专题18 高中常见数学方法备战2019年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区） 3页

专题18 高中常见数学方法 专题点拨 当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有在对数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法．高中试题十分重视对于数学方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学方法．我们要有意识地应用数学方法去分析问题，解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光．‎ 为帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的方法，本讲对数学中常见的方法加以总结与介绍．高中数学常见的数学方法有：配方法、换元法、待定系数法、代入法、反证法、综合法与分析法、构造法等．‎ 例题剖析 1. 配方法 ‎【例1】函数的单调递增区间是________．‎ ‎【答案】　[，3)　‎ ‎2.换元法 ‎【例2】已知x∈[0，π]，求y＝sinxcosx＋sinx＋cosx的值域．‎ ‎【解析】　利用(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx，采用换元法解题．‎ 令t＝sinx＋cosx⇒sinxcosx＝(t∈[－1，])，‎ y＝t2＋t－＝(t＋1)2－1，所求函数的值域为[－1，＋]． ‎ 4． 关于x的方程k·4x－k·2x＋1＋6(k－5)＝0在区间[0，1]上有解，则实数k的取值范围是________．‎ ‎【答案】[5，6]　‎ ‎【解析】　(换元法)令t＝2x，则t∈ [1，2]，‎ ‎∴方程k·4x－k·2x＋1＋6(k－5)＝0，化为kt2－2kt＋6(k－5)＝0，‎ 根据题意，关于t的一元二次方程在[1，2]上有零点，‎ 整理得：方程k(t2－2t＋6)＝30，当t∈[1，2]时存在实数解，‎ ‎∴k＝，当t∈[1，2]时存在实数解，‎ ‎∵t2－2t＋6＝(t－1)2＋5∈[5，6]，∴k＝∈[5，6]．‎ ‎5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为________．‎ ‎【答案】，， ‎【解析】　(待定系数法)∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1，2，3时等式成立，即，整理得，　解得a＝，b＝c＝.‎ 二、选择题 ‎6．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是(　　)‎ ‎ A．ab＞ac B．c(b－a)＞0 C．cb2＜ca2 D．ac(a－c)＜0‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】　(综合法)∵c＜b＜a且ac＜0，故c＜0，a＞0，∴ab＞ac一定成立．‎ 又∵b－a＜0，∴c(b－a)＞0一定成立，b2与a2的大小无法确定，故cb2＜ca2不一定成立，‎ ‎∵a－c＞0，∴ac(a－c)＜0一定成立. ‎ ‎7．某房间有4个人，那么至少有2人生日是一个月的概率是(　　)‎ ‎ A. 　　 B．1－ 　　 C. D．1－ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】　(排除法)先求对立事件的概率，四人生日各不相同的概率为，故至少有2人生日相同的概率为1－.‎ ‎8．若n是正偶数，则C＋C＋…＋C＋C＝(　　)‎ ‎ A．2 B．2n－1 C．2n－2 D．(n－1)2n－1‎ ‎【答案】.B　‎ ‎【解析】　(特殊值法)当n＝2时，代入得C＋C＝2，排除答案C；当n＝4时，代入得C＋C＋C＝8，排除答案A、D.所以选B.‎ 三、解答题 ‎9.若函数满足：从集合中至少可以选取出三个不同的数能构成等比数列，则称函数是等比源函数.‎ ‎(1)判断函数：①；②是否是等比源函数？（不需证明）‎ ‎(2)证明：对任意的正奇数，函数不可能是等比源函数；‎ ‎(3)证明：任意的，函数都是等比源函数.‎ ‎(3)因为，取，，‎ ‎.‎ 于是，，故是等比源数列.‎ ‎10.已知△ABC的三边长是a、b、c，且m>0，求证： ＋>.‎ ‎【解析】　(构造法)构造函数f(x)＝(x>0)．‎ ‎∵x>0，m>0，∴f(x)＝＝1－在(0，＋∞)上是增函数．‎ 又∵f(a)＋f(b)＝＋>＋＝＝f(a＋b)，‎ 且a＋b>c，∴f(a＋b)>f(c)＝.∴f(a)＋f(b)>f(a＋b)> f(c)，即＋>.‎