＝kx＋b 对称的点是 B(－2,1)，则直线 y＝kx＋b 在 x 轴上的截距
是( )
A．－3
2 B.5
4
C．－6
5 D.5
6
解析：选 D 由题意，知
3－1
1＋2
·k＝－1，
2＝k·
－1
2 ＋b，
解得
k＝－3
2
，
b＝5
4.
∴直线方程为 y＝－3
2x＋5
4
，它在 x 轴上的截距为－5
4
× －2
3 ＝5
6.故选 D.
6．(2019·成都五校联考)已知 A，B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为 2，且|PA|＝|PB|，
若直线 PA 的方程为 x－y＋1＝0，则直线 PB 的方程是( )
A．2x＋y－7＝0 B．x＋y－5＝0
C．2y－x－4＝0 D．2x－y－1＝0
解析：选 B 由|PA|＝|PB|得点 P 一定在线段 AB 的垂直平分线上，根据直线 PA 的方程
为 x－y＋1＝0，可得 A(－1,0)，将 x＝2 代入直线 x－y＋1＝0，得 y＝3，所以 P(2，3)，所
以 B(5,0)，所以直线 PB 的方程是 x＋y－5＝0，选 B.
7．若动点 A，B 分别在直线 l1：x＋y－7＝0 和 l2：x＋y－5＝0 上移动，则 AB 的中点 M
到原点的距离的最小值为( )
A．3 2 B．2 2
C．3 3 D．4 2
解析：选 A 依题意知 AB 的中点 M 的集合为与直线 l1：x＋y－7＝0 和 l2：x＋y－5＝0
距离都相等的直线，则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点 M 所在直线
的方程为 l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得|m＋7|
2
＝|m＋5|
2
⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝
－6，即 l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式，得 M 到原点的距离的最小值为|－6|
2
＝3 2.
8．已知点 A(1,3)，B(5，－2)，在 x 轴上有一点 P，若|AP|－|BP|最大，则 P 点坐标为
( )
A．(3.4,0) B．(13,0)
C．(5,0) D．(－13,0)
解析：选 B 作出 A 点关于 x 轴的对称点 A′(1，－3)，则 A′B 所在直线方程为 x－4y
－13＝0.令 y＝0 得 x＝13，所以点 P 的坐标为(13,0)．
9．经过两直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2：x＋y－2＝0 的交点 P，且与直线 l3：3x－4y＋5
＝0 垂直的直线 l 的方程为________．
解析：由方程组 x－2y＋4＝0，
x＋y－2＝0
得 x＝0，y＝2，即 P(0,2)．因为 l⊥l3，所以直线 l 的
斜率 k＝－4
3
，所以直线 l 的方程为 y－2＝－4
3x，即 4x＋3y－6＝0.
答案：4x＋3y－6＝0
10．已知点 P1(2,3)，P2(－4,5)和 A(－1,2)，则过点 A 且与点 P1，P2 距离相等的直线方
程为________．
解析：当直线与点 P1，P2 的连线所在的直线平行时，由直线 P1P2 的斜率 k＝3－5
2＋4
＝－1
3
，
得所求直线的方程为 y－2＝－1
3(x＋1)，即 x＋3y－5＝0.当直线过线段 P1P2 的中点时，因为
线段 P1P2 的中点坐标为(－1,4)，所以直线方程为 x＝－1.综上所述，所求直线方程为 x＋3y
－5＝0 或 x＝－1.
答案：x＋3y－5＝0 或 x＝－1
11．直线 x－2y＋1＝0 关于直线 x＝1 对称的直线方程是________．
解析：由题意得直线 x－2y＋1＝0 与直线 x＝1 的交点坐标为(1,1)．又直线 x－2y＋1＝0
上的点(－1,0)关于直线 x＝1 的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y－0
1－0
＝x－3
1－3
，
即 x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
12．过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1：2x＋y－8＝0 和 l2：x－3y＋10＝0 截得的线段被
点 P 平分，则直线 l 的方程为________．
解析：设 l1 与 l 的交点为 A(a,8－2a)，
则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B(－a,2a－6)在 l2 上，把 B 点坐标代入 l2 的方程
得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得 a＝4，即点 A(4,0)在直线 l 上，
所以由两点式得直线 l 的方程为 x＋4y－4＝0.
答案：x＋4y－4＝0
13．已知△ABC 的三个顶点是 A(1,1)，B(－1,3)，C(3,4)．
(1)求 BC 边的高所在直线 l1 的方程；
(2)若直线 l2 过 C 点，且 A，B 到直线 l2 的距离相等，求直线 l2 的方程．
解：(1)因为 kBC＝4－3
3＋1
＝1
4
，又直线 l1 与 BC 垂直，所以直线 l1 的斜率 k＝－ 1
kBC
＝－4，
所以直线 l1 的方程是 y＝－4(x－1)＋1，即 4x＋y－5＝0.
(2)因为直线 l2 过 C 点且 A，B 到直线 l2 的距离相等，
所以直线 l2 与 AB 平行或过 AB 的中点 M，
因为 kAB＝ 3－1
－1－1
＝－1，所以直线 l2 的方程是 y＝－(x－3)＋4，即 x＋y－7＝0.
因为 AB 的中点 M 的坐标为(0,2)，
所以 kCM＝4－2
3－0
＝2
3
，所以直线 l2 的方程是
y＝2
3(x－3)＋4，即 2x－3y＋6＝0.
综上，直线 l2 的方程是 x＋y－7＝0 或 2x－3y＋6＝0.
第三节 圆的方程
一、基础知识
1．圆的定义及方程
定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
❶
圆心：(a，b)，半径： r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
(D2＋E2－4F＞0)
❷
圆心：－D
2
，－E
2 ，
半径：1
2 D2＋E2－4F
❶标准方程强调圆心坐标为(a，b)，半径为 r.
❷(1)当 D2＋E2－4F＝0 时，方程表示一个点 －D
2
，－E
2 ；
(2)当 D2＋E2－4F＜0 时，方程不表示任何图形．
2．点与圆的位置关系
点 M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的位置关系：
(1)若 M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若 M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若 M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
二、常用结论
(1)二元二次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是
A＝C≠0，
B＝0，
D2＋E2－4AF＞0.
(2)以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
考点一 求圆的方程
[典例] (1)圆心在 y 轴上，半径长为 1，且过点 A(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝4
(2)圆心在直线 x－2y－3＝0 上，且过点 A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为________．
[解析] (1)根据题意可设圆的方程为 x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点 A(1,2)，所以 12＋(2
－b)2＝1，解得 b＝2，所以所求圆的方程为 x2＋(y－2)2＝1.
(2)法一：几何法
设点 C 为圆心，因为点 C 在直线 x－2y－3＝0 上，所以可设点 C 的坐标为(2a＋3，a)．
又该圆经过 A，B 两点，所以|CA|＝|CB|，
即 2a＋3－22＋a＋32
＝ 2a＋3＋22＋a＋52，解得 a＝－2，
所以圆心 C 的坐标为(－1，－2)，半径 r＝ 10，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二：待定系数法
设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得
2－a2＋－3－b2＝r2，
－2－a2＋－5－b2＝r2，
a－2b－3＝0，
解得 a＝－1，b＝－2，r2＝10，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三：待定系数法
设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心坐标为 －D
2
，－E
2 ，
由题意得
－D
2
－2× －E
2 －3＝0，
4＋9＋2D－3E＋F＝0，
4＋25－2D－5E＋F＝0，
解得 D＝2，E＝4，F＝－5.
故所求圆的方程为 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
[答案] (1)A (2)x2＋y2＋2x＋4y－5＝0
[题组训练]
1．已知圆 E 经过三点 A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在 x 轴的正半轴上，则圆 E
的标准方程为( )
A. x－3
2 2＋y2＝25
4 B. x＋3
4 2＋y2＝25
16
C. x－3
4 2＋y2＝25
16 D. x－3
4 2＋y2＝25
4
解析：选 C 法一：根据题意，设圆 E 的圆心坐标为(a,0)(a＞0)，半径为 r，则圆 E 的
标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)．
由题意得
a2＋12＝r2，
2－a2＝r2，
a2＋－12＝r2，
解得
a＝3
4
，
r2＝25
16
，
所以圆 E 的标准方程为 x－3
4 2＋y2＝25
16.
法二：设圆 E 的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则由题意得
1＋E＋F＝0，
4＋2D＋F＝0，
1－E＋F＝0，
解得
D＝－3
2
，
E＝0，
F＝－1，
所以圆 E 的一般方程为 x2＋y2－3
2x－1＝0，即 x－3
4 2＋y2＝25
16.
法三：因为圆 E 经过点 A(0,1)，B(2,0)，
所以圆 E 的圆心在线段 AB 的垂直平分线 y－1
2
＝2(x－1)上．
又圆 E 的圆心在 x 轴的正半轴上，
所以圆 E 的圆心坐标为
3
4
，0 .
则圆 E 的半径为|EB|＝ 2－3
4 2＋0－02＝5
4
，
所以圆 E 的标准方程为 x－3
4 2＋y2＝25
16.
2．已知圆心在直线 y＝－4x 上，且圆与直线 l：x＋y－1＝0 相切于点 P(3，－2)，则该
圆的方程是________________．
解析：过切点且与 x＋y－1＝0 垂直的直线方程为 x－y－5＝0，与 y＝－4x 联立可求得
圆心为(1，－4)．
所以半径 r＝ 3－12＋－2＋42＝2 2，
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
答案：(x－1)2＋(y＋4)2＝8
3．已知圆 C 经过 P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在 x 轴上截得的弦长等于 6，则圆 C 的
方程为________________．
解析：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
将 P，Q 两点的坐标分别代入得
2D－4E－F＝20，
3D－E＋F＝－10.
①
②
又令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0.③
设 x1，x2 是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6，得 D2－4F＝36，④
联立①②④，解得 D＝－2，E＝－4，F＝－8，或 D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4y－8＝0 或 x2＋y2－6x－8y＝0.
答案：x2＋y2－2x－4y－8＝0 或 x2＋y2－6x－8y＝0
考点二 与圆有关的轨迹问题
[典例] (1)点 P(4，－2)与圆 x2＋y2＝4 上任意一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
(2)已知圆 C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，过点 A(2,3)作圆 C 的任意弦，则这些弦的中点 P 的
轨迹方程为________．
[ 解 析 ] (1) 设 圆 上 任 意 一 点 为 (x1 ， y1) ， 中 点 为 (x ， y) ， 则
x＝x1＋4
2
，
y＝y1－2
2
，
即
x1＝2x－4，
y1＝2y＋2，
代入 x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
(2)设 P(x，y)，圆心 C(1,1)．
因为 P 点是过点 A 的弦的中点，所以 PA
―→⊥ PC
―→
.
又因为 PA
―→＝(2－x,3－y)， PC
―→＝(1－x,1－y)．
所以(2－x)·(1－x)＋(3－y)·(1－y)＝0.
所以点 P 的轨迹方程为 x－3
2 2＋(y－2)2＝5
4.
[答案] (1)A (2) x－3
2 2＋(y－2)2＝5
4
[变透练清]
1.变条件若将本例(2)中点 A(2,3)换成圆上的点 B(1,4)，其他条件不变，则这些弦的中
点 P 的轨迹方程为________．
解析：设 P(x，y)，圆心 C(1,1)．当点 P 与点 B 不重合时，因为 P 点是过点 B 的弦的中
点，所以 PB
―→⊥ PC
―→
.
又因为 PB
―→＝(1－x,4－y)， PC
―→＝(1－x,1－y)．
所以(1－x)·(1－x)＋(4－y)·(1－y)＝0.
所以点 P 的轨迹方程为(x－1)2＋ y－5
2 2＝9
4
；
当点 P 与点 B 重合时，点 P 满足上述方程．
综上所述，点 P 的轨迹方程为(x－1)2＋ y－5
2 2＝9
4.
答案：(x－1)2＋ y－5
2 2＝9
4
2．已知圆 x2＋y2＝4 上一定点 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点．
(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段 PQ 中点的轨迹方程．
解：(1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x－2,2y)．
因为 P 点在圆 x2＋y2＝4 上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段 AP 中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设 PQ 的中点为 N(x，y)．
在 Rt△PBQ 中，|PN|＝|BN|，
设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以 x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2＋y2－x－y－1＝0.
[课时跟踪检测]
A 级
1．以线段 AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8
解析：选 B 直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，所以圆心为(1,1)，半径为 2，故圆的方
程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
2．若圆 x2＋y2＋2ax－b2＝0 的半径为 2，则点(a，b)到原点的距离为( )
A．1 B．2
C. 2 D．4
解析：选 B 由半径 r＝1
2 D2＋E2－4F＝1
2 4a2＋4b2＝2，得 a2＋b2＝2.
∴点(a，b)到原点的距离 d＝ a2＋b2＝2，故选 B.
3．以(a,1)为圆心，且与两条直线 2x－y＋4＝0 与 2x－y－6＝0 同时相切的圆的标准方
程为( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝5
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5
C．(x－1)2＋y2＝5
D．x2＋(y－1)2＝5
解析：选 A 由题意知，圆心到这两条直线的距离相等，即圆心到直线 2x－y＋4＝0 的
距离 d＝|2a－1＋4|
5
＝|2a－1－6|
5
，解得 a＝1，d＝ 5，∵直线与圆相切，∴r＝d＝ 5， ∴
圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5.
4．(2019·银川模拟)方程|y|－1＝ 1－x－12表示的曲线是( )
A．一个椭圆 B．一个圆
C．两个圆 D．两个半圆
解析：选 D 由题意知|y|－1≥0，则 y≥1 或 y≤－1，当 y≥1 时，原方程可化为(x－1)2
＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1 为半径、直线 y＝1 上方的半圆；当 y≤－1
时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1 为半径、直线
y＝－1 下方的半圆．所以方程|y|－1＝ 1－x－12表示的曲线是两个半圆，选 D.
5．已知 a∈R，若方程 a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0 表示圆，则此圆的圆心坐标为
( )
A．(－2，－4) B.
－1
2
，－1
C．(－2，－4)或 －1
2
，－1 D．不确定
解析：选 A ∵方程 a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0 表示圆，∴a2＝a＋2≠0，解得 a
＝－1 或 a＝2.当 a＝－1 时，方程化为 x2＋y2＋4x＋8y－5＝0.配方，得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为 5.当 a＝2 时，方程化为 x2＋y2＋x＋2y＋5
2
＝0，此
时方程不表示圆．故选 A.
6．已知圆 C 的圆心是直线 x－y＋1＝0 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 x＋y＋3＝0 相切，
则圆 C 的方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝8
C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8
解析：选 A 直线 x－y＋1＝0 与 x 轴的交点(－1,0)．
根据题意，圆 C 的圆心坐标为(－1,0)．
因为圆与直线 x＋y＋3＝0 相切，所以半径为圆心到切线的距离，
即 r＝d＝|－1＋0＋3|
12＋12
＝ 2，
则圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
7．圆 C 的直径的两个端点分别是 A(－1,2)，B(1,4)，则圆 C 的标准方程为________．
解析：设圆心 C 的坐标为(a，b)，
则 a＝－1＋1
2
＝0，b＝2＋4
2
＝3，故圆心 C(0,3)．
半径 r＝1
2|AB|＝1
2 [1－－1]2＋4－22＝ 2.
∴圆 C 的标准方程为 x2＋(y－3)2＝2.
答案：x2＋(y－3)2＝2
8．已知圆 C 的圆心在 x 轴上，并且经过点 A(－1,1)，B(1,3)，若 M(m， 6)在圆 C 内，
则 m 的取值范围为________．
解析：设圆心为 C(a,0)，由|CA|＝|CB|，
得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得 a＝2.
半径 r＝|CA|＝ 2＋12＋12＝ 10.
故圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝10.
由题意知(m－2)2＋( 6)2＜10，
解得 0＜m＜4.
答案：(0,4)
9．若一个圆的圆心是抛物线 x2＝4y 的焦点，且该圆与直线 y＝x＋3 相切，则该圆的标
准方程是________________．
解析：抛物线 x2＝4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是 x2＋(y－1)2
＝r2(r>0)，因为该圆与直线 y＝x＋3 相切，所以 r＝d＝|－1＋3|
2
＝ 2，故该圆的标准方程是
x2＋(y－1)2＝2.
答案：x2＋(y－1)2＝2
10．(2019·德州模拟)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆
心到直线 2x－y＝0 的距离为4 5
5
，则圆 C 的标准方程为________________．
解析：因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a,0)，且 a＞0，所以圆心到直线 2x－y
＝0 的距离 d＝2a
5
＝4 5
5
，解得 a＝2，所以圆 C 的半径 r＝|CM|＝ 4＋5＝3，所以圆 C 的标
准方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
11．已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(－1,0)和 B(3,4)，线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于
点 C 和 D，且|CD|＝4 10.
(1)求直线 CD 的方程；
(2)求圆 P 的方程．
解：(1)直线 AB 的斜率 k＝1，AB 的中点坐标为(1,2)．
所以直线 CD 的方程为 y－2＝－(x－1)，
即 x＋y－3＝0.
(2)设圆心 P(a，b)，则由 P 在 CD 上得 a＋b－3＝0.①
又直径|CD|＝4 10，
所以|PA|＝2 10.
所以(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得 a＝－3，
b＝6
或 a＝5，
b＝－2，
所以圆心 P(－3,6)或 P(5，－2)，
所以圆 P 的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40 或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
12．已知 Rt△ABC 的斜边为 AB，且 A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点 C 的轨迹方程；
(2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程．
解：(1)法一：设 C(x，y)，因为 A，B，C 三点不共线，
所以 y≠0.
因为 AC⊥BC，所以 kAC·kBC＝－1，
又 kAC＝ y
x＋1
，kBC＝ y
x－3
，
所以 y
x＋1
· y
x－3
＝－1，
化简得 x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
法二：设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝1
2|AB|
＝2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0)为圆心，2 为半径的圆(由于 A，B，C 三点不
共线，所以应除去与 x 轴的交点)．
所以直角顶点 C 的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设 M(x，y)，C(x0，y0)，因为 B(3,0)，M 是线段 BC 的中点，由中点坐标公式得 x＝x0＋3
2
，
y＝y0＋0
2
，所以 x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点 C 的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将 x0＝2x－3，y0＝2y 代入得(2x－4)2
＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点 M 的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
B 级
1．(2019·伊春三校联考)已知圆 C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆 C2 与圆 C1 关于直线 x－y
－1＝0 对称，则圆 C2 的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
解析：选 B 圆 C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆心 C1 为(－1,1)，半径为 1.易知点 C1(－1,1)
关于直线 x－y－1＝0 对称的点为 C2，设 C2(a，b)，则
b－1
a＋1
＝－1，
a－1
2
－b＋1
2
－1＝0，
解得
a＝2，
b＝－2，
所以 C2(2，－2)，所以圆 C2 的圆心为 C2(2，－2)，半径为 1，所以圆 C2 的方程
为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.故选 B.
2．在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切
的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．
解析：因为直线 mx－y－2m－1＝0(m∈R)恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，
半径最大，此时半径 r＝ 2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
答案：(x－1)2＋y2＝2
3．已知过原点的动直线 l 与圆 C1：x2＋y2－6x＋5＝0 相交于不同的两点 A，B.
(1)求圆 C1 的圆心坐标；
(2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程．
解：(1)把圆 C1 的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2＝4，
∴圆 C1 的圆心坐标为 C1(3,0)．
(2)设 M(x，y)，∵A，B 为过原点的直线 l 与圆 C1 的交点，且 M 为 AB 的中点，
∴由圆的性质知：MC1⊥MO，∴MC1
―→
· MO
―→＝0.
又∵MC1
―→＝(3－x，－y)， MO
―→＝(－x，－y)，
∴x2－3x＋y2＝0.
易知直线 l 的斜率存在，故设直线 l 的方程为 y＝mx，
当直线 l 与圆 C1 相切时，
圆心到直线 l 的距离 d＝|3m－0|
m2＋1
＝2，
解得 m＝±2 5
5 .
把相切时直线 l 的方程代入圆 C1 的方程化简得
9x2－30x＋25＝0，解得 x＝5
3.
当直线 l 经过圆 C1 的圆心时，M 的坐标为(3,0)．
又∵直线 l 与圆 C1 交于 A，B 两点，M 为 AB 的中点，
∴5
30，
所以直线 l 与圆相交．
法二：由题意知，圆心(0,1)到直线 l 的距离 d＝ |m|
m2＋1
<1< 5，故直线 l 与圆相交．
法三：直线 l：mx－y＋1－m＝0 过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆 x2＋(y－1)2＝5 的内部，
所以直线 l 与圆相交．
[答案] A
[解题技法] 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用 d 与 r 的关系．
(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
[提醒] 上述方法中最常用的是几何法．
考法(二) 直线与圆相切的问题
[典例] (1)过点 P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1 的切线，则切线方程为( )
A．3x＋4y－4＝0
B．4x－3y＋4＝0
C．x＝2 或 4x－3y＋4＝0
D．y＝4 或 3x＋4y－4＝0
(2)(2019·成都摸底)已知圆 C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0 上存在两点关于直线 l：x＋my＋1
＝0 对称，经过点 M(m，m)作圆 C 的切线，切点为 P，则|MP|＝________.
[解析] (1)当斜率不存在时，x＝2 与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为 y－4＝k(x
－2)，即 kx－y＋4－2k＝0，则|k－1＋4－2k|
k2＋1
＝1，解得 k＝4
3
，则切线方程为 4x－3y＋4＝0，
故切线方程为 x＝2 或 4x－3y＋4＝0.
(2)圆 C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0 的圆心为 C(1,2)，半径为 2.因为圆上存在两点关于直线
l：x＋my＋1＝0 对称，所以直线 l：x＋my＋1＝0 过点(1,2)，所以 1＋2m＋1＝0，解得 m＝
－1，所以|MC|2＝13，|MP|＝ 13－4＝3.
[答案] (1)C (2)3
考法(三) 弦长问题
[典例] (1)若 a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线 ax＋by＋c＝0 被圆 x2＋y2＝1 所截得的弦长为
( )
A.1
2 B．1
C. 2
2 D. 2
(2)(2019·海口一中模拟)设直线 y＝x＋2a 与圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 相交于 A，B 两点，
若|AB|＝2 3，则圆 C 的面积为( )
A．4π B．2π
C．9π D．22π
[解析] (1)因为圆心(0,0)到直线 ax＋by＋c＝0 的距离 d＝ |c|
a2＋b2
＝ |c|
2|c|
＝ 2
2
，因此根
据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 1－
2
2 2＝ 2
2
，所以弦长为 2.
(2)易知圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 的圆心为(0，a)，半径为 a2＋2.圆心(0，a)到直线 y＝
x＋2a 的距离 d＝|a|
2
，由直线 y＝x＋2a 与圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 相交于 A，B 两点，|AB|
＝2 3，可得a2
2
＋3＝a2＋2，解得 a2＝2，故圆 C 的半径为 2，所以圆 C 的面积为 4π，故选
A.
[答案] (1)D (2)A
[题组训练]
1．已知圆的方程是 x2＋y2＝1，则经过圆上一点 M
2
2
， 2
2 的切线方程是________．
解析：因为 M
2
2
， 2
2 是圆 x2＋y2＝1 上的点，所以圆的切线的斜率为－1，则设切线
方程为 x＋y＋a＝0，所以 2
2
＋ 2
2
＋a＝0，得 a＝－ 2，故切线方程为 x＋y－ 2＝0.
答案：x＋y－ 2＝0
2．若直线 kx－y＋2＝0 与圆 x2＋y2－2x－3＝0 没有公共点，则实数 k 的取值范围是
________．
解析：由题知，圆 x2＋y2－2x－3＝0 可写成(x－1)2＋y2＝4，圆心(1,0)到直线 kx－y＋2
＝0 的距离 d＞2，即 |k＋2|
k2＋1
＞2，解得 0＜k＜4
3.
答案： 0，4
3
3．设直线 y＝kx＋1 与圆 x2＋y2＋2x－my＝0 相交于 A，B 两点，若点 A，B 关于直线 l：
x＋y＝0 对称，则|AB|＝________.
解析：因为点 A，B 关于直线 l：x＋y＝0 对称，所以直线 y＝kx＋1 的斜率 k＝1，即 y
＝x＋1.又圆心 －1，m
2 在直线 l：x＋y＝0 上，所以 m＝2，则圆心的坐标为(－1,1)，半径 r
＝ 2，所以圆心到直线 y＝x＋1 的距离 d＝ 2
2
，所以|AB|＝2 r2－d2＝ 6.
答案： 6
考点二 圆与圆的位置关系
[典例] (2016·山东高考)已知圆 M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线 x＋y＝0 所得线段的
长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x－1)2＋(y－1)2＝1 的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
[解析] 法一：由 x2＋y2－2ay＝0，
x＋y＝0，
得两交点为(0,0)，(－a，a)．
∵圆 M 截直线所得线段长度为 2 2，
∴ a2＋－a2＝2 2.
又 a>0，∴a＝2.∴圆 M 的方程为 x2＋y2－4y＝0，
即 x2＋(y－2)2＝4，圆心 M(0,2)，半径 r1＝2.
又圆 N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心 N(1,1)，半径 r2＝1，
∴|MN|＝ 0－12＋2－12＝ 2.
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，
∴两圆相交．
法二：由题知圆 M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直线 x＋y＝0 的距离 d＝ a
2
，
所以 2 a2－a2
2
＝2 2，解得 a＝2.圆 M，圆 N 的圆心距|MN|＝ 2，两圆半径之差为 1，两圆
半径之和为 3，故两圆相交．
[答案] B
[变透练清]
1．(2019·太原模拟)若圆 C1：x2＋y2＝1 与圆 C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0 外切，则 m＝
( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
解析：选 C 圆 C1 的圆心为 C1(0,0)，半径 r1＝1，因为圆 C2 的方程可化为(x－3)2＋(y
－4)2＝25－m，所以圆 C2 的圆心为 C2(3,4)，半径 r2＝ 25－m(m＜25)．从而|C1C2|＝ 32＋42
＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即 1＋ 25－m＝5，解得 m＝9，故选 C.
2.变结论若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．
解析：联立两圆方程 x2＋y2－4y＝0，
x－12＋y－12＝1，
两式相减得，2x－2y－1＝0，因为 N(1,1)，
r＝1，则点 N 到直线 2x－2y－1＝0 的距离 d＝|－1|
2 2
＝ 2
4
，故公共弦长为 2 1－
2
4 2＝ 14
2 .
答案： 14
2
[解题技法]
几何法判断圆与圆的位置关系的 3 步骤
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d，求 r1＋r2，|r1－r2|；
(3)比较 d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．
[课时跟踪检测]
A 级
1．若直线 2x＋y＋a＝0 与圆 x2＋y2＋2x－4y＝0 相切，则 a 的值为( )
A．± 5 B．±5
C．3 D．±3
解析：选 B 圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有|a|
5
＝ 5，
即 a＝±5.故选 B.
2．与圆 C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0 都相切的直线有
( )
A．1 条 B．2 条
C．3 条 D．4 条
解析：选 A 两圆分别化为标准形式为 C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2
＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝ 7－32＋[1－－2]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所
以它们只有一条公切线．故选 A.
3．(2019·南宁、梧州联考)直线 y＝kx＋3 被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4 截得的弦长为 2 3，
则直线的倾斜角为( )
A.π
6
或5π
6 B．－π
3
或π
3
C．－π
6
或π
6 D.π
6
解析：选 A 由题知，圆心(2,3)，半径为 2，所以圆心到直线的距离为 d＝ 22－ 32＝
1.即 d＝ |2k|
1＋k2
＝1，所以 k＝± 3
3
，由 k＝tan α，得α＝π
6
或5π
6 .故选 A.
4．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2 的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0
解析：选 B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得 r2＝5，圆的方程为(x－1)2＋
y2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x－1)·(3－1)＋y(1－0)＝5，即 2x＋y－7＝0.故选 B.
5．(2019·重庆一中模拟)若圆 x2＋y2＋2x－6y＋6＝0 上有且仅有三个点到直线 x＋ay＋1
＝0 的距离为 1，则实数 a 的值为( )
A．±1 B．± 2
4
C．± 2 D．± 3
2
解析：选 B 由题知圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为 2，由于圆上有且仅有三个点到直
线的距离为 1，故圆心(－1,3)到直线 x＋ay＋1＝0 的距离为 1，即|－1＋3a＋1|
1＋a2
＝1，解得 a
＝± 2
4 .
6．(2018·嘉定二模)过点 P(1，－2)作圆 C：(x－1)2＋y2＝1 的两条切线，切点分别为 A，
B，则 AB 所在直线的方程为( )
A．y＝－ 3
4 B．y＝－1
2
C．y＝－ 3
2 D．y＝－1
4
解析：选 B 圆(x－1)2＋y2＝1 的圆心为 C(1,0)，半径为 1，以|PC|＝ 1－12＋－2－02
＝2 为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为
2y＋1＝0，即 y＝－1
2.故选 B.
7．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x＋2y－3＝0 被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4 截得的弦长
为________．
解析：易知圆心(2，－1)，半径 r＝2，故圆心到直线的距离 d＝|2＋2×－1－3|
12＋22
＝3 5
5
，
弦长为 2 r2－d2＝2 55
5 .
答案：2 55
5
8．若 P(2,1)为圆(x－1)2＋y2＝25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为________．
解析：因为圆(x－1)2＋y2＝25 的圆心为(1,0)，所以直线 AB 的斜率等于
－1
1－0
2－1
＝－1，由
点斜式得直线 AB 的方程为 y－1＝－(x－2)，即 x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
9．过点 P(－3,1)，Q(a,0)的光线经 x 轴反射后与圆 x2＋y2＝1 相切，则 a 的值为________．
解析：因为 P(－3,1)关于 x 轴的对称点的坐标为 P′(－3，－1)，
所以直线 P′Q 的方程为 y＝ －1
－3－a
(x－a)，即 x－(3＋a)y－a＝0，
圆心(0,0)到直线的距离 d＝ |－a|
1＋3＋a2
＝1，
所以 a＝－5
3.
答案：－5
3
10．点 P 在圆 C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0 上，点 Q 在圆 C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0 上，
则|PQ|的最小值是________．
解析：把圆 C1、圆 C2 的方程都化成标准形式，得(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2
＝4.
圆 C1 的圆心坐标是(4,2)，半径长是 3；
圆 C2 的圆心坐标是(－2，－1)，半径是 2.
圆心距 d＝ 4＋22＋2＋12＝3 5＞5.故圆 C1 与圆 C2 相离，
所以|PQ|的最小值是 3 5－5.
答案：3 5－5
11．已知圆 C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0 和圆 C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求证：圆 C1 和圆 C2 相交；
(2)求圆 C1 和圆 C2 的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
解：(1)证明：圆 C1 的圆心 C1(1,3)，半径 r1＝ 11，
圆 C2 的圆心 C2(5,6)，半径 r2＝4，
两圆圆心距 d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝ 11＋4，
|r1－r2|＝4－ 11，
∴|r1－r2|0)上一动点，PA，PB 是圆 C：x2＋y2－2y＝0
的两条切线，A，B 是切点，若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的值为( )
A．3 B. 21
2
C．2 2 D．2
解析：选 D 圆 C：x2＋y2－2y＝0 的圆心为(0,1)，半径 r＝1.由圆的性质，知 S 四边形 PACB
＝2S△PBC.∵四边形 PACB 的最小面积是 2，∴S△PBC 的最小值为 1，则 1
2rdmin＝1(d 是切线长)，
∴dmin＝2.∵圆心到直线 kx＋y＋4＝0 的距离就是 PC 的最小值，∴|PC|min＝ 5
1＋k2
＝ d2＋1
＝ 5.∵k>0，∴k＝2.故选 D.
5．(2019·赣州七校联考)已知圆 C：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－1＝0(a＜0)的圆心在直
线 3x－y＋ 3＝0 上，且圆 C 上的点到直线 3x＋y＝0 的距离的最大值为 1＋ 3，则 a2＋
b2 的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 C 易知圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，所以圆心为(a，b)，由圆心在直
线 3x－y＋ 3＝0 上，可得 3a－b＋ 3＝0，即 b＝ 3(a＋1) ①.圆 C 上的点到直线 3x
＋y＝0 的距离的最大值 dmax＝1＋| 3a＋b|
2
＝ 3＋1，得| 3a＋b|＝2 3 ②.由①②得 |2a＋
1|＝2，又 a＜0，所以 a＝－3
2
，a2＋b2＝a2＋3(a＋1)2＝3.
6．已知实数 x，y 满足(x＋5)2＋(y－12)2＝25，那么 x2＋y2的最小值为________．
解析：由题意得 x2＋y2＝ x－02＋y－02表示点 P(x，y)到原点的距离，所以 x2＋y2的
最小值表示圆(x＋5)2＋(y－12)2＝25 上一点到原点距离的最小值．又圆心(－5,12)到原点的距
离为 －52＋122＝13，所以 x2＋y2的最小值为 13－5＝8.
答案：8
7．已知 P(x，y)为圆(x－2)2＋y2＝1 上的动点，则|3x＋4y－3|的最大值为________．
解析：设 t＝3x＋4y－3，即 3x＋4y－3－t＝0.由圆心(2,0)到直线 3x＋4y－3－t＝0 的距
离 d＝|6－3－t|
32＋42
≤1，
解得－2≤t≤8.所以|3x＋4y－3|max＝8.
答案：8
8．(2018·贵阳适应性考试)已知直线 l：ax－3y＋12＝0 与圆 M：x2＋y2－4y＝0 相交于 A，
B 两点，且∠AMB＝π
3
，则实数 a＝________.
解析：直线 l 的方程可变形为 y＝1
3ax＋4，所以直线 l 过定点(0,4)，且
该点在圆 M 上．圆的方程可变形为 x2＋(y－2)2＝4，所以圆心为 M(0,2)，半
径为 2.如图，因为∠AMB＝π
3
，所以△AMB 是等边三角形，且边长为 2，高
为 3，即圆心 M 到直线 l 的距离为 3，所以|－6＋12|
a2＋9
＝ 3，解得 a＝± 3.
答案：± 3
9．已知曲线 C 上任一点 M(x，y)到点 E
－1，1
4 和直线 a：y＝－1
4
的距离相等，圆 D：
(x－1)2＋ y－1
2 2＝r2(r＞0)．
(1)求曲线 C 的方程；
(2)过点 A(－2,1)作曲线 C 的切线 b，并与圆 D 相切，求半径 r.
解：(1)由题意得 x＋12＋ y－1
4 2＝|y＋1
4|.
两边平方并整理，得 y＝(x＋1)2.
∴曲线 C 的方程为 y＝(x＋1)2.
(2)由 y＝(x＋1)2，得 y′＝2(x＋1)．
∵点 A(－2,1)在抛物线 C 上，
∴切线 b 的斜率为 y′|x=－2＝－2.
∴切线 b 的方程为 y－1＝－2(x＋2)，即 2x＋y＋3＝0.
又直线 b 与圆 D 相切，
∴圆心 D 1，1
2 到直线 b 的距离等于半径，
即 r＝|2×1＋1
2
＋3|
5
＝11 5
10 .
10．已知过点 A(1,0)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x－2)2＋(y－3)2＝1 交于 M，N 两点．
(1)求 k 的取值范围；
(2) OM
―→
· ON
―→＝12，其中 O 为坐标原点，求|MN|.
解：(1)设过点 A(1,0)的直线与圆 C 相切，显然当直线的斜率不存在时，直线 x＝1 与圆
C 相切．
当直线的斜率存在时，设切线方程为 y＝k0(x－1)，即 k0x－y－k0＝0.
∵圆 C 的半径 r＝1，
∴圆心 C(2,3)到切线的距离为 |k0－3|
k20＋1
＝1，解得 k0＝4
3.
∵过点 A 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 有两个交点，
∴k＞4
3
，即 k 的取值范围为
4
3
，＋∞
.
(2)将直线 l 的方程 y＝k(x－1)代入圆 C 的方程，得(1＋k2)x2－(2k2＋6k＋4)x＋k2＋6k＋
12＝0.
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
x1＋x2＝2k2＋6k＋4
1＋k2
，x1x2＝k2＋6k＋12
1＋k2 .
∴y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2(x1x2－x1－x2＋1)＝ 9k2
1＋k2.
∴ OM
―→
· ON
―→＝x1x2＋y1y2＝10k2＋6k＋12
1＋k2
＝12，解得 k＝3 或 k＝0(舍去)．
∴直线 l 的方程为 3x－y－3＝0.
故圆心(2,3)在直线 l 上，∴|MN|＝2r＝2.
B 级
1．已知圆 M：(x－2)2＋(y－2)2＝2，圆 N：x2＋(y－8)2＝40，经过原点的两直线 l1，l2
满足 l1⊥l2，且 l1 交圆 M 于不同两点 A，B，l2 交圆 N 于不同两点 C，D，记 l1 的斜率为 k.
(1)求 k 的取值范围；
(2)若四边形 ABCD 为梯形，求 k 的值．
解：(1)显然 k≠0，所以可设 l1 的方程为 y＝kx，则 l2 的方程为 y＝－1
kx.
依题意得点 M 到直线 l1 的距离 d1＝|2k－2|
1＋k2
＜ 2.
整理，得 k2－4k＋1＜0，
解得 2－ 3＜k＜2＋ 3.①
同理，点 N 到直线 l2 的距离 d2＝ |8k|
1＋k2
＜2 10，
解得－ 15
3
＜k＜ 15
3 .②
由①②可得 2－ 3＜k＜ 15
3
，
所以 k 的取值范围为 2－ 3， 15
3 .
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
将直线 l1 的方程代入圆 M 的方程，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋6＝0，
所以 x1＋x2＝41＋k
1＋k2
，x1x2＝ 6
1＋k2.
将直线 l2 的方程代入圆 N 的方程，得(1＋k2)x2＋16kx＋24k2＝0，
所以 x3＋x4＝－ 16k
1＋k2
，x3x4＝ 24k2
1＋k2.
由四边形 ABCD 为梯形可得x1
x2
＝x4
x3
，
所以x1
x2
＋x2
x1
＋2＝x4
x3
＋x3
x4
＋2，所以x1＋x22
x1x2
＝x3＋x42
x3x4
，
所以(1＋k)2＝4，解得 k＝1 或 k＝－3(舍去)．
故 k 的值为 1.
2．(2019·成都双流中学模拟)已知曲线 C 上任意一点到点 A(1，－2)的距离与到点 B(2，
－4)的距离之比均为 2
2 .
(1)求曲线 C 的方程；
(2)设点 P(1，－3)，过点 P 作两条相异的直线分别与曲线 C 相交于 E，F 两点，且直线
PE 和直线 PF 的倾斜角互补，求线段 EF 的最大值．
解：(1)设曲线 C 上的任意一点为 Q(x，y)，由题意得 x－12＋y＋22
x－22＋y＋42
＝ 2
2
，整理得 x2
＋y2＝10，故曲线 C 的方程为 x2＋y2＝10.
(2)由题意知，直线 PE 和直线 PF 的斜率存在，且互为相反数，因为 P(1，－3)，故可
设直线 PE 的方程为 y＋3＝k(x－1)，联立方程得 y＋3＝kx－1，
x2＋y2＝10，
消去 y 得(1＋k2)x2－2k(k
＋3)x＋k2＋6k－1＝0，因为 P(1，－3)在圆上，所以 x＝1 一定是该方程的解，故可得 xE＝
k2＋6k－1
1＋k2
， 同 理 可 得 xF ＝ k2－6k－1
1＋k2
， 所 以 kEF ＝ yE－yF
xE－xF
＝ kxE－1－3＋kxF－1＋3
xE－xF
＝
－2k＋kxE＋xF
xE－xF
＝－1
3
，故直线 EF 的斜率为定值－1
3
，设直线 EF 的方程为 y＝－1
3x＋b，则
圆 C 的 圆 心 (0,0) 到 直 线 EF 的 距 离 d ＝ |－3b|
1＋9
， 所 以 |EF| ＝ 2 10－d2 ＝ 2
10－9b2
10
－10
3
＜b＜10
3 ，
所以当 b＝0 时，线段 EF 取得最大值，最大值为 2 10.
第六节 椭 圆
一、基础知识
1．椭圆的定义
平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数
2a(2a＞|F1F2|)的动点 P 的轨迹叫做椭圆，这两个
定点 F1，F2 叫做椭圆的焦点.
2．椭圆的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆
的标准方程为x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的椭圆
的标准方程为y2
a2
＋x2
b2
＝1(a＞b＞0)．
3．椭圆的几何性质
标准方程 x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0) y2
a2
＋x2
b2
＝1(a＞b＞0)
范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a
对称性 关于 x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
顶点坐标 (a,0)，(－a,0)， (0，b)，(0，－
b)
(b,0)，(－b,0)， (0，a)，
(0，－a)
焦点坐标 (c,0)，(－c,0) (0，c)，(0，－c)
半轴长 长半轴长为 a，短半轴长为 b，a＞b❶
离心率 e＝c
a
❷
a，b，c 的关系 a2＝b2＋c2
❶长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心．
❷离心率表示椭圆的扁平程度．当 e 越接近于 1 时，c 越接
近于 a，从而 b＝ a2－c2越小，因此椭圆越扁．
二、常用结论
(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b2
a
，过焦点最长弦为长轴．
(2)过原点最长弦为长轴长 2a，最短弦为短轴长 2b.
(3)与椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)有共焦点的椭圆方程为 x2
a2＋λ
＋ y2
b2＋λ
＝1(λ＞－b2)．
(4)焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点 F1，F2 构成的△PF1F2 叫做焦点三角形．若
r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2 的面积为 S，则在椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)中：
①当 r1＝r2，即点 P 为短轴端点时，θ最大；
②S＝1
2|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点 P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为
bc；
③△PF1F2 的周长为 2(a＋c)．
第一课时 椭圆及其性质
考点一 椭圆的标准方程
[典例] (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为
4 5，则椭圆的标准方程为( )
A.x2
6
＋y2
4
＝1 B.x2
16
＋y2
36
＝1
C.x2
36
＋y2
16
＝1 D.x2
49
＋y2
9
＝1
(2)已知中心在坐标原点的椭圆过点 A(－3,0)，且离心率 e＝ 5
3
，则椭圆的标准方程为
________．
[解析] (1)由长、短半轴长之和为 10，焦距为 4 5，可得 a＋b＝10,2c＝4 5，∴c＝2 5.
又 a2＝b2＋c2，∴a2＝36，b2＝16.∵焦点在 x 轴上，∴所求椭圆方程为x2
36
＋y2
16
＝1.故选 C.
(2)若焦点在 x 轴上，由题知 a＝3，因为椭圆的离心率 e＝ 5
3
，所以 c＝ 5，b＝2，所以
椭圆方程是x2
9
＋y2
4
＝1.若焦点在 y 轴上，则 b＝3，a2－c2＝9，又离心率 e＝c
a
＝ 5
3
，解得 a2
＝81
4
，所以椭圆方程是y2
81
4
＋x2
9
＝1.
[答案] (1)C (2)x2
9
＋y2
4
＝1 或y2
81
4
＋x2
9
＝1
[题组训练]
1．(2018·济南一模)已知椭圆 C：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)，若长轴长为 6，且两焦点恰好将
长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )
A.x2
36
＋y2
32
＝1 B.x2
9
＋y2
8
＝1
C.x2
9
＋y2
5
＝1 D.x2
16
＋y2
12
＝1
解析：选 B 椭圆长轴长为 6，即 2a＝6，得 a＝3，
∵两焦点恰好将长轴三等分，
∴2c＝1
3·2a＝2，得 c＝1，
∴b2＝a2－c2＝9－1＝8，
∴此椭圆的标准方程为x2
9
＋y2
8
＝1.故选 B.
2．椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，若椭圆 C 的离心率等于1
2
，且它的一个顶点
恰好是抛物线 x2＝8 3y 的焦点，则椭圆 C 的标准方程为______________．
解析：由题意设椭圆的方程为x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)．
由题设知抛物线的焦点为(0,2 3)，所以椭圆中 b＝2 3.
因为 e＝c
a
＝1
2
，所以 a＝2c，
又 a2－b2＝c2，联立
a＝2c，
b＝2 3，
a2－b2＝c2，
解得 c＝2，a＝4，
所以椭圆 C 的标准方程为x2
16
＋y2
12
＝1.
答案：x2
16
＋y2
12
＝1
3．已知椭圆中心在原点，且经过 A( 3，－2)和 B(－2 3，1)两点，则椭圆的标准方程
为________．
解析：设所求椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
依题意有 3m＋4n＝1，
12m＋n＝1，
解得
m＝ 1
15
，
n＝1
5.
∴所求椭圆的方程为x2
15
＋y2
5
＝1.
答案：x2
15
＋y2
5
＝1
考点二 椭圆的定义及其应用
[典例] (1)(2019·郑州第二次质量预测)已知椭圆 C：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)的左、右焦点
分别为 F1，F2，离心率为2
3
，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，若△AF1B 的周长为 12，则
椭圆 C 的标准方程为( )
A.x2
3
＋y2＝1 B.x2
3
＋y2
2
＝1
C.x2
9
＋y2
4
＝1 D.x2
9
＋y2
5
＝1
(2)已知点 P(x，y)在椭圆x2
36
＋ y2
100
＝1 上，F1，F2 是椭圆的两个焦点，若△PF1F2 的面积
为 18，则∠F1PF2 的余弦值为________．
[解析] (1)由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B 的周长
为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以 a＝3.因为椭圆的离心率 e＝c
a
＝2
3
，所以 c＝2，
所以 b2＝a2－c2＝5，所以椭圆 C 的方程为x2
9
＋y2
5
＝1，故选 D.
(2)椭圆x2
36
＋ y2
100
＝1 的两个焦点为 F1(0，－8)，F2(0,8)，
由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝20，
两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝202，
由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＝162，
两式相减得 2|PF1||PF2|(1＋cos∠F1PF2)＝144.
又 S△PF1F2＝1
2|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝18，
所以 1＋cos∠F1PF2＝2sin∠F1PF2，
解得 cos∠F1PF2＝3
5.
[答案] (1)D (2)3
5
[变透练清]
1．已知椭圆x2
25
＋y2
16
＝1 上一点 P 到椭圆一个焦点 F1 的距离为 3，则 P 到另一个焦点 F2
的距离为( )
A．2 B．3
C．5 D．7
解析：选 D 因为 a2＝25，所以 2a＝10，由定义知，|PF1|＋|PF2|＝10，所以|PF2|＝10
－|PF1|＝7.
2.变结论若本例(2)条件不变，则△PF1F2 的内切圆的面积为________．
解析：由椭圆的定义可知△PF1F2 的周长的一半为 a＋c＝18，所以由三角形的面积公式
S＝pr(其中 p，r 分别为三角形的周长一半，内切圆的半径)，得 r＝1，所以△PF1F2 的内切
圆的面积为π.
答案：π
考点三 椭圆的几何性质
考法(一) 求椭圆离心率的值(或范围)
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知 F1，F2 是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点．若 PF1
⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则 C 的离心率为( )
A．1－ 3
2 B．2－ 3
C. 3－1
2
D. 3－1
(2)已知椭圆 E：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x－
4y＝0 交椭圆 E 于 A，B 两点．若|AF|＋|BF|＝4，点 M 到直线 l 的距离不小于4
5
，则椭圆 E
的离心率的取值范围是( )
A. 0， 3
2 B. 0，3
4
C.
3
2
，1 D.
3
4
，1
[解析] (1)在 Rt△PF1F2 中，∠PF2F1＝60°，
不妨设椭圆焦点在 x 轴上，且焦距|F1F2|＝2，
则|PF2|＝1，|PF1|＝ 3，
由椭圆的定义可知，在方程x2
a2
＋y2
b2
＝1 中，
2a＝1＋ 3，2c＝2，得 a＝1＋ 3
2
，c＝1，
所以离心率 e＝c
a
＝ 2
1＋ 3
＝ 3－1.
(2)根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得 A，B 两点到椭圆的左、右焦点的距离和为 4a
＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以 a＝2.又 d＝|3×0－4×b|
32＋－42
≥4
5
，所以 1≤b＜2，所以 e＝c
a
＝ 1－b2
a2
＝ 1－b2
4 .因为 1≤b＜2，所以 0＜e≤ 3
2 .
[答案] (1)D (2)A
[解题技法] 求椭圆离心率的方法
(1)定义法：根据条件求出 a，c，直接利用公式 e＝c
a
求解．
(2)方程法：根据条件得到关于 a，b，c 的齐次等式(不等式)，结合 b2＝a2－c2 转化为关
于 a，c 的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以 a 或 a2 转化为关于 e
或 e2 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)．
考法(二) 与椭圆性质有关的最值问题
[典例] 已知点 F1，F2 分别是椭圆x2
25
＋y2
16
＝1 的左、右焦点，点 M 是该椭圆上的一个
动点，那么|MF1
―→＋MF2
―→
|的最小值是( )
A．4 B．6
C．8 D．10
[解析] 设 M(x0，y0)，F1(－3,0)，F2(3,0)．
则MF1
―→＝(－3－x0，－y0)，MF2
―→＝(3－x0，－y0)，
所以MF1
―→＋MF2
―→＝(－2x0，－2y0)，
|MF1
―→＋MF2
―→
|＝ 4x20＋4y20＝ 4×25 1－y20
16 ＋4y20＝ 100－9
4y20，
因为点 M 在椭圆上，所以 0≤y20≤16，
所以当 y20＝16 时，|MF1
―→＋MF2
―→
|取最小值为 8.
[答案] C
[解题技法] 椭圆几何性质的应用技巧
(1)与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要
联想到图形．
(2)椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0
＜e＜1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不
等关系．
[题组训练]
1．(2018·贵阳摸底)P 是椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)上的一点，A 为左顶点，F 为右焦点，
PF⊥x 轴，若 tan∠PAF＝1
2
，则椭圆的离心率 e 为( )
A. 2
3 B. 2
2
C. 3
3 D.1
2
解析：选 D 不妨设点 P 在第一象限，因为 PF⊥x 轴，所以 xP＝c，将 xP＝c 代入椭圆
方程得 yP＝b2
a
，即|PF|＝b2
a
，则 tan∠PAF＝|PF|
|AF|
＝
b2
a
a＋c
＝1
2
，结合 b2＝a2－c2，整理得 2c2＋ac
－a2＝0，两边同时除以 a2 得 2e2＋e－1＝0，解得 e＝1
2
或 e＝－1(舍去)．故选 D.
2．已知 P 在椭圆x2
4
＋y2＝1 上，A(0,4)，则|PA|的最大值为( )
A. 218
3 B.76
3
C．5 D．2 5
解析：选 C 设 P(x0，y0)，则由题意得x20
4
＋y20＝1，
故 x20＝4(1－y20)，
所以|PA|2＝x20＋(y0－4)2
＝4(1－y20)＋y20－8y0＋16
＝－3y20－8y0＋20
＝－3 y0＋4
3 2＋76
3
，
又－1≤y0≤1，
所以当 y0＝－1 时，|PA|2 取得最大值 25，
即|PA|最大值为 5.故选 C.
3．已知 F1，F2 分别是椭圆 C：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆 C 上存在点 P，
使得线段 PF1 的中垂线恰好经过焦点 F2，则椭圆 C 的离心率的取值范围是( )
A.
2
3
，1 B.
1
3
， 2
2
C.
1
3
，1 D. 0，1
3
解析：选 C 如图所示，
∵线段 PF1 的中垂线经过 F2，
∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，
即椭圆上存在一点 P，
使得|PF2|＝2c.
∴a－c≤2c＜a＋c.
∴e＝c
a
∈
1
3
，1 .
[课时跟踪检测]
A 级
1．椭圆以 x 轴和 y 轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的标准
方程为( )
A.x2
4
＋y2＝1
B.y2
16
＋x2
4
＝1
C.x2
4
＋y2＝1 或y2
16
＋x2
4
＝1
D.x2
4
＋y2＝1 或y2
4
＋x2＝1
解析：选 C 由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，即 a＝2b.因为椭圆经过点(2,0)，
所以若焦点在 x 轴上，则 a＝2，b＝1，椭圆的标准方程为x2
4
＋y2＝1；若焦点在 y 轴上，则 a
＝4，b＝2，椭圆的标准方程为y2
16
＋x2
4
＝1，故选 C.
2．已知方程 x2
|m|－1
＋ y2
2－m
＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围为( )
A.
－∞，3
2 B．(1,2)
C．(－∞，0)∪(1,2) D．(－∞，－1)∪ 1，3
2
解析：选 D 依题意得不等式组
|m|－1＞0，
2－m＞0，
2－m＞|m|－1，
解得 m＜－1 或 1＜m＜3
2
，故选 D.
3．已知椭圆的方程为 2x2＋3y2＝m(m＞0)，则此椭圆的离心率为( )
A.1
3 B. 3
3
C. 2
2 D.1
2
解析：选 B 由题意得椭圆的标准方程为x2
m
2
＋y2
m
3
＝1，
所以 a2＝m
2
，b2＝m
3
，
所以 c2＝a2－b2＝m
6
，e2＝c2
a2
＝1
3
，e＝ 3
3 .
4．已知椭圆 C：x2
4
＋y2
3
＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，椭圆 C 上的点 A 满足 AF2⊥F1F2，
若点 P 是椭圆 C 上的动点，则 F1P
―→
· F2A
―→的最大值为( )
A. 3
2 B.3 3
2
C.9
4 D.15
4
解析：选 B 由椭圆方程知 c＝1，
所以 F1(－1,0)，F2(1,0)．
因为椭圆 C 上的点 A 满足 AF2⊥F1F2，则可设 A(1，y0)，
代入椭圆方程可得 y20＝9
4
，所以 y0＝±3
2.
设 P(x1，y1)，则 F1P
―→＝(x1＋1，y1)， F2A
―→＝(0，y0)，
所以 F1P
―→
· F2A
―→＝y1y0.
因为点 P 是椭圆 C 上的动点，所以－ 3≤y1≤ 3，
故 F1P
―→
· F2A
―→的最大值为3 3
2 .
5．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为 1，则椭圆长轴长的最
小值为( )
A．1 B. 2
C．2 D．2 2
解析：选 D 设 a，b，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三
角形的高为 b 时面积最大，所以1
2
×2cb＝1，bc＝1，而 2a＝2 b2＋c2≥2 2bc＝2 2(当且仅
当 b＝c＝1 时取等号)，故选 D.
6．(2019·惠州调研)设 F1，F2 为椭圆x2
9
＋y2
5
＝1 的两个焦点，点 P 在椭圆上，若线段 PF1
的中点在 y 轴上，则|PF2|
|PF1|
的值为( )
A. 5
14 B.5
9
C.4
9 D. 5
13
解析：选 D 如图，设线段 PF1 的中点为 M，因为 O 是 F1F2 的中
点，所以 OM∥PF2，可得 PF2⊥x 轴，|PF2|＝b2
a
＝5
3
，|PF1|＝2a－|PF2|
＝13
3
，故|PF2|
|PF1|
＝ 5
13
，故选 D.
7．已知椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)的一个焦点是圆 x2＋y2－6x＋8＝0 的圆心，且短轴长为 8，
则椭圆的左顶点为________．
解析：∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，
∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3.又 b＝4，∴a＝ b2＋c2＝5.
∵椭圆的焦点在 x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．
答案：(－5,0)
8．过点 A(3，－2)且与椭圆x2
9
＋y2
4
＝1 有相同焦点的椭圆方程为________．
解析：法一：设所求椭圆方程为x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)，则 a2－b2＝c2＝5，且 9
a2
＋ 4
b2
＝1，
解方程组
a2－b2＝5，
9
a2
＋ 4
b2
＝1， 得 a2＝15，b2＝10，故所求椭圆方程为x2
15
＋y2
10
＝1.
法二：椭圆x2
9
＋y2
4
＝1 的焦点坐标为(± 5，0)，设所求椭圆方程为 x2
λ＋5
＋y2
λ
＝1(λ＞0)，代
入点 A(3，－2)得 9
λ＋5
＋4
λ
＝1(λ＞0)，解得λ＝10 或λ＝－2(舍去)，故所求椭圆方程为x2
15
＋y2
10
＝
1.
答案：x2
15
＋y2
10
＝1
9．已知△ABC 的顶点 A(－3,0)和顶点 B(3,0)，顶点 C 在椭圆x2
25
＋y2
16
＝1 上，则 5sin C
sin A＋sin B
＝________.
解析：由椭圆x2
25
＋y2
16
＝1 知长轴长为 10，短轴长为 8，焦距为 6，则顶点 A，B 为椭圆
的两个焦点．在△ABC 中，设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分
别为 a，b，c，则 c＝|AB|＝6，a＋b＝|BC|＋|AC|＝10，由正弦定理
可得 5sin C
sin A＋sin B
＝ 5c
a＋b
＝5×6
10
＝3.
答案：3
10．点 P 是椭圆上任意一点，F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2 的最大值是 60°，
则椭圆的离心率 e＝________.
解析：如图所示，当点 P 与点 B 重合时，∠F1PF2 取得最大值 60°，
此时|OF1|＝c，|PF1|＝|PF2|＝2c.由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4c＝2a，
所以椭圆的离心率 e＝c
a
＝1
2.
答案：1
2
11．已知椭圆的长轴长为 10，两焦点 F1，F2 的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若 P 为短轴的一个端点，求△F1PF2 的面积．
解：(1)设椭圆的标准方程为x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)，
依题意得 2a＝10，
c＝3，
因此 a＝5，b＝4，
所以椭圆的标准方程为x2
25
＋y2
16
＝1.
(2)易知|yP|＝4，又 c＝3，
所以 S△F1PF2＝1
2|yP|×2c＝1
2
×4×6＝12.
12．已知焦点在 x 轴上的椭圆x2
4
＋y2
b2
＝1 的离心率 e＝1
2
，F，A 分别是椭圆的左焦点和右
顶点，P 是椭圆上任意一点，求 PF
―→
· PA
―→的最大值和最小值．
解：设 P 点坐标为(x0，y0)．
由题意知 a＝2，
∵e＝c
a
＝1
2
，∴c＝1，
∴b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆方程为x2
4
＋y2
3
＝1.
∴－2≤x0≤2.
又 F(－1,0)，A(2,0)， PF
―→＝(－1－x0，－y0)， PA
―→＝(2－x0，－y0)，
∴ PF
―→
· PA
―→＝x20－x0－2＋y20
＝1
4x20－x0＋1＝1
4(x0－2)2.
当 x0＝2 时， PF
―→
· PA
―→取得最小值 0，
当 x0＝－2 时， PF
―→
· PA
―→取得最大值 4.
B 级
1．若椭圆 b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆 x2＋y2＝
b
2
＋c 2 有四个交点，其中 c 为椭圆的
半焦距，则椭圆的离心率 e 的取值范围为( )
A.
5
5
，3
5 B. 0， 2
5
C.
2
5
， 3
5 D.
3
5
， 5
5
解析：选 A 由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，
则
a＞b
2
＋c，
b ＜b
2
＋c，
整理得
a－c2＞1
4
a2－c2，
a2－c2＜2c，
解得 5
5
＜e＜3
5.
2．(2018·南昌摸底考试)P 为椭圆x2
25
＋y2
9
＝1 上一点，F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，
过 P 点作 PH⊥F1F2 于点 H，若 PF1⊥PF2，则|PH|＝( )
A.25
4 B.8
3
C．8 D.9
4
解析：选 D 由椭圆x2
25
＋y2
9
＝1 得 a2＝25，b2＝9，
则 c＝ a2－b2＝ 25－9＝4，
∴|F1F2|＝2c＝8.
由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝64.
∴2|PF1|·|PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|2＋|PF2|2)＝100－64＝36，
∴|PF1|·|PF2|＝18.
又 S△PF1F2＝1
2|PF1|·|PF2|＝1
2|F1F2|·|PH|，
∴|PH|＝|PF1|·|PF2|
|F1F2|
＝9
4.故选 D.
3．已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(－2,0)，B(2,0)，焦点在 x 轴上，离心率为 3
2 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M，N，过 D 作 AM
的垂线交 BN 于点 E.求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为 4∶5.
解：(1)设椭圆 C 的方程为x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)．
由题意得
a＝2，
c
a
＝ 3
2
， 解得 c＝ 3.所以 b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆 C 的方程为x2
4
＋y2＝1.
(2)证明：设 M(m，n)，则 D(m,0)，N(m，－n)．
由题设知 m≠±2，且 n≠0.
直线 AM 的斜率 kAM＝ n
m＋2
，
故直线 DE 的斜率 kDE＝－m＋2
n
.
所以直线 DE 的方程为 y＝－m＋2
n
(x－m)．
直线 BN 的方程为 y＝ n
2－m(x－2)．
联立
y＝－m＋2
n
x－m，
y＝ n
2－m
x－2，
解得点 E 的纵坐标 yE＝－ n4－m2
4－m2＋n2.
由点 M 在椭圆 C 上，得 4－m2＝4n2，
所以 yE＝－4
5n.
又 S△BDE＝1
2|BD|·|yE|＝2
5|BD|·|n|，
S△BDN＝1
2|BD|·|n|.
所以△BDE 与△BDN 的面积之比为 4∶5.
第二课时 直线与椭圆的综合问题
考点一 弦中点问题
[典例] (2018·南宁摸底联考)已知椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程
是 x－y＋5＝0，弦的中点坐标是 M(－4,1)，则椭圆的离心率是( )
A.1
2 B. 2
2
C. 3
2 D. 5
5
[解析] 设直线 x－y＋5＝0 与椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1 相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为 AB
的中点 M(－4,1)，所以 x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线 AB 的斜率 k＝y2－y1
x2－x1
＝1.由
x21
a2
＋y21
b2
＝1，
x22
a2
＋y22
b2
＝1，
两式相减得，x1＋x2x1－x2
a2
＋y1＋y2y1－y2
b2
＝0，所以y1－y2
x1－x2
＝ －
b2
a2·x1＋x2
y1＋y2
，所以b2
a2
＝1
4
，于是椭圆的离心率 e＝c
a
＝ 1－b2
a2
＝ 3
2
，故选 C.
[答案] C
[解题技法]
1．用“点差法”求解弦中点问题的步骤
2．解有关弦中点问题的注意点
对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，
要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
[题组训练]
1．已知椭圆：x2
9
＋y2＝1，过点 P
1
2
，1
2 的直线与椭圆相交于 A，B 两点，且弦 AB 被点
P 平分，则直线 AB 的方程为( )
A．9x＋y－5＝0 B．9x－y－4＝0
C．x＋9y－5＝0 D．x－9y＋4＝0
解析：选 C 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
x21
9
＋y21＝1，
x22
9
＋y22＝1，
两式作差得x2－x1x2＋x1
9
＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0，因为 x2＋x1＝1，y2＋y1＝1，y2－y1
x2－x1
＝kAB，代入后求得 kAB＝－1
9
，所以
弦所在的直线方程为 y－1
2
＝－1
9
x－1
2 ，即 x＋9y－5＝0.
2．焦点为 F(0,5 2)，并截直线 y＝2x－1 所得弦的中点的横坐标是2
7
的椭圆的标准方程
为________________．
解析：设所求的椭圆方程为y2
a2
＋x2
b2
＝1(a＞b＞0)，直线被椭圆所截弦的端点为 A(x1，y1)，
B(x2，y2)．
由题意，可得弦 AB 的中点坐标为
x1＋x2
2
，y1＋y2
2 ，且x1＋x2
2
＝2
7
，y1＋y2
2
＝－3
7.
将 A，B 两点坐标代入椭圆方程中，得
y21
a2
＋x21
b2
＝1，
y22
a2
＋x22
b2
＝1.
两式相减并化简，得a2
b2
＝－y1－y2
x1－x2
·y1＋y2
x1＋x2
＝－2×
－6
7
4
7
＝3，
所以 a2＝3b2，又 c2＝a2－b2＝50，所以 a2＝75，b2＝25，
故所求椭圆的标准方程为y2
75
＋x2
25
＝1.
答案：y2
75
＋x2
25
＝1
考点二 弦长问题
[典例] (2018·北京高考节选)已知椭圆 M：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)的离心率为 6
3
，焦距为
2 2.斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A，B.
(1)求椭圆 M 的方程；
(2)若 k＝1，求|AB|的最大值．
[解] (1)由题意得
a2＝b2＋c2，
c
a
＝ 6
3
，
2c＝2 2，
解得 a＝ 3，b＝1.
所以椭圆 M 的方程为x2
3
＋y2＝1.
(2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由
y＝x＋m，
x2
3
＋y2＝1， 得 4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
所以 x1＋x2＝－3m
2
，x1x2＝3m2－3
4
.
所以|AB|＝ x2－x12＋y2－y12＝ 2x2－x12＝ 2[x1＋x22－4x1x2]＝ 12－3m2
2
.
当 m＝0，即直线 l 过原点时，|AB|最大，最大值为 6.
[解题技法] 弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝ 1＋1
k2 [y1＋y22－4y1y2](k 为直线斜率)．
[提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略
判别式．
[题组训练]
1．已知椭圆x2
2
＋y2＝1 与直线 y＝x＋m 交于 A，B 两点，且|AB|＝4 2
3
，则实数 m 的值
为
( )
A．±1 B．±1
2
C. 2 D．± 2
解析：选 A 由
x2
2
＋y2＝1，
y＝x＋m
消去 y 并整理，
得 3x2＋4mx＋2m2－2＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x1＋x2＝－4m
3
，x1x2＝2m2－2
3
.
由题意，得|AB|＝ 2x1＋x22－8x1x2＝4
3 3－m2＝4 2
3
，
解得 m＝±1.
2．椭圆 E：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F1，右焦点为 F2，离心率 e＝1
2
，过 F1 的直
线交椭圆于 A，B 两点，且△ABF2 的周长为 8.
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)若直线 AB 的斜率为 3，求△ABF2 的面积．
解：(1)由题意知，4a＝8，所以 a＝2，
又 e＝1
2
，所以c
a
＝1
2
，c＝1，
所以 b2＝22－1＝3，
所以椭圆 E 的方程为x2
4
＋y2
3
＝1.
(2)设直线 AB 的方程为 y＝ 3(x＋1)，
由
y＝ 3x＋1，
x2
4
＋y2
3
＝1， 得 5x2＋8x＝0，
解得 x1＝0，x2＝－8
5
，
所以 y1＝ 3，y2＝－3 3
5 .
所以 S△ABF2＝c·|y1－y2|＝1×| 3＋3 3
5 |＝8 3
5 .
考点三 椭圆与向量的综合问题
[典例] (2019·长春质检)已知椭圆 C 的两个焦点为 F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点
E 3， 3
2 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点(点 A 位于 x 轴上方)，若 AF1
―→＝2 F1B―→，求直
线 l 的斜率 k 的值．
[解] (1)设椭圆 C 的方程为x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)，
由
2a＝|EF1|＋|EF2|＝4，
a2＝b2＋c2，
c＝1，
解得
a＝2，
c＝1，
b＝ 3，
所以椭圆 C 的方程为x2
4
＋y2
3
＝1.
(2)由题意得直线 l 的方程为 y＝k(x＋1)(k＞0)，
联立
y＝kx＋1，
x2
4
＋y2
3
＝1， 整理得
3
k2
＋4 y2－6
ky－9＝0，
则Δ＝144
k2
＋144＞0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 y1＋y2＝ 6k
3＋4k2
，y1y2＝ －9k2
3＋4k2
，
又 AF1
―→＝2 F1B―→，所以 y1＝－2y2，
所以 y1y2＝－2(y1＋y2)2，
则 3＋4k2＝8，解得 k＝± 5
2
，
又 k＞0，所以 k＝ 5
2 .
[解题技法] 解决椭圆中与向量有关问题的方法
(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系．
(2)利用向量关系转化成相关的等量关系．
(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．
[题组训练]
1．已知 F1，F2 为椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，
BF1
―→
· BF2
―→≥1
4F1F2
―→2，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A. 0，1
2 B. 0， 2
2
C. 0， 3
3 D.
1
2
，1
解析：选 C 根据题意不妨设 B(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，因为 BF1
―→
· BF2
―→≥1
4F1F2
―→2，BF1
―→
＝(－c，－b)，BF2
―→＝(c，－b)，|F1F2|2＝4c2，所以 b2≥2c2，又因为 b2＝a2－c2，所以 a2≥3c2，
所以 0＜c
a
≤ 3
3 .
2．已知椭圆 D：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F，A 为短轴的一个端点，且|OA|＝|OF|，
△AOF 的面积为 1(其中 O 为坐标原点)．
(1)求椭圆 D 的标准方程；
(2)过椭圆 D 长轴左端点 C 作直线 l 与直线 x＝a 交于点 M，直线 l 与椭圆 D 的另一交点
为 P，求 OM
―→
· OP
―→的值．
解：(1)因为|OA|＝|OF|，所以 b＝c，
又△AOF 的面积为 1，所以 1
2bc＝1，解得 b＝c＝ 2，
所以 a2＝b2＋c2＝4，
所以椭圆 D 的标准方程为x2
4
＋y2
2
＝1.
(2)由题意可知直线 MC 的斜率存在，设其方程为 y＝k(x＋2)，
代入x2
4
＋y2
2
＝1，得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，
所以 P
－4k2－2
2k2＋1
， 4k
2k2＋1 .又 M(2,4k)，
所以 OM
―→
· OP
―→＝(2,4k)·
－4k2－2
2k2＋1
， 4k
2k2＋1 ＝4.
[课时跟踪检测]
A 级
1．(2019·长春二检)椭圆 4x2＋9y2＝144 内有一点 P(3,2)，则以 P 为中点的弦所在直线的
斜率为( )
A．－2
3 B．－3
2
C．－4
9 D．－9
4
解析：选 A 设以 P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为
k，则 4x21＋9y21＝144,4x22＋9y22＝144，两式相减得 4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，又
x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，y1－y2
x1－x2
＝k，代入解得 k＝－2
3.
2．已知直线 y＝－x＋1 与椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)相交于 A，B 两点，若椭圆的离心率
为 2
2
，焦距为 2，则线段 AB 的长是( )
A.2 2
3 B.4 2
3
C. 2 D．2
解析：选 B 由条件知 c＝1，e＝c
a
＝ 2
2
，所以 a＝ 2，b＝1，椭圆方程为x2
2
＋y2＝1，
联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，
4
3
，－1
3 ，所以|AB|＝4 2
3 .
3．斜率为 1 的直线 l 与椭圆x2
4
＋y2＝1 相交于 A，B 两点，则|AB|的最大值为( )
A．2 B.4 5
5
C.4 10
5 D.8 10
5
解析：选 C 设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线 l 的方程为 y＝x＋t，
由 x2＋4y2＝4，
y＝x＋t
消去 y，得 5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则 x1＋x2＝－8
5t，x1x2＝4t2－1
5
.
∴|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|
＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
＝ 2·
－8
5t 2－4×4t2－1
5
＝4 2
5 · 5－t2，
当 t＝0 时，|AB|max＝4 10
5 .
4．(2019·石家庄质检)倾斜角为π
4
的直线经过椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)的右焦点 F，与椭
圆交于 A，B 两点，且 AF
―→＝2 FB
―→，则该椭圆的离心率为( )
A. 3
2 B. 2
3
C. 2
2 D. 3
3
解析：选 B 由题可知，直线的方程为 y＝x－c，与椭圆方程联立
x2
a2
＋y2
b2
＝1，
y＝x－c，
得(b2
＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设 A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则
y1＋y2＝－2b2c
a2＋b2
，
y1y2＝ －b4
a2＋b2
，
又 AF
―→＝2 FB
―→，∴(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)， ∴
－y1＝2y2，可得
－y2＝－2b2c
a2＋b2
，
－2y22＝ －b4
a2＋b2.
∴1
2
＝ 4c2
a2＋b2
，∴e＝ 2
3
，故选 B.
5．已知点 P 是椭圆x2
16
＋y2
8
＝1 上的动点，F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标
原点，若 M 是∠F1PF2 的平分线上一点，且F1M
―→
· MP
―→＝0，则| OM
―→
|的取值范围是( )
A．[0,3) B．(0,2 2)
C．[2 2，3) D．(0,4]
解析：选 B 如图，延长 F1M 交 PF2 的延长线于点 G.
∵F1M
―→
· MP
―→＝0，∴F1M
―→⊥ MP
―→
.
又 MP 为∠F1PF2 的平分线，
∴|PF1|＝|PG|，且 M 为 F1G 的中点．
∵O 为 F1F2 中点，∴OM 綊 1
2F2G.
∵|F2G|＝||PF2|－|PG||＝||PF1|－|PF2||，
∴| OM
―→
|＝1
2|2a－2|PF2||＝|4－|PF2||.
∵4－2 2<|PF2|<4 或 4<|PF2|<4＋2 2，
∴| OM
―→
|∈(0,2 2)．
6．已知 F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点，过 F2 且垂直于 x 轴的直线交椭圆 C
于 A，B 两点，且|AB|＝3，则椭圆 C 的标准方程为________．
解析：由题意知椭圆 C 的焦点在 x 轴上，且 c＝1，可设椭圆 C 的方程为x2
a2
＋ y2
a2－1
＝1(a
＞1)，由|AB|＝3，知点 1，3
2 在椭圆上，代入椭圆方程得 4a4－17a2＋4＝0，所以 a2＝4 或
a2＝1
4(舍去)．故椭圆 C 的标准方程为x2
4
＋y2
3
＝1.
答案：x2
4
＋y2
3
＝1
7．已知焦点在 x 轴上的椭圆 C：x2
a2
＋y2＝1(a＞0)，过右焦点作垂直于 x 轴的直线交椭
圆于 A，B 两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为________．
解析：因为椭圆x2
a2
＋y2＝1(a＞0)的焦点在 x 轴上，所以 c＝ a2－1，又过右焦点且垂直
于 x 轴的直线为 x＝c，将其代入椭圆方程中，得c2
a2
＋y2＝1，则 y＝± 1－c2
a2
，又|AB|＝1，
所以 2 1－c2
a2
＝1，得c2
a2
＝3
4
，所以该椭圆的离心率 e＝c
a
＝ 3
2 .
答案： 3
2
8．已知 P(1,1)为椭圆x2
4
＋y2
2
＝1 内一定点，经过 P 引一条弦，使此弦被 P 点平分，则此
弦所在的直线方程为________．
解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为 k，
弦的端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x21
4
＋y21
2
＝1 ①，x22
4
＋y22
2
＝1 ②，
①－②得x1＋x2x1－x2
4
＋y1＋y2y1－y2
2
＝0，
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴x1－x2
2
＋y1－y2＝0，
∴k＝y1－y2
x1－x2
＝－1
2.
∴此弦所在的直线方程为 y－1＝－1
2(x－1)，
即 x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
9．(2019·湖北武汉部分学校调研)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：x2
a2
＋y2＝1(a＞1，
a∈R)上，过 O 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，F 为椭圆 C 的左焦点．
(1)若△FAB 的面积的最大值为 1，求 a 的值；
(2)若直线 MA，MB 的斜率乘积等于－1
3
，求椭圆 C 的离心率．
解：(1)因为 S△FAB＝1
2|OF|·|yA－yB|≤|OF|＝ a2－1＝1，所以 a＝ 2.
(2)由题意可设 A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，M(x，y)，
则x2
a2
＋y2＝1，x20
a2
＋y20＝1，
kMA·kMB＝y－y0
x－x0
·y＋y0
x＋x0
＝y2－y20
x2－x20
＝
1－x2
a2
－ 1－x20
a2
x2－x20
＝
－ 1
a2x2－x20
x2－x20
＝－ 1
a2
＝－1
3
，
所以 a2＝3，所以 a＝ 3，所以 c＝ a2－b2＝ 2，
所以椭圆 C 的离心率 e＝c
a
＝ 2
3
＝ 6
3 .
10．(2019·成都一诊)已知椭圆 C：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F( 3，0)，长半轴与
短半轴的比值为 2.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设经过点 A(1,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N.若点 B(0,1)在以线段 MN
为直径的圆上，求直线 l 的方程．
解：(1)由题可知 c＝ 3，a
b
＝2，a2＝b2＋c2，
∴a＝2，b＝1.
∴椭圆 C 的方程为x2
4
＋y2＝1.
(2)易知当直线 l 的斜率为 0 或直线 l 的斜率不存在时，不合题意．
当直线 l 的斜率存在且不为 0 时，设直线 l 的方程为 x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立 x＝my＋1，
x2＋4y2＝4
消去 x，可得(4＋m2)y2＋2my－3＝0.
Δ＝16m2＋48＞0，y1＋y2＝ －2m
4＋m2
，y1y2＝ －3
4＋m2.
∵点 B 在以 MN 为直径的圆上，
∴ BM
―→
· BN
―→＝0.
∵ BM
―→
· BN
―→＝(my1＋1，y1－1)·(my2＋1，y2－1)＝(m2＋1)y1y2＋(m－1)(y1＋y2)＋2＝0，
∴(m2＋1)·
－3
4＋m2
＋(m－1)·
－2m
4＋m2
＋2＝0，
整理，得 3m2－2m－5＝0，解得 m＝－1 或 m＝5
3.
∴直线 l 的方程为 x＋y－1＝0 或 3x－5y－3＝0.
B 级
1．已知椭圆 C：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为1
2
，点 A 在
椭圆 C 上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过 F2 与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两
点，N 为线段 PQ 的中点．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)已知点 M 0，1
8 ，且 MN⊥PQ，求线段 MN 所在的直线方程．
解：(1)由 e＝1
2
，得 a＝2c，
易知|AF1|＝2，|AF2|＝2a－2，
由余弦定理，得|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cos A＝|F1F2|2，
即 4＋(2a－2)2－2×2×(2a－2)×1
2
＝a2，
解得 a＝2，则 c＝1，
∴b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆 C 的方程为x2
4
＋y2
3
＝1.
(2)设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立
y＝kx－1，
x2
4
＋y2
3
＝1， 整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则 x1＋x2＝ 8k2
3＋4k2
，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝ －6k
3＋4k2
，
∴N
4k2
3＋4k2
， －3k
3＋4k2 .又 M 0，1
8 ，则 kMN＝
1
8
＋ 3k
3＋4k2
0－ 4k2
3＋4k2
＝－24k＋3＋4k2
32k2 .
∵MN⊥PQ，∴kMN＝－1
k
，得 k＝1
2
或3
2
，
则 kMN＝－2 或 kMN＝－2
3
，故直线 MN 的方程为 16x＋8y－1＝0 或 16x＋24y－3＝0.
2．(2019·唐山五校联考)在直角坐标系 xOy 中，长为 2＋1 的线段的两端点 C，D 分别
在 x 轴，y 轴上滑动， CP
―→＝ 2 PD
―→
.记点 P 的轨迹为曲线 E.
(1)求曲线 E 的方程；
(2)经过点(0,1)作直线 l 与曲线 E 相交于 A，B 两点，OM
―→＝ OA
―→＋ OB
―→，当点 M 在曲线
E 上时，求直线 l 的方程．
解：(1)设 C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)．
由 CP
―→＝ 2 PD
―→，得(x－m，y)＝ 2(－x，n－y)，
所以 x－m＝－ 2x，
y＝ 2n－y，
得
m＝ 2＋1x，
n＝ 2＋1
2
y，
由| CD
―→
|＝ 2＋1，得 m2＋n2＝( 2＋1)2，
所以( 2＋1)2x2＋ 2＋12
2 y2＝( 2＋1)2，
整理，得曲线 E 的方程为 x2＋y2
2
＝1.
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 OM
―→＝ OA
―→＋ OB
―→，知点 M 的坐标为(x1＋x2，y1＋y2)．
易知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y＝kx＋1，代入曲线 E 的方程，得(k2＋2)x2
＋2kx－1＝0，
则 x1＋x2＝－ 2k
k2＋2
，
所以 y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝ 4
k2＋2
.
由点 M 在曲线 E 上，知(x1＋x2)2＋y1＋y22
2
＝1，
即 4k2
k2＋22
＋ 8
k2＋22
＝1，解得 k2＝2，即 k＝± 2，
此时直线 l 的方程为 y＝± 2x＋1.
第七节 双曲线
一、基础知识
1．双曲线的定义
平面内到两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a❶(2a＜|F1F2|)的点 P 的轨迹
叫做双曲线❷.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
❶当|PF1|－|PF2|＝2a2a＜|F1F2|时，点 P 的轨迹为靠近 F2 的双曲线的一支.
当|PF1|－|PF2|＝－2a2a＜|F1F2|时，点 P 的轨迹为靠近 F1 的双曲线的一支.
❷若 2a＝2c，则轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线；若 2a＞2c，则轨迹不存在；若 2a
＝0，则轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的
标准方程为x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的双曲线的
标准方程为y2
a2
－x2
b2
＝1(a＞0，b＞0)．
3．双曲线的几何性质
标准方程 x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0) y2
a2
－x2
b2
＝1(a＞0，b＞0)
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称性 对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
线段 A1A2，B1B2 分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为 2a，
虚轴长为 2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝c
a
＝ 1＋b2
a2
∈(1，＋∞) e 是表示双曲线开口大小的
一个量，e 越大开口越大.
渐近线 y＝±b
ax y＝±a
bx
a，b，c 的关系 a2＝c2－b2
二、常用结论
(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2
a
，也叫通径．
(2)与双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为x2
a2
－y2
b2
＝t(t≠0)．
(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b.
(4)若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min
＝c－a.
考点一 双曲线的标准方程
[典例] (1)(2018·石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为 y＝± 3x，则该双
曲线的标准方程是( )
A.7x2
16
－y2
12
＝1 B.y2
3
－x2
2
＝1
C．x2－y2
3
＝1 D.3y2
23
－x2
23
＝1
(2)(2018·天津高考)已知双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于
x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点．设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和
d2，且 d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A.x2
4
－y2
12
＝1 B.x2
12
－y2
4
＝1
C.x2
3
－y2
9
＝1 D.x2
9
－y2
3
＝1
[解析] (1)法一：当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线的标准方程是x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，
b＞0)，由题意得
4
a2
－ 9
b2
＝1，
b
a
＝ 3，
解得 a＝1，
b＝ 3，
所以该双曲线的标准方程为 x2－y2
3
＝1；
当双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线的标准方程是y2
a2
－x2
b2
＝1(a＞0，b＞0)，由题意得
9
a2
－ 4
b2
＝1，
a
b
＝ 3，
无解．故该双曲线的标准方程为 x2－y2
3
＝1，选 C.
法二：当其中的一条渐近线方程 y＝ 3x 中的 x＝2 时，y＝2 3＞3，又点(2,3)在第一象
限，所以双曲线的焦点在 x 轴上，设双曲线的标准方程是x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)，由题意得
4
a2
－ 9
b2
＝1，
b
a
＝ 3，
解得 a＝1，
b＝ 3，
所以该双曲线的标准方程为 x2－y2
3
＝1，故选 C.
法三：因为双曲线的渐近线方程为 y＝± 3x，即 y
3
＝±x，所以可设双曲线的方程是 x2
－y2
3
＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为 x2－y2
3
＝1，故选 C.
(2)法一：如图，不妨设 A 在 B 的上方，则 A c，b2
a ，B c，－b2
a .
又双曲线的一条渐近线为 bx－ay＝0，
则 d1＋d2＝bc－b2＋bc＋b2
a2＋b2
＝2bc
c
＝2b
＝6，所以 b＝3.
又由 e＝c
a
＝2，知 a2＋b2＝4a2，所以 a＝ 3.
所以双曲线的方程为x2
3
－y2
9
＝1.
法二：由 d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为 3，所以 b＝3.因为双曲线
x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，所以c
a
＝2，所以a2＋b2
a2
＝4，所以a2＋9
a2
＝4，解得 a2＝3，
所以双曲线的方程为x2
3
－y2
9
＝1，故选 C.
[答案] (1)C (2)C
[题组训练]
1．已知双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线的右
支上，若|PF1|－|PF2|＝4b，且双曲线的焦距为 2 5，则该双曲线的标准方程为( )
A.x2
4
－y2＝1 B.x2
3
－y2
2
＝1
C．x2－y2
4
＝1 D.x2
2
－y2
3
＝1
解析：选 A 由题意可得
|PF1|－|PF2|＝2a＝4b，
c2＝a2＋b2，
2c＝2 5，
解得 a2＝4，
b2＝1，
则该双曲线的标准方程为x2
4
－y2＝1.
2．已知双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为 4，离心率为 5，则双曲线的标准方
程为( )
A.x2
4
－y2
16
＝1 B．x2－y2
4
＝1
C.x2
2
－y2
3
＝1 D．x2－y2
6
＝1
解析：选 A 因为双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为 4，所以 a＝2，由离心率为
5，可得c
a
＝ 5，c＝2 5，所以 b＝ c2－a2＝ 20－4＝4，则双曲线的标准方程为x2
4
－y2
16
＝
1.
3．经过点 P(3,2 7)，Q(－6 2，7)的双曲线的标准方程为____________．
解析：设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
因为所求双曲线经过点 P(3,2 7)，Q(－6 2，7)，
所以 9m＋28n＝1，
72m＋49n＝1，
解得
m＝－ 1
75
，
n＝ 1
25.
故所求双曲线方程为y2
25
－x2
75
＝1.
答案：y2
25
－x2
75
＝1
考点二 双曲线定义的应用
考法(一) 利用双曲线的定义求双曲线方程
[典例] 已知动圆 M 与圆 C1：(x＋4)2＋y2＝2 外切，与圆 C2：(x－4)2＋y2＝2 内切，则
动圆圆心 M 的轨迹方程为( )
A.x2
2
－y2
14
＝1(x≥ 2) B.x2
2
－y2
14
＝1(x≤－ 2)
C.x2
2
＋y2
14
＝1(x≥ 2) D.x2
2
＋y2
14
＝1(x≤－ 2)
[解析] 设动圆的半径为 r，由题意可得|MC1|＝r＋ 2，|MC2|＝r－ 2，所以|MC1|－|MC2|
＝2 2＝2a，故由双曲线的定义可知动点 M 在以 C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点，实轴长为 2a＝
2 2的双曲线的右支上，即 a＝ 2，c＝4⇒b2＝16－2＝14，故动圆圆心 M 的轨迹方程为x2
2
－
y2
14
＝1(x≥ 2)．
[答案] A
[解题技法]
利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出
双曲线方程．
考法(二) 焦点三角形问题
[典例] 已知 F1，F2 为双曲线 C：x2－y2＝1 的左、右焦点，点 P 在 C 上，∠F1PF2＝
60°，则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
[解析] 由双曲线的方程得 a＝1，c＝ 2，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.
在△PF1F2 中，由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即(2 2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|
＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|
＝22＋|PF1|·|PF2|，
解得|PF1|·|PF2|＝4.
[答案] B
[解题技法]
在双曲线中，有关焦点三角形的问题常用双曲线定义和解三角形的知识来解决，尤其是
涉及|PF1|，|PF2|的问题，一般会用到双曲线定义．涉及焦点三角形的面积问题，若顶角θ已
知，则用 S△PF1F2＝1
2|PF1||PF2|sin θ，||PF1|－|PF2||＝2a 及余弦定理等知识；若顶角θ未知，则
用 S△PF1F2＝1
2·2c·|y0|来解决．
[题组训练]
1．已知点 F1(－3,0)和 F2(3,0)，动点 P 到 F1，F2 的距离之差为 4，则点 P 的轨迹方程为
( )
A.x2
4
－y2
5
＝1(y>0) B.x2
4
－y2
5
＝1(x>0)
C.y2
4
－x2
5
＝1(y>0) D.y2
4
－x2
5
＝1(x>0)
解析：选 B 由题设知点 P 的轨迹方程是焦点在 x 轴上的双曲线的右支，设其方程为x2
a2
－y2
b2
＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知 c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点 P 的轨迹方程为x2
4
－
y2
5
＝1(x>0)．
2．已知双曲线 x2－y2
24
＝1 的两个焦点为 F1，F2，P 为双曲线右支上一点．若|PF1|＝4
3|PF2|，
则△F1PF2 的面积为( )
A．48 B．24
C．12 D．6
解析：选 B 由双曲线的定义可得
|PF1|－|PF2|＝1
3|PF2|＝2a＝2，
解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，
由勾股定理可知三角形 PF1F2 为直角三角形，
因此 S△F1PF2＝1
2|PF1|·|PF2|＝24.
考点三 双曲线的几何性质
考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)
[典例] (2018·长春二测)已知双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，
点 P 在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是( )
A.
5
3
，2 B. 1，5
3
C．(1,2] D.
5
3
，＋∞
[解析] 由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF2|＝2a
3
，由双
曲线上的点到焦点的最短距离为 c－a，可得2a
3
≥c－a，解得c
a
≤5
3
， 即 e≤5
3
，又双曲线的离
心率 e＞1，故该双曲线离心率的取值范围为 1，5
3 ，故选 B.
[答案] B
[解题技法]
1．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求 a，b，c 的值，由c2
a2
＝a2＋b2
a2
＝1＋b2
a2
直接求 e.
(2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2＝c2－a2 消去 b，然后转化成关
于 e 的方程(或不等式)求解．
2．求离心率的口诀归纳
离心率，不用愁，寻找等式消 b 求；
几何图形寻迹踪，等式藏在图形中．
考法(二) 求双曲线的渐近线方程
[典例] (2019·武汉部分学校调研)已知双曲线 C：x2
m2
－y2
n2
＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭
圆x2
25
＋y2
16
＝1 的离心率互为倒数，则双曲线 C 的渐近线方程为( )
A．4x±3y＝0
B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0 或 3x±4y＝0
D．4x±5y＝0 或 5x±4y＝0
[解析] 由题意知，椭圆中 a＝5，b＝4，∴椭圆的离心率 e＝ 1－b2
a2
＝3
5
，∴双曲线
的离心率为 1＋n2
m2
＝5
3
，∴n
m
＝4
3
，∴双曲线的渐近线方程为 y＝±n
mx＝±4
3x，即 4x±3y＝0.
故选 A.
[答案] A
[解题技法] 求双曲线的渐近线方程的方法
求双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)或y2
a2
－x2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程的方法是令右边
的常数等于 0，即令x2
a2
－y2
b2
＝0，得 y＝±b
ax；或令y2
a2
－x2
b2
＝0，得 y＝±a
bx.反之，已知渐近线方
程为 y＝±b
ax，可设双曲线方程为x2
a2
－y2
b2
＝λ(a＞0，b＞0，λ≠0)．
[题组训练]
1．(2019·潍坊统一考试)已知双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为 3，
且离心率为 2，则该双曲线的实轴的长为( )
A．1 B. 3
C．2 D．2 3
解析：选 C 由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线 bx－ay＝0 的距离为 bc
a2＋b2
＝b＝ 3，
即 c2－a2＝3，又 e＝c
a
＝2，所以 a＝1，该双曲线的实轴的长为 2a＝2.
2．已知直线 l 是双曲线 C：x2
2
－y2
4
＝1 的一条渐近线，P 是直线 l 上一点，F1，F2 是双
曲线 C 的左、右焦点，若 PF1
―→
· PF2
―→＝0，则点 P 到 x 轴的距离为( )
A.2 3
3 B. 2
C．2 D.2 6
3
解析：选 C 由题意知，双曲线的左、右焦点分别为 F1(－ 6，0)，F2( 6，0)，不妨设
直线 l 的方程为 y＝ 2x，设 P(x0， 2x0)．由 PF1
―→
· PF2
―→＝(－ 6－x0，－ 2x0)·( 6－x0，－ 2x0)
＝3x20－6＝0，得 x0＝± 2，故点 P 到 x 轴的距离为| 2x0|＝2，故选 C.
3．(2019·成都一诊)如图，已知双曲线 E：x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)，
长方形 ABCD 的顶点 A，B 分别为双曲线 E 的左、右焦点，且点 C，D
在双曲线 E 上，若|AB|＝6，|BC|＝5
2
，则双曲线 E 的离心率为( )
A. 2 B.3
2
C.5
2 D. 5
解析：选 B 根据|AB|＝6 可知 c＝3，又|BC|＝5
2
，所以b2
a
＝5
2
，b2＝5
2a，所以 c2＝a2＋5
2a
＝9，解得 a＝2(舍负)，所以 e＝c
a
＝3
2.
4．(2018·郴州二模)已知双曲线y2
m
－x2
9
＝1(m＞0)的一个焦点在直线 x＋y＝5 上，则双曲
线的渐近线方程为( )
A．y＝±3
4x B．y＝±4
3x
C．y＝±2 2
3 x D．y＝±3 2
4 x
解析：选 B 由双曲线y2
m
－x2
9
＝1(m＞0)的焦点在 y 轴上，且在直线 x＋y＝5 上，直线 x
＋y＝5 与 y 轴的交点为(0,5)，
有 c＝5，则 m＋9＝25，得 m＝16，
所以双曲线的方程为y2
16
－x2
9
＝1，
故双曲线的渐近线方程为 y＝±4
3x.故选 B.
[课时跟踪检测]
A 级
1．(2019·襄阳联考)直线 l：4x－5y＝20 经过双曲线 C：x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的一个焦
点和虚轴的一个端点，则双曲线 C 的离心率为( )
A.5
3 B.3
5
C.5
4 D.4
5
解析：选 A 由题意知直线 l 与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，－4)，从而 c＝5，b＝4，
∴a＝3，双曲线 C 的离心率 e＝c
a
＝5
3.
2．设 F1，F2 分别是双曲线 x2－y2
9
＝1 的左、右焦点，若点 P 在双曲线上，且|PF1|＝6，
则|PF2|＝( )
A．6 B．4
C．8 D．4 或 8
解析：选 D 由双曲线的标准方程可得 a＝1，则||PF1|－|PF2||＝2a＝2，即|6－|PF2||＝2，
解得|PF2|＝4 或 8.
3．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线 C：x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，则点(4,0)到 C
的渐近线的距离为( )
A. 2 B．2
C.3 2
2 D．2 2
解析：选 D ∵e＝c
a
＝ 1＋b2
a2
＝ 2，∴b
a
＝1.
∴双曲线的渐近线方程为 x±y＝0.
∴点(4,0)到 C 的渐近线的距离 d＝ 4
2
＝2 2.
4．若实数 k 满足 0＜k＜9，则曲线x2
25
－ y2
9－k
＝1 与曲线 x2
25－k
－y2
9
＝1 的( )
A．离心率相等 B．虚半轴长相等
C．实半轴长相等 D．焦距相等
解析：选 D 由 00)的离心率为 5
2
，则 a＝________.
解析：由 e＝c
a
＝ a2＋b2
a2
，得a2＋4
a2
＝5
4
，
∴a2＝16.
∵a>0，∴a＝4.
答案：4
8．过双曲线 x2－y2
3
＝1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A，
B 两点，则|AB|＝________.
解析：双曲线的右焦点为 F(2,0)，过 F 与 x 轴垂直的直线为 x＝2，渐近线方程为 x2－y2
3
＝0，将 x＝2 代入 x2－y2
3
＝0，得 y2＝12，y＝±2 3，故|AB|＝4 3.
答案：4 3
9．(2018·海淀期末)双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，
OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点．若正方形 OABC 的边长为 2，则 a＝________.
解析：双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1 的渐近线方程为 y＝±b
ax，由已知可得两条渐近线互相垂直，由
双曲线的对称性可得b
a
＝1.又正方形 OABC 的边长为 2，所以 c＝2 2，所以 a2＋b2＝c2＝
(2 2)2，解得 a＝2.
答案：2
10．(2018·南昌摸底调研)已知双曲线 C：x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为 F，过点 F
作圆(x－a)2＋y2＝c2
16
的切线，若该切线恰好与 C 的一条渐近线垂直，则双曲线 C 的离心率为
________．
解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为 y＝b
ax，由题意可知该切线方程为 y＝－a
b(x－
c)，即 ax＋by－ac＝0.圆(x－a)2＋y2＝c2
16
的圆心为(a,0)，半径为c
4
，则圆心到切线的距离 d＝
|a2－ac|
a2＋b2
＝ac－a2
c
＝c
4
，又 e＝c
a
，则 e2－4e＋4＝0，解得 e＝2，所以双曲线 C 的离心率 e＝2.
答案：2
11．已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2在坐标轴上，离心率为 2，且过点(4， －
10)，点 M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：MF1
―→
·MF2
―→＝0；
(3)求△F1MF2 的面积．
解：(1)∵e＝ 2，
∴双曲线的实轴、虚轴相等．
则可设双曲线方程为 x2－y2＝λ.
∵双曲线过点(4，－ 10)，
∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2
6
－y2
6
＝1.
(2)证明：不妨设 F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，
则MF1
―→＝(－2 3－3，－m)，MF2
―→＝(2 3－3，－m)．
∴MF1
―→
·MF2
―→＝(3＋2 3)×(3－2 3)＋m2＝－3＋m2，
∵M 点在双曲线上，
∴9－m2＝6，即 m2－3＝0，
∴MF1
―→
·MF2
―→＝0.
(3)△F1MF2 的底边长|F1F2|＝4 3.
由(2)知 m＝± 3.
∴△F1MF2 的高 h＝|m|＝ 3，
∴S△F1MF2＝1
2
×4 3× 3＝6.
12．中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点 F1，F2，且|F1F2|＝2 13，
椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为 4，离心率之比为 3∶7.
(1)求椭圆和双曲线的方程；
(2)若 P 为这两曲线的一个交点，求 cos∠F1PF2 的值．
解：(1)由题知 c＝ 13，设椭圆方程为x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)，双曲线方程为x2
m2
－y2
n2
＝1(m>0，
n>0)，
则
a－m＝4，
7· 13
a
＝3· 13
m
，
解得 a＝7，m＝3.则 b＝6，n＝2.
故椭圆方程为x2
49
＋y2
36
＝1，双曲线方程为x2
9
－y2
4
＝1.
(2)不妨设 F1，F2 分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的交点，
则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.
又|F1F2|＝2 13，
所以 cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2
2|PF1||PF2|
＝102＋42－2 132
2×10×4
＝4
5.
B 级
1．已知圆(x－1)2＋y2＝3
4
的一条切线 y＝kx 与双曲线 C：x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)有两个
交点，则双曲线 C 的离心率的取值范围是( )
A．(1， 3) B．(1,2)
C．( 3，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选 D 由题意，知圆心(1,0)到直线 kx－y＝0 的距离 d＝ |k|
k2＋1
＝ 3
2
，∴k＝± 3，
由题意知b
a
＞ 3，∴1＋b2
a2
＞4，即a2＋b2
a2
＝c2
a2
＞4，∴e＞2.
2．(2019·吉林百校联盟联考)如图，双曲线 C：x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分
别为 F1，F2，直线 l 过点 F1 且与双曲线 C 的一条渐近线垂直，与两条渐近线分别交于 M，
N 两点，若|NF1|＝2|MF1|，则双曲线 C 的渐近线方程为( )
A．y＝± 3
3 x B．y＝± 3x
C．y＝± 2
2 x D．y＝± 2x
解析：选 B ∵|NF1|＝2|MF1|，∴M 为 NF1 的中点，
又 OM⊥F1N，∴∠F1OM＝∠NOM，
又∠F1OM＝∠F2ON，∴∠F2ON＝60°，
∴双曲线 C 的渐近线的斜率 k＝±tan 60°＝± 3，
即双曲线 C 的渐近线方程为 y＝± 3x.故选 B.
3．设 A，B 分别为双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，
焦点到渐近线的距离为 3.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线 y＝ 3
3 x－2 与双曲线的右支交于 M，N 两点，且在双曲线的右支上存在点 D，
使 OM
―→＋ ON
―→＝t OD
―→，求 t 的值及点 D 的坐标．
解：(1)由题意知 a＝2 3，
∵一条渐近线为 y ＝b
ax，∴bx－ay＝0.
由焦点到渐近线的距离为 3，得 |bc|
b2＋a2
＝ 3.
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝3，∴双曲线的方程为x2
12
－y2
3
＝1.
(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则 x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程 y＝ 3
3 x－2 代入双曲线方程x2
12
－y2
3
＝1 得
x2－16 3x＋84＝0，
则 x1＋x2＝16 3，y1＋y2＝ 3
3 (x1＋x2)－4＝12.
∴
x0
y0
＝4 3
3
，
x20
12
－y20
3
＝1.
解得 x0＝4 3，
y0＝3.
∴t＝4，点 D 的坐标为(4 3，3)．
第八节 抛物线
一、基础知识
1．抛物线的定义
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(点 F 不在直线 l 上)
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物
线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线.
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
方程
图形
p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
顶点 O(0,0)
对称轴 x 轴 y 轴
焦点
F
p
2
，0 F
－p
2
，0 F 0，p
2 F 0，－p
2
离心率 e＝1
准线方程 x＝－p
2 x＝p
2 y＝－p
2 y＝p
2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中
P(x0，y0))
|PF|＝x0＋p
2 |PF|＝－x0＋p
2 |PF|＝y0＋p
2 |PF|＝－y0＋p
2
二、常用结论
与抛物线焦点弦有关的几个常用结论
设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦 AB 的倾
斜角．则
(1)x1x2＝p2
4
，y1y2＝－p2.
(2)|AF|＝ p
1－cos α
，|BF|＝ p
1＋cos α
.
(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ 2p
sin2α.
(4) 1
|AF|
＋ 1
|BF|
＝2
p.
(5)以弦 AB 为直径的圆与准线相切．
考点一 抛物线的定义及应用
[典例] (1)若抛物线 y2＝4x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 2，O 为坐标原点，则△OFP
的面积为( )
A.1
2 B．1
C.3
2 D．2
(2)设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，若 B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
[解析] (1)设 P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.
又点 P 到焦点 F 的距离为 2，
∴由定义知点 P 到准线的距离为 2.
∴xP＋1＝2，∴xP＝1.
代入抛物线方程得|yP|＝2，
∴△OFP 的面积为 S＝1
2·|OF|·|yP|＝1
2
×1×2＝1.
(2)如图，过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1，则|P1Q|
＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为
4.
[答案] (1)B (2)4
[变透练清]
1．若抛物线 y2＝2px(p＞0)上的点 A(x0， 2)到其焦点的距离是 A 到 y 轴距离的 3 倍，
则 p 等于( )
A.1
2 B．1
C.3
2 D．2
解析：选 D 由抛物线 y2＝2px 知其准线方程为 x＝－p
2.又点 A 到准线的距离等于点 A
到焦点的距离，∴3x0＝x0＋p
2
，∴x0＝p
4
，∴A
p
4
， 2 .∵点 A 在抛物线 y2＝2px 上，∴p2
2
＝2.
∵p＞0，∴p＝2.故选 D.
2.变条件若将本例(2)中的 B 点坐标改为(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
解析：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．
因为|PB|＋|PF|的最小值即为 B，F 两点间的距离，
所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝ 22＋42＝ 4＋16＝2 5，
即|PB|＋|PF|的最小值为 2 5.
答案：2 5
3．已知抛物线方程为 y2＝4x，直线 l 的方程为 x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点 P 到
y 轴的距离为 d1，到直线 l 的距离为 d2，则 d1＋d2 的最小值为________．
解析：由题意知，抛物线的焦点为 F(1,0)．
点 P 到 y 轴的距离 d1＝|PF|－1，
所以 d1＋d2＝d2＋|PF|－1.
易知 d2＋|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离，
故 d2＋|PF|的最小值为 |1＋5|
12＋－12
＝3 2，
所以 d1＋d2 的最小值为 3 2－1.
答案：3 2－1
[解题技法] 与抛物线有关的最值问题的解题策略
该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的
相互转化．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最
短”，使问题得解；
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连
线中，垂线段最短”解决．
考点二 抛物线的标准方程及性质
[典例] (1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P(－4，－2)的抛物线的标准方程是
( )
A．y2＝－x B．x2＝－8y
C．y2＝－8x 或 x2＝－y D．y2＝－x 或 x2＝－8y
(2)(2018·北京高考)已知直线 l 过点(1,0)且垂直于 x 轴，若 l 被抛物线 y2＝4ax 截得的线
段长为 4，则抛物线的焦点坐标为________．
[解析] (1)(待定系数法)设抛物线为 y2＝mx，代入点 P(－4，－2)，解得 m＝－1，则抛
物线方程为 y2＝－x；设抛物线为 x2＝ny，代入点 P(－4，－2)，解得 n＝－8，则抛物线方
程为 x2＝－8y.
(2)由题知直线 l 的方程为 x＝1，
则直线与抛物线的交点为(1，±2 a)(a>0)．
又直线被抛物线截得的线段长为 4，
所以 4 a＝4，即 a＝1.
所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
[答案] (1)D (2)(1,0)
[解题技法]
1．求抛物线标准方程的方法及注意点
(1)方法
求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法．若题目已给出抛物线的方程
(含有未知数 p)，那么只需求出 p 即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在 x 轴上的
抛物线的标准方程可统一设为 y2＝ax(a≠0)，a 的正负由题设来定；焦点在 y 轴上的抛物线
的标准方程可设为 x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．
(2)注意点
①当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；
②要掌握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
③要注意参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
2．抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
[题组训练]
1．(2019·哈尔滨模拟)过点F(40,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝－12y D．x2＝12y
解析：选 D 由抛物线的定义知，过点 F(0,3)且和直线 y＋3＝0 相切的动圆圆心的轨迹
是以点 F(0,3)为焦点，直线 y＝－3 为准线的抛物线，故其方程为 x2＝12y.
2．若双曲线 C：2x2－y2＝m(m＞0)与抛物线 y2＝16x 的准线交于 A，B 两点，且|AB|＝
4 3，则 m 的值是________．
解析：y2＝16x 的准线 l：x＝－4，
因为 C 与抛物线 y2＝16x 的准线 l：x＝－4 交于 A，B 两点，|AB|＝4 3，
设 A 在 x 轴上方，
所以 A(－4,2 3)，B(－4，－2 3)，
将 A 点坐标代入双曲线方程得 2×(－4)2－(2 3)2＝m，
所以 m＝20.
答案：20
3．已知抛物线 x2＝2py(p＞0)的焦点为 F，点 P 为抛物线上的动点，点 M 为其准线上的
动点，若△FPM 为边长是 4 的等边三角形，则此抛物线的方程为________________．
解析：由△FPM 为等边三角形，得|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得 PM 垂直于抛物线的
准线，设 P m，m2
2p ，则点 M m，－p
2 ，因为焦点 F 0，p
2 ，△FPM 是等边三角形，所以
m2
2p
＋p
2
＝4，
p
2
＋p
2 2＋m2＝4，
解得 m2＝12，
p＝2，
因此抛物线方程为 x2＝4y.
答案：x2＝4y
考点三 直线与抛物线的综合问题
考法(一) 直线与抛物线的交点问题
[典例] (2019·武汉部分学校调研)已知抛物线 C：x2＝2py(p＞0)和定点 M(0,1)，设过点
M 的动直线交抛物线 C 于 A，B 两点，抛物线 C 在 A，B 处的切线的交点为 N.若 N 在以 AB
为直径的圆上，则 p 的值为________．
[解析] 设直线 AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线 AB 的方程代入抛物线 C 的方程得 x2－2pkx－2p＝0，
则 x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.
由 x2＝2py 得 y′＝x
p
，
则 A，B 处的切线斜率的乘积为x1x2
p2
＝－2
p
，
∵点 N 在以 AB 为直径的圆上，∴AN⊥BN，
∴－2
p
＝－1，∴p＝2.
[答案] 2
[解题技法] 直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．
(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．
考法(二) 抛物线的焦点弦问题
[典例] (2018·全国卷Ⅱ)设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k>0)的直线
l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|＝8.
(1)求 l 的方程；
(2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程．
解：(1)由题意得 F(1,0)，l 的方程为 y＝k(x－1)(k>0)．
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由 y＝kx－1，
y2＝4x
得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故 x1＋x2＝2k2＋4
k2 .
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4k2＋4
k2 .
由题设知4k2＋4
k2
＝8，解得 k＝1 或 k＝－1(舍去)．
因此 l 的方程为 y＝x－1.
(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，
所以 AB 的垂直平分线方程为 y－2＝－(x－3)，
即 y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，
则
y0＝－x0＋5，
x0＋12＝y0－x0＋12
2
＋16.
解得 x0＝3，
y0＝2
或 x0＝11，
y0＝－6.
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16 或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
[解题技法]
解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦
点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设
而不求”、“整体代入”等解法．
[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
[题组训练]
1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过点(－2,0)且斜率为2
3
的直线与 C
交于 M，N 两点，则 FM
―→
· FN
―→＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选 D 由题意知直线 MN 的方程为 y＝2
3(x＋2)，
联立
y＝2
3
x＋2，
y2＝4x，
解得 x＝1，
y＝2
或 x＝4，
y＝4.
不妨设 M(1,2)，N(4,4)．
又∵抛物线焦点为 F(1,0)，
∴ FM
―→＝(0,2)， FN
―→＝(3,4)．
∴ FM
―→
· FN
―→＝0×3＋2×4＝8.
2．已知抛物线 y2＝16x 的焦点为 F，过 F 作一条直线交抛物线于 A，B 两点，若|AF|＝6，
则|BF|＝________.
解析：不妨设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(A 在 B 上方)，根据焦半径公式|AF|＝x1＋p
2
＝x1＋4＝
6，所以 x1＝2，y1＝4 2，所以直线 AB 的斜率为 k＝ 4 2
2－4
＝－2 2，所以直线方程为 y＝－
2 2(x－4)，与抛物线方程联立得 x2－10x＋16＝0，即(x－2)(x－8)＝0，所以 x2＝8，故|BF|
＝8＋4＝12.
答案：12
[课时跟踪检测]
A 级
1．(2018·永州三模)已知抛物线 y＝px2(其中 p 为常数)过点 A(1,3)，则抛物线的焦点到准
线的距离等于( )
A.9
2 B.3
2
C. 1
18 D.1
6
解析：选 D 由抛物线 y＝px2(其中 p 为常数)过点 A(1,3)，可得 p＝3，则抛物线的标准
方程为 x2＝1
3y，则抛物线的焦点到准线的距离等于1
6.故选 D.
2．过点 P(－2,3)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－9
2x 或 x2＝4
3y
B．y2＝9
2x 或 x2＝4
3y
C．y2＝9
2x 或 x2＝－4
3y
D．y2＝－9
2x 或 x2＝－4
3y
解析：选 A 设抛物线的标准方程为 y2＝kx 或 x2＝my，代入点 P(－2,3)，解得 k＝－9
2
，
m＝4
3
，所以 y2＝－9
2x 或 x2＝4
3y.
3．(2019·龙岩质检)若直线 AB 与抛物线 y2＝4x 交于 A，B 两点，且 AB⊥x 轴，|AB|＝4 2，
则抛物线的焦点到直线 AB 的距离为( )
A．1 B．2
C．3 D．5
解析：选 A 由|AB|＝4 2及 AB⊥x 轴，不妨设点 A 的纵坐标为 2 2，代入 y2＝4x 得点
A 的横坐标为 2，从而直线 AB 的方程为 x＝2.又 y2＝4x 的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到
直线 AB 的距离为 2－1＝1，故选 A.
4．(2018·齐齐哈尔八中三模)已知抛物线 C：y＝x2
8
的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，
且|AF|＝2y0，则 x0＝( )
A．2 B．±2
C．4 D．±4
解析：选 D 由 y＝x2
8
，得抛物线的准线为 y＝－2，由抛物线的几何意义可知，|AF|＝
2y0＝2＋y0，得 y0＝2，所以 x0＝±4，故选 D.
5．(2019·湖北五校联考)直线 l 过抛物线 y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于 A，
B 两点，若线段 AB 的长是 8，AB 的中点到 y 轴的距离是 2，则此抛物线的方程是( )
A．y2＝－12x B．y2＝－8x
C．y2＝－6x D．y2＝－4x
解析：选 B 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.
又 AB 的中点到 y 轴的距离为 2，∴－x1＋x2
2
＝2，∴x1＋x2＝－4，∴p＝4，∴所求抛物线的
方程为 y2＝－8x.故选 B.
6．已知点 A(0,2)，抛物线 C1：y2＝ax(a＞0)的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点
M，与其准线相交于点 N.若|FM|∶|MN|＝1∶5，则 a 的值为( )
A.1
4 B.1
2
C．1 D．4
解析：选 D 依题意，点 F 的坐标为
a
4
，0 ，设点 M 在准线上的
射影为 K，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，|KM|∶|MN|＝1∶5，则|KN|∶
|KM|＝2∶1.∵kFN＝0－2
a
4
－0
＝－8
a
，kFN＝－|KN|
|KM|
＝－2，∴8
a
＝2，解得 a
＝4.
7．抛物线 x2＝－10y 的焦点在直线 2mx＋my＋1＝0 上，则 m＝________.
解析：抛物线的焦点为 0，－5
2 ，代入直线方程 2mx＋my＋1＝0，可得 m＝2
5.
答案：2
5
8．(2019·沈阳质检)已知正三角形 AOB(O 为坐标原点)的顶点 A，B 在抛物线 y2＝3x 上，
则△AOB 的边长是________．
解析：如图，设△AOB 的边长为 a，则 A
3
2 a，1
2a ，∵点 A 在抛
物线 y2＝3x 上，∴1
4a2＝3× 3
2 a，∴a＝6 3.
答案：6 3
9．(2018·广州一模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线x2
3
－y2＝1的右焦点重合，
若 A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF|＝3，则直线 AF 的斜率为________．
解析：∵双曲线x2
3
－y2＝1 的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为 y2＝8x，∵|AF|＝3，∴xA
＋2＝3，得 xA＝1，代入抛物线方程可得 yA＝±2 2.∵点 A 在第一象限，∴A(1,2 2)，
∴直线 AF 的斜率为 2 2
1－2
＝－2 2.
答案：－2 2
10．已知抛物线 y2＝4x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 y
轴的垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
解析：由题意知 F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值
时当且仅当|AB|取得最小值．依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4 时为最小值，所
以|AC|＋|BD|的最小值为 2.
答案：2
11．已知抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方
的点，A 到抛物线准线的距离等于 5，过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B，OB 的中点为 M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过 M 作 MN⊥FA，垂足为 N，求点 N 的坐标．
解：(1)抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线为 x＝－p
2
，
于是 4＋p
2
＝5，∴p＝2.
∴抛物线方程为 y2＝4x.
(2)∵点 A 的坐标是(4,4)，
由题意得 B(0,4)，M(0,2)．
又∵F(1,0)，∴kFA＝4
3
，
∵MN⊥FA，∴kMN＝－3
4.
∴FA 的方程为 y＝4
3(x－1)，①
MN 的方程为 y－2＝－3
4x，②
联立①②，解得 x＝8
5
，y＝4
5
，
∴点 N 的坐标为
8
5
，4
5 .
12．已知抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，抛物线 C 与直线 l1：y＝－x 的一个交点
的横坐标为 8.
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)不过原点的直线 l2 与 l1 垂直，且与抛物线交于不同的两点 A，B，若线段 AB 的中点
为 P，且|OP|＝|PB|，求△FAB 的面积．
解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，
∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，
∴抛物线 C 的方程为 y2＝8x.
(2)直线 l2 与 l1 垂直，故可设直线 l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线 l2 与 x 轴
的交点为 M.
由 y2＝8x，
x＝y＋m，
得 y2－8y－8m＝0，
Δ＝64＋32m＞0，∴m＞－2.
y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，
∴x1x2＝y21y22
64
＝m2.
由题意可知 OA⊥OB，即 x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，
∴m＝8 或 m＝0(舍去)，∴直线 l2：x＝y＋8，M(8,0)．
故 S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝1
2·|FM|·|y1－y2|＝3 y1＋y22－4y1y2＝24 5.
B 级
1．设抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，准线为 l，M∈C，以 M 为圆心的圆 M 与准
线 l 相切于点 Q，Q 点的纵坐标为 3p，E(5,0)是圆 M 与 x 轴不同于 F 的另一个交点，则 p
＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 B 如图，抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点 F
p
2
，0 ，由 Q
点的纵坐标为 3p 知 M 点的纵坐标为 3p，则 M 点的横坐标 x＝3p
2
，
即 M
3p
2
， 3p .由题意知点 M 是线段 EF 的垂直平分线上的点，3p
2
＝
5－p
2
2
＋p
2
，解得 p＝2.故选 B.
2．(2018·全国卷Ⅲ)已知点 M(－1,1)和抛物线 C：y2＝4x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直
线与 C 交于 A，B 两点．若∠AMB＝90°，则 k＝________.
解析：法一：设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 y21＝4x1，
y22＝4x2，
∴y21－y22＝4(x1－x2)，
∴k＝y1－y2
x1－x2
＝ 4
y1＋y2
.
设 AB 中点 M′(x0，y0)，抛物线的焦点为 F，分别过点 A，B 作准线 x＝－1 的垂线，垂
足为 A′，B′，
则|MM′|＝1
2|AB|＝1
2(|AF|＋|BF|)
＝1
2(|AA′|＋|BB′|)．
∵M′(x0，y0)为 AB 的中点，
∴M 为 A′B′的中点，∴MM′平行于 x 轴，
∴y1＋y2＝2，∴k＝2.
法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为 F(1,0)，
设直线方程为 y＝k(x－1)，
直线方程与 y2＝4x 联立，消去 y，
得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x1x2＝1，x1＋x2＝2k2＋4
k2 .
由 M(－1,1)，得 AM
―→＝(－1－x1,1－y1)，
BM
―→＝(－1－x2,1－y2)．
由∠AMB＝90°，得 AM
―→
· BM
―→＝0，
∴(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0.
又 y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，
∴1＋2k2＋4
k2
＋1＋k2 1－2k2＋4
k2
＋1 －k
2k2＋4
k2
－2 ＋1＝0，
整理得4
k2
－4
k
＋1＝0，解得 k＝2.
答案：2
3．(2019·洛阳模拟)已知抛物线 C：x2＝2py(p＞0)，过焦点 F 的直线交 C 于 A，B 两点，
D 是抛物线的准线 l 与 y 轴的交点．
(1)若 AB∥l，且△ABD 的面积为 1，求抛物线的方程；
(2)设 M 为 AB 的中点，过 M 作 l 的垂线，垂足为 N.证明：直线 AN 与抛物线相切．
解：(1)∵AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p.
∴S△ABD＝p2，∴p＝1，
故抛物线 C 的方程为 x2＝2y.
(2)设直线 AB 的方程为 y＝kx＋p
2
，
由
y＝kx＋p
2
，
x2＝2py
得 x2－2kpx－p2＝0.
∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2.
其中 A x1，x21
2p ，B x2，x22
2p .
∴M kp，k2p＋p
2 ，N kp，－p
2 .
∴kAN＝
x21
2p
＋p
2
x1－kp
＝
x21
2p
＋p
2
x1－x1＋x2
2
＝
x21＋p2
2p
x1－x2
2
＝
x21－x1x2
2p
x1－x2
2
＝x1
p.
又 x2＝2py，∴y′＝x
p.
∴抛物线 x2＝2py 在点 A 处的切线斜率 k＝x1
p.
∴直线 AN 与抛物线相切．
第九节 直线与圆锥曲线的位置关系
一、基础知识
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同
时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x，y)＝0，消去 y(或 x)得到一个关于变量 x(或 y)的一元方
程．
例：由 Ax＋By＋C＝0，
Fx，y＝0
消去 y，得 ax2＋bx＋c＝0.
(1)当 a≠0 时，设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式为Δ，
则Δ>0⇔直线与圆锥曲线 C 相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 C 相切；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线 C 相离．
(2)当 a＝0，b≠0 时，即得到一个一元一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 C 相交，且只有
一个交点，此时，
若 C 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
若 C 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
直线与椭圆圆只有一个公共点是直线与椭圆圆相切的充要条件，而直线与双曲线
抛物线只有一个公共点，只是直线与双曲线抛物线相切的必要不充分条件.
2．弦长公式
设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
或|AB|＝ 1＋1
k2·|y1－y2|＝ 1＋1
k2· y1＋y22－4y1y2.
利用弦长公式求弦长要注意斜率 k 不存在的情形，若 k 不存在，可直接求交点坐标再求
弦长.对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0a≠0，Δ＝b2－4ac≥0，|x1－x2|＝ Δ
|a| .
二、常用结论
中点弦所在直线的斜率
圆锥曲线以 P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率为 k，其中 k＝y1－y2
x1－x2
(x1≠x2)，(x1，
y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标.
圆锥曲线方程 直线斜率
椭圆：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0) k＝－b2x0
a2y0
双曲线：x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0) k＝b2x0
a2y0
抛物线：y2＝2px(p＞0) k＝p
y0
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系
[典例] 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F1(－
2,0)，且点 P(0,2)在 C1 上．
(1)求椭圆 C1 的方程；
(2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2：y2＝8x 相切，求直线 l 的方程．
[解] (1)根据椭圆的左焦点为 F1(－2,0)，知 a2－b2＝4，
又点 P(0,2)在椭圆上，故 b＝2，所以 a＝2 2，
所以椭圆 C1 的方程为x2
8
＋y2
4
＝1.
(2)因为直线 l 与椭圆 C1 和抛物线 C2 都相切，所以其斜率存在且不为 0.设直线 l 的方程
为 y＝kx＋m(k≠0)，代入椭圆方程整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，
由题可知此方程有唯一解，此时
Δ＝(4km)2－4×(1＋2k2)×(2m2－8)＝0，
即 m2＝8k2＋4.①
把 y＝kx＋m(k≠0)代入抛物线方程得 ky2－8y＋8m＝0，
由题可知此方程有唯一解，此时
Δ＝64－32km＝0，即 mk＝2.②
联立①②得 m2＝8k2＋4，
mk＝2，
解得 k2＝1
2.
所以
k＝ 2
2
，
m＝2 2，
或
k＝－ 2
2
，
m＝－2 2，
所以直线 l 的方程为 y＝ 2
2 x＋2 2或 y＝－ 2
2 x－2 2.
[题组训练]
1．若直线 y＝kx－1 与双曲线 x2－y2＝4 始终有公共点，则 k 的取值范围是________．
解析：由 x2－y2＝4，
y＝kx－1，
得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，当 1－k2＝0，即 k＝±1 时，显然符合
条件；当 1－k2≠0 时，由Δ＝20－16k2≥0，得－ 5
2
≤k≤ 5
2
且 k≠±1.所以直线 y＝kx－1 与
双曲线 x2－y2＝4 始终有公共点时，k 的取值范围为 － 5
2
， 5
2 .
答案： － 5
2
， 5
2
2．已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：x2
4
＋y2
2
＝1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点．
解：将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组
y＝2x＋m，①
x2
4
＋y2
2
＝1 ②
将①代入②，整理得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0. ③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3 20，
x2>0.
由 y＝kx－2，
y2＝2x，
得 ky2－2y－4k＝0，
所以 y1＋y2＝2
k
，y1y2＝－4.
直线 BM，BN 的斜率之和为
kBM＋kBN＝ y1
x1＋2
＋ y2
x2＋2
＝x2y1＋x1y2＋2y1＋y2
x1＋2x2＋2 .①
将 x1＝y1
k
＋2，x2＝y2
k
＋2 及 y1＋y2，y1y2 的表达式代入①式分子，
可得 x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝2y1y2＋4ky1＋y2
k
＝－8＋8
k
＝0.
所以 kBM＋kBN＝0，可知 BM，BN 的倾斜角互补，
所以∠ABM＝∠ABN.
综上，∠ABM＝∠ABN 成立．
[解题技法]
圆锥曲线中证明问题的类型及解题策略
(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位
置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直
线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．
(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，
通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．
[对点训练]
设椭圆 E 的方程为x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为(a,0)，点 B
的坐标为(0，b)，点 M 在线段 AB 上，满足|BM|＝2|MA|，直线 OM 的斜率为 5
10.
(1)求 E 的离心率 e；
(2)设点 C 的坐标为(0，－b)，N 为线段 AC 的中点，证明：MN⊥AB.
解：(1)由题设条件知，点 M 的坐标为
2
3a，1
3b ，
又 kOM＝ 5
10
，从而 b
2a
＝ 5
10.
进而得 a＝ 5b，c＝ a2－b2＝2b，故 e＝c
a
＝2 5
5 .
(2)证明：由 N 是 AC 的中点知，点 N 的坐标为
a
2
，－b
2 ，可得 NM
―→＝
a
6
，5b
6 .又 AB
―→＝(－
a，b)，
从而有 AB
―→
· NM
―→＝－1
6a2＋5
6b2＝1
6(5b2－a2)．
由(1)可知 a2＝5b2，
所以 AB
―→
· NM
―→＝0，故 MN⊥AB.
[课时跟踪检测]
A 级
1．已知抛物线 C：x2＝2py(p＞0)，若直线 y＝2x 被抛物线所截得的弦长为 4 5，则抛
物线 C 的方程为( )
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．x2＝2y D．x2＝y
解析：选 C 联立 x2＝2py，
y＝2x，
解得 x＝0，
y＝0
或 x＝4p，
y＝8p，
即两交点坐标分别为(0,0)
和(4p,8p)，则 4p2＋8p2＝4 5.∵p＞0，∴p＝1.故抛物线 C 的方程为 x2＝2y.故选 C.
2．若直线 x－y＋m＝0 与双曲线 x2－y2
2
＝1 交于不同的点 A，B，且线段 AB 的中点在圆
x2＋y2＝5 上，则 m 的值为( )
A．± 2 B．±2
C．±1 D．± 3
解析：选 C 设 A，B 两点的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段 AB 的中点为 M(x0，
y0)．由
x2－y2
2
＝1，
x－y＋m＝0，
得 x2－2mx－m2－2＝0(Δ＞0)，∴x0＝x1＋x2
2
＝m，y0＝x0＋m＝2m，
∵点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＝5 上，∴m2＋(2m)2＝5，∴m＝±1.
3．若直线 mx＋ny＝4 和圆 O：x2＋y2＝4 没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆x2
9
＋y2
4
＝
1 的交点个数为( )
A．至多一个 B．2
C．1 D．0
解析：选 B 因为直线 mx＋ny＝4 和圆 O：x2＋y2＝4 没有交点，所以 4
m2＋n2
＞2，所
以 m2＋n2＜4.所以m2
9
＋n2
4
＜m2
9
＋4－m2
4
＝1－ 5
36m2≤1，所以点(m，n)在椭圆x2
9
＋y2
4
＝1 的内部，
所以过点(m，n)的直线与椭圆x2
9
＋y2
4
＝1 的交点有 2 个．
4．过点 P(2,2)作直线与双曲线x2
4
－y2＝1 交于 A，B 两点，使点 P 为 AB 中点，则这样
的直线( )
A．存在一条，且方程为 x－4y＋6＝0
B．存在无数条
C．存在两条，方程为 x－4y＋6＝0 或 x＋4y－10＝0
D．不存在
解析：选 A 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝4，y1＋y2＝4，且有
x21
4
－y21＝1，
x22
4
－y22＝1，
两式相减得x1－x2x1＋x2
4
－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，所以y1－y2
x1－x2
＝1
4
，即直线 AB 的斜率 k＝1
4
，
故所求直线方程为 y－2＝1
4(x－2)，即 x－4y＋6＝0.
联立直线 AB 和双曲线方程得，3y2－12y＋8＝0，Δ＝(－12)2－4×3×8＝48＞0，故该直
线存在．
5．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线 C：x2
3
－y2＝1，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F
的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M，N.若△OMN 为直角三角形，则|MN|＝( )
A.3
2 B．3
C．2 3 D．4
解析：选 B 法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为 y＝
± 1
3
x.设两条渐近线的夹角为 2α，则有 tan α＝ 1
3
＝ 3
3
，所以α＝30°.
所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称
性，不妨设 MN⊥ON，如图所示．
在 Rt△ONF 中，|OF|＝2，则|ON|＝ 3.
在 Rt△OMN 中，|MN|＝|ON|·tan 2α＝ 3·tan 60°＝3.故选 B.
法二：因为双曲线x2
3
－y2＝1 的渐近线方程为 y＝± 3
3 x，所以∠MON＝60°.不妨设过点 F
的直线与直线 y＝ 3
3 x 交于点 M，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则 ∠
MFO＝60°，又直线 MN 过点 F(2,0)，所以直线 MN 的方程为 y＝－ 3(x－2)，
由
y＝－ 3x－2，
y＝ 3
3 x， 得
x＝3
2
，
y＝ 3
2
，
所以 M
3
2
， 3
2 ，所以|OM|＝
3
2 2＋
3
2 2＝ 3，
所以|MN|＝ 3|OM|＝3，故选 B.
6．若直线 y＝5
2x＋b 和曲线 4x2－y2＝36 有两个不同的交点，则 b 的取值范围是
________．
解析：联立直线方程和曲线方程，消去 y 得，9
4x2＋5bx＋b2＋36＝0，因为直线和曲线有
两个不同的交点，所以Δ＝25b2－9(b2＋36)＞0，解得 b＜－9
2
或 b＞9
2.
答案： －∞，－9
2 ∪
9
2
，＋∞
7．经过抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点 F 且倾斜角为π
6
的直线交 C 于 M，N 两点，O
为坐标原点，若△OMN 的面积为9
4
，则抛物线的方程为________．
解析：法一：直线 MN 的方程为 y＝ 3
3
x－p
2 ，即 y＝ 3
3 x－ 3p
6
，代入 y2＝2px 整理得
y2－2 3py－p2＝0，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 y1＋y2＝2 3p，y1y2＝－p2，S△OMN＝1
2|OF||y1
－y2|＝1
2·|OF| y1＋y22－4y1y2＝1
2
×p
2
× 2 3p2－4－p2＝9
4
，即 p2＝9
4
，得 p＝3
2
，故抛物线
的方程为 y2＝3x.
法二：直线 MN 的方程为 y＝ 3
3
x－p
2 ，即 y＝ 3
3 x－ 3p
6
，代入 y2＝2px 整理得 1
3x2－ 7
3px
＋ 1
12p2＝0，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝7p，|MN|＝x1＋x2＋p＝7p＋p＝8p，又原点
O(0,0)到直线 MN 的距离 d＝
3
6 p
2
3
＝p
4
，∴S△OMN＝1
2|MN|d＝1
2
×8p×p
4
＝9
4
，即 p2＝9
4
，得 p＝3
2
，
故抛物线的方程为 y2＝3x.
答案：y2＝3x
8．设直线 l：2x＋y＋2＝0 关于原点对称的直线为 l′，若 l′与椭圆 x2＋y2
4
＝1 的交点
为 A，B，点 P 为椭圆上的动点，则使△PAB 的面积为1
2
的点 P 的个数为________．
解析：易知直线 l′的方程为 2x＋y－2＝0，联立
x2＋y2
4
＝1，
2x＋y－2＝0，
解得交点分别为椭
圆顶点(1,0)和(0,2)，则|AB|＝ 5，由△PAB 的面积为1
2
，得点 P 到直线 AB 的距离为 5
5
，而平
面上到直线 2x＋y－2＝0 的距离为 5
5
的点都在直线 2x＋y－1＝0 和 2x＋y－3＝0 上，而直线
2x＋y－1＝0 与椭圆相交，2x＋y－3＝0 与椭圆相离，∴满足题意的点 P 有 2 个．
答案：2
9．已知点 A，B 的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜
率之积为－2.
(1)求动点 M 的轨迹方程；
(2)若过点 N
1
2
，1 的直线 l 交动点 M 的轨迹于 C，D 两点，且 N 为线段 CD 的中点，
求直线 l 的方程．
解：(1)设 M(x，y)，因为 kAM·kBM＝－2，
所以 y
x＋1
· y
x－1
＝－2(x≠±1)，
化简得 2x2＋y2＝2(x≠±1)，即为动点 M 的轨迹方程．
(2)设 C(x1，y1)，D(x2，y2)．
法一：当直线 l⊥x 轴时，直线 l 的方程为 x＝1
2
，则 C
1
2
， 6
2 ，D
1
2
，－ 6
2 ，此时 CD
的中点不是 N，不符合题意．
故设直线 l 的方程为 y－1＝k x－1
2 ，
将 C(x1，y1)，D(x2，y2)代入 2x2＋y2＝2(x≠±1)得
2x21＋y21＝2，
2x22＋y22＝2，
两式相减，整理得 k＝y1－y2
x1－x2
＝－2x1＋x2
y1＋y2
＝－
2×2×1
2
2×1
＝－1，
∴直线 l 的方程为 y－1＝－1× x－1
2 ，
即所求直线 l 的方程为 2x＋2y－3＝0.
法二：当直线 l⊥x 轴时，直线 l 的方程为 x＝1
2
，则 C
1
2
， 6
2 ，D
1
2
，－ 6
2 ，此时 CD
的中点不是 N，不符合题意．
故设直线 l 的方程为 y－1＝k x－1
2 ，
将其代入 2x2＋y2＝2(x≠±1)，
化简得(2＋k2)x2＋2k 1－k
2 x＋ 1－k
2 2－2＝0(x≠±1)，
所以Δ＝4k2 1－k
2 2－4(2＋k2) 1－k
2 2－2 ＞0，①
则 x1＋x2＝－2k 1－k
2
2＋k2
，
又由 N 为线段 CD 的中点，得x1＋x2
2
＝－k 1－k
2
2＋k2
＝1
2
，解得 k＝－1，
将 k＝－1 代入①中可知满足条件．
此时直线 l 的方程为 y－1＝－1× x－1
2 ，
即所求直线 l 的方程为 2x＋2y－3＝0.
10．(2019·合肥调研)已知椭圆 E：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)经过点 P 3，1
2 ，左焦点为
F(－ 3，0)．
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)若 A 是椭圆 E 的右顶点，过点 F 且斜率为1
2
的直线交椭圆 E 于 M，N 两点，求△AMN
的面积．
解：(1)由题意得椭圆 E 的右焦点为( 3，0)，即 c＝ 3，
则由椭圆的定义得 3＋ 32＋1
4
＋1
2
＝2a，解得 a＝2.
又 c＝ 3，∴b2＝a2－c2＝1，
∴椭圆 E 的方程为x2
4
＋y2＝1.
(2)过 F(－ 3，0)且斜率为1
2
的直线的方程为 y＝1
2(x＋ 3)，联立
y＝1
2
x＋ 3，
x2
4
＋y2＝1
消去
x，得 8y2－4 3y－1＝0，显然Δ＞0，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则
y1＋y2＝ 3
2
，
y1y2＝－1
8
，
∴|y1－y2|＝ 5
2
，
∵A 是椭圆 E 的右顶点，∴|AF|＝2＋ 3，
∴△AMN 的面积 S＝1
2|AF|·|y1－y2|＝1
2
×(2＋ 3)× 5
2
＝2 5＋ 15
4 .
B 级
1．(2019·南昌调研)已知椭圆 C：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)的离心率为 3
2
，短轴长为 2.
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)设直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 交于 M，N 两点，O 为坐标原点，若 kOM·kON＝5
4
，求证：
点(m，k)在定圆上．
解：(1)由已知得 e＝c
a
＝ 3
2
，2b＝2，
又 a2－b2＝c2，∴b＝1，a＝2，
∴椭圆 C 的标准方程为x2
4
＋y2＝1.
(2)证明：设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
y＝kx＋m，
x2
4
＋y2＝1 消去 y，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
依题意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)＞0，
化简得 m2＜4k2＋1，①
x1＋x2＝－ 8km
4k2＋1
，x1x2＝4m2－4
4k2＋1
，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.
若 kOM·kON＝5
4
，则y1y2
x1x2
＝5
4
，即 4y1y2＝5x1x2，
∴4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝5x1x2，
∴(4k2－5)·4m2－1
4k2＋1
＋4km·
－ 8km
4k2＋1 ＋4m2＝0，
即(4k2－5)(m2－1)－8k2m2＋m2(4k2＋1)＝0，
化简得 m2＋k2＝5
4
，②
由①②得 0≤m2＜6
5
， 1
20
＜k2≤5
4
，
∴点(m，k)在定圆 x2＋y2＝5
4
上．
2．已知椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)经过点(0,1)，离心率为 3
2
，左、右焦点分别为 F1(－c,0)，
F2(c,0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线 l：y＝2x＋m 与椭圆交于 A，B 两点，与以 F1F2 为直径的圆交于 C，D 两点，
且满足|AB|
|CD|
＝20 3
51
，求直线 l 的方程．
解：(1)由题设知
b＝1，
c
a
＝ 3
2
，
b2＝a2－c2，
解得
a＝2，
b＝1，
c＝ 3，
所以椭圆的方程为x2
4
＋y2＝1.
(2)由题设知，以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2＋y2＝3，
所以圆心到直线 l 的距离 d＝|m|
5
，
由 d＜ 3得|m|＜ 15.
所以|CD|＝2 3－d2＝ 2
5
15－m2.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
y＝2x＋m，
x2
4
＋y2＝1 消去 y，得 17x2＋16mx＋4m2－4＝0，
则 x1＋x2＝－16m
17
，x1x2＝4m2－4
17
，
所以|AB|＝ 1＋22|x1－x2|＝4 5
17 17－m2，
由|AB|
|CD|
＝20 3
51
，得 17－m2
15－m2
＝2 3
3
，
解得 m＝±3，满足|m|＜ 15.
所以直线 l 的方程为 y＝2x＋3 或 y＝2x－3.
第十节 圆锥曲线中的最值、范围问题
考点一 构造函数求最值
[典例] (2019·安徽知名示范高中联考)已知椭圆 C：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线 xsin θ＋ycos θ－1＝0 相切(θ为常数)．
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)若椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 作直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，求F1M
―→
·F1N
―→
的最大值．
[解] (1)由题意，得
e＝c
a
＝ 2
2
，
1
sin2θ＋cos2θ
＝c，
a2＝b2＋c2，
解得
c＝1，
a2＝2，
b2＝1，
故椭圆 C 的标准方程为x2
2
＋y2＝1.
(2)由(1)得 F1(－1,0)，F2(1,0)．
①若直线 l 的斜率不存在，则直线 l⊥x 轴，直线 l 的方程为 x＝1，不妨记 M 1， 2
2 ，
N 1，－ 2
2 ，
∴F1M
―→＝ 2， 2
2 ，F1N
―→＝ 2，－ 2
2 ，
故F1M
―→
·F1N
―→＝7
2.
②若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，
由
y＝kx－1，
x2
2
＋y2＝1 消去 y 得，(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则 x1＋x2＝ 4k2
1＋2k2
，x1x2＝2k2－2
1＋2k2.
又F1M
―→＝(x1＋1，y1)，F1N
―→＝(x2＋1，y2)，
则F1M
―→
·F1N
―→＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2
＝(x1＋1)(x2＋1)＋k(x1－1)·k(x2－1)
＝(1＋k2)x1x2＋(1－k2)(x1＋x2)＋1＋k2
＝2k4－1
2k2＋1
＋4k2－4k4
2k2＋1
＋1＋k2
＝7k2－1
2k2＋1
＝7
2
－ 9
22k2＋1
，
由 k2≥0，可得F1M
―→
·F1N
―→∈ －1，7
2 .
综上，F1M
―→
·F1N
―→的最大值为7
2.
[对点训练]
(2018·湘潭调研)已知椭圆 E：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)经过点 1，3
2 ，离心率为1
2.
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)设点 A，F 分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点 F 作直线交椭圆于 C，D 两点，求
四边形 OCAD 面积的最大值(O 为坐标原点)．
解：(1)由题设得
1
a2
＋ 9
4b2
＝1，
c
a
＝1
2
，
a2＝b2＋c2，
解得
a＝2，
b＝ 3，
c＝1.
故椭圆 E 的方程为x2
4
＋y2
3
＝1.
(2)由(1)知，F(1,0)，A(2,0)，设直线 CD 的方程为 x＝ky＋1，与椭圆方程x2
4
＋y2
3
＝1 联立
得(3k2＋4)y2＋6ky－9＝0，设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，
∴y1＋y2＝－ 6k
3k2＋4
，y1y2＝－ 9
3k2＋4
.
∴S 四边形 OCAD＝S△OCA＋S△ODA
＝1
2
×2×|y1|＋1
2
×2×|y2|
＝|y1－y2|＝ y1＋y22－4y1y2
＝12 k2＋1
3k2＋4
.
设 t＝ k2＋1(t≥1)，
则 S 四边形 OCAD＝ 12t
3t2＋1
＝ 12
3t＋1
t
.
∵当 t≥1 时，y＝3t＋1
t
单调递增，∴3t＋1
t
≥4(当 t＝1 时取等号)，
∴S 四边形 OCAD≤3(当 k＝0 时取等号)，即四边形 OCAD 面积的最大值为 3.
考点二 寻找不等关系解范围
[典例] 已知点 A，B 分别为椭圆 E：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，点 P(0，－2)，
直线 BP 交 E 于点 Q， PQ―→＝3
2
QB
―→，且△ABP 是等腰直角三角形．
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)设过点 P 的动直线 l 与 E 相交于 M，N 两点，当坐标原点 O 位于以 MN 为直径的圆
外时，求直线 l 斜率的取值范围．
[解] (1)由△ABP 是等腰直角三角形，知 a＝2，B(2,0)．
设 Q(x0，y0)，由 PQ―→＝3
2
QB
―→，得 x0＝6
5
，y0＝－4
5
，
代入椭圆方程，解得 b2＝1，
∴椭圆 E 的方程为x2
4
＋y2＝1.
(2)由题意可知，直线 l 的斜率存在，设方程为 y＝kx－2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由
y＝kx－2，
x2
4
＋y2＝1 消去 y，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，
则 x1＋x2＝ 16k
1＋4k2
，x1x2＝ 12
1＋4k2.
由直线 l 与 E 有两个不同的交点 ，得Δ＞0，
则(－16k)2－4×12×(1＋4k2)＞0，解得 k2＞3
4.①
由坐标原点 O 位于以 MN 为直径的圆外，
则 OM
―→
· ON
―→＞0，即 x1x2＋y1y2＞0，
则 x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)· 12
1＋4k2
－2k· 16k
1＋4k2
＋4＞0，
解得 k2＜4.②
联立①②可知3
4
＜k2＜4，
解得－2＜k＜－ 3
2
或 3
2
＜k＜2，
故直线 l 斜率的取值范围为 －2，－ 3
2 ∪
3
2
，2 .
[解题技法] 范围问题的解题策略
解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系，
其方法有：
(1)利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围；
(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间
建立相等关系；
(3)利用隐含的不等关系，从而求出所求范围；
(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出所求范围；
(5)利用函数值域的求法，确定所求范围．
[对点训练]
已知 A，B 分别为曲线 C：x2
a2
＋y2＝1(y≥0，a＞0)与 x 轴的左、右两个交点，直线 l
过点 B 且与 x 轴垂直，M 为 l 上位于 x 轴上方的一点，连接 AM 交曲线 C 于点 T.
(1)若曲线 C 为半圆，点 T 为 AB 的三等分点，试求出点 M 的坐标．
(2)若 a＞1，S△MAB＝2，当△TAB 的最大面积为4
3
时，求椭圆的离心率的取值范围．
解：(1)当曲线 C 为半圆时，得 a＝1.
由点 T 为 AB 的三等分点，得∠BOT＝60°或 120°.
当∠BOT＝60°时，∠MAB＝30°，又|AB|＝2，
故△MAB 中，有|MB|＝|AB|·tan 30°＝2 3
3
，
所以 M 1，2 3
3 .
当∠BOT＝120°时，同理可求得点 M 坐标为(1,2 3)．
综上，点 M 的坐标为 1，2 3
3 或(1,2 3)．
(2)设直线 AM 的方程为 y＝k(x＋a)，则 k＞0，|MB|＝2ka，
所以 S△MAB＝1
2·2a·2ka＝2，所以 k＝ 1
a2
，
代入直线方程得 y＝ 1
a2(x＋a)，
联立
y＝ 1
a2x＋a，
x2
a2
＋y2＝1，
解得 yT＝ 2a
a2＋1
，
所以 S△TAB＝1
2·2a· 2a
a2＋1
＝ 2a2
a2＋1
≤4
3
，
解得 1＜a2≤2.
所以椭圆的离心率 e＝ 1－ 1
a2
≤ 2
2
，
即椭圆的离心率的取值范围为 0， 2
2 .
[课时跟踪检测]
1.(2018·浙江高考)如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛
物线 C：y2＝4x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上．
(1)设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴；
(2)若 P 是半椭圆 x2＋y2
4
＝1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范
围．
解：(1)证明：设 P(x0，y0)，A
1
4y21，y1 ，B
1
4y22，y2 .
因为 PA，PB 的中点在抛物线上，
所以 y1，y2 为方程
y＋y0
2 2＝4·
1
4y2＋x0
2
，
即 y2－2y0y＋8x0－y20＝0 的两个不同的实根．
所以 y1＋y2＝2y0，
因此 PM 垂直于 y 轴．
(2)由(1)可知 y1＋y2＝2y0，
y1y2＝8x0－y20，
所以|PM|＝1
8(y21＋y22)－x0＝3
4y20－3x0，
|y1－y2|＝2 2y20－4x0.
因此△PAB 的面积 S△PAB＝1
2|PM|·|y1－y2|＝3 2
4 (y20－4x0)
3
2 .
因为 x20＋y20
4
＝1(x0<0)，
所以 y20－4x0＝－4x20－4x0＋4∈[4,5]，
所以△PAB 面积的取值范围是 6 2，15 10
4 .
2．(2019·唐山模拟)已知椭圆Γ：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)，经过点 E 3，1
2 ，且离心率为 3
2 .
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)直线 l 与圆 O：x2＋y2＝b2 相切于点 M，且与椭圆Γ相交于不同的两点 A，B，求|AB|
的最大值．
解：(1)将 E 3，1
2 代入椭圆方程，得 3
a2
＋ 1
4b2
＝1，
由椭圆的离心率 e＝c
a
＝ a2－b2
a
＝ 3
2
，解得 a＝2，b＝1，
所以椭圆Γ的方程为x2
4
＋y2＝1.
(2)当直线 l 垂直于 x 轴时，由直线 l 与圆 O：x2＋y2＝1 相切，可知直线 l 的方程为 x＝
±1，易求得|AB|＝ 3.
当直线 l 不垂直于 x 轴时，设直线 l 的方程为 y＝kx＋m，由直线 l 与圆 O：x2＋y2＝1 相
切，
得 |m|
k2＋1
＝1，即 m2＝k2＋1.
将 y＝kx＋m 代入x2
4
＋y2＝1，整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x1＋x2＝－8km
1＋4k2
，x1x2＝4m2－4
1＋4k2
，
故|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|
＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
＝ 1＋k2·
－8km
1＋4k2 2－16m2－16
1＋4k2
＝4 1＋k2 1＋4k2－m2
1＋4k2 .
又因为 m2＝k2＋1，
所以|AB|＝4 3|k| k2＋1
1＋4k2
≤23k2＋k2＋1
1＋4k2
＝2，
当且仅当 3|k|＝ k2＋1，即 k＝± 2
2
时等号成立．
综上所述，|AB|的最大值为 2.
3．已知点 F 为椭圆 E：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一
个等边三角形，直线x
4
＋y
2
＝1 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M.
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)设直线x
4
＋y
2
＝1 与 y 轴交于 P，过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，若
λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围．
解：(1)由题意，得 a＝2c，b＝ 3c，
则椭圆 E 的方程为 x2
4c2
＋ y2
3c2
＝1.
由
x2
4
＋y2
3
＝c2，
x
4
＋y
2
＝1
得 x2－2x＋4－3c2＝0.
∵直线x
4
＋y
2
＝1 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M，
∴Δ＝4－4(4－3c2)＝0，解得 c2＝1，
∴椭圆 E 的方程为x2
4
＋y2
3
＝1.
(2)由(1)得 M 1，3
2 ，
∵直线x
4
＋y
2
＝1 与 y 轴交于 P(0,2)，
∴|PM|2＝5
4.
当直线 l 与 x 轴垂直时，
|PA|·|PB|＝(2＋ 3)×(2－ 3)＝1，
∴λ|PM|2＝|PA|·|PB|⇒λ＝4
5.
当直线 l 与 x 轴不垂直时，
设直线 l 的方程为 y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由 y＝kx＋2，
3x2＋4y2－12＝0
消去 y，得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，
则 x1x2＝ 4
3＋4k2
，且Δ＝48(4k2－1)>0，
∴|PA|·|PB|＝(1＋k2)x1x2
＝(1＋k2)· 4
3＋4k2
＝1＋ 1
3＋4k2
＝5
4λ，
∴λ＝4
5
1＋ 1
3＋4k2 ，
∵k2>1
4
，∴4
5<λ<1.
综上可知，实数λ的取值范围是
4
5
，1 .
4．(2018·郑州二模)已知动圆 E 经过点 F(1,0)，且和直线 l：x＝－1 相切．
(1)求该动圆圆心 E 的轨迹 G 的方程；
(2)已知点 A(3,0)，若斜率为 1 的直线 l′与线段 OA 相交(不经过坐标原点 O 和点 A)，且
与曲线 G 交于 B，C 两点，求△ABC 面积的最大值．
解：(1)由题意可知点 E 到点 F 的距离等于点 E 到直线 l 的距离，∴动点 E 的轨迹是以
F(1,0)为焦点，直线 x＝－1 为准线的抛物线，
故轨迹 G 的方程是 y2＝4x.
(2)设直线 l′的方程为 y＝x＋m，其中－3＜m＜0.
联立 y＝x＋m，
y2＝4x
消去 y，得 x2＋(2m－4)x＋m2＝0，
则Δ＝(2m－4)2－4m2＝16(1－m)恒大于零．
设 C(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x1＋x2＝4－2m，x1·x2＝m2，
∴|CB|＝ 2· x1＋x22－4x1x2＝4 21－m.
又点 A 到直线 l′的距离 d＝3＋m
2
，
∴S△ABC＝1
2
×4 21－m×3＋m
2
＝2 1－m×(3＋m)．
令 1－m＝t，t∈(1,2)，则 m＝1－t2，
∴S△ABC＝2t(4－t2)＝8t－2t3.
令 f(t)＝8t－2t3,1＜t＜2，∴f′(t)＝8－6t2，
易知 y＝f(t)在 1， 2
3 上单调递增，在
2
3
，2 上单调递减．
∴y＝f(t)在 t＝ 2
3
，即 m＝－1
3
时取得最大值32 3
9 .
∴△ABC 面积的最大值为32 3
9
第十一节 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题
考点一 巧妙消元证定值
[典例] (2018·北京高考)已知抛物线 C：y2＝2px 经过点 P(1,2)，过点 Q(0,1)的直线 l 与
抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N.
(1)求直线 l 的斜率的取值范围；
(2)设 O 为原点，QM
―→＝λ QO
―→， QN
―→＝μ QO
―→，求证：1
λ
＋1
μ
为定值．
[解] (1)因为抛物线 y2＝2px 过点(1,2)，
所以 2p＝4，即 p＝2.
故抛物线 C 的方程为 y2＝4x.
由题意知，直线 l 的斜率存在且不为 0.
设直线 l 的方程为 y＝kx＋1(k≠0)，
由 y2＝4x，
y＝kx＋1，
得 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.
依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，
解得 k<0 或 06.635，所以有 99%的把握认为两种生产方式的效
率有差异．
[解题技法]
2 个明确
(1)明确两类主体；
(2)明确研究的两个问题
2 个关键
(1)准确画出 2×2 列联表；
(2)准确求解 K2
3 个步骤
(1)根据样本数据制成 2×2 列联表；
(2)根据公式 K2＝ nad－bc2
a＋bc＋da＋cb＋d
，计算 K2 的值；
(3)查表比较 K2 与临界值的大小关系，作统计判断
[题组训练]
1．(2019·沧州模拟)某班主任对全班 50 名学生进行了作业量的调查，数据如表：
认为作业量大 认为作业量不大 总计
男生 18 9 27
女生 8 15 23
总计 26 24 50
已知 P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025，P(K2≥6.635)≈0.010.
则________(填“有”或“没有”)97.5%的把握认为“学生的性别与认为作业量大
有关”．
解析：因为 K2＝50×18×15－8×92
26×24×27×23
≈5.059＞5.024，
所以有 97.5%的把握认为“学生的性别与认为作业量大有关”．
答案：有
2．为考察某种疫苗预防疾病的效果，进行动物试验，得到统计数据如下：
未发病 发病 总计
未注射疫苗 20 x A
注射疫苗 30 y B
总计 50 50 100
现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为2
5.
(1)求 2×2 列联表中的数据 x，y，A，B 的值．
(2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否影响到了发病率？
(3)能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为疫苗有效？
附：K2＝ nad－bc2
a＋bc＋da＋cb＋d
，n＝a＋b＋c＋d.
临界值表：
P(K2≥k0) 0.05 0.01 0.005 0.001
k0 3.841 6.635 7.879 10.828
解：(1)设“从所有试验动物中任取一只，取到‘注射疫苗’动物”为事件 M，
由已知得 P(M)＝y＋30
100
＝2
5
，
所以 y＝10，则 B＝40，x＝40，A＝60.
(2)未注射疫苗发病率为40
60
＝2
3
≈0.67，
注射疫苗发病率为10
40
＝1
4
＝0.25.
发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到了发病率．
(3)因为 K2＝100×20×10－40×302
60×40×50×50
≈16.67＞10.828.
所以能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为疫苗有效．
[课时跟踪检测]
A 级
1．对变量 x，y 有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图①，对变量 u，v 有
观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图②.由这两个散点图可以判断( )
A．变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关
B．变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关
C．变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关
D．变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关
解析：选 C 由散点图可得两组数据均线性相关，且图①的线性回归方程斜率为负，图
②的线性回归方程斜率为正，则由散点图可判断变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关．
2．(2019·长沙模拟)为了解某社区居民购买水果和牛奶的年支出费用与购买食品的年支
出费用的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计表：
购买食品的年支出
费用 x/万元 2.09 2.15 2.50 2.84 2.92
购买水果和牛奶的
年支出费用 y/万元 1.25 1.30 1.50 1.70 1.75
根据上表可得回归方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝0.59，a^＝ y －b^ x ，据此估计，该社区一
户购买食品的年支出费用为 3.00 万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为( )
A．1.795 万元 B．2.555 万元
C．1.915 万元 D．1.945 万元
解析：选 A x ＝1
5
×(2.09＋2.15＋2.50＋2.84＋2.92)＝2.50(万元)，y ＝1
5
×(1.25＋1.30
＋1.50＋1.70＋1.75)＝1.50(万元)，其中b^＝0.59，则a^＝ y －b^ x ＝0.025，y^＝0.59x＋0.025，
故年支出费用为 3.00 万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为y^＝0.59×3.00＋0.025＝
1.795(万元)．
3．下面四个命题中，错误的是( )
A．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 15 分钟从中抽取一件产品进行某项指
标检测，这样的抽样是系统抽样
B．对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2 的观测值 k 来说，k 越大，“X 与 Y 有关系”的把
握程度越大
C．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于 0
D．在回归直线方程y^＝0.4x＋12 中，当解释变量 x 每增加一个单位时，预报变量平均
增加 0.4 个单位
解析：选 C 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于 1，故 C
错误．
4．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问 100 名性别
不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：
做不到“光盘” 能做到“光盘”
男 45 10
女 30 15
则下面的正确结论是( )
附表及公式：
P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
K2＝ nad－bc2
a＋bc＋da＋cb＋d
，n＝a＋b＋c＋d.
A．有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无
关”
C．在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有
关”
D．有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
解析：选 A 由列联表得到 a＝45，b＝10，c＝30，d＝15，则 a＋b＝55，c＋d＝45，a
＋c＝75，b＋d＝25，ad＝675，bc＝300，n＝100，计算得 K2 的观测值 k＝
nad－bc2
a＋bc＋da＋cb＋d
＝100×675－3002
55×45×75×25
≈3.030.因为 2.706<3.030<3.841，
所以有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．
5．为了研究工人的日平均工作量是否与年龄有关，从某工厂抽取了 100 名工人，且规
定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”，列出的 2×2 列联表如下：
生产能手 非生产能手 总计
25 周岁以上 25 35 60
25 周岁以下 10 30 40
总计 35 65 100
有________以上的把握认为“工人是否为‘生产能手’与工人的年龄有关”．
解析：由 2×2 列联表可知，K2＝100×25×30－10×352
40×60×35×65
≈2.93，因为 2.93>2.706，所
以有 90%以上的把握认为“工人是否为‘生产能手’与工人的年龄有关”．
答案：90%
6．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存
款(年底余额)如下表：
年份 2014 2015 2016 2017 2018
时间代号 t 1 2 3 4 5
储蓄存款 y
(千亿元)
5 6 7 8 10
则 y 关于 t 的回归方程是________________．
解析：由表中数据得 n＝5， t ＝1
n
错误!i＝15
5
＝3， y ＝1
n
错误!i＝36
5
＝7.2.
又错误!2i －n t 2＝55－5×32＝10，
错误!iyi－n t y ＝120－5×3×7.2＝12.
从而b^＝错误!＝12
10
＝1.2，
a^＝ y －b^ t ＝7.2－1.2×3＝3.6，
故所求回归方程为y^＝1.2t＋3.6.
答案：y^＝1.2t＋3.6
7．某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定
此次广告费支出．广告费支出 x(万元)和销售量 y(万台)的数据如下：
年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
广告费支
出 x
1 2 4 6 11 13 19
销售量 y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4
(1)若用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，求出 y 关于 x 的线性回归方程；
(2)若用 y＝c＋d x模型拟合 y 与 x 的关系，可得回归方程y^＝1.63＋0.99 x，经计算线
性回归模型和该模型的 R2 分别约为 0.75 和 0.88，请用 R2 说明选择哪个回归模型更好；
(3)已知利润 z 与 x，y 的关系为 z＝200y－x.根据(2)的结果，求当广告费 x＝20 时，销售
量及利润的预报值．
参考公式：回归直线y^＝a^＋b^x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
b^＝错误!＝错误!，a^＝ y －b^ x .
参考数据： 5≈2.24.
解：(1)∵ x ＝8， y ＝4.2，错误!iyi＝279.4，错误!2i ＝708，
∴b^＝错误!＝279.4－7×8×4.2
708－7×82
＝0.17，a^＝ y －b^ x ＝4.2－0.17×8＝2.84，
∴y 关于 x 的线性回归方程为y^＝0.17x＋2.84.
(2)∵0.75＜0.88 且 R2 越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，
∴选用y^＝1.63＋0.99 x更好．
(3)由(2)知，当 x＝20 时，销售量的预报值y^＝1.63＋0.99 20≈6.07(万台)，利润的预报
值 z＝200×(1.63＋0.99 20)－20≈1 193.04(万元)．
B 级
1．(2018·江门一模)为探索课堂教学改革，江门某中学数学老师用“传统教学”和“导
学案”两种教学方式分别在甲、乙两个平行班进行教学实验．为了解教学效果，期末考试后，
分别从两个班级各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计，得到如下茎叶图．记成绩不低于 70
分者为“成绩优良”.
(1)请大致判断哪种教学方式的教学效果更佳，并说明理由；
(2)构造一个教学方式与成绩优良的 2×2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过
0.05 的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．
附：K2＝ nad－bc2
a＋bc＋da＋cb＋d
，其中 n＝a＋b＋c＋d.
临界值表：
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010
k0 2.706 3.841 5.024 6.635
解：(1)“导学案”教学方式教学效果更佳．
理由 1：乙班样本数学成绩大多在 70 分以上，甲班样本数学成绩 70 分以下的明显更多．
理由 2：甲班样本数学成绩的平均分为 70.2；乙班样本数学成绩的平均分为 79.05.
理由 3：甲班样本数学成绩的中位数为68＋72
2
＝70，乙班样本数学成绩的中位数为
77＋78
2
＝77.5.
(2)2×2 列联表如下：
甲班 乙班 总计
成绩优良 10 16 26
成绩不优良 10 4 14
总计 20 20 40
由上表数据可得 K2＝40×10×4－10×162
20×20×26×14
≈3.956＞3.841，
所以能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．
2.(2019·广州调研)某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各
类蔬菜．过去 50 周的资料显示，该地周光照量 X(单位：小时)都
在 30 小时以上，其中不足 50 小时的有 5 周，不低于 50 小时且不超过 70 小时的有 35 周，
超过 70 小时的有 10 周．根据统计，该基地的西红柿增加量 y(千克)与使用某种液体肥料的
质量 x(千克)之间的对应数据为如图所示的折线图．
(1)依据折线图计算相关系数 r(精确到 0.01)，并据此判断是否可用线性回归模型拟合 y
与 x 的关系；(若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)
(2)蔬菜大棚对光照要求较高，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但
每周光照控制仪运行台数受周光照量 X 限制，并有如下关系：
周光照量 X/小时 30＜X＜50 50≤X≤70 X＞70
光照控制仪运行台数 3 2 1
对商家来说，若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪产生的周利润为 3 000 元；若
某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损 1 000 元．若商家安装了 3 台光照控制仪，
求商家在过去 50 周的周总利润的平均值．
相关系数公式：r＝错误!，
参考数据： 0.3≈0.55， 0.9≈0.95.
解：(1)由已知数据可得 x ＝2＋4＋5＋6＋8
5
＝5，
y ＝3＋4＋4＋4＋5
5
＝4.
因为错误!(xi－ x )(yi－ y )＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6，
错误!＝ －32＋－12＋02＋12＋32＝2 5，
错误!＝ －12＋02＋02＋02＋12＝ 2，
所以相关系数 r＝错误!＝ 6
2 5× 2
＝ 0.9≈0.95.
因为|r|＞0.75，所以可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系．
(2)由条件可得在过去 50 周里，
当 X＞70 时，共有 10 周，此时只有 1 台光照控制仪运行，
每周的周总利润为 1×3 000－2×1 000＝1 000(元)．
当 50≤X≤70 时，共有 35 周，此时有 2 台光照控制仪运行，
每周的周总利润为 2×3 000－1×1 000＝5 000(元)．
当 30＜X＜50 时，共有 5 周，此时 3 台光照控制仪都运行，
每周的周总利润为 3×3 000＝9 000(元)．
所以过去 50 周的周总利润的平均值为
1 000×10＋5 000×35＋9 000×5
50
＝4 600(元)，
所以商家在过去 50 周的周总利润的平均值为 4 600 元．
第十一章 概 率
第一节 随机事件的概率
一、基础知识
1．事件的相关概念
2．频数、频率和概率
(1)频数、频率：在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次
试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)＝nA
n
为事件 A
出现的频率．
(2)概率：对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 fn(A)
稳定在某个常数上，把这个常数记作 P(A)，称为事件 A 的概率．
概率与频率的区别
①概率是一个确定的数，是客观存在的，与试验次数无关，它度量该事件发生的可能性．
②频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的事件的频率不一定
相同．
③频率是概率的近似值，在实际问题中，仅当试验次数足够多时，频率可近似地看作概率．
3．事件的关系与运算
名称 条件 结论 符号表示
包含关系 若 A 发生，则 B 一定发生
事件 B 包含事件 A(事件 A
包含于事件 B)
B⊇A(或 A⊆B)
相等关系 若 B⊇A 且 A⊇B 事件 A 与事件 B 相等 A＝B
并(和)事件 A 发生或 B 发生
事件 A 与事件 B 的并事件
(或和事件)
A∪B(或 A＋B)
交(积)事件 A 发生且 B 发生
事件 A 与事件 B 的交事件
(或积事件)
A∩B(或 AB)
互斥事件
▲
A∩B 为不可能事件 事件 A 与事件 B 互斥 A∩B＝∅
对立事件
▲
A∩B 为不可能事件，A∪
B 为必然事件
事件 A 与事件B 互为对立事
件
A∩B＝∅，P(A
∪B)＝1
▲对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是
对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.
4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率为 1 .
(3)不可能事件的概率为 0 .
(4)概率的加法公式：如果事件 A 与事件 B 互斥，
则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率：若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 A∪B 为必然事件，P(A∪B)
＝ 1 ，P(A)＝1－P(B)．
考点一 随机事件的关系
[典例] 一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上
抛掷 1 次，设事件 A 表示向上的一面出现奇数，事件 B 表示向上的一面出现的数字不超过 3，
事件 C 表示向上的一面出现的数字不小于 4，则( )
A．A 与 B 是互斥而非对立事件
B．A 与 B 是对立事件
C．B 与 C 是互斥而非对立事件
D．B 与 C 是对立事件
[解析] A∩B＝{出现点数 1 或 3}，故事件 A，B 不互斥也不对立；B∩C＝∅，B∪C＝
Ω(Ω为必然事件)，故事件 B，C 是对立事件．
[答案] D
[解题技法] 判断互斥事件、对立事件的 2 种方法
定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两
个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事
件为对立事件，对立事件一定是互斥事件
集合法
(1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件
互斥．
(2)事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合，是全集中由事
件 A 所含的结果组成的集合的补集
[题组训练]
1．(2019·西安模拟)如果事件 A 与 B 是互斥事件，则( )
A．A∪B 是必然事件
B. A 与 B 一定是互斥事件
C. A 与 B 一定不是互斥事件
D. A ∪ B 是必然事件
解析：选 D 事件 A 与 B 互斥即 A∩B 为不可能事件，所以 A ∪ B ＝ A∩B 是必然事
件，故选项 D 正确；在抛掷骰子试验中，A 表示向上的数字为 1，B 表示向上的数字为 2，A
∪B 不是必然事件，选项 A 错误； A 与 B 不一定是互斥事件，选项 B 错误；A 表示向上的
数字为奇数，B 表示向上的数字为偶数， A 与 B 是互斥事件，选项 C 错误．故选 D.
2．从装有两个白球和两个黄球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取 2 个球，以下给
出了三组事件：
①至少有 1 个白球与至少有 1 个黄球；
②至少有 1 个黄球与都是黄球；
③恰有 1 个白球与恰有 1 个黄球．
其中互斥而不对立的事件共有( )
A．0 组 B．1 组
C．2 组 D．3 组
解析：选 A 对于①，“至少有 1 个白球”发生时，“至少有 1 个黄球”也会发生，比
如恰好一个白球和一个黄球，故①中的两个事件不互斥．
对于②，“至少有 1 个黄球”说明有黄球，黄球的个数可能是 1 或 2，而“都是黄球”
说明黄球的个数是 2，故这两个事件不是互斥事件．
③“恰有 1 个白球”与“恰有 1 个黄球”，都表示取出的两个球中，一个是白球，另一
个是黄球．故不是互斥事件．
考点二 随机事件的频率与概率
[典例] 某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续
保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记 A 为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求 P(A)的估计值；
(2)记 B 为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”．求
P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
[解] (1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知，一年内出险次数
小于 2 的频率为60＋50
200
＝0.55，故 P(A)的估计值为 0.55.
(2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由所给数据知，一年内出险次
数大于 1 且小于 4 的频率为30＋30
200
＝0.3，故 P(B)的估计值为 0.3.
(3)由所给数据得
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查的 200 名续保人的平均保费为
0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a.
[变透练清]
1.变结论若本例的条件不变，试求“一续保人本年度的保费不低于基本保费”的概率
的估计值．
解：设事件“一续保人本年度的保费不低于基本保费”为 E，事件 E 对应于出险次数大
于或等于 1，由典例(3)知出险次数小于 1 的频率为 0.3，故一年内出险次数大于或等于 1 的
频率为 1－0.3＝0.7，故 P(E)的估计值为 0.7.
2.变结论若本例的条件不变，记 F 为事件：“一续保人本年度的保费等于基本保
费”．求 P(F)的估计值．
解：“一续保人本年度的保费等于基本保费”的事件 F 发生当且仅当一年内出险次数
等于 1，其频率为 0.25，故 P(F)的估计值为 0.25.
3．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1 534
石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为________
石(精确到小数点后一位数字)．
解析：依题意，这批米内夹谷约为 28
254
×1 534≈169.1 石．
答案：169.1
[解题技法]
随机事件的频率与概率的常见题型及解题策略
(1)补全或列出频率分布表．可直接依据已知条件，逐一计数，写出频率．
(2)由频率估计概率．可以根据频率与概率的关系，由频率直接估计概率．
(3)由频率估计某部分的数值．可由频率估计概率，再由概率估算某部分的数值．
考点三 互斥事件、对立事件的概率
[典例] 某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一
个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个．设 1 张奖券中特等奖、一等奖、
二等奖的事件分别为 A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1 张奖券的中奖概率；
(3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
[解] (1)P(A)＝ 1
1 000
，P(B)＝ 10
1 000
＝ 1
100
，
P(C)＝ 50
1 000
＝ 1
20.
故事件 A，B，C 的概率分别为 1
1 000
，1
100
， 1
20.
(2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1 张奖券中奖”这个事件为 M，
则 M＝A∪B∪C.
因为 A，B，C 两两互斥，
所以 P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝1＋10＋50
1 000
＝ 61
1 000.故 1 张奖券的中奖概率为 61
1 000.
(3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N，则事件 N 与“1 张奖券中特等奖
或中一等奖”为对立事件，
所以 P(N)＝1－P(A∪B)＝1－
1
1 000
＋ 1
100 ＝ 989
1 000.
故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 989
1 000.
[题组训练]
1．口袋中有 100 个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球 45 个，从口袋中摸出一个
球，摸出白球的概率为 0.23，则摸出黑球的概率为( )
A．0.45 B．0.67
C．0.64 D．0.32
解析：选 D 设“摸出一个红球”为事件 A，“摸出一个白球”为事件 B，“摸出一个
黑球”为事件 C，显然事件 A，B，C 都互斥，且 C 与 A＋B 对立．
因为 P(A)＝ 45
100
＝0.45，P(B)＝0.23，
所以 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.45＋0.23＝0.68，
P(C)＝1－P(A＋B)＝1－0.68＝0.32.
2．如果事件 A 与 B 是互斥事件，且事件 A∪B 发生的概率是 0.64，事件 B 发生的概率
是事件 A 发生的概率的 3 倍，则事件 A 发生的概率为________．
解析：设 P(A)＝x，P(B)＝3x，所以 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64.所以 P(A)＝x
＝0.16.
答案：0.16
[课时跟踪检测]
A 级
1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了 100 次，“正面朝上”的频数为 51，则“正面
朝上”的频率为( )
A．49 B．0.5
C．0.51 D．0.49
解析：选 C 由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为 51
100
＝
0.51.
2．(2019·泉州模拟)从含有质地均匀且大小相同的 2 个红球、n 个白球的口袋中随机取
出一球，若取得红球的概率是2
5
，则取得白球的概率等于( )
A.1
5 B.2
5
C.3
5 D.4
5
解析：选 C ∵取得红球与取得白球为对立事件，
∴取得白球的概率 P＝1－2
5
＝3
5.
3．甲：A1，A2 是互斥事件；乙：A1，A2 是对立事件，那么( )
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
解析：选 B 两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立．
4．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A＝{抽到一等品}，事件 B＝{抽到二等品}，
事件 C＝{抽到三等品}，且已知 P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是
一等品”的概率为( )
A．0.7 B．0.65
C．0.35 D．0.3
解析：选 C 事件“抽到的产品不是一等品”与事件 A 是对立事件．因为 P(A)＝0.65，
所以由对立事件的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率 P＝1－P(A)＝1－0.65＝
0.35.故选 C.
5．若 A，B 互为对立事件，其概率分别为 P(A)＝4
x
，P(B)＝1
y
，且 x＞0，y＞0，则 x＋y
的最小值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：选 C 由题意知4
x
＋1
y
＝1，则 x＋y＝(x＋y)·
4
x
＋1
y ＝5＋
4y
x
＋x
y ≥9，当且仅当4y
x
＝
x
y
，即 x＝2y 时等号成立．故选 C.
6．掷一个骰子的试验，事件 A 表示“出现小于 5 的偶数点”，事件 B 表示“出现小于
5 的点数”．若 B 表示 B 的对立事件，则在一次试验中，事件 A＋ B 发生的概率为( )
A.1
3 B.1
2
C.2
3 D.5
6
解析：选 C 掷一个骰子的试验有 6 种可能结果．依题意，得 P(A)＝2
6
＝1
3
，P(B)＝4
6
＝2
3
，
∴P( B )＝1－P(B)＝1－2
3
＝1
3.因为 B 表示事件“出现 5 点或 6 点”，因此事件 A 与 B 互斥，
从而 P(A＋ B )＝P(A)＋P( B )＝1
3
＋1
3
＝2
3.
7．某网店根据以往某品牌衣服的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图
所示，由此估计日销售量不低于 50 件的概率为________．
解析：用频率估计概率知日销售量不低于 50 件的概率为 1－(0.015＋0.03)×10＝0.55.
答案：0.55
8．容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表：
分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
频数 2 3 4 5 4 2
则样本数据落在区间[10,40)的频率为________．
解析：数据落在区间[10,40)的频率为2＋3＋4
20
＝ 9
20
＝0.45.
答案：0.45
9．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络
上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在
随机抽取的 50 人中，有 14 人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有 9 600 人，则可估
计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人．
解析：在随机抽取的 50 人中，持反对态度的频率为 1－14
50
＝18
25
，则可估计该地区对“键
盘侠”持反对态度的有 9 600×18
25
＝6 912(人)．
答案：6 912
10．一只袋子中装有大小相同的 7 个红玻璃球和 3 个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取
两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为 7
15
，取得两个绿球的概率为 1
15
，则取得两个同
颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．
解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需
两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为 P＝ 7
15
＋ 1
15
＝ 8
15.
由于事件 A“至少取得一个红球”与事件 B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得
一个红球的概率为
P(A)＝1－P(B)＝1－ 1
15
＝14
15.
答案： 8
15
14
15
11．某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 0.3,0.2,0.1,0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘飞机去的概率；
(3)若他乘上面的交通工具去的概率为 0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去的？
解：设“乘火车”“乘轮船”“乘汽车”“乘飞机”分别表示事件 A，B，C，D，则
(1)P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
(2)设“不乘飞机”为事件 E，则 P(E)＝1－P(D)＝1－0.4＝0.6.
(3)因为 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.5，故他有可能是乘火车
或轮船去，也有可能是乘汽车或飞机去．
12．(2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概
率．
(2)随机选取 1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率．
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生
变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 0.1，
哪类电影的好评率减少 0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到
最大？(只需写出结论)
解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是 140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，
获得好评的第四类电影的部数是 200×0.25＝50，
故所求概率为 50
2 000
＝0.025.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1
＝56＋10＋45＋50＋160＋51
＝372，
故所求概率估计为 1－ 372
2 000
＝0.814.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．
B 级
1．若随机事件 A，B 互斥，A，B 发生的概率均不等于 0，且 P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，
则实数 a 的取值范围是( )
A.
5
4
，2 B.
5
4
，3
2
C.
5
4
，3
2 D.
5
4
，4
3
解析：选 D 由题意可得
0530)＝P(X<130 或 X>210)
＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)
＝ 1
20
＋ 3
20
＋ 2
20
＝ 3
10.
故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率
为 3
10.
第二节 古典概型
一、基础知识
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以
表示成基本事件的和．
2．古典概型
(1)特点：
①有限性：在一次试验中所有可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事
件．
②等可能性：每个基本事件出现的可能性是均等的．
(2)计算公式：
P(A)＝A 包含的基本事件的个数
基本事件的总数 .
二、常用结论
频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同
名称 不同点 相同点
频率计算
公式
频率计算中的 m，n 均随随机试验的变化而变化，但
随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值
都计算了一个比值m
n
古典概型
的概率计
算公式
m
n
是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n 都不会
变化
考点一 简单的古典概型
[典例] (2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为
240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的 7 名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学
承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级”，求事件 M 发生的概率．
[解] (1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 3∶2∶2，由于采用分层抽
样的方法从中抽取 7 名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3 人，
2 人，2 人．
(2)①从抽取的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，
{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，
E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共 21 种．
②不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A，B，C，来自乙年级的是 D，E，来自
丙年级的是 F，G，则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结
果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共 5 种．
所以事件 M 发生的概率 P(M )＝ 5
21.
[解题技法] 求古典概型概率的步骤
(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件 A；
(2)分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m；
(3)利用公式 P(A)＝m
n
，求出事件 A 的概率．
[题组训练]
1．(2018·全国卷Ⅱ)从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2
人都是女同学的概率为( )
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
解析：选 D 设 2 名男同学为 a，b,3 名女同学为 A，B，C，从中选出两人的情形有(a，
b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共 10 种，
而都是女同学的情形有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共 3 种，故所求概率为 3
10
＝0.3.
2．(2019·南昌调研)甲邀请乙、丙、丁三人加入了“兄弟”这个微信群聊，为庆祝兄弟
相聚，甲发了一个 9 元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人抢到的钱数均为整数，且
每人至少抢到 2 元，则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他两人)的概率是
( )
A.1
3 B. 3
10
C.2
5 D.3
4
解析：选 C 设乙、丙、丁分别抢到 x 元，y 元，z 元，记为(x，y，z)，
则基本事件有：(2,2,5)，(2,5,2)，(5,2,2)，(2,3,4)，(2,4,3)，(3,2,4)，(3,4,2)，(4,3,2)，(4,2,3)，
(3,3,3)，共 10 个，其中符合丙获得“手气最佳”的有 4 个，所以丙获得“手气最佳”(即丙
领到的钱数不少于其他两人)的概率 P＝ 4
10
＝2
5.
3．(2017·山东高考)某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1，A2，A3 和 3 个欧洲国家 B1，
B2，B3 中选择 2 个国家去旅游．
(1)若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 A1 但不包括 B1 的概率．
解：(1)由题意知，从 6 个国家中任选 2 个国家，其所有可能的结果组成的基本事件有：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，
B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共 15 个．
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，
A3}，共 3 个．
则所求事件的概率为 P＝ 3
15
＝1
5.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，其所有可能的结果组成的基本事件有：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，
{A3，B3}，共 9 个．
包括 A1 但不包括 B1 的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共 2 个，
则所求事件的概率为 P＝2
9.
考点二 古典概型与其他知识的交汇问题
考法(一) 古典概型与平面向量相结合
[典例] (2018·上饶期末)从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数 a，从集合{1,2,3}中随机抽
取一个数 b，则向量 m＝(a，b)与向量 n＝(2,1)共线的概率为( )
A.1
6 B.1
3
C.1
4 D.1
2
[解析] 由题意可知 m＝(a，b)，基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共 12 个，∵向量 m＝(a，b)与向量 n＝(2,1)共线，
∴a－2b＝0，即 a＝2b，∴有(2,1)，(4,2)，共 2 个，故所求概率为1
6.
[答案] A
考法(二) 古典概型与解析几何相结合
[典例] (2019·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 a，b，则直线 ax＋by
＝0 与圆(x－2)2＋y2＝2 有公共点的概率为________．
[解析] 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，
(1,3)，…，(6,6)，共 36 种，其中满足直线 ax＋by＝0 与圆(x－2)2＋y2＝2 有公共点，即满足
2a
a2＋b2
≤ 2，即 a≤b，则当 a＝1 时，b＝1,2,3,4,5,6，共有 6 种，当 a＝2 时，b＝2,3,4,5,6，
共 5 种，同理当 a＝3 时，有 4 种，a＝4 时，有 3 种，a＝5 时，有 2 种，a＝6 时，有 1 种，
故共 6＋5＋4＋3＋2＋1＝21 种，因此所求的概率等于21
36
＝ 7
12.
[答案] 7
12
考法(三) 古典概型与函数相结合
[典例] (2018·银川三模)已知函数 y＝2m xn＋|x|－1，其中 1≤m＜4,1≤n＜4，m，n∈
N*且 m≠n，则该函数为偶函数的概率为________．
[解析] (m，n)所取的值有 6 种等可能的结果：(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，
使函数为偶函数的(m，n)所取的值有(1,2)，(3,2)，共 2 种，所以所求概率为2
6
＝1
3.
[答案] 1
3
[解题技法]
求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关
知识解决，其解题流程为：
[题组训练]
1．(2019·益阳、湘潭调研)已知 a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数 f(x)＝(a2－2)ex＋b
为减函数的概率是( )
A. 3
10 B.3
5
C.2
5 D.1
5
解析：选 C 函数 f(x)＝(a2－2)ex＋b 为减函数，则 a2－2＜0，又 a∈{－2,0,1,2,3}，故
只有 a＝0，a＝1 满足题意，又 b∈{3,5}，所以函数 f(x)＝(a2－2)ex＋b 为减函数的概率是2×2
5×2
＝2
5.故选 C.
2．设平面向量 a＝(m,1)，b＝(2，n)，其中 m，n∈{1,2,3,4}，记“a⊥(a－b)”为事件 A，
则事件 A 发生的概率为( )
A.1
8 B.1
4
C.1
3 D.1
2
解析：选 A 有序数对(m，n)的所有可能情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，
(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共 16 个．由 a⊥(a－b)
得 m2－2m＋1－n＝0，即 n＝(m－1)2，由于 m，n∈{1,2,3,4}，故事件 A 包含的基本事件为(2,1)
和(3,4)，共 2 个，所以 P(A)＝ 2
16
＝1
8.
3．(2019·武汉部分学校调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为 a
和 b，则方程 ax2＋bx＋1＝0 有实数解的概率是( )
A. 7
36 B.1
2
C.19
36 D. 5
18
解析：选 C 投掷骰子两次，所得的点数 a 和 b 满足的关系为 1≤a≤6，a∈N*，
1≤b≤6，b∈N*.
∴a 和 b 的组合有 36 种，若方程 ax2＋bx＋1＝0 有实数解，则Δ＝b2－4a≥0，∴b2≥4a.
当 b＝1 时，没有 a 符合条件；当 b＝2 时，a 可取 1；当 b＝3 时，a 可取 1,2；当 b＝4
时，a 可取 1,2,3,4；当 b＝5 时，a 可取 1,2,3,4,5,6；当 b＝6 时，a 可取 1,2,3,4,5,6.
满足条件的组合有 19 种，则方程 ax2＋bx＋1＝0 有实数解的概率 P＝19
36
，故选 C.
4．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为 a，b，则椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1 的离心率 e> 3
2
的
概率是________．
解析：同时掷两颗骰子，得到的点数所形成的数组共有 36 种情况，当 a>b 时，e＝
1－b2
a2> 3
2
⇒b
a<1
2
⇒a>2b，符合 a>2b 的情况有：当 b＝1 时，有 a＝3,4,5,6,4 种情况；
当 b＝2 时，有 a＝5,6,2 种情况，故共有 6 种情况，则概率是 6
36
＝1
6.
同理当 a 3
2
的概率也为1
6.
综上可知，离心率 e> 3
2
的概率为1
3.
答案：1
3
[课时跟踪检测]
A 级
1．(2018·广西五市联考)在{3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个
数能被 5 整除的概率是( )
A.1
2 B.1
3
C.1
4 D.1
6
解 析 ： 选 C 在 {3,5} 和 {2,4} 两 个 集 合 中 各 取 一 个 数 组 成 的 两 位 数 有 ：
32,34,52,54,23,25,43,45，共 8 个，其中能被 5 整除的两位数有：25,45，共 2 个，故所求概率
P＝2
8
＝1
4.
2．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M，I，N 中的一个
字母，第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A. 8
15 B.1
8
C. 1
15 D. 1
30
解析：选 C ∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，
(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，
∴事件总数有 15 种．
∵正确的开机密码只有 1 种，∴所求概率 P＝ 1
15.
3．(2019·榆林质检)从 1,2,3,4 这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则
这个两位数大于 30 的概率为( )
A.1
2 B.1
3
C.1
4 D.1
5
解 析 ： 选 A 从 1,2,3,4 中 任 取 两 个 不 同 的 数 字 构 成 一 个 两 位 数 ， 有
12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共 12 种结果，其中大于 30 的两位数有 31,32,34,41,42,43，
共 6 个，所以这个两位数大于 30 的概率 P＝ 6
12
＝1
2.
4．(2018·衡阳联考)某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为
x，第二次向上的点数记为 y，在直角坐标系 xOy 中，以(x，y)为坐标的点落在直线 2x－y＝1
上的概率为( )
A. 1
12 B.1
9
C. 5
36 D.1
6
解析：选 A 先后投掷两次骰子的结果共有 6×6＝36(种)．以(x，y)为坐标的点落在直
线 2x－y＝1 上的结果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共 3 种，故所求概率为 3
36
＝ 1
12.
5．已知集合 A＝{－2，－1,1,2,3,4}，集合 B＝{－3,1,2}，从集合 A 中随机选取一个数 x，
从集合 B 中随机选取一个数 y，则点 M(x，y)正好落在平面区域
x>0，
y>0，
x＋y－4≤0
内的概率为
( )
A.1
9 B.1
6
C. 5
18 D.2
9
解析：选 C 易知总的基本事件共有 18 种可能，其中满足
x>0，
y>0，
x＋y－4≤0
的有(1,1)，
(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共 5 种可能，由古典概型的概率计算公式可知所求概率 P＝ 5
18.
6．(2019·武汉部分学校调研)标有数字 1,2,3,4,5 的卡片各 1 张，从这 5 张卡片中随机抽
取 1 张，不放回地再随机抽取 1 张，则抽取的第 1 张卡片上的数大于第 2 张卡片上的数的概
率为( )
A.1
2 B.1
5
C.3
5 D.2
5
解析：选 A 5 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,5，从这 5 张卡片中随机抽取 2 张，基本
事件的总数 n＝5×4＝20，抽得的第 1 张卡片上的数大于第 2 张卡片上的数的情况有：①第
1 张抽到 2，第 2 张抽到 1；②第 1 张抽到 3，第 2 张抽到 1 或 2；③第 1 张抽到 4，第 2 张
抽到 1 或 2 或 3；④第 1 张抽到 5，第 2 张抽到 1 或 2 或 3 或 4.共 10 种．故抽取的第 1 张卡
片上的数大于第 2 张卡片上的数的概率 P＝10
20
＝1
2.
7．(2019·武汉调研)已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为 80%.现采用随机模
拟的方法估计该运动员 4 次射击至少 3 次击中目标的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整
数值的随机数，指定 0,1，表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9 表示击中目标；再以每 4 个随
机数为一组，代表 4 次射击的结果．经随机模拟产生了如下 20 组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947
1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661
9597 7424 7610 4281
据此估计，该射击运动员 4 次射击至少 3 次击中目标的概率为________．
解析：∵4 次射击中有 1 次或 2 次击中目标的有：7140,1417,0371,6011,7610，∴所求概
率 P＝1－ 5
20
＝3
4.
答案：3
4
8．(2019·安阳模拟)盒中有三张分别标有号码 3,4,5 的卡片，从盒中随机抽取一张记下号
码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为奇数的概率为
________．
解析：法一：两次抽取的卡片号码有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，
(5,5)，共 9 种情况，其中至少有一个是奇数的有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，
(5,5)，共 8 种情况，因此所求概率为8
9.
法二：所求事件的对立事件为：两次抽取的卡片号码都为偶数，只有(4,4)这 1 种取法，
而两次抽取的卡片号码有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共 9
种情况，因此所求事件的概率为 1－1
9
＝8
9.
答案：8
9
9．(2018·桂林模拟)从正五边形 ABCDE 的 5 个顶点中随机选择 3 个顶点，则以它们作
为顶点的三角形是锐角三角形的概率是________．
解析：从正五边形 ABCDE 的 5 个顶点中随机选择 3 个顶点，基本事件总数为 10，即
ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，以它们作为顶点的三角
形是锐角三角形的个数为 5，即△ABD，△ACD，△ACE，△BCE，△BDE，所以以它们作
为顶点的三角形是锐角三角形的概率 P＝ 5
10
＝1
2.
答案：1
2
10．(2018·江门一模)两位教师对一篇初评为“优秀”的作文复评，若批改成绩都是两位
正整数，且十位数字都是 5，则两位教师批改成绩之差的绝对值不超过 2 的概率为________．
解析：用(x，y)表示两位教师的批改成绩，
则(x，y)的所有可能情况有 10×10＝100 种．
当 x＝50 时，y 可取 50,51,52，共 3 种可能；
当 x＝51 时，y 可取 50,51,52,53，共 4 种可能；
当 x＝52,53,54,55,56,57 时，y 的取法均有 5 种，共 30 种可能；
当 x＝58 时，y 可取 56,57,58,59，共 4 种可能；
当 x＝59 时，y 可取 57,58,59，共 3 种可能．
综上可得两位教师批改成绩之差的绝对值不超过 2 的情况有 44 种，则由古典概型的概
率公式可得所求概率 P＝ 44
100
＝0.44.
答案：0.44
11．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品即可抽奖．抽奖方法是：从装
有 2 个红球 A1，A2 和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a1，a2 和 2 个白球 b1，b2 的乙箱中，
各随机摸出 1 个球．若摸出的 2 个球都是红球则中奖，否则不中奖．
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果．
(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认
为正确吗？请说明理由．
解：(1)所有可能的摸出结果是{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，
a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}．
(2)不正确．理由如下：
由(1)知，所有可能的摸出结果共 12 种，其中摸出的 2 个球都是红球的结果为{A1，a1}，
{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共 4 种，所以中奖的概率为 4
12
＝1
3
，不中奖的概率为 1－1
3
＝
2
3
＞1
3
，故这种说法不正确．
12．设 a∈{2,4}，b∈{1,3}，函数 f(x)＝1
2ax2＋bx＋1.
(1)求 f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；
(2)从 f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率．
解：(1)由题意，得－ b
2×1
2a
≥－1，即 b≤a.
而(a，b)可能为(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)，共 4 种，满足 b≤a 的有 3 种，故所求的概率
为3
4.
(2)由(1)可知，函数 f(x)共有 4 种可能，从中随机抽取两个，有 6 种抽法．
因为函数 f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为 f′(1)＝a＋b，
所以这两个函数中的 a 与 b 之和应该相等，而只有(2,3)，(4,1)这 1 组满足，故所求的概
率为1
6.
B 级
1．(2018·石家庄毕业班摸底)一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为 x，y，z，
当且仅当 y＞x，y＞z 时，称这样的数为“凸数”(如 243)，现从集合{1,2,3,4}中取出三个不
相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为( )
A.2
3 B.1
3
C.1
6 D. 1
12
解析：选 B 从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有 24 个结果：
123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,43
1,432，其中是“凸数”的是 132,142,143,231,241,243,341,342，共 8 个结果，所以这个三位
数是“凸数”的概率为 8
24
＝1
3
，故选 B.
2．在集合 x|x＝nπ
3
，n＝1，2，3，…，10 中任取一个元素，所取元素恰好满足方
程 cos x＝1
2
的概率是________．
解析：基本事件总数为 10，满足方程 cos x＝1
2
的基本事件为π
3
，5π
3
，7π
3
，共 3 个，故所求
概率 P＝ 3
10.
答案： 3
10
3．(2019·新疆自治区适应性检测)中国共产党第十九次全国代表大会(简称十九大)于
2017 年 10 月 18 日至 10 月 24 日在北京召开．“十九大”报告指出：“必须把教育事业放
在优先位置，加快教育现代化，办好人民满意的教育”．要“推动城乡义务教育一体化发展，
高度重视农村义务教育，办好学前教育、特殊教育和网络教育”．某乡镇属于学前教育的学
校有 3 所，属于特殊教育的学校有 1 所，属于网络教育的学校有 2 所．目前每所学校只需招
聘 1 名师范毕业生，现有 2 名师范毕业生参加应聘，每人只能参加一个学校的应聘且选择学
校不能相同．
(1)求他们选择的学校所属教育类别相同的概率；
(2)记ξ为 2 人中选择的学校属于学前教育或网络教育的人数，求ξ≤1 的概率．
解：(1)记某乡镇属于学前教育的 3 所学校分别为 A1，A2，A3，属于特殊教育的 1 所学
校为 B，属于网络教育的 2 所学校分别为 C1，C2,2 名师范毕业生从 6 所学校中任选 1 所学校
有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，A3)，(A2，B)，(A2，C1)，(A2，
C2)，(A3，B)，(A3，C1)，(A3，C2)，(B，C1)，(B，C2)，(C1，C2)，(A2，A1)，(A3，A1)，(B，
A1)，(C1，A1)，(C2，A1)，(A3，A2)，(B，A2)，(C1，A2)，(C2，A2)，(B，A3)，(C1，A3)，(C2，
A3)，(C1，B)，(C2，B)，(C2，C1)，共 30 种，
他们选择的学校所属类别相同的有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A2，A1)，(A3，A1)，
(A3，A2)，(C1，C2)，(C2，C1)，共 8 种，
故他们选择的学校所属类别相同的概率 P＝ 8
30
＝ 4
15.
(2)由题意可知ξ＝0 或ξ＝1 或ξ＝2.
当ξ＝0 时，即 2 人中选择的学校都属于特殊教育，而特殊教育的学校只有 1 所，故ξ＝
0 是一个不可能事件，P(ξ＝0)＝0；
当ξ＝1 时，即 2 人中只有 1 人选择的学校属于学前教育或网络教育，则必有 1 人选择
特殊教育的 1 所学校．所有可能的情况有(A1，B)，(A2，B)，(A3，B)，(B，C1)，(B，C2)，(B，
A1)，(B，A2)，(B，A3)，(C1，B)，(C2，B)，共 10 种，
∴P(ξ＝1)＝10
30
＝1
3
，
∴P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝1
3.
第三节 几何概型
一、基础知识
1. 几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的
概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个；
(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．
古典概型与几何概型的区别与联系
(1)共同点：基本事件都是等可能的；
(2)不同点：古典概型基本事件的个数是有限的，几何概型基本事件的个数是无限的．
3．几何概型的概率公式
P(A)＝ 构成事件 A 的区域长度面积或体积
试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.
几何概型应用中的关注点
(1)关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．
(2)确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性．
考点一 与长度有关的几何概型
[典例] (1)(2019·安徽知名示范高中联考)某单位试行上班刷卡制度，规定每天 8：30
上班，有 15 分钟的有效刷卡时间(即 8：15～8：30)，一名职工在 7：50 到 8：30 之间到达
单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是( )
A.2
3 B.5
8
C.1
3 D.3
8
(2)在区间[0，π]上随机地取一个数 x，使 sin x＞1
2
的概率为( )
A.1
3 B.1
2
C.2
3 D.3
4
[解析] (1)该职工在 7：50 到 8：30 之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，设其构
成的区域为线段 AB，且 AB＝40，职工的有效刷卡时间是 8：15 到 8：30 之间，设其构成的
区域为线段 CB，且 CB＝15，如图，所以该职工有效刷卡上班的概率 P＝15
40
＝3
8
，故选 D.
(2)结合正弦曲线，在[0，π]上使 sin x＞1
2
的 x∈
π
6
，5π
6 ，
由几何概型的概率公式，得 P＝
5π
6
－π
6
π－0
＝2
3.
[答案] (1)D (2)C
[解题技法] 与长度有关的几何概型
(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为
P(A)＝ 构成事件 A 的区域长度
试验的全部结果所构成的区域长度.
(2)与时间、不等式等有关的概率问题可转化为几何概型，利用几何概型概率公式进行
求解．
[题组训练]
1．(2019·包头十校联考)已知函数 f(x)＝－x2＋2x，x∈[－1，3]，则任取一点 x0∈[－1,3]，
使得 f(x0)≥0 的概率为( )
A.3
4 B.1
3
C.1
2 D.1
4
解析：选 C 由 f(x)≥0，解得 0≤x≤2，又 x∈[－1,3]，所以 f(x0)≥0 的概率为2
4
＝1
2.
2．(2018·合肥一检)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播放新闻，时长均为 5 分
钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是( )
A. 1
14 B. 1
12
C.1
7 D.1
6
解析：选 D 由题意可知，该广播电台在一天内播放新闻的时长为 24×2×5＝240 分钟，
即 4 个小时，所以所求的概率为 4
24
＝1
6
，故选 D.
3．已知线段 AC＝16 cm，先截取 AB＝4 cm 作为长方体的高，再将线段 BC 任意分成两
段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过 128 cm3 的概率为________．
解析：依题意，设长方体的长为 x cm，则相应的宽为(12－x)cm，由 4x(12－x)＞128，
得 x2－12x＋32＜0，解得 4＜x＜8，因此所求的概率为8－4
12
＝1
3.
答案：1
3
考点二 与体积有关的几何概型
[典例] (1)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，有一动点在此长
方体内随机运动，则此动点在三棱锥 AA1BD 内的概率为________．
(2)在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体
ABCDA1B1C1D1 内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为________．
[解析] (1)设事件 M 为“动点在三棱锥 AA1BD 内”，
则 P(M)＝ V 三棱锥 AA
1
BD
V 长方体 ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
＝ V 三棱锥 A
1
ABD
V 长方体 ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
＝
1
3AA1
·S△ABD
V 长方体 ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
＝
1
3AA1·1
2S 矩形 ABCD
AA1·S 矩形 ABCD
＝1
6.
(2)如图，与点 O 距离等于 1 的点的轨迹是一个半球面，其体积 V1
＝1
2
×4
3π×13＝2π
3 .
事件“点 P 与点 O 距离大于 1 的概率”对应的区域体积为 23－2π
3
，
根据几何概型概率公式得，点 P 与点 O 距离大于 1 的概率 P＝23－2π
3
23
＝1－ π
12.
[答案] (1)1
6 (2)1－ π
12
[变透练清]
1.变结论在本例(2)中，条件不变，则点 P 到正方体的中心的距离小于 1 的概率为
________．
解析：由题意，点 P 位于以正方体的中心为球心，以 1 为半径的球的内部，故所求概
率为
4
3π×13
23
＝π
6.
答案：π
6
2.变条件在本例(2)中，条件变为：一个底面半径为 1、高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆
柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为
________．
解析：到点 O 的距离等于 1 的点构成一个半球面，如图．
则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为
P＝
2π－2π
3
2π
＝2
3.
答案：2
3
3.一个多面体的直观图和三视图如图所示，点 M 是 AB 的中点，一只蝴
蝶在几何体 ADFBCE 内自由飞翔，则它飞入几何体 FAMCD 内的概率为
________．
解析：由题图可知 VFAMCD＝1
3
×S 四边形 AMCD×DF＝1
4a3，VADFBCE＝1
2a3，
所以它飞入几何体 FAMCD 内的概率为
1
4a3
1
2a3
＝1
2.
答案：1
2
[解题技法] 与体积有关的几何概型问题
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算
公式为：
P(A)＝ 构成事件 A 的区域体积
试验的全部结果所构成的区域体积.
求解的关键是计算事件的总体积以及事件 A 的体积．
[提醒] 解决几何概型问题的易错点：
(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型；
(2)利用几何概型的概率公式时忽略事件是否等可能．
考点三 与面积有关的几何概型
考法(一) 与平面几何结合
[典例] (1)(2018·烟台高考诊断性测试)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，这是由
五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板
拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A.1
4 B.1
8
C.3
8 D. 3
16
(2)(2019·福州质检)如图，在菱形 ABCD 中，AB＝2，∠ABC＝60°，
以该菱形的 4 个顶点为圆心的扇形的半径都为 1.若在菱形内随机取一
点，则该点取自阴影部分的概率是________．
[解析] (1)不妨设小正方形的边长为 1，则两个小等腰直角三角形的边长分别为 1,1，
2，两个大等腰直角三角形的边长为 2,2,2 2，即最大正方形的边长为 2 2，则较大等腰直
角三角形的边长分别为 2，2，2，故所求概率 P＝1－
1
2
×2＋1＋1＋2×2
8
＝1
8.
(2)依题意，菱形中空白部分的面积总和等于一个半径为 1 的圆的面积，菱形 ABCD 的
面积为 2×2×sin 60°＝2 3.所以该点落在阴影部分的概率 P＝1－ π
2 3
＝1－ 3
6 π.
[答案] (1)B (2)1－ 3
6 π
考法(二) 与线性规划结合
[典例] (2018·洛阳统考)在区间(0,2)内随机取一个实数 a，则满足
2x－y≥0，
y≥0，
x－a≤0
的点
(x，y)构成区域的面积大于 1 的概率是( )
A.1
8 B.1
4
C.1
2 D.3
4
[解析] 作出约束条件
2x－y≥0，
y≥0，
x－a≤0
表示的平面区域如图中阴
影部分所示，则阴影部分的面积 S＝1
2
×a×2a＝a2＞1，∴1＜a＜2，根
据几何概型的概率计算公式得所求概率为2－1
2－0
＝1
2.
[答案] C
[解题技法]
解决与面积有关的几何概型问题，其解题关键是明确试验所发生的区域及事件所发生的
区域面积，其解题流程为：
[题组训练]
1．(2018·新疆自治区适应性检测)在区间[0,2]中随机取两个数，则两个数中较大的数大
于2
3
的概率为( )
A.8
9 B.7
9
C.4
9 D.1
9
解析：选 A 在区间[0,2]中随机取两个数，构成的区域如图
中大正方形，又“这两个数中较大的数大于2
3
”为“这两个数都小
于或等于2
3
”的对立事件，且在区间[0,2]中随机取两个数，这两
个数都小于2
3
所构成的平面区域的面积为2
3
×2
3
＝4
9
，
故两个数中较大的数大于2
3
的概率 P＝1－
4
9
4
＝8
9.
2. 如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线 y＝1
x
，y＝－1
x
，y＝
x，y＝－x 及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率
是( )
A.1
4 B.1
8
C.π
4 D.π
8
解析：选 A 根据图象的对称性知，黑色部分图形的面积为圆面积的四分之一，在圆内
随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是1
4
，选 A.
3．(2019·西安八校联考)从集合{(x，y)|x2＋y2≤4，x∈R，y∈R }中任选一个元素(x，y)，
则满足 x＋y≥2 的概率为________．
解 析 ： 如 图 ， 先 画 出 圆 x2 ＋ y2 ＝ 4 ， 再 画 出 不 等 式 组
x2＋y2≤4，
x＋y≥2
对应的可行域，即图中阴影部分，则所求概率 P＝S 阴影
S 圆
＝
1
4
×4π－1
2
×2×2
4π
＝π－2
4π
.
答案：π－2
4π
[课时跟踪检测]
1．(2018·成都毕业班摸底)在区间[－4,1]上随机地取一个实数 x，若 x 满足|x|＜a 的概率
为4
5
，则实数 a 的值为( )
A.1
2 B．1
C．2 D．3
解析：选 D 设集合 A＝{x||x|＜a}＝(－a，a)(a＞0)，若 0＜a≤1，则 A⊆[－4,1]，由几
何概型的概率公式得 P(A)＝a－－a
1－－4
＝4
5
，解得 a＝2，不符合题意，若 a＞1，则 P(A)＝1－－a
1－－4
＝4
5
，解得 a＝3，符合题意，故选 D.
2.(2018·湖北八校联考)2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年，
中国人民银行发行了以此为主题的纪念币．如图是一枚 8 克圆形精制金质纪
念币，直径为 22 mm，面额 100 元．为了测算图中军旗部分的面积，现用 1
粒芝麻向硬币内投掷 100 次，其中恰有 30 次落在军旗内，据此可估计军旗
的面积大约是( )
A.726π
5 mm2 B.363π
10 mm2
C.363π
5 mm2 D.363π
20 mm2
解析：选 B 由该纪念币的直径为 22 mm，知半径 r＝11 mm，则该纪念币的面积为πr2
＝π×112＝121π(mm2)，∴估计军旗的面积大约是 121π× 30
100
＝363π
10 (mm2)．
3．(2019·湖北五校联考)已知定义在区间[－3,3]上的函数 f(x)＝2x＋m 满足 f(2)＝6，在
[－3,3]上任取一个实数 x，则使得 f(x)的值不小于 4 的概率为( )
A.1
6 B.1
3
C.1
2 D.2
3
解析：选 B ∵f(2)＝6，∴22＋m＝6，解得 m＝2.由 f(x)≥4，得 2x＋2≥4，∴x≥1，而
x∈[－3,3]，故根据几何概型的概率计算公式，得 f(x)的值不小于 4 的概率 P＝2
6
＝1
3.
4.一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定
的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域
“ ”组成．已知在一个显示数字 8 的显示池中随机取一点 A，点 A 落在深色区域内的概
率为1
2.若在一个显示数字 0 的显示池中随机取一点 B，则点 B 落在深色区域内的概率为( )
A.3
8 B.3
4
C.3
7 D.6
7
解析：选 C 依题意，设题中全等的深色区域的面积为 s，相应的固定的矩形的面积为
S，则有7s
S
＝1
2
，即 S＝14s，因此点 B 落在深色区域内的概率为 6s
14s
＝3
7
，选 C.
5．(2019·沈阳质检)刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》
是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意
精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该
圆内接正六边形的概率是( )
A.3 3
4π B.3 3
2π
C. 1
2π D. 1
4π
解析： 选 B 如图，在单位圆中作其内接正六边形，
则所求概率 P＝S 六边形
S 圆
＝
3
4
×12×6
π×12
＝3 3
2π .
6．已知正棱锥 SABC 的底面边长为 4，高为 3，在正棱锥内任取一点 P，使得 VPABC
＜1
2VSABC 的概率是( )
A.3
4 B.7
8
C.1
2 D.1
4
解析：选 B 由题意知，当点 P 在三棱锥的中截面以下时，满足
VPABC＜1
2VSABC，
故使得 VPABC＜1
2VSABC 的概率 P＝
大三棱锥的体积－小三棱锥的体积
大三棱锥的体积
＝1－
1
2 3＝7
8.
7.如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点 A′，连接
AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )
A.1
2 B. 3
2
C.1
3 D.1
4
解析：选 C 当 AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝π
3
，A′点在 A 点左右都可取
得，故由几何概型的概率计算公式得 P＝
2π
3
2π
＝1
3.
8.(2018·全国卷Ⅰ)如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几
何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC
的斜边 BC，直角边 AB，AC.△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色
部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别
记为 p1，p2，p3，则( )
A．p1＝p2 B．p1＝p3
C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3
解析：选 A 法一：∵S△ABC＝1
2AB·AC，以 AB 为直径的半圆的面积为1
2π·
AB
2 2＝π
8AB2，
以 AC 为直径的半圆的面积为1
2π·
AC
2 2＝π
8AC2，以 BC 为直径的半圆的面积为1
2π·
BC
2 2＝
π
8BC2，
∴SⅠ＝1
2AB·AC，SⅢ＝π
8BC2－1
2AB·AC，
SⅡ＝
π
8AB2＋π
8AC2
－
π
8BC2－1
2AB·AC ＝1
2AB·AC.
∴SⅠ＝SⅡ.
由几何概型概率公式得 p1＝SⅠ
S 总
，p2＝SⅡ
S 总
，
∴p1＝p2.故选 A.
法二：不妨设△ABC 为等腰直角三角形，
AB＝AC＝2，则 BC＝2 2，
所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，
为 S1＝1
2
×2×2＝2，
区域Ⅱ的面积 S2＝π×12－
π× 22
2
－2 ＝2，
区域Ⅲ的面积 S3＝π× 22
2
－2＝π－2.
根据几何概型的概率计算公式，
得 p1＝p2＝ 2
π＋2
，p3＝π－2
π＋2
，
所以 p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选 A.
9．在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C，现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB
的长，则该矩形的面积大于 20 cm2 的概率为________．
解析：设 AC＝x，则 BC＝12－x，所以 x(12－x)>20，解得 20，
m－1
2
<0，
解得－10 时，y＝2－log3x＝0，x＝9.故 x＝
－3 或 x＝9，选 B.
[答案] B
[例 2] 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为( )
A．f(x)＝cos x
x
－π
2Q，所以 1＋a>7，结合选项，可知 a 的值可以为 7，故选 D.
[答案] D
[解题技法] 循环结构的一般思维分析过程
(1)分析进入或退出循环体的条件，确定循环次数．
(2)结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量
的表达式．
(3)辨析循环结构的功能．
考法(二) 完善程序框图
[例 1] (2018·武昌调研考试)执行如图所示的程序框图，如果输入的 a 依次为 2,2,5 时，
输出的 s 为 17，那么在判断框中可以填入( )
A．kn?
C．k≥n? D．k≤n?
[解析] 执行程序框图，输入的 a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；输入的 a＝2，s＝2×2
＋2＝6，k＝2；输入的 a＝5，s＝2×6＋5＝17，k＝3，此时结束循环，又 n＝2，所以判断
框中可以填“k>n？”，故选 B.
[答案] B
[例 2] (2018·全国卷Ⅱ)为计算 S＝1－1
2
＋1
3
－1
4
＋…＋ 1
99
－ 1
100
，设计了如图所示的程序
框图，则在空白框中应填入( )
A．i＝i＋1 B．i＝i＋2
C．i＝i＋3 D．i＝i＋4
[解析] 由题意可将 S 变形为 S＝ 1＋1
3
＋…＋ 1
99 －
1
2
＋1
4
＋…＋ 1
100 ，则由 S＝N－T，
得 N＝1＋1
3
＋…＋ 1
99
，T＝1
2
＋1
4
＋…＋ 1
100.据此，结合 N＝N＋1
i
，T＝T＋ 1
i＋1
易知在空白框
中应填入 i＝i＋2.故选 B.
[答案] B
[解题技法] 程序框图完善问题的求解方法
(1)先假设参数的判断条件满足或不满足；
(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；
(3)根据此时各个变量的值，补全程序框图．
[题组训练]
1．(2018·凉山质检)执行如图所示的程序框图，设输出的数据构成的集合为 A，从集合
A 中任取一个元素 a，则函数 y＝xa，x∈[0，＋∞)是增函数的概率为( )
A.4
7 B.4
5
C.3
5 D.3
4
解析：选 C 执行程序框图，x＝－3，y＝3；x＝－2，y＝0；x＝－1，y＝－1；x＝0，y
＝0；x＝1，y＝3；x＝2，y＝8；x＝3，y＝15；x＝4，退出循环．则集合 A 中的元素有－1,0,3,8,15，
共 5 个，若函数 y＝xa，x∈[0，＋∞)为增函数，则 a>0，所以所求的概率为3
5.
2．(2019·珠海三校联考)执行如图所示的程序框图，若输出的 n 的值为 4，则 p 的取值
范围是( )
A.
3
4
，7
8 B.
5
16
，＋∞
C.
5
16
，7
8 D.
5
16
，7
8
解析：选 A S＝0，n＝1；S＝1
2
，n＝2；S＝1
2
＋ 1
22
＝3
4
，n＝3；满足条件，所以 p>3
4
，
继续执行循环体；S＝3
4
＋ 1
23
＝7
8
，n＝4；不满足条件，所以 p≤7
8.输出的 n 的值为 4，所以3
42 THEN
a＝2＋a
ELSE
a＝a*a
END IF
PRINT a
END
若输出的结果是 9，则输入的 a 的值是________．
解析：由题意可得程序的功能是计算并输出
a＝ 2＋a，a>2，
a×a，a≤2
的值，
当 a>2 时，由 2＋a＝9 得 a＝7；
当 a≤2 时，由 a2＝9 得 a＝－3，
综上知，a＝7 或 a＝－3.
答案：－3 或 7
[课时跟踪检测]
1．(2019·湖北八校联考)对任意非零实数 a，b，定义 a*b 的运算原理如图所示，则(log
22 2)*
1
8 －2
3
＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 A 因为 log 22 2＝3，
1
8 －2
3
＝4,3<4，所以输出4－1
3
＝1，故选 A.
2．执行如图所示的程序框图，则输出的 x，y 分别为( )
A．90,86 B．94,82
C．98,78 D．102,74
解析：选 C 第一次执行循环体，y＝90，s＝86
7
＋15，不满足退出循环的条件，故 x＝
90；第二次执行循环体，y＝86，s＝90
7
＋43
3
，不满足退出循环的条件，故 x＝94；第三次执
行循环体，y＝82，s＝94
7
＋41
3
，不满足退出循环的条件，故 x＝98；第四次执行循环体，y
＝78，s＝27，满足退出循环的条件，故 x＝98，y＝78.
3．(2018·云南民族大学附属中学二模)执行如图所示的程序框图，若输出的 k 的值为 6，
则判断框内可填入的条件是( )
A．s>1
2
？ B．s> 7
10
？
C．s>3
5
？ D．s>4
5
？
解析：选 B s＝1，k＝9，满足条件；s＝ 9
10
，k＝8，满足条件；s＝4
5
，k＝7，满足条件；
s＝ 7
10
，k＝6，不满足条件．输出的 k＝6，所以判断框内可填入的条件是“s> 7
10
？”．故选
B.
4．(2019·合肥质检)执行如图所示的程序框图，如果输出的 k 的值为 3，则输入的 a 的
值可以是( )
A．20 B．21
C．22 D．23
解析：选 A 根据程序框图可知，若输出的 k＝3，则此时程序框图中的循环结构执行
了 3 次，执行第 1 次时，S＝2×0＋3＝3，执行第 2 次时，S＝2×3＋3＝9，执行第 3 次时，
S＝2×9＋3＝21，因此符合题意的实数 a 的取值范围是 9≤a<21，故选 A.
5．(2019·重庆质检)执行如图所示的程序框图，如果输入的 x＝0，y＝－1，n＝1，则输
出 x，y 的值满足( )
A．y＝－2x B．y＝－3x
C．y＝－4x D．y＝－8x
解析：选 C 初始值 x＝0，y＝－1，n＝1，x＝0，y＝－1，x2＋y2<36，n＝2，x＝1
2
，y
＝－2，x2＋y2<36，n＝3，x＝3
2
，y＝－6，x2＋y2>36，退出循环，输出 x＝3
2
，y＝－6，此时
x，y 满足 y＝－4x，故选 C.
6．(2018·南宁二中、柳州高中联考)执行如图所示的程序框图，若输出的结果 s＝132，
则判断框中可以填( )
A．i≥10? B．i≥11?
C．i≤11? D．i≥12?
解析：选 B 执行程序框图，i＝12，s＝1；s＝12×1＝12，i＝11；s＝12×11＝132，i
＝10.此时输出的 s＝132，则判断框中可以填“i≥11？”．
7．(2019·漳州八校联考)执行如图所示的程序，若输出的 y 的值为 1，则输入的 x 的值
为
( )
INPUT x
IF x>＝1 THEN
y＝x2
ELSE
y＝－x2＋1
END IF
PRINT y
END
A．0 B．1
C．0 或 1 D．－1,0 或 1
解析：选 C 当 x≥1 时，由 x2＝1 得 x＝1 或 x＝－1(舍去)；当 x<1 时，由－x2＋1＝1
得 x＝0.∴输入的 x 的值为 0 或 1.
8．执行如图所示的程序框图，若输入的 n＝4，则输出的 s＝( )
A．10 B．16
C．20 D．35
解析：选 C 执行程序框图，第一次循环，得 s＝4，i＝2；
第二次循环，得 s＝10，i＝3；
第三次循环，得 s＝16，i＝4；
第四次循环，得 s＝20，i＝5.
不满足 i≤n，退出循环，输出的 s＝20.
9.(2018·洛阳第一次统考)已知某算法的程序框图如图所示，则该
算法的功能是( )
A．求首项为 1，公差为 2 的等差数列的前 2 018 项和
B．求首项为 1，公差为 2 的等差数列的前 2 019 项和
C．求首项为 1，公差为 4 的等差数列的前 1 009 项和
D．求首项为 1，公差为 4 的等差数列的前 1 010 项和
解析：选 D 由程序框图得，输出的 S＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋
(2×5－1)＋…＋(2×2 019－1)，可看作数列{2n－1}的前 2 019 项中所
有奇数项的和，即首项为 1，公差为 4 的等差数列的前 1 010 项和．故选 D.
10．(2018·郑州第一次质量测试)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是 7，则判断
框内 m 的取值范围是( )
A．(30,42] B．(30,42)
C．(42,56] D．(42,56)
解析：选 A k＝1，S＝2，k＝2；S＝2＋4＝6，k＝3；S＝6＋6＝12，k＝4；S＝12＋8
＝20，k＝5；S＝20＋10＝30，k＝6；S＝30＋12＝42，k＝7，此时不满足 S＝423，
lg3－x，x<3
及程序框图知，①处应填 x<3？，②处应填 y
＝lg(x－3)．
答案：x<3？ y＝lg(x－3)
14．执行如图所示的程序框图，若输入的 N＝20，则输出的 S＝________.
解析：依题意，结合题中的程序框图知，当输入的 N＝20 时，输出 S 的值是数列{2k－
1}的前 19 项和，即191＋37
2
＝361.
答案：361
15．执行如图所示的程序框图，则输出的λ是________．
解析：依题意，若λa＋b 与 b 垂直，则有(λa＋b)·b＝4(λ＋4)－2(－3λ－2)＝0，解得λ＝
－2；若λa＋b 与 b 平行，则有－2(λ＋4)＝4(－3λ－2)，解得λ＝0.结合题中的程序框图可知，
输出的λ是－2.
答案：－2
16．执行如图所示的程序框图，如果输入的 x，y∈R，那么输出的 S 的最大值为________．
解析：当条件 x≥0，y≥0，x＋y≤1 不成立时，输出 S 的值为 1，当条件 x≥0，y≥0，
x＋y≤1 成立时，输出 S＝2x＋y，下面用线性规划的方法求此时 S 的最大
值．作出不等式组
x≥0，
y≥0，
x＋y≤1
表示的平面区域如图中阴影部分所示，由
图可知当直线 S＝2x＋y 经过点 M(1,0)时 S 最大，其最大值为 2×1＋0＝2，
故输出 S 的最大值为 2.
答案：2
第三节 合情推理与演绎推理
一、基础知识
1．合情推理
(1)归纳推理
①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特
征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．
②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理
①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对
象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．
②特点：由特殊到特殊的推理．
类比推理的注意点
在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象
的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．
(3)合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、
类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
合情推理的关注点
(1)合情推理是合乎情理的推理．
(2)合情推理既可以发现结论也可以发现思路与方向．
2．演绎推理
(1)演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简
言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． ↓
演绎推理：常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范
性.
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
二、常用结论
(1)合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正
确时，得到的结论一定正确．
(2)合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．
考点一 归纳推理
考法(一) 与数字有关的推理
[典例] 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自
诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2 2
3
＝ 22
3
，3 3
8
＝ 33
8
，4 4
15
＝ 4 4
15
，5 5
24
＝ 5 5
24
，…，则按照以上规律，
若 9 9
n
＝ 99
n
具有“穿墙术”，则 n＝( )
A．25 B．48
C．63 D．80
[解析] 由 2 2
3
＝ 22
3
，3 3
8
＝ 33
8
，4 4
15
＝ 4 4
15
，5 5
24
＝ 5 5
24
，…，
可得若 9 9
n
＝ 99
n
具有“穿墙术”，则 n＝92－1＝80.
[答案] D
考法(二) 与式子有关的推理
[典例] 已知 f(x)＝x
ex
，f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝[f1(x)]′，…，fn＋1(x)＝[fn(x)]′，n∈N*，
经计算：f1(x)＝1－x
ex
，f2(x)＝x－2
ex
，f3(x)＝3－x
ex
，…，照此规律，则 fn(x)＝________.
[解析] 因为导数分母都是 ex，分子为(－1)n(x－n)，所以 fn(x)＝－1nx－n
ex .
[答案] －1nx－n
ex
考法(三) 与图形有关的推理
[典例] 分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在 20 世纪 70 年代创立的一门新的数
学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的
分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第 n 行黑圈的个数为 an，则 a2 019＝
________.
[解析] 根据题图(1)所示的分形规律，可知 1 个白圈分形为 2 个白圈 1 个黑圈，1 个黑
圈分形为 1 个白圈 2 个黑圈，把题图(2)中的树形图的第 1 行记为(1,0)，第 2 行记为(2,1)，第
3 行记为(5,4)，第 4 行的白圈数为 2×5＋4＝14，黑圈数为 5＋2×4＝13，所以第 4 行的“坐
标”为(14,13)，同理可得第 5 行的“坐标”为(41,40)，第 6 行的“坐标”为(122,121)，….
各行黑圈数乘 2，分别是 0,2,8,26,80，…，即 1－1,3－1，9－1,27－1,81－1，…，所以可以
归纳出第 n 行的黑圈数 an＝3n－1－1
2
(n∈N*)，所以 a2 019＝32 018－1
2
.
[答案] 32 018－1
2
[题组训练]
1．(2019·兰州实战性测试)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2
＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于 n∈N*，则 1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝
________.
解析：由 1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝
42，…，归纳猜想可得 1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.
答案：n2
2．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为 1，两
两夹角为 120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来1
3
的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为 120°，…，依此规律得到 n 级分形图．
则 n 级分形图中共有________条线段．
解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，
由题图知，一级分形图有 3＝3×2－3 条线段，
二级分形图有 9＝3×22－3 条线段，
三级分形图中有 21＝3×23－3 条线段，
按此规律 n 级分形图中的线段条数 an＝3×2n－3.
答案：3×2n－3
考点二 类比推理
[典例] 我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为
股，斜边为弦．若 a，b，c 为直角三角形的三边，其中 c 为斜边，则 a2＋b2＝c2，称这个定
理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体 OABC 中，∠AOB＝∠BOC＝
∠COA＝90°，S 为顶点 O 所对面△ABC 的面积，S1，S2，S3 分别为侧面△OAB，△OAC，
△OBC 的面积，则下列选项中对于 S，S1，S2，S3 满足的关系描述正确的为( )
A．S2＝S21＋S22＋S23 B．S2＝ 1
S21
＋ 1
S22
＋ 1
S23
C．S＝S1＋S2＋S3 D．S＝ 1
S1
＋ 1
S2
＋ 1
S3
[解析] 如图，作 OD⊥BC 于点 D，连接 AD，则 AD⊥BC，从而
S2＝
1
2BC·AD 2＝1
4BC2·AD2＝1
4BC2·(OA2＋OD2)＝1
4(OB2＋OC2)·OA2＋
1
4BC2·OD2＝
1
2OB·OA 2＋
1
2OC·OA 2＋
1
2BC·OD 2＝S21＋S22＋S23.
[答案] A
[题组训练]
1．给出下面类比推理(其中 Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：
①“若 a，b∈R，则 a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，c∈C，则 a－c＝0⇒a＝c”；
②“若 a，b，c，d∈R，则复数 a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈
Q，则 a＋b 2＝c＋d 2⇒a＝c，b＝d ”；
③“a，b∈R，则 a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若 a，b∈C，则 a－b＞0⇒a＞b”；
④“若 x∈R，则|x|＜1⇒－1＜x＜1”类比推出“若 z∈C，则|z|＜1⇒－1＜z＜1”．
其中类比结论正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 B 类比结论正确的有①②.
2．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9 成等差数列．类比
以上结论：设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn，则 T3，________，________，T12
T9
成等比数列．
解析：等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn，
则 T3＝b1b2b3，T6＝b1b2…b6，T9＝b1b2…b9，
T12＝b1b2…b12，
所以T6
T3
＝b4b5b6，T9
T6
＝b7b8b9，T12
T9
＝b10b11b12，
所以 T3，T6
T3
，T9
T6
，T12
T9
的公比为 q9，
因此 T3，T6
T3
，T9
T6
，T12
T9
成等比数列．
答案：T6
T3
T9
T6
考点三 演绎推理
[典例] 数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1＝1，an＋1＝n＋2
n
Sn(n∈N*)．证明：
(1)数列
Sn
n 是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
[证明] (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋2
n
Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即 nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
故 Sn＋1
n＋1
＝2·Sn
n
，(小前提)
∴
Sn
n 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义)
(2) 由 (1) 可 知 Sn＋1
n＋1
＝ 4· Sn－1
n－1
(n≥2) ， ∴ Sn ＋ 1 ＝ 4(n ＋ 1)· Sn－1
n－1
＝ 4· n－1＋2
n－1
·Sn － 1 ＝
4an(n≥2)．(小前提)
又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
∴对于任意正整数 n，都有 Sn＋1＝4an.(结论)
[解题技法] 演绎推理问题求解策略
(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论．
(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般
地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
[题组训练]
1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此 f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以
上推理( )
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
解析：选 C 因为 f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.
2．已知函数 y＝f(x)满足：对任意 a，b∈R，a≠b，都有 af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试
证明：f(x)为 R 上的单调增函数．
证明：设 x1，x2∈R，取 x1x1f(x2)＋x2f(x1)，
∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，
(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，
∵x10，f(x2)>f(x1)．
∴y＝f(x)为 R 上的单调增函数．
考点四 逻辑推理问题
[典例] (2019·安徽示范高中联考)某参观团根据下列要求从 A，B，C，D，E 五个镇
选择参观地点：①若去 A 镇，也必须去 B 镇；②D，E 两镇至少去一镇；③B，C 两镇只去
一镇；④C，D 两镇都去或者都不去；⑤若去 E 镇，则 A，D 两镇也必须去．则该参观团至
多去了( )
A．B，D 两镇 B．A，B 两镇
C．C，D 两镇 D．A，C 两镇
[解析] 假设去 A 镇，则也必须去 B 镇，但去 B 镇则不能去 C 镇，不去 C 镇则也不能
去 D 镇，不去 D 镇则也不能去 E 镇，D，E 镇都不去则不符合条件．故若去 A 镇则无法按
要求完成参观．
同理，假设不去 A 镇去 B 镇，同样无法完成参观．要按照要求完成参观，一定不能去 B
镇，而不去 B 镇的前提是不去 A 镇．
故 A，B 两镇都不能去，则一定不能去 E 镇，所以能去的地方只有 C，D 两镇．故选
C.
[答案] C
[解题技法] 逻辑推理问题求解的 2 种途径
求解此类推理性试题，要根据所涉及的人与物进行判断，通常有两种途径：
(1)根据条件直接进行推理判断；
(2)假设一种情况成立或不成立，然后以此为出发点，联系条件，判断是否与题设条件
相符合．
[题组训练]
1．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证
明此题．甲：“我不会证明．”乙：“丙会证明．”丙：“丁会证明．”丁：“我不会证明．”
根据以上条件，可以判断会证明此题的人是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选 A 四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，由丙、丁的说法知丙与
丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的
是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，故选 A.
2．(2019·大连模拟)甲、乙、丙、丁、戊和己 6 人围坐在一张正六边形的小桌前，每边
各坐一人．已知：①甲与乙正面相对；②丙与丁不相邻，也不正面相对．若己与乙不相邻，
则以下选项正确的是( )
A．若甲与戊相邻，则丁与己正面相对
B．甲与丁相邻
C．戊与己相邻
D．若丙与戊不相邻，则丙与己相邻
解析：选 D 由题意可得到甲、乙位置的示意图如图(1)，因此，丙和丁的座位只可能
是 1 和 2,3 和 4,4 和 3,2 和 1，由己和乙不相邻可知，己只能在 1 或 2，故丙和丁只能在 3 和
4,4 和 3，示意图如图(2)和图(3)，由此可排除 B、C 两项．对于 A 项，若甲与戊相邻，则己
与丁可能正面相对，也可能不正面相对，排除 A.对于 D 项，若丙与戊不相邻，则戊只能在
丙的对面，则己与丙相邻，正确．故选 D.
图(1) 图(2) 图(3)
[课时跟踪检测]
1．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是( )
①2 020 能被 2 整除；②一切偶数都能被 2 整除；③2 020 是偶数．
A．①②③ B．②①③
C．②③① D．③②①
解析：选C 根据题意并按照演绎推理的三段论可知，大前提：一切偶数都能被2整除．小
前提：2 020 是偶数．结论：2 020 能被 2 整除．所以正确的排列顺序是②③①.故选 C.
2．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )
A．设数列{an}的前 n 项和为 Sn.由 an＝2n－1，求出 S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：
Sn＝n2
B．由 f(x)＝xcos x 满足 f(－x)＝－f(x)对∀x∈R 都成立，推断：f(x)＝xcos x 为奇函数
C．由圆 x2＋y2＝r2 的面积 S＝πr2，推断：椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)的面积 S＝πab
D．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切 n∈N*，(n＋1)2＞2n
解析：选 A 选项 A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{an}是等差数列，
其前 n 项和等于 Sn＝n1＋2n－1
2
＝n2，选项 D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．
3．观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4，2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子 3⊗5 是第
( )
A．22 项 B．23 项
C．24 项 D．25 项
解析：选 C 由题意可知，两数的和为 2 的有 1 个，和为 3 的有 2 个，和为 4 的有 3 个，
和为 5 的有 4 个，和为 6 的有 5 个，和为 7 的有 6 个，前面共有 21 个，3⊗5 是和为 8 的第 3
项，所以为该列算式的第 24 项．故选 C.
4．(2018·南宁摸底联考)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分
子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情
况，下列判断正确的是( )
A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民
B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人
C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民
D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人
解析：选 C 由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，
所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所
以选 C.
5．若等差数列{an}的前 n 项之和为 Sn，则一定有 S2n－1＝(2n－1)an 成立．若等比数列{bn}
的前 n 项之积为 Tn，类比等差数列的性质，则有( )
A．T2n－1＝(2n－1)＋bn B．T2n－1＝(2n－1)bn
C．T2n－1＝(2n－1)bn D．T2n－1＝b2n－1n
解析：选 D 在等差数列{an}中，a1＋a2n－1＝2an，
a2＋a2n－2＝2an, …，故有 S2n－1＝(2n－1)an，
在等比数列{bn}中，b1b2n－1＝b2n，b2·b2n－2＝b2n，…，
故有 T2n－1＝b1b2…b2n－1＝b2n－1n .
6．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图
案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的
摆放规律相同)，设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形，则 f(n)的表达式为( )
A．f(n)＝2n－1 B．f(n)＝2n2
C．f(n)＝2n2－2n D．f(n)＝2n2－2n＋1
解析：选 D 因为 f(2)－f(1)＝4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，…，结合图形不难得到
f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，累加得 f(n)－f(1)＝2n(n－1)＝2n2－2n，故 f(n)＝2n2－2n＋1.
7．在正整数数列中，由 1 开始依次按如下规则，将某些数染成红色：先染 1；再染两
个偶数 2,4；再染 4 后面最近的 3 个连续奇数 5,7,9；再染 9 后面的最近的 4 个连续偶数
10,12,14,16；再染 16 后面最近的 5 个连续奇数 17,19,21,23，25，…，按此规则一直染下去，
得到一个红色子数列 1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个红色子数列中，由 1 开始的第
2 019 个数是( )
A．3 971 B．3 972
C．3 973 D．3 974
解析：选 D 按照染色步骤对数字进行分组．由题意可知，第 1 组有 1 个数，第 2 组有
2 个数，…，根据等差数列的前 n 项和公式，可知前 n 组共有nn＋1
2
个数．由于 2 016＝
63×63＋1
2
＜2 019＜64×64＋1
2
＝2 080，因此，第 2 019 个数是第 64 组的第 3 个数，由
于第 1 组最后一个数是 1，第 2 组最后一个数是 4，第 3 组最后一个数是 9，…，所以第 n
组最后一个数是 n2，因此第 63 组最后一个数为 632＝3 969，第 64 组为偶数组，其第 1 个数
为 3 970，第 2 个数为 3 972，第 3 个数为 3 974，故选 D.
8．观察下列等式：
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
照此规律，第 n 个等式为________．
解析：观察所给等式可知，每行最左侧的数分别为 1,2,3，…，则第 n 行最左侧的数为 n；
每个等式左侧的数的个数分别为 1,3,5，…，则第 n 个等式左侧的数的个数为 2n－1，而第 n
个等式右侧为(2n－1)2，所以第 n 个等式为 n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
9．(2018·上饶二模)二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2；
三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝4
3πr3.应用合情推理，若四
维空间中，“特级球”的三维测度 V＝12πr3，则其四维测度 W＝________.
解析：∵二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现 S′
＝l，三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝4
3πr3，观察发现 V′＝S，
∴四维空间中“特级球”的三维测度 V＝12πr3，猜想其四维测度 W 满足 W′＝V＝12πr3，
∴W＝3πr4.
答案：3πr4
10．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中λ>0，{an}的通项公
式是________________．
解析：a1＝2，a2＝2λ＋λ2＋(2－λ)·2＝λ2＋22，
a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)·22＝2λ3＋23，
a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)·23＝3λ4＋24.
由此猜想出数列{an}的通项公式为 an＝(n－1)λn＋2n.
答案：an＝(n－1)λn＋2n
11．(2019·吉林实验中学测试)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为
左焦点，当 FB⊥AB 时，其离心率为 5－1
2
，此类椭圆被称为“黄金椭
圆”．类比“黄金椭圆”可推出“黄金双曲线”的离心率 e 等于________．
解析：类比“黄金椭圆”，设双曲线方程为x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)，
则 F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)，
所以 FB
―→＝(c，b)， AB
―→＝(－a，b)．
易知 FB
―→⊥ AB
―→，所以 FB
―→
· AB
―→＝b2－ac＝0，
所以 c2－a2－ac＝0，即 e2－e－1＝0，
又 e＞1，所以 e＝ 5＋1
2
.
答案： 5＋1
2
12．已知 O 是△ABC 内任意一点，连接 AO，BO，CO 并延长，分别交对边于 A′，B′，
C′，则OA′
AA′
＋OB′
BB′
＋OC′
CC′
＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”：
OA′
AA′
＋OB′
BB′
＋OC′
CC′
＝S△OBC
S△ABC
＋S△OCA
S△ABC
＋S△OAB
S△ABC
＝S△ABC
S△ABC
＝1.
请运用类比思想，对于空间中的四面体 A BCD，存在什么类似的结论，并用“体积法”
证明．
解：在四面体 A BCD 中，任取一点 O，连接 AO，DO，BO，CO 并延长，分别交四
个面于 E，F，G，H 点．
则OE
AE
＋OF
DF
＋OG
BG
＋OH
CH
＝1.
证明：在四面体 O BCD 与 A BCD 中，
OE
AE
＝h1
h
＝
1
3S△BCD·h1
1
3S△BCD·h
＝VO BCD
VA BCD
.
同理有OF
DF
＝VOABC
VDABC
，OG
BG
＝VO-ACD
VBACD
，OH
CH
＝VOABD
VCABD
.
∴OE
AE
＋OF
DF
＋OG
BG
＋OH
CH
＝VOBCD＋VOABC＋VOACD＋VOABD
VABCD
＝VABCD
VABCD
＝1.
第四节 直接证明与间接证明
一、基础知识
1．直接证明
(1)综合法
①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论
证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
综合法证明题的一般规律
(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)
的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过
一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．
(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．
②框图表示： P⇒Q1 ―→ Q1⇒Q2 ―→ Q2⇒Q3 ―→…―→ Qn⇒Q
(其中 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论)．
③思维过程：由因导果．
(2)分析法
①定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把
要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种
证明方法叫做分析法．
分析法证明问题的适用范围
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体
时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．
②框图表示： Q⇐P1 ―→ P1⇐P2 ―→ P2⇐P3 ―→…―→
得到一个明显
成立的条件 (其中 Q 表示要
证明的结论)．
③思维过程：执果索因．
2．间接证明
反证法：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的
推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．
考点一 综合法的应用
[典例] 设 a，b，c 均为正数，且 a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ca≤1
3
；
(2)a2
b
＋b2
c
＋c2
a
≥1.
[证明] (1)由 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca 得
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即 a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，
所以 3(ab＋bc＋ca)≤1，即 ab＋bc＋ca≤1
3.
当且仅当“a＝b＝c”时等号成立；
(2)因为a2
b
＋b≥2a，b2
c
＋c≥2b，c2
a
＋a≥2c，
当且仅当“a2＝b2＝c2”时等号成立，
故a2
b
＋b2
c
＋c2
a
＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即a2
b
＋b2
c
＋c2
a
≥a＋b＋c.
所以a2
b
＋b2
c
＋c2
a
≥1.
[变透练清]
1.变结论若本例条件不变，证明 a2＋b2＋c2≥1
3.
证明：因为 a＋b＋c＝1，
所以 1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，
因为 2ab≤a2＋b2,2bc≤b2＋c2,2ac≤a2＋c2，
所以 2ab＋2bc＋2ac≤2(a2＋b2＋c2)，
所以 1≤a2＋b2＋c2＋2(a2＋b2＋c2)，
即 a2＋b2＋c2≥1
3.
2．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin Asin B＋sin Bsin C＋ cos
2B＝1.
(1)求证：a，b，c 成等差数列；
(2)若 C＝2π
3
，求证：5a＝3b.
证明：(1)由已知得 sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2B，
因为 sin B≠0，所以 sin A＋sin C＝2sin B，
由正弦定理，有 a＋c＝2b，即 a，b，c 成等差数列．
(2)由 C＝2π
3
，c＝2b－a 及余弦定理得
(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有 5ab－3b2＝0，
所以 5a＝3b.
考点二 分析法的应用
[典例] 已知△ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，A，B，C 的对边分别为 a，b，c.
求证： 1
a＋b
＋ 1
b＋c
＝ 3
a＋b＋c.
[证明] 要证 1
a＋b
＋ 1
b＋c
＝ 3
a＋b＋c
，
即证a＋b＋c
a＋b
＋a＋b＋c
b＋c
＝3，也就是 c
a＋b
＋ a
b＋c
＝1，
只需证 c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
需证 c2＋a2＝ac＋b2，
又△ABC 三内角 A，B，C 成等差数列，故 B＝60°，
由余弦定理，得 b2＝c2＋a2－2accos 60°，
即 b2＝c2＋a2－ac，故 c2＋a2＝ac＋b2 成立．
于是原等式成立．
[解题技法] 利用分析法证明问题的思路及格式
(1)分析法的证明思路
先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证
的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．
(2)分析法的格式
通常采用“要证(欲证)……”“只需证……”“即证……”的格式，在表达中要注意叙
述形式的规范性．
[对点训练]
已知 m＞0，a，b∈R，求证：
a＋mb
1＋m 2≤a2＋mb2
1＋m
.
证明：因为 m＞0，所以 1＋m＞0.
所以要证
a＋mb
1＋m 2≤a2＋mb2
1＋m
，
只需证 m(a2－2ab＋b2)≥0，
即证(a－b)2≥0，
而(a－b)2≥0 显然成立，
故
a＋mb
1＋m 2≤a2＋mb2
1＋m
.
考点三 反证法的应用
[典例] 已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与 x 轴有两个不同的交点，若 f(c)
＝0，且 0＜x＜c 时，f(x)＞0.
(1)证明：1
a
是函数 f(x)的一个零点；
(2)试用反证法证明1
a
＞c.
[证明] (1)因为 f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点，
所以 f(x)＝0 有两个不等实根 x1，x2，
因为 f(c)＝0，
所以 x1＝c 是 f(x)＝0 的根，
又 x1x2＝c
a
，
所以 x2＝1
a
1
a
≠c ，
所以1
a
是函数 f(x)的一个零点．
(2)因为函数有两个不同零点，所以1
a
≠c.
假设1
a
＜c，又1
a
＞0，
由 0＜x＜c 时，f(x)＞0，
知 f
1
a ＞0，与 f
1
a ＝0 矛盾，
所以1
a
＜c 不成立，
又因为1
a
≠c，所以1
a>c.
[对点训练]
设 a＞0，b＞0，且 a＋b＝1
a
＋1
b.
证明：(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a＜2 与 b2＋b＜2 不可能同时成立．
证明：由 a＋b＝1
a
＋1
b
＝a＋b
ab
，a＞0，b＞0，得 ab＝1.
(1)由基本不等式及 ab＝1，
有 a＋b≥2 ab＝2，即 a＋b≥2.
(2)假设 a2＋a＜2 与 b2＋b＜2 同时成立，
则由 a2＋a＜2 及 a＞0 得 0＜a＜1；
同理，0＜b＜1，从而 ab＜1，
这与 ab＝1 矛盾．
故 a2＋a＜2 与 b2＋b＜2 不可能同时成立．
[课时跟踪检测]
A 级
1．用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x3＋ax＋b＝0 至少有一个实数根”时，
假设为( )
A．方程 x3＋ax＋b＝0 没有实数根
B．方程 x3＋ax＋b＝0 至多有一个实数根
C．方程 x3＋ax＋b＝0 至多有两个实数根
D．方程 x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实数根
解析：选 A “至少有一个实数根”的否定是“一个实数根也没有”，即“没有实数
根”．
2．在△ABC 中，sin Asin C0，
即 cos(A＋C)>0，所以 A＋C 是锐角，
从而 B>π
2
，故△ABC 必是钝角三角形．
3．分析法又称执果索因法，已知 x>0，用分析法证明 1＋x<1＋x
2
时，索的因是( )
A．x2>2 B．x2>4
C．x2>0 D．x2>1
解析：选 C 因为 x>0，
所以要证 1＋x<1＋x
2
，
只需证( 1＋x)2< 1＋x
2 2，即证 00，
因为 x>0，所以 x2>0 成立，故原不等式成立．
4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设 a＞b＞c，且 a＋b＋c＝0，求证 b2－ac
＜ 3a”索的因应是( )
A．a－b＞0 B．a－c＞0
C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0
解析：选 C 由题意知 b2－ac＜ 3a⇐b2－ac＜3a2⇐(a＋c)2－ac＜3a2⇐a2＋2ac＋c2－ac
－3a2＜0
⇐－2a2＋ac＋c2＜0⇐2a2－ac－c2＞0
⇐(a－c)(2a＋c)＞0⇐(a－c)(a－b)＞0.选 C.
5．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0 时，f(x)单调递减，若 x1＋x2>0，则 f(x1)
＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
解析：选 A 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0 时，f(x)单调递减，可知 f(x)是 R
上的单调递减函数，
由 x1＋x2>0，可知 x1>－x2，f(x1)8.
证明：因为 x，y，z 是互不相等的正数，且 x＋y＋z＝1，
所以1
x
－1＝1－x
x
＝y＋z
x
>2 yz
x
， ①
1
y
－1＝1－y
y
＝x＋z
y
>2 xz
y
， ②
1
z
－1＝1－z
z
＝x＋y
z
>2 xy
z
， ③
又 x，y，z 为正数，由①×②×③，
得
1
x
－1 1
y
－1 1
z
－1 >8.
10．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n2－n
2
，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：对任意的 n>1，都存在 m∈N*，使得 a1，an，am 成等比数列．
解：(1)由 Sn＝3n2－n
2
，得 a1＝S1＝1，
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，当 n＝1 时也适合．
所以数列{an}的通项公式为 an＝3n－2.
(2)证明：要使得 a1，an，am 成等比数列，
只需要 a2n＝a1·am，
即(3n－2)2＝1·(3m－2)，
即 m＝3n2－4n＋2，而此时 m∈N*，且 m>n.
所以对任意的 n>1，都存在 m∈N*，使得 a1，an，am 成等比数列．
B 级
1.如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，A1B1＝A1C1，D，E 分别是棱
BC，CC1 上的点(点 D 不同于点 C)，且 AD⊥DE，F 为 B1C1 的中点．求证：
(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1；
(2)直线 A1F∥平面 ADE.
证明：(1)因为 ABCA1B1C1 是直三棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC，
又 AD⊂平面 ABC，所以 CC1⊥AD.
因为 AD⊥DE，CC1∩DE＝E，CC1⊂平面 BCC1B1，
DE⊂平面 BCC1B1，
所以 AD⊥平面 BCC1B1.
又 AD⊂平面 ADE，
所以平面 ADE⊥平面 BCC1B1.
(2)因为 A1B1＝A1C1，F 为 B1C1 的中点，所以 A1F⊥B1C1.
因为 CC1⊥平面 A1B1C1，A1F⊂平面 A1B1C1，
所以 CC1⊥A1F.
又因为 CC1∩B1C1＝C1，CC1⊂平面 BCC1B1，B1C1⊂平面 BCC1B1，
所以 A1F⊥平面 BCC1B1.
由(1)知 AD⊥平面 BCC1B1，所以 A1F∥AD.
又 AD⊂平面 ADE，A1F⊄平面 ADE，
所以 A1F∥平面 ADE.
2．设函数 f(x)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数 f′(x)＝1
x
，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1)求 g(x)的单调区间和最小值；
(2)讨论 g(x)与 g
1
x 的大小关系；
(3)是否存在 x0＞0，使得|g(x)－g(x0)|＜1
x
对任意 x＞0 成立？若存在，求出 x0 的取值范围；
若不存在，请说明理由．
解：(1)由题设易知 f(x)＝ln x，g(x)＝ln x＋1
x
，
∴g′(x)＝x－1
x2
，令 g′(x)＝0 得 x＝1，
当 x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故(0,1)是 g(x)的单调递减区间，
当 x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是 g(x)的单调递增区间，
因此，x＝1 是 g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
所以最小值为 g(1)＝1.
(2)g
1
x ＝－ln x＋x，
设 h(x)＝g(x)－g
1
x ＝2ln x－x＋1
x
，
则 h′(x)＝－x－12
x2
，
当 x＝1 时，h(1)＝0，即 g(x)＝g
1
x ，
当 x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)＜0，h′(1)＝0，
因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减，
当 0＜x＜1 时，h(x)＞h(1)＝0，
即 g(x)＞g
1
x ；
当 x＞1 时，h(x)＜h(1)＝0，
即 g(x)＜g
1
x .
(3)满足条件的 x0 不存在．证明如下：
法一：假设存在 x0＞0，使|g(x)－g(x0)|＜1
x
对任意 x＞0 成立，即对任意 x＞0，有 ln x＜
g(x0)＜ln x＋2
x
，*
但对上述 x0，取 x1＝eg(x0)时，有 ln x1＝g(x0)，这与*左边不等式矛盾，
因此，不存在 x0＞0，使|g(x)－g(x0)|<1
x
对任意 x＞0 成立．
法二：假设存在 x0＞0，使|g(x)－g(x0)|＜1
x
对任意 x＞0 成立．
由(1)知，g(x)的最小值为 g(1)＝1，
又 g(x)＝ln x＋1
x
＞ln x，而 x＞1 时，ln x 的值域为(0，＋∞)，
∴x≥1 时，g(x)的值域为[1，＋∞)，
从而可取一个 x1＞1，使 g(x1)≥g(x0)＋1，
即 g(x1)－g(x0)≥1，
故|g(x1)－g(x0)|≥1＞1
x1
，与假设矛盾．
∴不存在 x0＞0，使|g(x)－g(x0)|＜1
x
对任意 x＞0 成立．
选修 4－4 坐标系与参数方程
第一节 坐标系
一、基础知识
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ： x′＝λ·xλ＞0，
y′＝μ·yμ＞0
的作用下，
点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变
换．
2．极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示，在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条射线
Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正
方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标
①极径：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径，记为ρ.
②极角：以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记为θ.
③极坐标：有序数对ρ，θ叫做点 M 的极坐标，记为 Mρ，θ.
一般不作特殊说明时，我们认为ρ ≥0，θ可取任意实数.
3．极坐标与直角坐标的互化
设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，
极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：
x＝ρcos θ，
y＝ρsin θ；
ρ2＝x2＋y2，
tan θ＝y
x
x≠0.
4．简单曲线的极坐标方程
曲线 极坐标方程
圆心为极点，半径为 r 的圆 ρ＝r(0≤θ<2π)
圆心为(r,0)，半径为 r 的圆 ρ＝2rcos θ
－π
2
≤θ≤π
2
圆心为 r，π
2 ，半径为 r 的圆 ρ＝2rsin θ(0≤θ<π)
过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)
过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a
－π
2<θ<π
2
过点 a，π
2 ，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a(0<θ<π)
考点一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
[典例] 求双曲线 C：x2－y2
64
＝1 经过φ：x′＝3x，
2y′＝y
变换后所得曲线 C′的焦点坐标．
[解] 设曲线 C′上任意一点 P(x′，y′)，
由上述可知，将
x＝1
3x′，
y＝2y′
代入 x2－y2
64
＝1，
得x′2
9
－4y′2
64
＝1，化简得x′2
9
－y′2
16
＝1，即x2
9
－y2
16
＝1 为曲线 C′的方程，
可见仍是双曲线，则焦点(－5,0)，(5,0)为所求．
[解题技法] 伸缩变换后方程的求法
平面上的曲线 y＝f(x)在变换φ： x′＝λxλ>0，
y′＝μyμ>0
的作用下的变换方程的求法是将
x＝x′
λ
，
y＝y′
μ
代入 y＝f(x)，得y′
μ
＝f
x′
λ ，整理之后得到 y′＝h(x′)，即为所求变换之后
的方程．
[提醒] 应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x′，y′)．
[题组训练]
1．若函数 y＝f(x)的图象在伸缩变换φ： x′＝2x，
y′＝3y
的作用下得到曲线的方程为 y′＝
3sin x′＋π
6 ，求函数 y＝f(x)的最小正周期．
解：由题意，把变换公式代入曲线 y′＝3sin x′＋π
6 得
3y＝3sin 2x＋π
6 ，整理得 y＝sin 2x＋π
6 ，
故 f(x)＝sin 2x＋π
6 .
所以函数 f(x)的最小正周期为π.
2．将圆 x2＋y2＝1 变换为椭圆x2
25
＋y2
16
＝1 的一个伸缩变换公式φ：x′＝λx，
y′＝μy
(λ，μ>0)，
求λ，μ的值．
解：将变换后的椭圆x2
25
＋y2
16
＝1 改写为x′2
25
＋y′2
16
＝1，
把伸缩变换公式φ： x′＝λx，
y′＝μy
(λ，μ>0)代入上式得：
λ2x2
25
＋μ2y2
16
＝1 即
λ
5 2x2＋
μ
4 2y2＝1，与 x2＋y2＝1，
比较系数得
λ
5 2＝1，
μ
4 2＝1，
所以 λ＝5，
μ＝4.
考点二 极坐标与直角坐标的互化
[典例] (2018·江苏高考)在极坐标系中，直线 l 的方程为ρsin
π
6
－θ ＝2，曲线 C 的方
程为ρ＝4cos θ，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长．
[解] 因为曲线 C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，化成直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，
所以曲线 C 是圆心为(2,0)，直径为 4 的圆．
因为直线 l 的极坐标方程为ρsin
π
6
－ θ ＝2，
化成直角坐标方程为 y＝ 3
3 (x－4)，
则直线 l 过 A(4,0)，倾斜角为π
6
，
所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点．
设另一个交点为 B，则∠OAB＝π
6.
如图，连接 OB.
因为 OA 为直径，从而∠OBA＝π
2
，
所以 AB＝4cosπ
6
＝2 3.
所以直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2 3.
[解题技法]
1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法
(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式 x＝ρcos θ及 y＝ρsin θ直接代入直角坐标方程
并化简即可．
(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2 的形式，
再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技
巧．
2．极角的确定
由 tan θ确定角θ时，应根据点 P 所在象限取最小正角．
(1)当 x≠0 时，θ角才能由 tan θ＝y
x
按上述方法确定．
(2)当 x＝0 时，tan θ没有意义，这时可分三种情况处理：
当 x＝0，y＝0 时，θ可取任何值；当 x＝0，y>0 时，可取θ＝π
2
；当 x＝0，y<0 时，可取
θ＝3π
2 .
[题组训练]
1．(2019·郑州质检)在极坐标系下，已知圆 O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线 l：ρsin θ－π
4 ＝
2
2 (ρ≥0,0≤θ＜2π)．
(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线 l 与圆 O 的公共点的极坐标．
解：(1)圆 O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
故圆 O 的直角坐标方程为 x2＋y2－x－y＝0，
直线 l：ρsin θ－π
4 ＝ 2
2
，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线 l 的直角坐标方程为 x－y＋1＝0.
(2)将两直角坐标方程联立得 x2＋y2－x－y＝0，
x－y＋1＝0，
解得 x＝0，
y＝1，
即圆 O 与直线 l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，
将(0,1)转化为极坐标为 1，π
2 即为所求．
2．已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2 2ρ·cos θ－π
4 ＝2.
(1)求圆 O1 和圆 O2 的直角坐标方程；
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
解：(1)由ρ＝2 知ρ2＝4，
所以圆 O1 的直角坐标方程为 x2＋y2＝4.
因为ρ2－2 2ρcos θ－π
4 ＝2，
所以ρ2－2 2ρ cos θcosπ
4
＋sin θsinπ
4 ＝2，
所以圆 O2 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，
得经过两圆交点的直线方程为 x＋y＝1.
化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，
即ρsin θ＋π
4 ＝ 2
2 .
考点三 曲线的极坐标方程的应用
[典例] (2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点 P 的轨迹
C2 的直角坐标方程；
(2)设点 A 的极坐标为 2，π
3 ，点 B 在曲线 C2 上，求△OAB 面积的最大值．
[解] (1)设 P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝ 4
cos θ.
由|OM|·|OP|＝16，得 C2 的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．
因此 C2 的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点 B 的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB 的面积
S＝1
2|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·|sin α－π
3 |＝2|sin 2α－π
3 － 3
2 |.
即当α＝－ π
12
时，S 取得最大值 2＋ 3.
所以△OAB 面积的最大值为 2＋ 3.
[解题技法]
1．求简单曲线的极坐标方程的方法
(1)设点 M(ρ，θ)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用三角函数及正、
余弦定理求解|OM|与θ的关系．
(2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方
程化为极坐标方程．
2．利用极坐标系解决问题的技巧
(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标
表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．
(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，其比直
角坐标系中求最值的运算量小．
[提醒] 在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．
[题组训练]
1．(2019·青岛质检)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 x＝cos φ，
y＝1＋sin φ
(其中
φ为参数)．以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆 C 的极坐标方程；
(2)设直线 l 的极坐标方程是ρsin θ＋π
3 ＝2，射线 OM：θ＝π
6
与圆 C 的交点为 P，与直线
l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长．
解：(1)圆 C 的普通方程为 x2＋(y－1)2＝1，又 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以圆 C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(2)把θ＝π
6
代入圆的极坐标方程可得ρP＝1，
把θ＝π
6
代入直线 l 的极坐标方程可得ρQ＝2，
所以|PQ|＝|ρP－ρQ|＝1.
2．(2018·湖北八校联考)已知曲线 C 的极坐标方程为ρ2＝ 9
cos2 θ＋9sin2 θ
，以极点为平面
直角坐标系的原点 O，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．
(1)求曲线 C 的直角坐标方程；
(2)A，B 为曲线 C 上两点，若 OA⊥OB，求 1
|OA|2
＋ 1
|OB|2
的值．
解：(1)由ρ2＝ 9
cos2θ＋9sin2θ
得ρ2cos2θ＋9ρ2sin2θ＝9，
将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得到曲线 C 的直角坐标方程是x2
9
＋y2＝1.
(2)因为ρ2＝ 9
cos2θ＋9sin2θ
，所以1
ρ2
＝cos2θ
9
＋sin2θ，
由 OA⊥OB，设 A(ρ1，α)，则点 B 的坐标可设为 ρ2，α±π
2 ，
所以 1
|OA|2
＋ 1
|OB|2
＝ 1
ρ21
＋1
ρ22
＝cos2α
9
＋sin2α＋sin2α
9
＋cos2α＝1
9
＋1＝10
9 .
[课时跟踪检测]
1．在极坐标系中，求直线ρcos θ＋π
6 ＝1 与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．
解：ρcos θ＋π
6 ＝1 化为直角坐标方程为 3x－y＝2，
即 y＝ 3x－2.
ρ＝4sin θ可化为 x2＋y2＝4y，
把 y＝ 3x－2 代入 x2＋y2＝4y，
得 4x2－8 3x＋12＝0，
即(x－ 3)2＝0，
所以 x＝ 3，y＝1.
所以直线与圆的交点坐标为( 3，1)，化为极坐标为 2，π
6 .
2．在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P 2，π
4 ，圆心为直线ρsin θ－π
3 ＝－ 3
2
与极轴的
交点，求圆 C 的极坐标方程．
解：在ρsin θ－π
3 ＝－ 3
2
中，令θ＝0，得ρ＝1，
所以圆 C 的圆心坐标为(1,0)．
因为圆 C 经过点 P 2，π
4 ，
所以圆 C 的半径|PC|＝ 22＋12－2×1× 2cosπ
4
＝1，于是圆 C 过极点，
所以圆 C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
3．在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x－ 3)2＋(y＋1)2＝9，以 O 为极点，x 轴的非
负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆 C 的极坐标方程；
(2)直线 OP：θ＝π
6(ρ∈R)与圆 C 交于点 M，N，求线段 MN 的长．
解：(1)(x－ 3)2＋(y＋1)2＝9 可化为 x2＋y2－2 3x＋2y－5＝0，
故其极坐标方程为ρ2－2 3ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0.
(2)将θ＝π
6
代入ρ2－2 3ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0，
得ρ2－2ρ－5＝0，
所以ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－5，
所以|MN|＝|ρ1－ρ2|＝ 4＋20＝2 6.
4．在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线 C 的极
坐标方程为ρcos θ－π
3 ＝1，M，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点．
(1)求 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标；
(2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程．
解：(1)由ρcos θ－π
3 ＝1 得ρ
1
2cos θ＋ 3
2 sin θ ＝1.
从而 C 的直角坐标方程为 1
2x＋ 3
2 y＝1，即 x＋ 3y＝2.
当θ＝0 时，ρ＝2，所以 M(2,0)．
当θ＝π
2
时，ρ＝2 3
3
，所以 N
2 3
3
，π
2 .
(2)由(1)知 M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为 0，2 3
3 .
所以点 P 的直角坐标为 1， 3
3 ，则点 P 的极坐标为
2 3
3
，π
6 ，
所以直线 OP 的极坐标方程为θ＝π
6(ρ∈R)．
5．(2018·南昌摸底调研)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为(x－ 3)2＋(y－2)2
＝4，直线 C2 的方程为 y＝ 3
3 x，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线 C1 和直线 C2 的极坐标方程；
(2)若直线 C2 与曲线 C1 交于 P，Q 两点，求|OP|·|OQ|的值．
解：(1)∵曲线 C1 的普通方程为(x－ 3)2＋(y－2)2＝4，
即 x2＋y2－2 3x－4y＋3＝0，
∴曲线 C1 的极坐标方程为ρ2－2 3ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0.
∵直线 C2 的方程为 y＝ 3
3 x，
∴直线 C2 的极坐标方程为θ＝π
6(ρ∈R)．
(2)设 P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，
将θ＝π
6(ρ∈R)代入ρ2－2 3ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0，
得ρ2－5ρ＋3＝0，∴ρ1ρ2＝3，∴|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝3.
6．(2019·山西八校联考)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.
以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线 C 的极坐标方程；
(2)设 l1：θ＝π
6
，l2：θ＝π
3
，若 l1，l2 与曲线 C 分别交于异于原点的 A，B 两点，求△AOB
的面积．
解：(1)∵曲线 C 的普通方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，
即 x2＋y2－6x－8y＝0.
∴曲线 C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ.
(2)设 A ρ1，π
6 ，B ρ2，π
3 .
把θ＝π
6
代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋3 3，
∴A 4＋3 3，π
6 .
把θ＝π
3
代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋4 3，
∴B 3＋4 3，π
3 .
∴S△AOB＝1
2ρ1ρ2sin∠AOB
＝1
2(4＋3 3)(3＋4 3)sin
π
3
－π
6
＝12＋25 3
4 .
7．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： x＝tcos α，
y＝tsin α
(t 为参数，t≠0)，其中 0≤α＜π.在
以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2 3cos θ.
(1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标；
(2)若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值．
解：(1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y＝0，
曲线 C3 的直角坐标方程为 x2＋y2－2 3x＝0.
联立 x2＋y2－2y＝0，
x2＋y2－2 3x＝0，
解得 x＝0，
y＝0
或
x＝ 3
2
，
y＝3
2.
所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和
3
2
，3
2 .
(2)曲线 C1 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中 0≤α＜π.
因此 A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(2 3cos α，α)．
所以|AB|＝|2sin α－2 3cos α|＝4|sin α－π
3 |.
当α＝5π
6
时，|AB|取得最大值，最大值为 4.
8．(2019·郑州一中模拟)在平面直角坐标系中，曲线 C1 的普通方程为 x2＋y2＋2x－4＝0，
曲线 C2 的方程为 y2＝x，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线 C1，C2 的极坐标方程；
(2)求曲线 C1 与 C2 交点的极坐标，其中ρ≥0,0≤θ<2π.
解：(1)依题意，将 x＝ρcos θ，
y＝ρsin θ
代入 x2＋y2＋2x－4＝0 可得ρ2＋2ρcos θ－4＝0.
将 x＝ρcos θ，
y＝ρsin θ
代入 y2＝x，得ρsin2θ＝cos θ.
故曲线 C1 的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－4＝0，曲线 C2 的极坐标方程为ρsin2θ＝cos θ.
(2)将 y2＝x 代入 x2＋y2＋2x－4＝0，得 x2＋3x－4＝0，解得 x＝1，x＝－4(舍去)，
当 x＝1 时，y＝±1，所以曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1,1)，(1，－1)，记 A(1,1)，
B(1，－1)，
所以ρA＝ 1＋1＝ 2，ρB＝ 1＋1＝ 2，tan θA＝1，tan θB＝－1，
因为ρ≥0,0≤θ<2π，点 A 在第一象限，点 B 在第四象限，
所以θA＝π
4
，θB＝7π
4
，故曲线 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 2，π
4 ， 2，7π
4 .
第二节 参数方程
一、基础知识
1．曲线的参数方程
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数
x＝ft，
y＝gt，
并且对于 t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，
那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫做参变数，简称参
数．
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程 F(x，y)＝0 叫做普通方程．
2．参数方程和普通方程的互化
(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数．
(2)普通方程化参数方程：如果 x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的
关系 y＝g(t)，则得曲线的参数方程 x＝ft，
y＝gt.
3．直线、圆、椭圆的参数方程
(1)过点 M(x0，y0)，倾斜角为α的直线 l 的参数方程为 x＝x0＋tcos α，
y＝y0＋tsin α
(t 为参数)．
直线参数方程的标准形式的应用
过点 M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线 l 的参数方程是 x＝x0＋tcos α，
y＝y0＋tsin α.
若 M1，M2 是 l 上
的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则
①|M1M2|＝|t1－t2|.
②若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋t2
2
，中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|
＝|t|＝|t1＋t2
2 |.
③若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
④|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.
(2)圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为 x＝x0＋rcos θ，
y＝y0＋rsin θ
(θ为参数)．
(3)椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)的参数方程为 x＝acos φ，
y＝bsin φ
(φ为参数)．
考点一 参数方程与普通方程的互化
[典例] 已知直线 l 的参数方程为 x＝a－2t，
y＝－4t
(t 为参数)，圆 C 的参数方程为
x＝4cos θ，
y＝4sin θ
(θ为参数)．
(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程；
(2)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围．
[解] (1)直线 l 的普通方程为 2x－y－2a＝0，
圆 C 的普通方程为 x2＋y2＝16.
(2)因为直线 l 与圆 C 有公共点，
故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d＝|－2a|
5
≤4，
解得－2 5≤a≤2 5.
即实数 a 的取值范围为[－2 5，2 5 ]．
[解题技法] 将参数方程化为普通方程的方法
将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见
的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常
利用同角三角函数关系式消参(如 sin2θ＋cos2θ＝1 等)．
[提醒] 将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解．
[题组训练]
1．将下列参数方程化为普通方程．
(1)
x＝1
2
et＋e－t，
y＝1
2
et－e－t (t 为参数)．
(2)
x＝2tan2θ，
y＝2tan θ
(θ为参数)．
解：(1)由参数方程得 et＝x＋y，e－t＝x－y，
所以(x＋y)(x－y)＝1，即 x2－y2＝1.
(2)因为曲线的参数方程为 x＝2tan2θ，
y＝2tan θ
(θ为参数)，
①
②
由 y＝2tan θ，得 tan θ＝y
2
，代入①得 y2＝2x.
2.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆 x2＋y2－x＝0 的参
数方程．
解：圆的半径为1
2
，
记圆心为 C
1
2
，0 ，连接 CP，
则∠PCx＝2θ，
故 xP＝1
2
＋1
2cos 2θ＝cos2θ，
yP＝1
2sin 2θ＝sin θcos θ.
所以圆的参数方程为 x＝cos2θ，
y＝sin θcos θ
(θ为参数)．
考点二 参数方程的应用
[ 典 例 ] (2019· 广 州 高 中 综 合 测 试 ) 已 知 过 点 P(m,0) 的 直 线 l 的 参 数 方 程 是
x＝m＋ 3
2 t，
y＝1
2t
(t 为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立
极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
(2)若直线 l 和曲线 C 交于 A，B 两点，且|PA|·|PB|＝2，求实数 m 的值．
[解] (1)消去参数 t，可得直线 l 的普通方程为 x＝ 3y＋m，即 x－ 3y－m＝0.
因为ρ＝2cos θ，所以ρ2＝2ρcos θ.
可得曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2＝2x，即 x2－2x＋y2＝0.
(2)把
x＝m＋ 3
2 t，
y＝1
2t
代入 x2－2x＋y2＝0，
得 t2＋( 3m－ 3)t＋m2－2m＝0.
由Δ>0，得－11，
即α∈
π
2
，3π
4 或α∈
π
4
，π
2 .
综上，α的取值范围是
π
4
，3π
4 .
(2)l 的参数方程为 x＝tcos α，
y＝－ 2＋tsin α
t 为参数，π
4<α<3π
4 .
设 A，B，P 对应的参数分别为 tA，tB，tP，
则 tP＝tA＋tB
2
，且 tA，tB 满足 t2－2 2tsin α＋1＝0.
于是 tA＋tB＝2 2sin α，tP＝ 2sin α.
又点 P 的坐标(x，y)满足 x＝tPcos α，
y＝－ 2＋tPsin α，
所以点 P 的轨迹的参数方程是
x＝ 2
2 sin 2α，
y＝－ 2
2
－ 2
2 cos 2α
α为参数，π
4<α<3π
4 .
7．(2019·洛阳第一次统考)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x＝t，
y＝m＋t
(t
为参数，m∈R)，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标
方程为ρ2＝ 3
3－2cos2θ
(0≤θ≤π)．
(1)写出曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程；
(2)已知点 P 是曲线 C2 上一点，若点 P 到曲线 C1 的最小距离为 2 2，求 m 的值．
解：(1)由曲线 C1 的参数方程消去参数 t，可得 C1 的普通方程为 x－y＋m＝0.
由曲线 C2 的极坐标方程得 3ρ2－2ρ2cos2θ＝3，θ∈[0，π]，
∴曲线 C2 的直角坐标方程为x2
3
＋y2＝1(0≤y≤1)．
(2)设曲线 C2 上任意一点 P 的坐标为( 3cos α，sin α)，α∈[0，π]，
则点 P 到曲线 C1 的距离 d＝| 3cos α－sin α＋m|
2
＝|2cos α＋π
6 ＋m|
2
.
∵α∈[0，π]，∴cos α＋π
6 ∈ －1， 3
2 ，2cos α＋π
6 ∈[－2， 3 ]，
当 m＋ 3＜0 时，m＋ 3＝－4，即 m＝－4－ 3.
当 m－2＞0 时，m－2＝4，即 m＝6.
当 m＋ 3≥0，m－2≤0，即－ 3≤m≤2 时，dmin＝0，不合题意，舍去．
综上，m＝－4－ 3或 m＝6.
8．已知直线 l 的参数方程为 x＝1＋tcos θ，
y＝tsin θ
(t 为参数)，曲线 C 的参数方程为
x＝ 3cos α，
y＝sin α
(α为参数)，且直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点．
(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程，并求θ＝π
3
时，|AB|的值；
(2)已知点 P(1,0)，求当直线 l 的倾斜角θ变化时，|PA|·|PB|的取值范围．
解：(1)曲线 C 的普通方程为x2
3
＋y2＝1.
当θ＝π
3
时，直线 l 的参数方程为
x＝1＋1
2t
y＝ 3
2 t
(t 为参数)，
将 l 的参数方程代入x2
3
＋y2＝1，得 5t2＋2t－4＝0，
设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，
则 t1＋t2＝－2
5
，t1t2＝－4
5
，
所以|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2＝2 21
5 .
(2)将直线 l 的参数方程 x＝1＋tcos θ，
y＝tsin θ
代入x2
3
＋y2＝1，
得(1＋2sin2θ)t2＋2tcos θ－2＝0，
设 A，B 对应的参数分别为 t3，t4，则 t3t4＝ －2
1＋2sin2θ
，
则|PA|·|PB|＝－t3t4＝ 2
1＋2sin2θ.
又 0≤sin2θ≤1，所以2
3
≤|PA|·|PB|≤2，
所以|PA|·|PB|的取值范围是
2
3
，2 .
选修 4－5 不等式选讲
第一节 绝对值不等式
一、基础知识
1．绝对值三角不等式
定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立．
定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0 时，
等号成立． ↓
|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且 ab≥0 时，左边等号成立，当且仅当 ab≤0 时，
右边等号成立.
2．绝对值不等式的解法
(1)|x|a 型不等式的解法
不等式 a>0 a＝0 a<0
|x|a {x|x>a 或 x<－a} {x|x∈R 且 x≠0} R
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c.
|x－a|＋|x－b|≥c 和|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的解法及体现数学思想
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
考点一 绝对值不等式的解法
[典例] (2016·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)画出 y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|>1 的解集．
[解] (1)由题意得 f(x)＝
x－4，x≤－1，
3x－2，－13
2
，
故 y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由 f(x)的函数表达式及图象可知，
当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或 x＝3；
当 f(x)＝－1 时，可得 x＝1
3
或 x＝5.
故 f(x)>1 的解集为{x|15 .
所以|f(x)|>1 的解集为 x|x<1
3
或 15 .
[题组训练]
1．解不等式|x＋1|＋|x－1|≤2.
解：当 x<－1 时，
原不等式可化为－x－1＋1－x≤2，
解得 x≥－1，又因为 x<－1，故无解；
当－1≤x≤1 时，
原不等式可化为 x＋1＋1－x＝2≤2，恒成立；
当 x>1 时，
原不等式可化为 x＋1＋x－1≤2，
解得 x≤1，又因为 x>1，故无解；
综上，不等式|x＋1|＋|x－1|≤2 的解集为[－1,1]．
2．(2019·沈阳质检)已知函数 f(x)＝|x－a|＋3x，其中 a∈R.
(1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；
(2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤－1}，求 a 的值．
解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝|x－1|＋3x.
法一：由 f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|－|2x＋1|≥0，
当 x>1 时，x－1－(2x＋1)≥0，得 x≤－2，无解；
当－1
2
≤x≤1 时，1－x－(2x＋1)≥0，得－1
2
≤x≤0；
当 x<－1
2
时，1－x－(－2x－1)≥0，得－2≤x<－1
2.
∴不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．
法二：由 f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|≥|2x＋1|，
两边平方，化简整理得 x2＋2x≤0，
解得－2≤x≤0，
∴不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．
(2)由|x－a|＋3x≤0，可得 x≥a，
4x－a≤0
或 x0 时，不等式的解集为 x|x≤－a
2 .
由－a
2
＝－1，得 a＝2.
当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x≤0}，不合题意．
当 a<0 时，不等式的解集为 x|x≤a
4 .
由a
4
＝－1，得 a＝－4.
综上，a＝2 或 a＝－4.
考点二 绝对值不等式性质的应用
[典例] (2019·湖北五校联考)已知函数 f(x)＝|2x－1|，x∈R.
(1)解不等式 f(x)<|x|＋1；
(2)若对 x，y∈R，有|x－y－1|≤1
3
，|2y＋1|≤1
6
，求证：f(x)<1.
[解] (1)∵f(x)<|x|＋1，∴|2x－1|<|x|＋1，
即
x≥1
2
，
2x－1(|2x－1|＋|2x＋1|)min 即可．
由于|2x－1|＋|2x＋1|＝|1－2x|＋|2x＋1|≥|1－2x＋(2x＋1)|＝2，当且仅当(1－2x)(2x＋
1)≥0，即 x∈ －1
2
，1
2 时等号成立，故 m>2.所以 m 的取值范围是(2，＋∞)．
[解题技法] 两招解不等式问题中的含参问题
(1)转化
①把存在性问题转化为求最值问题；
②不等式的解集为 R 是指不等式的恒成立问题；
③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，
即 f(x)＜a 恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a 恒成立⇔a＜f(x)min.
(2)求最值
求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：
①利用绝对值的几何意义；
②利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；
③利用零点分区间法．
[题组训练]
1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数 f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
(1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥0 的解集；
(2)若 f(x)≤1，求 a 的取值范围．
解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝
2x＋4，x<－1，
2，－1≤x≤2，
－2x＋6，x>2.
当 x<－1 时，由 2x＋4≥0，解得－2≤x<－1，
当－1≤x≤2 时，显然满足题意，
当 x>2 时，由－2x＋6≥0，解得 21
2
，
2x－1＋2x＋1≤6.
解得－3
2
≤x≤3
2
，
即原不等式的解集为 x|－3
2
≤x≤3
2 .
2．已知函数 f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a∈R)的最小值为 a.
(1)求实数 a 的值；
(2)解不等式 f(x)≤5.
解：(1)f(x)＝|x－4|＋|x－a|≥|a－4|＝a，
从而解得 a＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝|x－4|＋|x－2|＝
－2x＋6，x≤2，
2，2＜x≤4，
2x－6，x＞4.
故当 x≤2 时，由－2x＋6≤5，得1
2
≤x≤2；
当 24 时，由 2x－6≤5，得 41 的解集；
(2)若 x∈(0,1)时不等式 f(x)>x 成立，求 a 的取值范围．
解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
即 f(x)＝
－2，x≤－1，
2x，－11 的解集为 x|x>1
2 .
(2)当 x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|>x 成立等价于当 x∈(0,1)时|ax－1|<1 成立．
若 a≤0，则当 x∈(0,1)时，|ax－1|≥1；
若 a>0，则|ax－1|<1 的解集为 x|0－x；
(2)若关于 x 的不等式 f(x)≤a2－2a 的解集为 R，求实数 a 的取值范围．
解：(1)原不等式等价于 f(x)＋x＞0，不等式 f(x)＋x>0 可化为|x－2|＋x>|x＋1|，
当 x<－1 时，－(x－2)＋x>－(x＋1)，解得 x>－3，即－3x＋1，解得 x<1，即－1≤x<1；
当 x>2 时，x－2＋x>x＋1，解得 x>3，即 x>3，
综上所述，不等式 f(x)＋x>0 的解集为{x|－33}．
(2)由不等式 f(x)≤a2－2a 可得|x－2|－|x＋1|≤a2－2a，
∵|x－2|－|x＋1|≤|x－2－x－1|＝3，当且仅当 x∈(－∞，－1]时等号成立，
∴a2－2a≥3，即 a2－2a－3≥0，解得 a≤－1 或 a≥3.
∴实数 a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
6．已知函数 f(x)＝|x－a|＋|x＋1|.
(1)若 a＝2，求不等式 f(x)＞x＋2 的解集；
(2)如果关于 x 的不等式 f(x)＜2 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围．
解：(1)当 a＝2 时，f(x)＝
－2x＋1，x＜－1，
3，－1≤x＜2，
2x－1，x≥2，
不等式 f(x)＞x＋2 等价于 x＜－1，
－2x＋1＞x＋2
或
－1≤x＜2，
3＞x＋2
或 x≥2，
2x－1＞x＋2
，
解得 x＜1 或 x＞3，
故原不等式的解集为{x|x＜1 或 x＞3}．
(2)∵f(x)＝|x－a|＋|x＋1|≥|(x－a)－(x＋1)|＝|a＋1|，当(x－a)(x＋1)≤0 时取等号．
∴若关于 x 的不等式 f(x)＜2 的解集不是空集，只需|a＋1|＜2，
解得－3＜a＜1，即实数 a 的取值范围是(－3,1)．
7．已知函数 f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当 a＝2 时，求不等式 f(x)≤6 的解集；
(2)设函数 g(x)＝|2x－1|.当 x∈R 时，f(x)＋g(x)≥3，求 a 的取值范围．
解：(1)当 a＝2 时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.
因此 f(x)≤6 的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)当 x∈R 时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥3，
即|x－a
2|＋|1
2
－x|≥3－a
2
.
又 |x－a
2|＋|1
2
－x| min＝|1
2
－a
2|，
所以|1
2
－a
2|≥3－a
2
，解得 a≥2.
所以 a 的取值范围是[2，＋∞)．
8．(2018·福州质检)设函数 f(x)＝|x－1|，x∈R.
(1)求不等式 f(x)≤3－f(x－1)的解集；
(2)已知关于 x 的不等式 f(x)≤f(x＋1)－|x－a|的解集为 M，若 1，3
2 ⊆M，求实数 a 的取
值范围．
解：(1)因为 f(x)≤3－f(x－1)，
所以|x－1|≤3－|x－2|⇔|x－1|＋|x－2|≤3⇔ x<1，
3－2x≤3
或 1≤x≤2，
1≤3
或
x>2，
2x－3≤3，
解得 0≤x<1 或 1≤x≤2 或 20，b>0 时，aabb≥(ab)
+
2
a b
.
证明：∵
aabb
ab
+
2
a b
＝
a
b
-
2
a b
，
∴当 a＝b 时，
a
b
-
2
a b
＝1，
当 a>b>0 时，a
b>1，a－b
2
>0，∴
a
b
-
2
a b
>1，
当 b>a>0 时，01，
∴aabb≥(ab)
+
2
a b
.
考点二 综合法证明不等式
[典例] (2017·全国卷Ⅱ)已知 a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：
(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2.
[证明] (1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)
＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
(2)∵(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3a＋b2
4
(a＋b)
＝2＋3a＋b3
4
，
∴(a＋b)3≤8，因此 a＋b≤2.
[解题技法] 综合法证明不等式的方法
(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与
联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；
(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性
质时，要注意性质成立的前提条件．
[题组训练]
1．设 a，b，c，d 均为正数，若 a＋b＝c＋d，且 ab>cd，求证： a＋ b> c＋ d.
证明：因为( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab，( c＋ d)2＝c＋d＋2 cd.
由题设 a＋b＝c＋d，ab>cd 得( a＋ b)2>( c＋ d)2.
因此 a＋ b> c＋ d.
2．(2018·湖北八校联考)已知不等式|x|＋|x－3|0，y>0，nx＋y＋m＝0，求证：x＋y≥16xy.
解：(1)由|x|＋|x－3|0，y>0，
∴
1
x
＋1
y (9x＋y)＝10＋y
x
＋9x
y
≥10＋2 y
x
×9x
y
＝16，
当且仅当y
x
＝9x
y
，即 x＝ 1
12
，y＝1
4
时取等号，
∴1
x
＋1
y
≥16，即 x＋y≥16xy.
考点三 分析法证明不等式
[典例] (2019·长春质检)设不等式||x＋1|－|x－1||<2 的解集为 A.
(1)求集合 A；
(2)若 a，b，c∈A，求证：|1－abc
ab－c |>1.
[解] (1)由已知，令 f(x)＝|x＋1|－|x－1|＝
2，x≥1，
2x，－11，只需证|1－abc|>|ab－c|，
即证 1＋a2b2c2>a2b2＋c2，即证 1－a2b2>c2(1－a2b2)，
即证(1－a2b2)(1－c2)>0，
由 a，b，c∈A，得－10 恒成立．
综上，|1－abc
ab－c |>1.
[解题技法] 分析法证明不等式应注意的问题
(1)注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．
(2)注意从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已
知(或已证)的不等式．
(3)注意恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语．
[题组训练]
1．已知 a>b>c，且 a＋b＋c＝0，求证： b2－ac< 3a.
证明：由 a>b>c 且 a＋b＋c＝0，
知 a>0，c<0.
要证 b2－ac< 3a，
只需证 b2－ac<3a2.
∵a＋b＋c＝0，∴只需证 b2＋a(a＋b)<3a2，
即证 2a2－ab－b2>0，
即证(a－b)(2a＋b)>0，
即证(a－b)(a－c)>0.
∵a>b>c，∴a－b>0，a－c>0，
∴(a－b)(a－c)>0 显然成立，
故原不等式成立．
2．已知函数 f(x)＝|x＋1|.
(1)求不等式 f(x)＜|2x＋1|－1 的解集 M；
(2)设 a，b∈M，求证：f(ab)＞f(a)－f(－b)．
解：(1)由题意，|x＋1|<|2x＋1|－1，
①当 x≤－1 时，
不等式可化为－x－1＜－2x－2，
解得 x＜－1；
②当－1＜x＜－1
2
时，
不等式可化为 x＋1＜－2x－2，
此时不等式无解；
③当 x≥－1
2
时，
不等式可化为 x＋1＜2x，解得 x＞1.
综上，M＝{x|x＜－1 或 x＞1}．
(2)证明：因为 f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|，
所以要证 f(ab)＞f(a)－f(－b)，
只需证|ab＋1|＞|a＋b|，
即证|ab＋1|2＞|a＋b|2，
即证 a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2，
即证 a2b2－a2－b2＋1＞0，
即证(a2－1)(b2－1)＞0.
因为 a，b∈M，所以 a2＞1，b2＞1，
所以(a2－1)(b2－1)＞0 成立，所以原不等式成立．
[课时跟踪检测]
1．已知△ABC 的三边 a，b，c 的倒数成等差数列，试用分析法证明：∠B 为锐角．
证明：要证∠B 为锐角，只需证 cos B>0，
所以只需证 a2＋c2－b2>0，
即 a2＋c2>b2，因为 a2＋c2≥2ac，
所以只需证 2ac>b2，
由已知得 2ac＝b(a＋c)．
所以只需证 b(a＋c)>b2，即 a＋c>b，显然成立．
所以∠B 为锐角．
2．若 a>0，b>0，且1
a
＋1
b
＝ ab.
(1)求 a3＋b3 的最小值；
(2)是否存在 a，b，使得 2a＋3b＝6？并说明理由．
解：(1)由 ab＝1
a
＋1
b
≥ 2
ab
，
得 ab≥2，仅当 a＝b＝ 2时等号成立．
故 a3＋b3≥2 a3b3≥4 2，仅当 a＝b＝ 2时等号成立．
所以 a3＋b3 的最小值为 4 2.
(2)由(1)知，2a＋3b≥2 6 ab≥4 3.
由于 4 3>6，从而不存在 a，b，使得 2a＋3b＝6.
3．(2019·南宁模拟)(1)解不等式|x＋1|＋|x＋3|<4；
(2)若 a，b 满足(1)中不等式，求证：2|a－b|<|ab＋2a＋2b|.
解：(1)当 x<－3 时，|x＋1|＋|x＋3|＝－x－1－x－3＝－2x－4<4，解得 x>－4，所以
－42.
当 x≤2 时，由 f(x)＝x－1≤－1，
解得 x≤0，此时 x≤0；
当 x>2 时，由 f(x)＝3x－5≤－1，
解得 x≤4
3
，显然不成立．
故 f(x)≤－1 的解集为 M＝{x|x≤0}．
(2)证明：当 x∈M 时，f(x)＝x－1，
于是 x[f(x)]2－x2f(x)＝x(x－1)2－x2(x－1)＝－x2＋x＝－ x－1
2 2＋1
4.
令 g(x)＝－ x－1
2 2＋1
4
，
则函数 g(x)在(－∞，0]上是增函数，
∴g(x)≤g(0)＝0.
故 x[f(x)]2－x2f(x)≤0.
5．(2019·西安质检)已知函数 f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|.
(1)解不等式 f(x)≤3；
(2)记函数 g(x)＝f(x)＋|x＋1|的值域为 M，若 t∈M，求证：t2＋1≥3
t
＋3t.
解：(1)依题意，得 f(x)＝
－3x，x≤－1，
2－x，－10，
∴t－3t2＋1
t
≥0，
∴t2＋1≥3
t
＋3t.
6．(2019·长春质检)已知函数 f(x)＝|2x－3|＋|3x－6|.
(1)求 f(x)<2 的解集；
(2)若 f(x)的最小值为 T，正数 a，b 满足 a＋b＝1
2
，求证： a＋ b≤T.
解：(1)f(x)＝|2x－3|＋|3x－6|＝
－5x＋9，x<3
2
，
－x＋3，3
2
≤x≤2，
5x－9，x>2.
作出函数 f(x)的图象如图所示．
由图象可知，f(x)<2 的解集为
7
5
，11
5 .
(2)证明：由图象可知 f(x)的最小值为 1，
由基本不等式可知 a＋ b
2
≤ a＋b
2
＝ 1
4
＝1
2
，
当且仅当 a＝b 时，“＝”成立，即 a＋ b≤1＝T.
7．已知函数 f(x)＝|2x－1|－|x＋3
2|.
(1)求不等式 f(x)<0 的解集 M；
(2)当 a，b∈M 时，求证：3|a＋b|<|ab＋9|.
解：(1)f(x)＝
5
2
－x，x<－3
2
，
－3x－1
2
，－3
2
≤x≤1
2
，
x－5
2
，x>1
2.
当 x<－3
2
时，f(x)<0，即5
2
－x<0，无解；
当－3
2
≤x≤1
2
时，f(x)<0，即－3x－1
2<0，得－1
61
2
时，f(x)<0，即 x－5
2<0，得1
20，
所以 3|a＋b|<|ab＋9|.
8．已知函数 f(x)＝m－|x＋4|(m>0)，且 f(x－2)≥0 的解集为[－3，－1]．
(1)求 m 的值；
(2)若 a，b，c 都是正实数，且1
a
＋ 1
2b
＋ 1
3c
＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.
解：(1)法一：依题意知 f(x－2)＝m－|x＋2|≥0，
即|x＋2|≤m⇔－m－2≤x≤－2＋m.
由题意知不等式的解集为[－3，－1]，所以
－m－2＝－3，
－2＋m＝－1，
解得 m＝1.
法二：因为不等式 f(x－2)≥0 的解集为[－3，－1]，
所以－3，－1 为方程 f(x－2)＝0 的两根，即－3，－1 为方程 m－|x＋2|＝0 的两根，
所以 m－|－3＋2|＝0，
m－|－1＋2|＝0，
解得 m＝1.
(2)证明：由(1)可知1
a
＋ 1
2b
＋ 1
3c
＝1(a，b，c>0)，
所以 a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)
1
a
＋ 1
2b
＋ 1
3c ＝3＋
a
2b
＋2b
a ＋
a
3c
＋3c
a ＋
2b
3c
＋3c
2b ≥9，当
且仅当 a＝2b＝3c，即 a＝3，b＝3
2
，c＝1 时取等号．
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