全国高中数学联赛模拟试题（八） 4页

全国高中数学联赛模拟试题（八）‎ 一、选择题 ‎1、 若△ABC的三边长a、b、c满足，则它的最大内角度数是 ‎（A）150° （B）120° （C）90° （D）60°‎ ‎2、 定长为l（）的线段AB的两端点都在双曲线（a＞0，b＞0），则AB中点M的横坐标的最小值为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎3、 在复平面上，曲线z4+z=1与圆|z|=1的交点个数为 ‎（A）0 （B）1 （C）2 （D）3‎ ‎4、 设E={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}、F={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x-4}是直角坐标平面上的两个点集，则集合G=所组成的图形面积是 ‎（A）6 （B）2p （C）6.5 （D）7‎ ‎5、 正方形纸片ABCD，沿对角线AC对折，使D在面ABC外，这时DB与面ABC所成的角一定不等于 ‎（A）30° （B）45° （C）60° （D）90°‎ ‎6、 设logab是一个整数，且，给出下列四个结论 ‎①； ②logab+logba=0；‎ ‎③0＜a＜b＜1； ④ab-1=0．‎ 其中正确结论的个数是 ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ 二、填空题 ‎7、 从{1,2,3,…,20}中选出三个数，使得没有两个数相邻，有 种不同的选法．‎ ‎8、已知，则的值等于 ．‎ ‎9、 在Rt△ABC中，AB＝AC，以C为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB内，且椭圆过A、B点，则这个椭圆的离心率等于 ．‎ ‎10、 设a、b均为正数，且存在复数z满足，则ab的最大值等于 ．‎ ‎11、 使不等式对惟一的一个整数k成立的最大正整数n为 ．‎ ‎12、 = ．‎ 三、解答题 ‎13、 对由n个A，n个B和n个C排成的行，在其下面重新定义一行（比上面一行少一个字母），若其头上的两个字母不同，则在该位置写上第三个字母；若相同，则写上该字母．对新得到的行重复上面的操作，直到变为一个字母为止．下面给出了n=2的一个例子．‎ A C B C B A B A A A C C A A B B A C C B A 求所有的正整数n，使得对任意的初始排列，经上述操作后，所得的大三角形的三个顶点上的字母要么全相同，要么两两不同．‎ ‎14、 已知实数x、y满足x2+y2≤5．求f(x,y)=3|x+y|+|4y+9|+|7y-3x-18|的最大值与最小值．‎ ‎15、 经过点M(2,-1)作抛物线y2=x的四条弦PiQi(i=1,2,3,4)，且P1、P2、P3、P4四点的纵坐标依次成等差数列．‎ 求证：．‎ ‎16、 n为正整数，r＞0为实数．证明：方程xn+1+rxn-rn+1=0没有模为r的复数根．‎ ‎17、 设C(I)是以△ABC的内心I为圆心的一个圆，点D、E、F分别是从I出发垂直于边BC、CA和AB的直线C(I)的交点．‎ 求证：AD、BE和CF三线共点．‎ ‎18、 非负实数x、y、z满足x2+y2+z2=1．‎ ‎ 求证：1≤≤．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、 B ‎2、 D ‎3、 A ‎4、 D ‎5、 D ‎6、 A 二、填空题 ‎7、816；‎ ‎8、 ‎ ‎9、； ‎ ‎10、； ‎ ‎11、112．‎ ‎12、；‎ 三、解答题 ‎13、 n=1．‎ ‎14、最大值，最小值．‎ ‎15、证略．‎ ‎16、证略．‎ ‎17、证略；‎ ‎18、证略．‎