宁夏银川九中石嘴山三中平罗中学三校2020届高三高考数学模拟试卷（文科）（6月份） 26页

‎2020年宁夏银川九中、石嘴山三中、平罗中学三校高考数学模拟试卷（文科）（6月份）‎ 一、选择题（共12小题）.‎ ‎1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3，4}，B＝{3，5}，则下列结论正确的是（　　）‎ A．B⊆A B．∁UA＝{1，5} C．A∪B＝{3} D．A∩B＝{2，4，5}‎ ‎2．设复数z满足z=‎‎4i‎1+i，则z在复平面内的对应点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如下．则下面结论中错误的一个是（　　）‎ A．甲的极差是29 B．乙的众数是21 ‎ C．甲罚球命中率比乙高 D．甲的中位数是24‎ ‎4．《周髀算经》中有一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（　　）‎ A．12.5尺 B．10.5尺 C．15.5尺 D．9.5尺 ‎5．已知函数f(x)=‎2‎x-(‎‎1‎‎2‎‎)‎x，则f（x）（　　）‎ A．是偶函数，且在R上是增函数 ‎ B．是奇函数，且在R上是增函数 ‎ C．是偶函数，且在R上是减函数 ‎ D．是奇函数，且在R上是减函数 ‎6．已知向量a‎→‎‎=‎（4，﹣7），b‎→‎‎=‎（3，﹣4），则a‎→‎‎-2‎b‎→‎在b‎→‎方向上的投影为（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．﹣2‎5‎ D．2‎‎5‎ ‎7．一位老师将三道题（一道三角题，一道数列题，一道立体几何题）分别写在三张卡纸上，安排甲、乙、丙三位学生各抽取一道．当他们被问到谁做立体几何题时，甲说：“我抽到的不是立体几何题”，乙说：“我喜欢三角，可惜没抽到”，丙说：“乙抽到的肯定不是数列题”．事实证明，这三人中只有一人说的是假话，那么抽到立体几何题的是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．.丙 D．不确定 ‎8．若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．已知f(x)=a‎→‎⋅‎b‎→‎，其中a‎→‎‎=(2cosx，-‎3‎sin2x)‎，b‎→‎‎=(cosx，1)‎，x∈R．则f（x）的单调递减区间是（　　）‎ A．‎[kπ+π‎12‎，kπ+π‎3‎](k∈Z)‎ B．‎[kπ-π‎12‎，kπ+π‎3‎](k∈Z)‎ ‎ C．‎[kπ-π‎6‎，kπ+π‎3‎](k∈Z)‎ D．‎‎[kπ+π‎6‎，kπ+π‎3‎](k∈Z)‎ ‎10．若数列{an}的前n项和为Sn，满足3an+1＝3an+2，a1‎=‎‎2‎‎3‎，则‎{‎1‎Sn}‎的前20项和为（　　）‎ A．‎1‎‎420‎ B．‎1‎‎140‎ C．‎20‎‎21‎ D．‎‎20‎‎7‎ ‎11．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，PA‎=‎‎3‎，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）‎ A．5π B．‎2‎π C．20π D．4π ‎12．过抛物线C：x2＝4y的准线上任意一点P作抛物线的切线PA，PB，切点分别为A，B，则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和的最小值是（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13．已知实数x，y满足不等式组x-2y≥0‎x+3y-3≥0‎x-3≤0‎，则z＝2x﹣y的最大值为　 　．‎ ‎14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著的，书中有如下问题：“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积V‎=‎1‎‎12‎×‎（底面的圆周长的平方×高），则该问题中圆周率π的取值为　 　（注：一丈等于十尺）．‎ ‎15．若双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=‎1（a＞0，b＞0）的两条渐近线斜率分别为k1，k2，若k1k2＝﹣3，则该双曲线的离心率为　 　．‎ ‎16．已知函数f（x）‎=‎x‎2‎‎-3x+a，x≤0‎log‎2‎x，x＞0‎，若函数g（x）＝f2（x）﹣3f（x）+2有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是　 　．‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分）‎ ‎17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝1．‎ ‎（1）求证：PA⊥BD；‎ ‎（2）若PC与底面ABCD所成的角为45°，求点D到平面PBC的距离．‎ ‎18．a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知a（sinA+4sinB）＝8sinA．‎ ‎（1）若b＝1，A‎=‎π‎6‎，求sinB；‎ ‎（2）已知C‎=‎π‎3‎，当△ABC的面积取得最大值时，求△ABC的周长．‎ ‎19．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名，为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）根据“25周岁以上（含25周岁）组”的频率分布直方图，求25周岁以上（含25周岁）组工人日平均生产件数的中位数的估计值（四舍五入保留整数）；‎ ‎（2）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；‎ ‎（3）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？‎ 附：K‎2‎=‎n‎(ad-bc)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎‎ ‎ 生产能手 非生产能手 合计 ‎25周岁以上（含25周岁）组 ‎25周岁以下组 合计 P（K2≥k）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎20．已知椭圆E：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=‎1（a＞b＞0），其短轴长为4，离心率为e1，双曲线x‎2‎m‎-y‎2‎n=‎1（m＞0，n＞0）的渐近线方程为y＝±x，离心率为e2，且e1•e2＝1．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设椭圆E的右焦点为F，过点G（4，0）作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率分别为k1，k2，试判断k1+k2是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．‎ ‎21．已知函数f（x）＝xsinx+acosx+x，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当a＝2时，求f（x）在区间‎[0，π‎2‎]‎上的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅲ）当a＞2时，若方程f（x）﹣3＝0在区间‎[0，π‎2‎]‎上有唯一解，求a的取值范围．‎ 请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．‎ ‎22．已知直线l：x‎-‎‎3‎y＝0与曲线C：x2+（y﹣3）2＝9，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）将直线l绕极点O逆时针方向旋转30°，得到的直线l'，这两条直线与曲线C分别交于异于极点的P，Q，两点，求△OPQ的面积．‎ ‎23．已知函数f(x)=|2x-1|+x+‎‎1‎‎2‎的最小值为m．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）若a，b，c为正实数，且a+b+c＝m，证明：a‎2‎‎+b‎2‎+c‎2‎≥‎‎1‎‎3‎．‎ 参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3，4}，B＝{3，5}，则下列结论正确的是（　　）‎ A．B⊆A B．∁UA＝{1，5} C．A∪B＝{3} D．A∩B＝{2，4，5}‎ ‎【分析】由题知集合A与集合B互相没有包含关系，A∩B＝{3}，A∪B＝{2，3，4，5}，∁UA＝{1，5}．‎ 解：全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3，4}，B＝{3，5}，‎ ‎∴由题知集合A与集合B互相没有包含关系，‎ A∩B＝{3}，A∪B＝{2，3，4，5}，∁UA＝{1，5}．‎ 故选：B．‎ ‎2．设复数z满足z=‎‎4i‎1+i，则z在复平面内的对应点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ 解：∵z=‎4i‎1+i=‎4i(1-i)‎‎(1+i)(1-i)‎=2+2i，‎ ‎∴z在复平面内的对应点为（2，2），位于第一象限．‎ 故选：A．‎ ‎3．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如下．则下面结论中错误的一个是（　　）‎ A．甲的极差是29 B．乙的众数是21 ‎ C．甲罚球命中率比乙高 D．甲的中位数是24‎ ‎【分析】通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A对；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出D错；根据图的集中于离散程度，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出C对．‎ 解：由茎叶图知 甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A对 甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为‎22+24‎‎2‎‎=23‎故D不对 甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C对 乙的数据中出现次数最多的是21，所以B对 故选：D．‎ ‎4．《周髀算经》中有一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（　　）‎ A．12.5尺 B．10.5尺 C．15.5尺 D．9.5尺 ‎【分析】设此等差数列{an}的公差为d，由已知可得a1+a4+a7＝3a1+9d＝37.5，a1+11d＝4.5，联立解得：d，a1．‎ 解：设此等差数列{an}的公差为d，‎ 则a1+a4+a7＝3a1+9d＝37.5，a1+11d＝4.5，‎ 解得：d＝﹣1，a1＝15.5．‎ 故选：C．‎ ‎5．已知函数f(x)=‎2‎x-(‎‎1‎‎2‎‎)‎x，则f（x）（　　）‎ A．是偶函数，且在R上是增函数 ‎ B．是奇函数，且在R上是增函数 ‎ C．是偶函数，且在R上是减函数 ‎ D．是奇函数，且在R上是减函数 ‎【分析】根据奇函数的定义以及复合函数的单调性可得．‎ 解：f（x）＝2x﹣2﹣x，f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（x）‎ ‎∴f（x）为奇函数，‎ 又f（x） 是R上的增函数，‎ 故选：B．‎ ‎6．已知向量a‎→‎‎=‎（4，﹣7），b‎→‎‎=‎（3，﹣4），则a‎→‎‎-2‎b‎→‎在b‎→‎方向上的投影为（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．﹣2‎5‎ D．2‎‎5‎ ‎【分析】根据方向投影的公式可得．‎ 解：a‎→‎‎-2‎b‎→‎在b‎→‎方向上的投影为：‎(a‎→‎-2b‎→‎)⋅‎b‎→‎‎|b‎→‎|‎‎=a‎→‎‎⋅b‎→‎-2‎b‎→‎‎2‎‎|b‎→‎|‎=‎12+28-2×25‎‎5‎=-‎2．‎ 故选：B．‎ ‎7．一位老师将三道题（一道三角题，一道数列题，一道立体几何题）分别写在三张卡纸上，安排甲、乙、丙三位学生各抽取一道．当他们被问到谁做立体几何题时，甲说：“我抽到的不是立体几何题”，乙说：“我喜欢三角，可惜没抽到”，丙说：“乙抽到的肯定不是数列题”．事实证明，这三人中只有一人说的是假话，那么抽到立体几何题的是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．.丙 D．不确定 ‎【分析】采用反证法，分别假设甲乙丙说的是假话，进行判断即可．‎ 解：如果甲说的是假话，则甲抽到立体几何，乙丙说的是真话，则乙抽到数列，这与丙相矛盾，‎ 故甲是真话，若乙说的是假话，则乙抽到是三角题，则甲抽到数列题，丙抽到是立体几何，‎ 若丙说的是假话，则乙抽到是数列题，则甲抽到三角题，则丙抽到是立体几何，‎ 故那么抽到立体几何题的是丙，‎ 故选：C．‎ ‎8．若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】由l⊥α，“m∥α”⇒m⊥l．反之不成立，可能m⊂α．即可判断出关系．‎ 解：由l⊥α，“m∥α”⇒m⊥l．反之不成立，可能m⊂α．‎ 因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎9．已知f(x)=a‎→‎⋅‎b‎→‎，其中a‎→‎‎=(2cosx，-‎3‎sin2x)‎，b‎→‎‎=(cosx，1)‎，x∈R．则f（x）的单调递减区间是（　　）‎ A．‎[kπ+π‎12‎，kπ+π‎3‎](k∈Z)‎ B．‎[kπ-π‎12‎，kπ+π‎3‎](k∈Z)‎ ‎ C．‎[kπ-π‎6‎，kπ+π‎3‎](k∈Z)‎ D．‎‎[kπ+π‎6‎，kπ+π‎3‎](k∈Z)‎ ‎【分析】先利用平面向量数量积表示出函数f（x ‎），再结合余弦的二倍角公式和辅助角公式对f（x）进行化简，最后根据余弦函数的单调性求解即可．‎ 解：f(x)=a‎→‎⋅b‎→‎=‎2cosx•cosx‎-‎‎3‎sin2x‎=cos2x-‎3‎sin2x+1=2cos(2x+π‎3‎)+1‎，‎ 令‎2x+π‎3‎∈[2kπ，π+2kπ]，k∈Z，则x∈[kπ-π‎6‎，kπ+π‎3‎]，k∈Z，‎ 故选：C．‎ ‎10．若数列{an}的前n项和为Sn，满足3an+1＝3an+2，a1‎=‎‎2‎‎3‎，则‎{‎1‎Sn}‎的前20项和为（　　）‎ A．‎1‎‎420‎ B．‎1‎‎140‎ C．‎20‎‎21‎ D．‎‎20‎‎7‎ ‎【分析】先由题设条件得到数列{an}是等差数列，再求其前n项和Sn，进而求‎1‎Sn，然后利用裂项相消法求其前20项和即可．‎ 解：∵3an+1＝3an+2，‎ ‎∴an+1‎‎=an+‎‎2‎‎3‎，即an+1﹣an‎=‎‎2‎‎3‎，‎ ‎∴数列{an}是首项、公差均为‎2‎‎3‎的等差数列，‎ ‎∴Sn‎=‎2‎‎3‎n+n(n-1)‎‎2‎×‎2‎‎3‎=‎n(n+1)‎‎3‎，‎1‎Sn‎=‎3‎n(n+1)‎=3(‎1‎n-‎1‎n+1‎)‎．‎ 所以‎{‎1‎Sn}‎的前20项和为3[（‎1‎‎1‎‎-‎‎1‎‎2‎）+（‎1‎‎2‎‎-‎‎1‎‎3‎）+（‎1‎‎3‎‎-‎‎1‎‎4‎）+…+（‎1‎‎20‎‎-‎‎1‎‎21‎）]＝3（1‎-‎‎1‎‎21‎）‎=‎‎20‎‎7‎．‎ 故选：D．‎ ‎11．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，PA‎=‎‎3‎，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）‎ A．5π B．‎2‎π C．20π D．4π ‎【分析】根据题意，证出BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC 的外接球直径．利用勾股定理结合题中数据算出PB‎=‎‎5‎，得外接球半径R‎=‎‎5‎‎2‎，从而得到所求外接球的表面积 解：PA⊥平面ABC，AC⊥BC，‎ ‎∴BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径；‎ ‎∵Rt△PBA中，AB‎=‎‎2‎，PA‎=‎‎3‎ ‎∴PB‎=‎‎5‎，可得外接球半径R‎=‎‎1‎‎2‎PB‎=‎‎5‎‎2‎ ‎∴外接球的表面积S＝4πR2＝5π 故选：A．‎ ‎12．过抛物线C：x2＝4y的准线上任意一点P作抛物线的切线PA，PB，切点分别为A，B，则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和的最小值是（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎【分析】首先证明AB横过抛物线焦点，再利用当AB为通径时最小即可．‎ 解：设抛物线C：x2＝4y的准线上任意一点P（m，﹣1）．‎ 点P作抛物线的切线PA，PB，设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）‎ ‎ x2＝4y⇒y=‎1‎‎4‎x‎2‎，y′=‎1‎‎2‎x，‎ ‎∴切线PA，PB方程分别为x1x＝2（y+y1），x2x＝2（y+y2）．‎ ‎∴mx‎1‎=2(y‎1‎-1)‎mx‎2‎=2(y‎2‎-1)‎⇒直线AB的方程为mx＝2（y﹣1）．‎ 故直线AB过定点（0，1），（即AB恒过抛物线焦点）‎ 则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和为AB，‎ 当AB为通径时最小，最小值是2p＝4．‎ 故选：D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13．已知实数x，y满足不等式组x-2y≥0‎x+3y-3≥0‎x-3≤0‎，则z＝2x﹣y的最大值为　6　．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．‎ 解：作出实数x，y满足不等式组x-2y≥0‎x+3y-3≥0‎x-3≤0‎对应的平面区域如图：（阴影部分）．‎ 由z＝2x﹣y得y＝2x﹣z，‎ 平移直线y＝2x﹣z，由图象可知当直线y＝2x﹣z经过点A（3，0）时，直线y＝2x﹣z的截距最小，此时z最大．‎ 代入目标函数z＝2x﹣y，‎ 得z＝6．即z＝2x﹣y的最大值为6．‎ 故答案为：6．‎ ‎14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著的，书中有如下问题：“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积V‎=‎1‎‎12‎×‎（底面的圆周长的平方×高），则该问题中圆周率π的取值为　3　（注：一丈等于十尺）．‎ ‎【分析】由题意，圆柱体底面的圆周长48尺，高11尺，利用圆堡瑽（圆柱体）的体积V‎=‎1‎‎12‎×‎（底面的圆周长的平方×高），求出V，再建立方程组，即可求出圆周率π的取值．‎ 解：由题意，圆柱体底面的圆周长48尺，高11尺，‎ ‎∵圆堡瑽（圆柱体）的体积V‎=‎1‎‎12‎×‎（底面的圆周长的平方×高），‎ ‎∴V‎=‎1‎‎12‎×‎（482×11）＝2112，‎ ‎∴‎‎2πR=48‎πR‎2‎×11=2112‎ ‎∴π＝3，R＝8，‎ 故答案为：3．‎ ‎15．若双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=‎1（a＞0，b＞0）的两条渐近线斜率分别为k1，k2，若k1k2＝﹣3，则该双曲线的离心率为　2　．‎ ‎【分析】由题可知，双曲线的渐近线方程为y=±bax，所以k1k2‎=-b‎2‎a‎2‎=-‎3，而离心率e=‎‎1+‎b‎2‎a‎2‎，从而得解．‎ 解：双曲线的渐近线方程为y=±bax，‎ ‎∴k1k2‎=-b‎2‎a‎2‎=-‎3，即b‎2‎a‎2‎‎=3‎，‎ ‎∴离心率e=c‎2‎a‎2‎=‎1+‎b‎2‎a‎2‎=‎1+3‎=2‎．‎ 故答案为：2．‎ ‎16．已知函数f（x）‎=‎x‎2‎‎-3x+a，x≤0‎log‎2‎x，x＞0‎，若函数g（x）＝f2（x）﹣3f（x）+2有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是　（1，2]　．‎ ‎【分析】函数g（x）有且仅有3个零点可转化为函数f（x）图象与直线y＝1和y＝2有且仅有3个交点，作出f（x）的图象示意图，数形结合即可 解：令g（x）＝0，得f2（x）﹣3f（x）+2＝0，即有f（x）＝1，f（x）＝2，‎ 则函数g（x）有且仅有3个零点可转化为函数f（x）图象与直线y＝1和y＝2有且仅有3个交点，‎ 作出函数f（x）的示意图如图：‎ 由图可知，‎ 当x＞0时，y＝log2x的图象与直线y＝1、y＝2各有一个交点，故要想满足条件，‎ 只需x≤0时，y＝x2﹣3x+a与y＝1、y＝2有且仅有1个交点，‎ 因为当x＝0时，y＝a，‎ 由图可知只有当1＜a≤2时满足题意，‎ 故答案为：（1，2]．‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分）‎ ‎17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝1．‎ ‎（1）求证：PA⊥BD；‎ ‎（2）若PC与底面ABCD所成的角为45°，求点D到平面PBC的距离．‎ ‎【分析】（1）由已知求解三角形证明AD⊥BD．再由已知可得PD⊥BD，利用直线与平面垂直的判定可得BD⊥平面PAD，从而得到PA⊥BD；‎ ‎（2）设点D到平面PBC的距离为h，由（1）知，BC⊥BD，求得三角形BCD的面积，进一步求得三棱锥P﹣BCD的体积，再求出三角形BCP的面积，由VP﹣BCD＝VD﹣BCP，可得点D到平面PBC的距离h．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AD＝1，AB＝2，∠DAB＝60°，‎ ‎∴BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos60°，得BD‎=‎‎3‎．‎ ‎∴AD2+BD2＝AB2，则AD⊥BD．‎ ‎∵PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴PD⊥BD，‎ 又AD∩PD＝D，∴BD⊥平面PAD，‎ ‎∵PA⊂平面PAD，‎ ‎∴PA⊥BD；‎ ‎（2）解：设点D到平面PBC的距离为h，由（1）知，BC⊥BD，‎ ‎∴S‎△BCD‎=‎1‎‎2‎BC×BD=‎‎3‎‎2‎．‎ ‎∵PD⊥平面ABCD，∴∠PCD是PC与底面ABCD所成角．‎ ‎∴∠PCD＝45°，得PD＝PC＝2．‎ ‎∴VP-BCD‎=‎1‎‎3‎×‎3‎‎2‎×2=‎‎3‎‎3‎．‎ ‎∵PC‎=‎2‎CD=2‎‎2‎，PB‎=PD‎2‎+DB‎2‎=‎2‎‎2‎‎+(‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎‎7‎，BC＝1．‎ ‎∴PB2+BC2＝PC2，即PB⊥BC．‎ ‎∴S‎△BCP‎=‎1‎‎2‎BC⋅PB=‎‎7‎‎2‎．‎ ‎∴VD-BCP‎=‎1‎‎3‎×‎7‎‎2‎h=‎7‎‎6‎h．‎ 又VP﹣BCD＝VD﹣BCP，∴‎7‎h‎6‎‎=‎‎3‎‎3‎，解得h‎=‎‎2‎‎21‎‎7‎．‎ 即点D到平面PBC的距离为‎2‎‎21‎‎7‎．‎ ‎18．a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知a（sinA+4sinB）＝8sinA．‎ ‎（1）若b＝1，A‎=‎π‎6‎，求sinB；‎ ‎（2）已知C‎=‎π‎3‎，当△ABC的面积取得最大值时，求△ABC的周长．‎ ‎【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．‎ ‎（2）利用余弦定理和三角形的面积公式的应用和基本不等式的应用求出结果．‎ 解：（1）由于b＝1，A‎=‎π‎6‎，‎ 所以a（sinA+4sinB）＝8sinA 转换为a（sinA+4sinB）＝8bsinA，‎ 利用正弦定理sin2A+4sinAsinB＝8sinAsinB，‎ 整理得sin‎2‎π‎6‎‎=4⋅sinπ‎6‎⋅sinB，‎ 解得sinB=‎‎1‎‎8‎．‎ ‎（2）利用正弦定理a（sinA+4sinB）＝8sinA，转化为a2+4ab＝8a，‎ 所以a+4b＝8，利用基本不等式‎8=a+4b≥2⋅2ab=4‎ab，‎ 解得ab≤4，‎ 即a＝4b时，S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎absinC=‎‎3‎，‎ 解得b＝1，a＝4，‎ 所以c2＝a2+b2﹣2abcosC＝1+16﹣4＝13，‎ 解得c‎=‎‎13‎ 所以l‎△ABC‎=a+b+c=1+4+‎13‎=5+‎‎13‎．‎ ‎19．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名，为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）根据“25周岁以上（含25周岁）组”的频率分布直方图，求25周岁以上（含25周岁）组工人日平均生产件数的中位数的估计值（四舍五入保留整数）；‎ ‎（2）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；‎ ‎（3）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？‎ 附：K‎2‎=‎n‎(ad-bc)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎‎ ‎ 生产能手 非生产能手 合计 ‎25周岁以上（含25周岁）组 ‎25周岁以下组 合计 P（K2≥k）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【分析】（1）由（0.005+0.035）×10+（x﹣70）×0.035＝0.5计算中位数；‎ ‎（2）列出所有基本事件，由古典概型可得答案，‎ ‎（3）完成列联表，再利用公式K2‎=‎n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎求值，从而查表可得；‎ 解：（1）根据“25周岁以上（含25周岁）组”的频率分布直方图，设25周岁以上（含25周岁）组工人日平均生产件数的中位数为x；‎ ‎（0.005+0.035）×10+（x﹣70）×0.035＝0.5；‎ 解得：x≈70+3＝73；‎ ‎（2）由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名，‎ 所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3（人），‎ 记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2（人），‎ 记为B1，B2，从中随机抽取2名工人，所有可能的结果共有10种，‎ 他们是：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），‎ ‎（A，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）．‎ 其中，至少有一名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是（A1，B1），（A1，B2），‎ ‎（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）．‎ 故所求的概率为：P‎=‎‎7‎‎10‎；‎ ‎（3）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有：60×0.25＝15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15（人），‎ 据此可得2×2列联表如下：‎ 生产能手 非生产能手 合计 ‎25周岁以上（含25周岁）组 ‎15‎ ‎45‎ ‎60‎ ‎25周岁以下组 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 由附：K‎2‎=‎n‎(ad-bc)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎可得：‎100×(15×25-45×15‎‎)‎‎2‎‎60×40×30×70‎‎=‎25‎‎14‎≈‎1.79；‎ 因为：1.79＜2.706，‎ 所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”；‎ 故答案为：（1）中位数为x≈73；（2）P‎=‎‎7‎‎10‎；（3）没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”；‎ ‎20．已知椭圆E：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=‎1（a＞b＞0），其短轴长为4，离心率为e1，双曲线x‎2‎m‎-y‎2‎n=‎1（m＞0，n＞0）的渐近线方程为y＝±x，离心率为e2，且e1•e2＝1．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设椭圆E的右焦点为F，过点G（4，0）作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率分别为k1，k2，试判断k1+k2是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）由题意可知b＝2，利用双曲线的渐近线方程求出双曲线的离心率，从而得到椭圆的离心率，进而求出a的值，即可得到椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线MN的方程为：y＝k（x﹣4）（k≠0），与椭圆方程联立，由韦达定理可得x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎16‎k‎2‎‎1+2‎k‎2‎，x‎1‎x‎2‎‎=‎‎32k‎2‎-8‎‎1+2‎k‎2‎，代入k1+k2中化简，即可得到k1+k2＝0，所以k1+k2是定值，定值为0．‎ 解：（1）由题意可知：2b＝4，∴b＝2，‎ 又∵nm‎=1‎，∴双曲线的离心率e2‎=‎1+‎nm=‎‎2‎，‎ ‎∵e1•e2＝1．∴椭圆的离心率e1‎=‎‎2‎‎2‎，‎ ‎∴e‎1‎‎=ca=‎1-‎b‎2‎a‎2‎=‎‎2‎‎2‎，∴a＝2‎2‎，‎ ‎∴椭圆的标准方程为：x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎；‎ ‎（2）设直线MN的方程为：y＝k（x﹣4）（k≠0），‎ 联立方程y=k(x-4)‎x‎2‎‎+2y‎2‎=8‎，消去y得：（1+2k2）x2﹣16k2x+32k2﹣8＝0，‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 则x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎16‎k‎2‎‎1+2‎k‎2‎，x‎1‎x‎2‎‎=‎‎32k‎2‎-8‎‎1+2‎k‎2‎，‎ ‎∴k1+k2‎‎=y‎1‎x‎1‎‎-2‎+‎y‎2‎x‎2‎‎-2‎ ‎=k(x‎1‎-4)‎x‎1‎‎-2‎+‎k(x‎2‎-4)‎x‎2‎‎-2‎‎ ‎ ‎=k⋅‎‎(x‎1‎-4)(x‎2‎-2)+(x‎2‎-4)(x‎1‎-2)‎‎(x‎1‎-2)(x‎2‎-2)‎‎ ‎ ‎=k⋅‎‎2x‎1‎x‎2‎-6(x‎1‎+x‎2‎)+16‎‎(x‎1‎-2)(x‎2‎-2)‎‎，‎ 将x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎16‎k‎2‎‎1+2‎k‎2‎，x‎1‎x‎2‎‎=‎‎32k‎2‎-8‎‎1+2‎k‎2‎ 代入上式得：2x1x2﹣6（x1+x2）+16＝0，即k1+k2＝0‎ ‎∴k1+k2是定值，定值为0．‎ ‎21．已知函数f（x）＝xsinx+acosx+x，a∈一、选择题．‎ ‎（Ⅰ）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当a＝2时，求f（x）在区间‎[0，π‎2‎]‎上的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅲ）当a＞2时，若方程f（x）﹣3＝0在区间‎[0，π‎2‎]‎上有唯一解，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求得f（x）的解析式和导数，可得切线的斜率、切点，由斜截式方程可得切线的方程；‎ ‎（Ⅱ）求得函数的导数，判断单调性，计算可得最值；‎ ‎（Ⅲ）求得导数，构造函数h（x）＝（1﹣a）sinx+xcosx+1，求得导数，判断符号，可得单调性，由函数零点存在定理，可得f（x）的单调性，结合条件可得a的范围．‎ 解：（Ⅰ）当a＝﹣1时，f（x）＝xsinx﹣cosx+x，‎ 所以f′（x）＝2sinx+xcosx+1，f′（0）＝1．‎ 又因为f（0）＝﹣1，‎ 所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x﹣1；‎ ‎（Ⅱ）当a＝2时，f（x）＝xsinx+2cosx+x，‎ 所以f′（x）＝﹣sinx+xcosx+1．‎ 当x∈(0，π‎2‎)‎时，1﹣sinx＞0，xcosx＞0，‎ 所以f′（x）＞0．‎ 所以f（x）在区间‎[0，π‎2‎]‎上单调递增．‎ 因此f（x）在区间‎[0，π‎2‎]‎上的最大值为f(π‎2‎)=π，最小值为f（0）＝2；‎ ‎（Ⅲ）当a＞2时，f'（x）＝（1﹣a）sinx+xcosx+1，‎ 设h（x）＝（1﹣a）sinx+xcosx+1，h′（x）＝（2﹣a）cosx﹣xsinx，‎ 因为a＞2，x∈[0，π‎2‎]‎，‎ 所以h′（x）＜0．‎ 所以h（x）在区间‎[0，π‎2‎]‎上单调递减，‎ 因为h（0）＝1＞0，h(π‎2‎)=1-a+1=2-a＜0‎，‎ 所以存在唯一的x‎0‎‎∈[0，π‎2‎]‎，使h（x0）＝0，即f′（x0）＝0．‎ 所以f（x）在区间[0，x0]上单调递增，在区间‎[x‎0‎，π‎2‎]‎上单调递减．‎ 因为f（0）＝a，f(π‎2‎)=π，‎ 又因为方程f（x）﹣3＝0在区间‎[0，π‎2‎]‎上有唯一解，‎ 所以2＜a≤3．‎ 请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．‎ ‎22．已知直线l：x‎-‎‎3‎y＝0与曲线C：x2+（y﹣3）2＝9，以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）将直线l绕极点O逆时针方向旋转30°，得到的直线l'，这两条直线与曲线C分别交于异于极点的P，Q，两点，求△OPQ的面积．‎ ‎【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．‎ ‎（2）利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．‎ 解：（1）直线l：x‎-‎‎3‎y＝0转换为极坐标方程为θ=‎π‎6‎（ρ∈R）．‎ 根据x=ρcosθy=ρsinθx‎2‎‎+y‎2‎=‎ρ‎2‎曲线C：x2+（y﹣3）2＝9，转化为极坐标方程为ρ＝6sinθ．‎ ‎（2）将直线l绕极点O逆时针方向旋转30°，得到θ‎2‎‎=‎π‎3‎．‎ 设OP＝ρ1，OQ＝ρ2，则ρ‎1‎‎=6sinπ‎6‎=3‎，ρ‎2‎‎=6sinπ‎3‎=3‎‎3‎．‎ 所以S‎△OPQ‎=‎1‎‎2‎×ρ‎1‎×ρ‎2‎×sinπ‎6‎=‎1‎‎2‎×3×3‎3‎×‎1‎‎2‎=‎‎9‎‎3‎‎4‎．‎ ‎23．已知函数f(x)=|2x-1|+x+‎‎1‎‎2‎的最小值为m．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）若a，b，c为正实数，且a+b+c＝m，证明：a‎2‎‎+b‎2‎+c‎2‎≥‎‎1‎‎3‎．‎ ‎【分析】（1）去掉绝对值符号，利用分段函数求解函数的最值，通过m即可．‎ ‎（2）利用重要不等式a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，利用综合法证明即可．‎ ‎【解答】（1）解：根据题意，函数f(x)=|2x-1|+x+‎1‎‎2‎=‎‎3x-‎1‎‎2‎，x≥‎1‎‎2‎，‎‎-x+‎3‎‎2‎，x＜‎1‎‎2‎，‎，‎ 所以f（x）为在‎(-∞，‎1‎‎2‎]‎单调递减，在‎[‎1‎‎2‎，+∞)‎单调递增，‎ 所以f(x‎)‎min=f(‎1‎‎2‎)=1，即m=1‎．‎ ‎（2）证明：由（1）知，m＝1，所以a+b+c＝1，‎ 又因为a，b，c为正实数，a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，‎ 所以2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ac），即a2+b2+c2≥ab+bc+ac，‎ 所以1＝（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3（a2+b2+c2），‎ 即a‎2‎‎+b‎2‎+c‎2‎≥‎‎1‎‎3‎．‎ ‎ ‎