2009年江西省高考数学试卷（理科）【word版本、可编辑、附详细答案和解释】 6页

‎2009年江西省高考数学试卷（理科）‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 若复数z＝‎(x‎2‎-1)+(x-1)i为纯虚数，则实数x的值为（ ）‎ A.‎-1‎ B.‎0‎ C.‎1‎ D.‎-1‎或‎1‎ ‎2. 函数y=‎ln(x+1)‎‎-x‎2‎-3x+4‎的定义域为（        ）‎ A.‎(-4, -1)‎ B.‎(-4, 1)‎ C.‎(-1, 1)‎ D.‎‎(-1, 1]‎ ‎3. 已知全集U=A∪B中有m个元素，‎(‎∁‎UA)∪(‎∁‎UB)‎中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（ ）‎ A.mn B.m+n C.n-m D.‎m-n ‎4. 若函数f(x)=(1+‎3‎tanx)cosx，0≤x<‎π‎2‎，则f(x)‎的最大值是（ ）‎ A.‎1‎ B.‎2‎ C.‎3‎‎+1‎ D.‎‎3‎‎+2‎ ‎5. 设函数f(x)=g(x)+‎x‎2‎，曲线y=g(x)‎在点（‎1, g(1)‎）处的切线方程为y=2x+1‎，则曲线y=f(x)‎在点（‎1, f(1)‎）处切线的斜率为（ ）‎ A.‎4‎ B.‎-‎‎1‎‎4‎ C.‎2‎ D.‎‎-‎‎1‎‎2‎ ‎6. 过椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的左焦点F‎1‎作x轴的垂线交椭圆于点P，F‎2‎为右焦点，若‎∠F‎1‎PF‎2‎=‎‎60‎‎∘‎，则椭圆的离心率为‎(‎        ‎‎)‎ A.‎2‎‎2‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎1‎‎3‎ ‎7. ‎(1+ax+by‎)‎n展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为‎243‎，不含y的项的系数的绝对值的和为‎32‎，则a，b，n的值可能为（ ）‎ A.a=2‎，b=-1‎，n=5‎ B.a=-2‎，b=-1‎，‎n=6‎ C.a=-1‎，b=2‎，n=6‎ D.a=1‎，b=2‎，‎n=5‎ ‎8. 数列‎{an}‎的通项an‎=n‎2‎(cos‎2‎nπ‎3‎-sin‎2‎nπ‎3‎)‎，其前n项和为Sn，则S‎30‎为（ ）‎ A.‎470‎ B.‎490‎ C.‎495‎ D.‎‎510‎ ‎9. 如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（ ）‎ A.O-ABC是正三棱锥 B.直线OB // ‎平面ACD C.直线AD与OB所成的角是‎45‎‎∘‎ D.二面角D-OB-A为‎45‎‎∘‎ ‎10. 为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了‎3‎种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐‎3‎种卡片可获奖，现购买该食品‎5‎袋，能获奖的概率为（ ）‎ A.‎31‎‎81‎ B.‎33‎‎81‎ C.‎48‎‎81‎ D.‎‎50‎‎81‎ ‎11. 一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为τ‎1‎，τ‎2‎，τ‎3‎，τ‎4‎，则下列关系中正确的为（ ）‎ A.τ‎1‎‎>τ‎4‎>τ‎3‎>‎τ‎2‎ B.τ‎3‎‎>τ‎4‎>τ‎1‎>‎τ‎2‎ C.τ‎4‎‎>τ‎2‎>τ‎3‎>‎τ‎1‎ D.‎τ‎3‎‎>τ‎2‎>τ‎4‎>‎τ‎1‎ ‎12. 设函数f(x)=ax‎2‎+bx+c(a<0)‎的定义域为D，若所有点‎(s, f(t)(s, t∈D)‎构成一个正方形区域，则a的值为（ ）‎ A.‎-2‎ B.‎-4‎ C.‎-8‎ D.不能确定 二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上 ‎13. 已知向量a‎→‎‎=(3, 1)‎，b‎→‎‎=(1, 3)‎，c‎→‎‎=(k, 7)‎，若‎(a‎→‎-c‎→‎) // ‎b‎→‎，则k=‎________．‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 ‎14. 正三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎内接于半径为‎2‎的球，若A，B两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为________．‎ ‎15. 若不等式‎9-‎x‎2‎‎≤k(x+2)-‎‎2‎的解集为区间‎[a, b]‎，且b-a=2‎，则k=‎________．‎ ‎16. 设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π)‎，对于下列四个命题：‎ A.M中所有直线均经过一个定点 B.存在定点P不在M中的任一条直线上 C.对于任意整数n(n≥3)‎，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是________（写出所有真命题的代号）．‎ 三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17. 设函数f(x)=‎exx，‎ ‎（1）求函数f(x)‎的单调区间；‎ ‎（2）若k>0‎，求不等式f'(x)+k(1-x)f(x)>0‎的解集．‎ ‎18. 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是‎1‎‎2‎．若某人获得两个“支持”，则给予‎10‎万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予‎5‎万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表示该公司的资助总额．‎ ‎（1）写出ξ的分布列；‎ ‎（2）求数学期望Eξ．‎ ‎19. ‎△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC=‎sinA+sinBcosA+cosB，sin(B-A)=cosC．‎ ‎（1）求A，C；‎ ‎（2）若S‎△ABC‎=3+‎‎3‎，求a，c．‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 ‎20. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥‎平面ABCD，PA=AD=4‎，AB=2‎．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N ‎（1）求证：平面ABM⊥‎平面PCD；‎ ‎（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；‎ ‎（3）求点N到平面ACM的距离．‎ ‎21. 已知点P‎1‎‎(x‎0‎, y‎0‎)‎为双曲线x‎2‎‎8‎b‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1‎（b为正常数）上任一点，F‎2‎为双曲线的右焦点，过P‎1‎作右准线的垂线，垂足为A，连接F‎2‎A并延长交y轴于P‎2‎．‎ ‎（1）求线段P‎1‎P‎2‎的中点P的轨迹E的方程；‎ ‎（2）设轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点Q(x‎1‎, y‎1‎)(y‎1‎≠0)‎，直线QB，QD分别交y轴于M，N两点．求证：以MN为直径的圆过两定点．‎ ‎22. 各项均为正数的数列‎{an}‎，a‎1‎‎=a，a‎2‎‎=b，且对满足m+n=p+q的正整数m，n，p，q都有am‎+‎an‎(1+am)(1+an)‎‎=‎ap‎+‎aq‎(1+ap)(1+aq)‎．‎ ‎（1）当a=‎1‎‎2‎，b=‎‎4‎‎5‎时，求通项an；‎ ‎（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数λ，使得对于每个正整数n，都有‎1‎λ‎≤an≤λ．‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 参考答案与试题解析 ‎2009年江西省高考数学试卷（理科）‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.A ‎2.C ‎3.D ‎4.B ‎5.A ‎6.B ‎7.D ‎8.A ‎9.B ‎10.D ‎11.C ‎12.B 二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上 ‎13.‎‎5‎ ‎14.‎‎8‎ ‎15.‎‎2‎ ‎16.BC 三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17.解：（1）∵ ‎f(x)=‎exx ‎∴ ‎f'(x)=-‎1‎x‎2‎ex+‎1‎xex=‎x-1‎x‎2‎ex 由f‎'‎‎(x)=0‎，得x=1‎，‎ 因为当x<0‎时，f‎'‎‎(x)<0‎；‎ 当‎01‎时，f‎'‎‎(x)>0‎；‎ 所以f(x)‎的单调增区间是：‎‎[1, +∝)；单调减区间是:(-∞, 0), (0, 1]‎ ‎（2）由f‎'‎‎(x)+k(1-x)f(x)=x-1+kx-kx‎2‎x‎2‎ex=‎(x-1)(-kx+1)‎x‎2‎ex>0‎，‎ 得：‎(x-1)(kx-1)<0‎，‎ 故：当‎01‎时，解集是：‎{x|‎1‎k0)‎，则在定义域上有f(x)≥g(a)=‎‎1‎‎1+a‎，‎a>1‎‎1‎‎2‎‎，‎a=1‎a‎1+a‎，‎‎0