【数学】2020届一轮复习人教B版概率与统计学案理 7页

概率与统计 ‎【2019年高考考纲解读】‎ ‎1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查.‎ ‎2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注．‎ ‎3.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.‎ ‎4.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力．‎ ‎5.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等.‎ ‎6.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现．‎ ‎【重点、考点剖析】‎ 一、排列组合与计数原理的应用 ‎1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．‎ ‎2.‎ 名称 排列 组合 相同点 都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复 不同点 ‎①排列与顺序有关；‎ ‎②两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同 ‎①组合与顺序无关；‎ ‎②两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同 二、二项式定理 ‎1．通项与二项式系数 Tr＋1＝Can－rbr，其中C(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．‎ ‎2．各二项式系数之和 ‎(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.‎ ‎(2)C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.‎ 三、古典概型与几何概型 ‎1．古典概型的概率公式 P(A)＝＝.‎ ‎2．几何概型的概率公式 P(A)＝‎ .‎ 四、相互独立事件和独立重复试验 ‎1．条件概率 在A发生的条件下B发生的概率：‎ P(B|A)＝.‎ ‎2．相互独立事件同时发生的概率 P(AB)＝P(A)P(B)．‎ ‎3．独立重复试验、二项分布 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为 Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.‎ 五、离散型随机变量的分布列、均值与方差 ‎1．均值与方差的性质 ‎(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b； 站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为(　　)‎ A．24　　　B．18‎ C．16 D．10‎ 解析：分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C·A种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A＋C·A＝10.选D. ‎ 答案：D ‎【变式探究】某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有(　　)‎ A．120种 B．156种 C．188种 D．240种 解析：解法一　记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法种数分别为AA，AA，CAA，CAA，CAA，故总编排方案有AA＋AA＋CAA＋CAA＋CAA＝120(种)．‎ 解法二　记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有CAA＝48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36(种)；③‎ 当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．‎ 答案：A ‎【变式探究】中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有(　　)‎ A．120种 B．156种 C．188种 D．240种 答案　A 解析　当“数”排在第一节时有A·A＝48(种)排法，当“数”排在第二节时有A·A·A＝36(种)排法，当“数”排在第三节时，若“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有A·A＝12(种)排法；若“射”和“御”两门课程排在后三节时有A·A·A＝24(种)排法，所以满足条件的共有48＋36＋12＋24＝120(种)排法．‎ ‎(2)若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“开心数”．例如：32是“开心数”．因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“开心数”，因为23＋24＋25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为(　　)‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ 答案　D 解析　根据题意个位数需要满足要求：‎ n＋(n＋1)＋ (n＋2)<10，即n<2.3，‎ ‎∴个位数可取0,1,2三个数，‎ ‎∵十位数需要满足：3n<10，∴n<3.3，‎ ‎∴十位可以取0,1,2,3四个数，故小于100的“开心数”共有3×4＝12(个)．‎ ‎【感悟提升】(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．‎ ‎(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．‎ ‎【变式探究】　(1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有(　　)‎ A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 答案　C 解析　若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有AA＝12(种)抢法；‎ 若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有AA＝12(种)抢法；‎ 若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有AC＝6(种)抢法；‎ 若甲、乙抢的是两个6元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有A＝6(种)抢法．‎ 根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有36种．‎ ‎(2)(2018·百校联盟联考)某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有(　　)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ A.9种 B．18种 ‎ C．12种 D．36种 答案　B 解析　若种植2块西红柿，则他们在13,14或24位置上种植，剩下两个位置种植黄瓜和茄子，所以共有3×2＝6(种)种植方式；‎ 若种植2块黄瓜或2块茄子也是3种种植方式，所以一共有6×3＝18(种)种植方式．‎ 题型二 二项式定理 例2、(1)[2018·全国卷Ⅲ]5的展开式中x4的系数为(　　)‎ A．10 B．20‎ C．40 D．80‎ ‎【解析】　5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C5·(x2)5－r·r＝C5·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C5·22＝40.‎ 故选C.‎ ‎【答案】C ‎【变式探究】(2017·浙江)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，‎ a5＝________.‎ 答案　16　4‎ 解析　a4是x项的系数，由二项式的展开式得 a4＝C·C·2＋C·C·22＝16.‎ a5是常数项，由二项式的展开式得a5＝C·C·22＝4.‎ ‎【变式探究】(2017·浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)‎ 答案　660‎ ‎【变式探究】若(1－3x)2 018＝a0＋a1x＋…＋a2 018x2 018，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018的值为(　　)‎ A．22 018－1 B．82 018－1‎ C．22 018 D．82 018‎ ‎【解析】由已知，令x＝0，得a0＝1，令x＝3，得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝(1－9)2 018＝82 018，所以a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝82 018－a0＝82 018－1，故选B. ‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ 题型五 离散型随机变量的分布列、均值与方差 例5、[2018·北京卷]电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：‎ 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 ‎140‎ ‎50‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎800‎ ‎510‎ 好评率 ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ ‎0.25‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．‎ 假设所有电影是否获得好评相互独立．‎ ‎(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率．‎ ‎(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率．‎ ‎(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ξk＝‎1”‎表示第k类电影得到人们喜欢，“ξk＝‎0”‎表示第k类电影没有得到人们喜欢(k＝1,2,3,4,5,6)．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．‎ ‎【解析】(1)解：由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，‎ 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50，‎ 故所求概率为＝0.025.‎ ‎(2)解：设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．‎ 故所求概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)(1－P(B))＋(1－P(A))P(B)．‎ 由题意知P(A)估计为0.25，P(B)估计为0.2.‎ 故所求概率估计为0.25×0.8＋0.75×0.2＝0.35.‎ ‎(3)解：Dξ1>Dξ4>Dξ2＝Dξ5>Dξ3>Dξ6.‎ ‎【方法技巧】解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：‎ ‎(1)明确随机变量可能取哪些值．‎ ‎(2)结合事件特点选取恰当的计算方法，并计算这些可能取值的概率值．‎ ‎(3)根据分布列和期望、方差公式求解. ‎ ‎　3　5　3　3　8　5　5　6　3　4‎ ‎　6　3　4　7　5　3　4　8　5　3‎ ‎　8　3　4　3　4　4　7　5　6　7‎ 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望；‎ ‎(3)在(1)，(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．‎ 注：①产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；‎ ‎②“性价比”大的产品更具可购买性．‎ 解析：(1)∵EX1＝6，∴5×0.4＋‎6a＋7b＋8×0.1＝6，即‎6a＋7b＝3.2，又0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5，‎ ‎∴由得 ‎(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：‎ ‎∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，‎ ‎∴其性价比为＝1，‎ ‎∵乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，‎ ‎∴其性价比为＝1.2，‎ 又1.2＞1，∴乙厂的产品更具可购买性． ‎