数学卷·2017届浙江省“超级全能生”高三3月联考（2017 10页

‎“超级全能王”浙江省高三2017年3月联考 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.在二项式的展开式中，常数项是（ ）‎ A．-240 B．240 C．-160 D．160‎ ‎3.若，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.设抛物线的顶点在原点，其焦点在轴上，又抛物线上的点与焦点的距离为2，则（ ）‎ A．4 B．4或-4 C. -2 D．-1或2‎ ‎5.“函数存在零点”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分不用必要条件 ‎6.若实数满足不等式组，则的最大值是（ ）‎ A． B． C. 4 D．1‎ ‎7.已知函数，其中是半径为4的圆的一条弦，为单位圆上的点，设函数的最小值为，当点在单位圆上运动时，的最大值为3，则线段的长度为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.过双曲线上任意一点，作与轴平行的直线，交两渐近线于两点，若，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.矩形中，，，将与沿所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线与直线成的角范围（包含初始状态）为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知在上递减的函数，且对任意的，总有，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题（本大题共7小题，11-14题每题6分，15-17题每题4分，共36分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11.等比数列的前项和为，已知，成等差数列，则数列的公比 ．‎ ‎12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ；体积为 .‎ ‎13.在平面直角坐标系中，，，，，，是的中点，当在轴上移动时，与满足的关系式为 ；点的轨迹的方程为 ．‎ ‎14.已知集合，则满足条件的事件的概率为 ；集合的元素中含奇数个数的期望为 ．‎ ‎15.已知，则 ．‎ ‎16.已知，则的取值范围为 ．‎ ‎17.若两个函数，在给定相同的定义域上恒有，则称这两个函数是“和谐函数”，已知，在上是“和谐函数”，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎18. 已知满足，若其图像向左平移个单位后得到的函数为奇函数．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）在锐角中，角的对边分别为，且满足，求的取值范围．‎ ‎19. 如图，在梯形中，，，，平面平面，四边形是矩形，，点在线段上，且．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的余弦值．‎ ‎20. 设函数，其中，函数有两个极值点，且．‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）设函数，当时，求证：．‎ ‎21. 如图，过椭圆：的右焦点作直线交椭圆于两点．‎ ‎（1）当变化时，在轴上求点，使得；‎ ‎（2）当直线交椭圆的另一交点为，连接并延长交椭圆于点，当四边形的面积取得最大值时，求直线的方程．‎ ‎22.已知每一项都是正数的数列满足，．‎ ‎（1）用数学归纳法证明：；‎ ‎（2）证明：；‎ ‎（3）记为数列的前项和，证明：．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: DCADB 6-10: BADCB ‎ 二、填空题 ‎11.2 12. 13. ‎ ‎14. 0 2 15. 16. 17．‎ 三、解答题 ‎18.（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，则的图象向左平移个单位后得到的函数为，而为奇函数，则有，，而，‎ 则有，从而.‎ ‎（2），‎ 由正弦定理得：，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴‎ ‎∵是锐角三角形，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎19.（1）证明：在梯形中，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴四边形是等腰梯形，且，，‎ ‎∴，∴，‎ 又∵，∴.‎ 设与交于点，，‎ 由角平分线定理知：，连接，‎ 则且，‎ ‎∴四边形是平行四边形，∴，‎ 又平面，∴平面.‎ ‎（2）由题知：，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，过点作的垂线交于点，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴平面，即平面，∴，‎ 又∵，，∴平面.‎ 在中，，‎ 在中，，‎ ‎∴直线与平面所成角的正弦值为，‎ 即直线与平面所成角的余弦值为.‎ ‎20.（1），‎ 由题可知：为的两个根，且，得或.‎ 而 由（1）（2）得：，设，‎ 有 而在上为减函数，‎ 则，即，即，‎ 综上，.‎ ‎（2）证明：由，，知，‎ ‎，‎ 由（1）可知，所以，‎ 所以.‎ ‎21.（1）设，，‎ 当不在轴上时，设直线的方程为，‎ 代入椭圆的方程可得：.‎ 则，，‎ 由题知，‎ 即，‎ 由题知无论取何值，上式恒成立，则，‎ 当在轴上时定点依然可使成立，‎ 所以点的坐标是.‎ ‎（2）由（1）知，，，‎ 所以关于轴对称，关于轴对称.‎ 所以四边形是一个等腰梯形，‎ 则四边形的面积 由对称性不妨设，‎ 求导可得：，‎ 令，可得 由于在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以当时，四边形的面积取得最大值.‎ 此时，直线的方程是.‎ ‎22.证明：（1）由题知，，‎ ‎①当时，，，‎ ‎，成立；‎ ‎②假设时，结论成立，即，‎ 因为 所以 即时也成立，‎ 由①②可知对于，都有成立.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以，‎ 同理由数学归纳法可证，‎ ‎.‎ 猜测：，下证这个结论.‎ 因为，‎ 所以与异号. 注意到，知，，‎ 即.‎ 所以有，‎ 从而可知.‎ ‎（3）‎ 所以 所以