【数学】内蒙古呼和浩特市2020届高三第二次质量普查调研考试（二模）试题（文）（解析版） 16页

内蒙古呼和浩特市2020届高三第二次质量普查调研考试 ‎（二模）数学试题（文）‎ 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.若复数z满足，则z的虚部为（ ）‎ A. -1 B. ‎-2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ 的虚部为，‎ 故选：A.‎ ‎2.设，集合，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由 得： ，所以 ，因此 ，故答案为B ‎3.（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎4.已知椭圆的一个焦点坐标是，则k的值为（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得，‎ 因为椭圆的一个焦点坐标是，‎ 所以，解得.‎ 故选：A.‎ ‎5.已知，且，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据条件，∴.‎ 故选：A.‎ ‎6.某学校近几年来通过“书香校园”主题系列活动，倡导学生整本阅读纸质课外书籍.下面的统计图是该校2013年至2018年纸质书人均阅读量的情况，根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）‎ A. 从2013年到2016年，该校纸质书人均阅读量逐年增长 B. 2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的中位数是46.7本 C. 2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的极差是45.3本 D. 2013年至2018年，该校后三年纸质书人均阅读量总和是前三年纸质书人均阅读量总和的2倍 ‎【答案】D ‎【解析】对于A，根据统计图分析可知，从2013年到2016年，该校纸质书人均阅读量分别是：15.5，38.5，43.3，58.4是逐年增长的，故A是合理的；‎ 对于B，2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量按从小到大的顺序排列为：15.5，38.5，43.3，50.1，58.4，60.8，其中位数为本，故B是合理的；‎ 对于C，因为最大阅读量为本，最小阅读量为本，所以极差为本，故C是合理的；‎ 对于D，2013年至2018年，该校后三年纸质书人均阅读量总和为本，前三年纸质书人均阅读量总和为本，， 故D是不合理的.‎ 故选：D.‎ ‎7.已知函数的大致图象如下图，则幂函数在第一象限的图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由的图象可知，，所以，得，，‎ 所以，所以幂函数在第一象限的图象可能为.‎ 故选：B.‎ ‎8.设m，n是空间的两条直线，是空间的一个平面，当时，“”是“”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】当时，根据线面垂直的性质可知：由能推出；‎ 当时，根据线面垂直的定义可知；只有当直线与平面内所有的直线都垂直时，才有，所以仅有是推不出成立的，因此当时，“”是“”的充分不必要条件.‎ 故选：B ‎9.已知是偶函数，且在R上有导函数，若对都有，则关于函数的四个判断：①若函数在处有定义，则；②；③是周期函数；④若函数在处有定义，则.其中正确的判断有（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】B ‎【解析】对于①，因为是偶函数，所以，两边对求导，得，‎ 因为函数在处有定义，所以，即，故①正确；‎ 对于②，因为对都有，所以在上为增函数，因为，所以，故②正确；‎ 对于③，当时，，所以为偶函数，又对都成立，而此时不是周期函数，故③不正确；‎ 对于④，当时，，所以为偶函数，又对都成立，而此时，故④不正确.‎ 所以正确的判断有2个.‎ 故选：B.‎ ‎10.已知函数，则当时，函数的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，‎ 当时，，故的值域为.‎ 故选：D.‎ ‎11.意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》中，记载有数列，.若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前100项和为（ ）‎ A. 100 B. ‎99 ‎C. 67 D. 66‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为数列中的奇数除以2所得的余数都是1，偶数除以2所得的余数都是0，‎ 因为，且，所以为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，为奇数，为偶数，，为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，，‎ 所以，，，，，，，，，，，，所以数列周期数列，周期为3，‎ 所以数列的前100项和为：.‎ 故选：C.‎ ‎12.已知双曲线在左，右焦点分别为，，以为圆心，以为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在轴左侧交于，两点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，设与x轴相较于M点，‎ 根据正三角形的性质，可以求得，‎ 从而求得，所以有，故选A.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须做答；第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13.若变量x，y满足约束条件，则的最大值____________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】画出变量满足约束条件所表示的平面区域，如图所示，‎ 目标函数，可化为直线，‎ 当直线过点时，此时直线在轴上的截距最小，‎ 此时目标函数取得最大值，‎ 又由，解得，‎ 所以目标函数的最大值为.‎ 故答案为：.‎ ‎14.在抗击新冠肺炎期间，甲、乙、丙、丁四名党员志愿者参加社区防控值班.若从四位志愿者中随机选三人参加夜间防控，则甲被选中的概率为___________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从甲、乙、丙、丁四位志愿者中随机选三人参加夜间防控，有（甲、乙、丙），（甲、乙、丁），（甲、丙、丁），（乙、丙、丁），共四种情况，其中甲被选中的情况有（甲、乙、丙），（甲、乙、丁），（甲、丙、丁），共三种情况，‎ 所以甲被选中的概率为.‎ 故答案为：.‎ ‎15.如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线，为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过‎2千米），在两条公路，上分别设立游客接送点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路，，测得千米，千米，则线段的长度为______________千米；若与角互补，记 ‎，两条观光线路与之和记为y，则把y表示为的函数为y=___________________.‎ ‎【答案】 (1). (2). 或 ‎【解析】在中，由余弦定理得：‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以.‎ 在中，，‎ 由正弦定理得：，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为：①；②‎ ‎16.已知正方体的棱长为1，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，以正方体所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，‎ 也可以看作是两个正四棱锥的组合体，由于正四棱锥的每个侧面为四个全等的等腰三角形,每一个正四棱锥的底面边长为,正四棱锥的侧棱长也为，‎ 故一个正四棱锥侧面积为 ‎∴该多面体的表面积为 故答案为：‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写岀文字说明，证眀过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知数列为等差数列，，前9项的和.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ 解：（1）设等差数列的公差为，‎ ‎∵是等差数列，∴，所以，‎ 所以，所以，‎ ‎∴，，‎ 所以 .‎ ‎（2）因为，所以，‎ 所以是首项为27，公比为9的等比数列.‎ ‎∴.‎ ‎18.如图，三棱柱中，D是的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若是边长为2的正三角形，且，，平面平面，求三棱锥的体积.‎ ‎（1）证明：在三棱柱中，连接交于，连接，‎ ‎∵是的中点，是的中点，∴.‎ ‎∵面，面，‎ ‎∴平面 ‎（2）解：取的中点，连接 ‎∵，，∴是等边三角形 ‎∴‎ 又∵平面平面，‎ 平面平面，平面， ‎ ‎∴平面，‎ ‎∴是三棱柱的高， ‎ ‎∵是边长为2的正三角形 ‎∴‎ ‎19.为响应党的号召，坚决打赢脱贫攻坚战，某地区实行了帮扶单位定点帮扶扶贫村脱贫.为了解该地区贫困户对其所提供的帮扶的满意度，随机调查了40个贫困户，得到贫困户的满意度评分如下：‎ 现按贫困户编号从小到大的顺序分组，用系统抽样法从40名贫困户中抽取容量为10的样本.‎ ‎（1）若在第一分段里随机抽到的第一个样本的评分数据为81，记第二和第十个样本的评分数据分别为a，b，请写出a，b的值；‎ ‎（2）若10个样本的评分数据分别为92，84，86，78，89，74，83，78，77，89.请你计算所抽到的10个样本的平均数和方差；‎ ‎（3）在（1）条件下，若贫困户的满意度评分在之间，则满意度等级为“A级”.试应用样本估计总体的思想，用（2）中的样本数据，估计在满意度为“A级”的贫困户中随机地抽取2户，所抽到2户的满意度评分均“超过‎80”‎的概率.‎ ‎（参考数据：，，）‎ 解：（1），‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎（3）在（2）的条件下 所以评分在.即满意度为“A级”的贫困户有84，86，78，84，78‎ 从中随机抽取2户，共有以下10种可能 ‎，，，，，，，，， ‎ 所以可算得满意度均超过“80分”的概率为 ‎ 所以可以估计在满意度为“A级”的贫困户中随机抽取两户，打分均超过“‎80”‎分的概率约为0.3.‎ ‎20.已知动点P与点的距离比它到直线的距离小1.‎ ‎（1）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（2）设P为直线上任一点，过点P作曲线C的切线，，切点分别为A，B，直线，与y轴分别交于M，N两点，点、的纵坐标分别为m，n，求证：m与n的乘积为定值.‎ 解：（1）∵点与的距离比它到直线的距离小1，‎ ‎∴点与的距离与它到直线的距离相等，‎ ‎∴点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，所以，‎ 故抛物线的标准方程为.‎ ‎（2）证明：设点的坐标为，‎ 直线的方程为，直线的方程为.‎ 据，得 所以，得.‎ 同理，得，‎ 所以，是方程的两个实根，‎ 所以， ‎ 分别令，得，，‎ 所以 ‎.‎ ‎21.设函数.‎ ‎（I）讨论函数的单调性；‎ ‎（II）当时，，求实数取值范围.‎ 解：（1）f ’(x)=(1-2x-x2)ex 令f’(x)=0得x=-1- ，x=-1+‎ 当x∈（-∞，-1-）时，f’(x)<0；当x∈（-1-，-1+）时，f’(x)>0；当x∈（-1+，+∞）时，f’(x)<0‎ 所以f(x)在（-∞，-1-），（-1+，+∞）单调递减，在（-1-，-1+）单调递增 ‎(2) f (x)=(1+x)（1-x）ex 当a≥1时，设函数h(x)=（1-x）ex，h’(x)= -xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)单调递减，‎ 而h(0)=1，‎ 故h(x)≤1，所以f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1‎ 当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，g’（x）=ex-1＞0（x＞0），‎ 所以g（x）在在[0，+∞)单调递增，而g(0)=0，故ex≥x+1‎ 当0＜x＜1，，，‎ 取 则 当 ‎ 综上，a的取值范围[1，+∞）‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 ‎【选修4-4坐标系与参数方程】‎ ‎22.在极坐标系中，已知极点为O，点A的极坐标为，动点P满足.‎ ‎（1）写出动点P的轨迹C的极坐标方程；‎ ‎（2）已知直线和与轨迹C分别交于异于极点O的点，并分别记为M、N，点D是线段的中点，求出与的面积.‎ 解：（1）设，因为，所以，.‎ 因此三角形是直角三角形，在中，‎ 有，或 ‎∴，或，而，‎ 故所求极坐标方程为；‎ ‎（2）将和分别代入得 ‎，，‎ 显然，，‎ 故 ‎ 又是线段的中点，故 ‎【选修4-5不等式选讲】‎ ‎23.（1）已知，，比较A与B的大小；‎ ‎（2）已知，求证：，，中至少有一个不大于.‎ ‎（1）解：因为 所以，当且仅当，时等号成立. ‎ ‎（2）证明：假设，，三个均大于. ‎ 因为，所以，，，‎ 根据基本不等式得：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，出现矛盾. ‎ 所以假设不成立，即，，中至少有一个不大于.‎