新教材数学人教B版必修第二册教师用书（含习题测试）：6-4-3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理 14页

6.4.3 余弦定理、正弦定理 第 1 课时 余弦定理 课 标 解 读 课标要求 核心素养 1.借助向量的运算,掌握余弦定理的证明、 余弦定理的方法及两种表示形式.(重点) 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角 形.(重点) 1.借助余弦定理的推导,提升学生的逻辑推理的 素养. 2.通过余弦定理的应用,培养学生的数学运算的 素养. 如图,修建一条隧道,要穿过一座山,这就要进行工程设计,需要测算山脚的长 度,工程技术人员若在地面上选一适当位置 A,量出 A 到山脚 B,C 的距离,再利用经 纬仪(测角仪)测出 A 对山脚 B,C 的张角. 问题 1:这样能求出山脚的长度 BC 吗? 答案 根据相似三角形的原理可以求出 BC. 问题 2:能直接求出山脚的长度 BC 吗? 答案 通过今天学习的余弦定理即可求出 BC. 1.余弦定理 三角形中任何一边的平方,等于其他两边①平方的和减去这两边与它们夹角 的余弦的积的②两倍.即 a2=③b2+c2-2bccos A, b2=④a2+c2-2accos B, c2=⑤a2+b2-2abcos C. 推论: cos A=⑥ 2 +2 -2 2 , cos B=⑦ 2 +2 -2 2 , cos C=⑧ 2 +2 -2 2 . 思考:勾股定理与余弦定理有什么关系? 提示 余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例. 2.解三角形 (1)三角形的元素:三角形的⑨三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形 的元素. (2)已知三角形的几个元素求⑩其他元素的过程叫做解三角形. 3.余弦定理可以解决两类问题 (1)已知三边,求三角. (2)已知两边及一角,求第三边和其他两个角. 探究一 已知三角形的两边及一角解三角形 例 1 (1)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a=2,c=2 3 ,cos A= 3 2 , 且 b0, 由余弦定理的推论可得,cos A= 2 +2 -2 2 = 92 +252 -492 2 · 3 · 5 =- 1 2 , 而 A∈(0,π),所以 A= 2 3 π. 探究三 判断三角形的形状 例 3 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 a2+b2-ab=c2,且 = 3 ,判断 △ABC 的形状. 解析 由 a2+b2-ab=c2,得 a2+b2-c2=ab, 所以 cos C= 2 +2 -2 2 = 1 2 ,所以 C= π 3 , 又 = 3 ,所以 c= 3 b,所以 a2+b2-ab=( 3 b)2, 所以 a2-ab-2b2=0, 所以 a=2b,所以 b2+c2=4b2=a2, 故△ABC 为直角三角形. 思维突破 若式子中含有角的余弦或是边的二次式,一般考虑用余弦定理,通过代数恒等 变换得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. 3-1 在△ABC 中,已知 cos2 2 = + 2 (a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),判断△ABC 的形状. 解析 在△ABC 中,由 cos2 2 = + 2 , 得 1+cos 2 = + 2 ,所以 cos A= , 由余弦定理的推论,得 2 +2 -2 2 = , 所以 b2+c2-a2=2b2,即 c2=a2+b2, 故△ABC 是直角三角形. 1.在△ABC 中,边 a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,b=3,c=5,A=120°,则 a=( ) A.7 B. 19 C.49 D.19 答案 A a2=b2+c2-2bccos A=9+25-2×3×5cos 120°=49,所以 a=7. 2.在△ABC 中,a2=c2+b2+ 3 bc,则 A 等于( ) A.60° B.45° C.120° D.150° 答案 D 由已知得 b2+c2-a2=- 3 bc,根据余弦定理的推论,得 cos A= 2 +2 -2 2 =- 3 2 , 所以 A=150°. 3.在△ABC 中,已知 a=4,b=6,C=120°,则边 c= . 答案 2 19解析 由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcos C=16+36-2×4×6cos 120°=76,c=2 19 . 4.在△ABC 中,若 a=2bcos C,则△ABC 是 三角形. 答案 等腰 解析 因为 a=2bcos C=2b· 2 +2 -2 2 , 所以 a2=a2+b2-c2,所以 b2=c2,即 b=c,所以△ABC 是等腰三角形. 5.在△ABC 中, a=8,B=60°,c=4( 3 +1),求 b 的值. 解析 由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B =82+[4( 3 +1)]2-2×8×4( 3 +1)cos 60° =64+16(4+2 3 )-64( 3 +1)× 1 2 =96, ∴b=4 6 . 直观想象——三角形平面几何性质的应用 在△ABC 中,已知 AB= 4 6 3 ,cos∠ABC= 6 6 ,AC 边上的中线 BD= 5 ,求 sin A 的值. 解析 如图,设 E 为 BC 的中点,连接 DE, 则 DE∥AB,且 DE= 1 2 AB= 2 6 3 . 因为∠BED+∠ABC=π, 所以 cos∠BED=-cos∠ABC. 设 BE=x,在△BDE 中,利用余弦定理得, BD2=BE2+ED2-2BE·ED·cos∠BED, 即 5=x2+ 8 3 -2x× 2 6 3 × - 6 6 , 解得 x=1 或 x=- 7 3 (舍去).故 BE=1,BC=2, 从而 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC= 28 3 ,即 AC= 2 21 3 , 在△ABC 中,由余弦定理的推论,得 cos A= 2 +A2 -B2 2 · = 4 6 3 2 + 2 21 3 2 -22 2 × 4 6 3 × 2 21 3 = 3 14 14 ,所以 sin A= 70 14 . 素养探究:解三角形借助平面几何的性质,可以简化计算.利用三角形中位线 的平行性把边角关系转化到一个三角形中,从而利用余弦定理求解,过程中体现直 观想象的核心素养. 如图,在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2acos C-c=2b. (1)求角 A 的大小; (2)若∠ABC= π 6 ,AC 边上的中线 BD 的长为 35 ,求△ABC 的面积. 解析 (1)在△ABC 中,2acos C-c=2b, 由余弦定理的推论,得 2a· 2 +2 -2 2 -c=2b, 即 b2+c2-a2=-bc, 所以 cos A= 2 +2 -2 2 =- 1 2 ,所以 A= 2π 3 . (2)因为∠ABC= π 6 , 由(1)得角 A= 2π 3 ,所以 C= π 6 , 所以∠ABC=∠C,所以 AC=AB,所以 AC=AB=2AD, 在△ABD 中,由余弦定理可得,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos A, 即 BD2=4AD2+AD2-4AD·AD·cos A, 所以 5AD2-4AD2× - 1 2 =35,解得 AD= 5 , 所以 AB=AC=2 5 , 所以 S△ABC= 1 2 AB·hAB= 1 2 AB·ACsin A= 1 2 ×(2 5 )2×sin 2π 3 =5 3 . 故△ABC 的面积为 5 3 . 1.在△ABC 中,若(a+c)(a-c)=b(b+c),则 A=( ) A.90° B.60° C.120° D.150° 答案 C 2.在△ABC 中,已知 a= 3 ,b= 6 ,C= π 4 ,则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形 答案 B 3.(2019 山东青岛高一测试)在△ABC 中,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则 A=( ) A.90° B.60° C.135° D.150° 答案 B ∵(a+b+c)(b+c-a)=3bc, ∴(b+c)2-a2=3bc,即 b2+c2-a2=bc, ∴cos A= 2 +2 -2 2 = 1 2 ,∴A=60°. 4.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(a2+c2-b2)·tan B= 3 ac,则角 B 的值 为( ) A. π 6 B. π 3C. π 6 或 5π 6 D. π 3 或 2π 3答案 D 因为 2 +2 -2 2 =cos B,结合已知等式得 cos B·tan B= 3 2 , 所以 sin B= 3 2 ,所以 B= π 3 或 B= 2π 3 . 5.在△ABC 中,∠ABC= π 4 ,AB= 2 ,BC=3,则 sin∠BAC=( ) A. 10 10 B. 3 10 10 C. 10 5 D. 5 5答案 B 在△ABC 中,∠ABC= π 4 ,AB= 2 ,BC=3, 所以 AC= 9 + 2-2 × 2 × 3 × cos π 4 = 5 , 根据余弦定理的推论可得 cos∠BAC= 2+5-9 2 × 2 × 5 =- 10 10 , 所以 sin∠BAC= 1- - 10 10 2 = 3 10 10 . 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 a=3,b=4,C=60°,则边 c 的值 为 . 答案 13解析 c2=a2+b2-2abcos C=9+16-2×3×4× 1 2 =13,所以 c= 13 (负值舍去). 7.在△ABC 中,B=60°,b2=ac,则△ABC 为 三角形. 答案 等边 解析 由 b2=ac 及余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得 ac=a2+c2-ac,所以(a-c)2=0,所以 a=c, 又 B=60°,所以△ABC 为等边三角形. 8.在△ABC 中,A= 2π 3 ,a= 3 c,则 = . 答案 1 解析 由余弦定理,得 a2=b2+c2+bc. 把 a= 3 c 代入,得 b2+bc-2c2=0. 则 2 + -2=0, 解得 =-2(舍去)或 =1. 9.在△ABC 中,已知 a=5,b=3,角 C 的余弦值是方程 5x2+7x-6=0 的根,求边长 c 的值. 解析 方程 5x2+7x-6=0 可化为 (5x-3)(x+2)=0, 解得 x1= 3 5 ,x2=-2(舍去).∴cos C= 3 5 . ∴c2=a2+b2-2abcos C=52+32-2×5×3× 3 5 =16, ∴c=4(负值舍去),即边长 c 的值为 4. 10.在△ABC 中,若三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a=1,c=4 2 ,B=45°,则 sin C 的值为( ) A. 4 41 B. 4 5 C. 4 25 D. 4 41 41答案 B 由 b2=a2+c2-2accos B 可得, b2=1+32-2×1×4 2 × 2 2 =25, 所以 b=5(负值舍去), 所以 cos C= 2 +2 -2 2 = 1+25-32 2 × 1 × 5 =- 3 5 , 所以 sin C= 1-cos 2 C = 4 5 . 11.在△ABC 中,AB+AC=8,BC=4,D 为 BC 的中点,当 AD 长度最小时,△ABC 的面积为 ( ) A.2 2 B.4 C.4 2 D.4 3答案 D 在△ABC 中,设 AB=x,AC=y,AD=m,∠ADB=θ,则∠ADC=π-θ, 在△ABD 中,由余弦定理,得 m2+4-4mcos θ=x2① , 在△ACD 中,由余弦定理,得 m2+4-4mcos(π-θ)=y2, 即 m2+4+4mcos θ=y2②, 由①②得,2m2+8=x2+y2, 又 x+y=8, 所以 2m2+8=(8-y)2+y2=2y2-16y+64, 所以 m2=y2-8y+28, 当 y=4 时,m 取得最小值,为 2 3 , 即 AD 长度的最小值为 2 3 ,此时 AB=AC=BC=4,△ABC 是等边三角形,易得其面积为 4 3 . 12.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=3,b=4,c=6,则 bccos A+accos B+abcos C 的值是 . 答案 61 2解析 因为 cos A= 2 +2 -2 2 , 所以 bccos A= 1 2 (b2+c2-a2), 同理 accos B= 1 2 (a2+c2-b2), abcos C= 1 2 (a2+b2-c2), 所以 bccos A+accos B+abcos C= 1 2 (a2+b2+c2)= 61 2 . 13.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 A= π 3 ,a=7,b=5,点 D 在 BC 上, 且满足 BD=2DC,则 c= ,AD= . 答案 8; 2 61 3解析 如图所示, 在△ABC 中,由余弦定理,得 72= 52+c2-2×5ccos π 3 , 解得 c=8 或 c=-3(舍去), 又 BD=2DC, 所以 BD= 2 3 a= 14 3 , 所以 cos B= 2 +2 -2 2 = 49+64-25 2 × 7 × 8 = 11 14 . 在△ABD 中,由余弦定理,得 AD2=BD2+c2-2BD·c·cos B = 14 3 2 +64-2× 14 3 ×8× 11 14 = 244 9 , 所以 AD= 2 61 3 (负值舍去). 14.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 tan C=3 7 . (1)求 cos C; (2)若 · = 5 2 ,且 a+b=9,求 c. 解析 (1)因为 tan C=3 7 , 所以 sin cos =3 7 . 又因为 sin2C+cos2C=1, 所以 cos C=± 1 8 . 因为 tan C>0, 所以 C 是锐角, 所以 cos C= 1 8 . (2)因为 · = 5 2 , 所以 ab·cos C= 5 2 , 所以 ab=20, 又因为 a+b=9, 所以 a2+2ab+b2=81, 所以 a2+b2=41, 所以 c2=a2+b2-2abcos C=36, 所以 c=6(负值舍去). 15.在梯形 ABCD 中,AB=2CD,BC= 3 CD,则∠ADB 的最大值为( ) A. π 4 B. π 3C. π 2 D. 2π 3答案 B 取 AB 的中点 M,延长 AB 到 N 点,使 BN=CD,连接 CM,CN,如图所示: 易知 AD=MC,BD=NC. 设 CD=a,AD=MC=m,BD=NC=n, 则 AB=2a,BC= 3 a. 在△MBC 中,m2=a2+( 3 a)2-2×a× 3 a·cos∠MBC, 在△NBC 中,n2=a2+( 3 a)2-2×a× 3 a·cos(π-∠MBC), ∴m2+n2=8a2, 在△ABD 中,cos∠ADB= 2 +2 -42 2= 42 2 , 又 2mn≤m2+n2=8a2, ∴cos∠ADB= 42 2 ≥ 42 82 = 1 2 , ∴∠ADB 的最大值为 π 3 . 16.在△ABC 中,A= 3π 4 ,AB=6,AC=3 2 ,点 D 在 BC 边上,AD=BD,求 AD 的长. 解析 在△ABC 中,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC =62+(3 2 )2-2×6×3 2 ×cos 3π 4 =90, 所以 BC=3 10 (负值舍去). 设∠ADB=θ,AD=x,则∠ADC=180°-θ, BD=x,DC=3 10 -x, 在△ABD 中,由余弦定理,得 AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos θ, 即 36=2x2-2x2cos θ,① 在△ACD 中,由余弦定理,得 AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos(180°-θ), 即 18=x2+(3 10 -x)2+2x·(3 10 -x)·cos θ,② 由①②解得 x= 10 ,即 AD= 10 .