辽宁省葫芦岛市第六中学2019届高三上学期9月练习卷数学（理） 15页

‎2019届9月练习卷 高三理科数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知（为虚数单位），则复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．如表是我国某城市在2017年1月份至10月份个月最低温与最高温（）的数据一览表．‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 最高温 ‎5‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎17‎ ‎24‎ ‎27‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎21‎ 最低温 ‎1‎ ‎7‎ ‎17‎ ‎19‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎10‎ 已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据这一览表，则下列结论错误的是（ ）‎ A．最低温与最高位为正相关 B．每月最高温和最低温的平均值在前8个月逐月增加 C．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月 D．1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大 ‎4．等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（ ）‎ A．7 B．8 C．15 D．16‎ ‎5．已知函数为奇函数，且当时，，则（ ）‎ A． B．0 C．1 D．2‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎7．三次函数的图象在点处的切线与轴平行，则在区间上的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知，，与的夹角为，则（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎9．平面直角坐标系中，动点到圆上的点的最小距离与其到直线的距离相等，则点的轨迹方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（ ）‎ A．2 B．4 C． D．‎ ‎11．已知椭圆：，点，，分别为椭圆的左顶点、上顶点、左焦点，若，则椭圆的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知是由具有公共直角边的两块直角三角板（与）组成的三角形，如左下图所示．其中，，．现将沿斜边进行翻折成（不在平面上）．若，分别为和的中点，则在翻折过程中，下列命题不正确的是（ ）‎ A．在线段上存在一定点，使得的长度是定值 B．点在某个球面上运动 C．对于任意位置，二面角始终大于二面角 D．存在某个位置，使得直线与所成角为 二、填空题：（本大题共4题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．设，满足约束条件，则的取值范围为__________．‎ ‎14．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．‎ ‎15．在数列中，，，且．记，，则__________．‎ ‎16．如图，在中，，点在线段上，且，，则的面积的最大值为__________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（12分）在中，角，，所对的边分别是，，，且．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎18．（12分）如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．‎ ‎（1）证明平面;‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎19．（12分）某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立．‎ ‎（1）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；‎ ‎（2）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；‎ ‎（3）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？‎ ‎20．（12分）已知中心在原点，左、右焦点分别为，的椭圆的离心率为，焦距为，，是椭圆上两点．‎ ‎（1）若直线与以原点为圆心的圆相切，且，求此圆的方程；‎ ‎（2）动点满足：，直线与的斜率的乘积为，求动点的轨迹方程．‎ ‎21．（12分）设函数，，其中．‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若存在极值点，且，其中，求证：；‎ ‎（3）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 以直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数），曲线的方程为，定点，点是曲线上的动点，为的中点．‎ ‎（1）求点的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线与曲线相交于，两点，若，求实数的取值范围．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求的取值范围．‎ 一、选择题．‎ ‎1．【答案】C ‎2．【答案】D ‎3．【答案】B ‎4．【答案】C ‎5．【答案】A ‎6．【答案】C ‎7．【答案】D ‎8．【答案】B ‎9．【答案】A ‎10．【答案】C ‎11．【答案】A ‎12．【答案】D 二、填空题．‎ ‎13．【答案】‎ ‎14．【答案】‎ ‎15．【答案】3‎ ‎16．【答案】‎ 三、解答题．‎ ‎17．【答案】（1）见解析；（2）4．‎ ‎【解析】（1）根据正弦定理，可设，则，，．代入中，有，‎ 变形可得．在中，由，‎ 有，所以．‎ ‎（2）由已知，，根据余弦定理，有．‎ 所以．由（1），，‎ 所以，故．‎ ‎18．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）由已知得．‎ 取的中点，连接，，由为中点知，．‎ 又，故，四边形为平行四边形，于是．‎ 因为平面，平面，所以平面．‎ ‎（2）取的中点，连结．由得，从而，‎ 且．‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意知，，，，，，，．‎ 设为平面的一个法向量，则，即 可取，于是．‎ ‎19．【答案】（1）；（2）见解析；（3）400元．‎ ‎【解析】（1）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有种，摸到红球的结果共有种，所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是．……2分 ‎（2）设表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则，所以．由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为元．由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120元小于直接返现的150元，‎ 所以商场经理希望顾客参加抽奖．……………7分 ‎（3）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为．‎ 由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则．‎ 于是，恰好次中奖的概率为，．‎ 从而，，‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 则最大．所以，最有可能获得的现金奖励为元．‎ 于是，顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励．………………12分 ‎20．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）设椭圆方程为，由已知，得，‎ ‎∴椭圆方程为．‎ ‎①当直线的斜率存在时，设直线为，，，‎ 代入椭圆方程得．∴，．‎ ‎∵，∴，‎ 即 ‎，即．‎ ‎∵与以原点为圆心的圆相切，∴圆半径，‎ 则，∴圆的方程为．‎ ‎②当直线的斜率存在时，易知方程为满足上述方程．综上，所求圆的方程为．‎ ‎（2）设，，，由得 又直线，的斜率积为，∴，即．‎ ‎∵，在椭圆上，∴，联立得消去，，，，‎ 得．当斜率不存在时，即，得，，．此时，同理斜率不存在时，，∴点的轨迹方程为．‎ ‎21．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．‎ ‎【解析】（1）解：由，可得，下面分两种情况讨论：‎ ‎①当时，有恒成立，所以的单调递增区间为．‎ ‎②当时，令，解得或．‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，．‎ ‎（2）证明：因为存在极值点，所以由（1）知且．由题意，得，即，进而，又，且，‎ 由题意及（1）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以．‎ ‎（3）证明：设在区间上的最大值为，表示，两数的最大值，下面分三种情况讨论：（1）当时，，由（1）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，‎ 因此 所以．‎ ‎（2）当时，，‎ 由（1）和（2）知，，‎ 所以在区间上的取值范围为，‎ 因此 ‎．‎ ‎（3）当时，，由（1）和（2）知，‎ ‎，，‎ 所以在区间上的取值范围为，因此，‎ ‎．‎ 综上所述，当时，在区间上的最大值不小于．‎ ‎22．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意知，曲线的直角坐标方程为．设点，‎ ‎．‎ 由中点坐标公式得，代入中，‎ 得点的轨迹的直角坐标方程为．‎ ‎（2）直线的普通方程为，由题意可得，解得，‎ 即实数的取值范围是．‎ ‎23．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，，当时，由得，‎ 解得；‎ 当时，无解；当时，由得，解得，所以的解集为．‎ ‎（2）等价于当时，等价于，由条件得且，即．故满足条件的的取值范围为．‎