高中数学必修1示范教案（幂函数） 8页

‎2.3 幂函数 整体设计 教学分析 ‎ 幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝x-1,y＝x等函数的性质和图象,让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性：当幂指数α＞0时,幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1）,且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时,幂函数的图象都经过点（1,1）,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习.‎ 将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学习了y=x,y=x2,y=x-1等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象,研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的,另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径.‎ 学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析.‎ 三维目标 ‎1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质,加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生概括抽象和识图能力,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣.‎ ‎2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想,利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望.‎ ‎3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力.‎ 重点难点 教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质.‎ 教学难点:根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小.‎ 课时安排 ‎1课时 教学过程 导入新课 思路1‎ ‎1.如果张红购买了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？根据函数的定义可知,这里p是w的函数.‎ ‎2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.‎ ‎3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.‎ ‎4.如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=S,这里a是S的函数.‎ ‎5.如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的速度v=t-1km/s,这里v是t的函数.‎ 以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式,且底数都是变量).‎ ‎（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）（引入新课,书写课题:幂函数）.‎ 思路2.我们前面学习了三类具体的初等函数:二次函数、指数函数和对数函数,这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数,教师板书课题:幂函数.‎ 推进新课 新知探究 提出问题 问题①:给出下列函数:y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,总结出来,是否为指数函数？‎ 问题②:根据①,如果让我们起一个名字的话,你将会给他们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论.‎ 问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢?‎ 问题④:画出y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图象,完成下列表格.‎ 函数 性质 y=x y=x2‎ y=x3‎ y=x y=x-1‎ 定义域 值域 奇偶性 单调性 特殊点 图象分布 问题⑤:通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象,这时可以通过什么途径来判断？‎ 问题⑥:通过对以上五个函数图象的观察和填表,你能类比出一般的幂函数的性质吗?‎ 活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数,对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法,所以教学流程又分两条线,一条以内容为明线,另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线,教学过程中同时展开,学生相互讨论,必要时,教师将解析式写成指数幂形式,以启发学生归纳,学生作图,教师巡视,学生小组讨论,得到结论,必要时,教师利用几何画板演示.‎ 讨论结果：‎ ‎①通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们的变量都在底数位置上,不符合指数函数的定义,所以都不是指数函数.‎ ‎②由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数,如果我们用字母α来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义:‎ 一般地,形如y=xα（x∈R）的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.‎ 如y=x2,y=x,y=x3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数.‎ ‎③我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;‎ 一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此.‎ ‎④学生用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数y=x,y=x,y=x2,y=x3,y=x-1的图象.‎ 列表:‎ x ‎…‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y=x ‎…‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y=x ‎…‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1.41‎ ‎1.73‎ ‎…‎ y=x2‎ ‎…‎ ‎9‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎…‎ y=x3‎ ‎…‎ ‎-27‎ ‎-8‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎8‎ ‎27‎ ‎…‎ y=x-1‎ ‎…‎ ‎-‎ ‎-1‎ ‎1‎ ‎…‎ 描点、连线.画出以上五个函数的图象如图2-3-1.‎ 图2-3-1‎ 让学生通过观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律,教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质.‎ 通过观察图象,完成表格.‎ ‎ 函数 性质 ‎ y=x y=x2‎ y=x3‎ y=x y=x-1‎ 定义域 R R R ‎{x|x≥0}‎ ‎{x|x≠0}‎ 值域 R ‎{y|y≥0}‎ R ‎{y|y≥0}‎ ‎{y|y≠0}‎ 奇偶性 奇 奇 奇 非奇非偶 奇 单调性 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递减 特殊点 ‎(1,1)‎ ‎(1,1)‎ ‎(1,1)‎ ‎(1,1)‎ ‎(1,1)‎ 图象分布 第Ⅰ、Ⅲ象限 第Ⅰ、Ⅱ象限 第Ⅰ、Ⅲ象限 第Ⅰ象限 第Ⅰ、Ⅲ象限 ‎⑤第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断.‎ ‎⑥幂函数y=xα的性质.‎ ‎（1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）（原因：1x=1）；‎ ‎（2）当α＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞)上是增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）.‎ 特别地,当α＞1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大.‎ 当0＜α＜1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大.‎ ‎（3）当α＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数.‎ 在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.‎ 应用示例 思路1‎ 例1判断下列函数哪些是幂函数.‎ ‎①y=0.2x;②y=x-3;③y=x-2;④y=x.‎ 活动：学生独立思考,讨论回答,教师巡视引导,及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别,形如y=xα（x∈R）的函数称为幂函数,变量x的系数为1,指数α是一个常数,严格按这个标准来判断.‎ 解：①y=0.2x的底数是0.2,因此不是幂函数;‎ ‎②y=x-3的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;‎ ‎③y=x-2的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;‎ ‎④y=x的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数.‎ 点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.‎ 变式训练 判别下列函数中有几个幂函数？‎ ‎①y=x;②y=2x2;③y=x;④y=x2+x;⑤y=-x3.‎ 解：①③的底数是变量,指数是常数,因此①③是幂函数;②的变量x2的系数为2,因此不是幂函数;‎ ‎④的变量是和的形式,因此也不是幂函数;‎ ‎⑤的变量x3的系数为-1,因此不是幂函数.‎ 例2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.‎ ‎（1）y=x,（2）y=x,（3）y=x-2.‎ 活动：学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求一个函数的定义域的方法,判断函数奇偶性、单调性的方法.判断函数奇偶性、单调性的方法,一般用定义法.解决有关函数求定义域的问题时,可以从以下几个方面来考虑:列出相应不等式或不等式组,解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域.‎ 解：（1）要使函数y=x有意义,只需y=有意义,即x∈R.所以函数y=x的定义域是x∈R.又f(-x)=f(x),所以函数y=x是偶函数,它在(-∞,0］上是减函数,在［0,+∞)上是增函数.‎ ‎（2）要使函数y=x有意义,只需y=有意义,即x∈R+,所以函数y=x的定义域是R+,‎ 由于函数y=x的定义域不关于原点对称,所以函数y=x是非奇非偶的函数,它在(0,+∞)上是减函数.‎ ‎（3）要使函数y=x-2有意义,只需y=有意义,即x≠0,所以函数y=x-2的定义域是x≠0,又f(-x)=f(x),所以函数y=x-2是偶函数,它在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数.‎ 点评：在函数解析式中含有分数指数时,可以把它们的解析式化成根式,根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时,根据负指数幂的意义将其转化为分式形式,根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域,求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.‎ 例3证明幂函数f(x)=在［0,+∞)上是增函数.‎ 活动：学生先思考或讨论,再回答,教师根据实际,可以提示引导.‎ 证明函数的单调性一般用定义法,有时利用复合函数的单调性.‎ 证明：任取x1,x2∈［0,+∞),且x1＜x2,则 f(x1)-f(x2)===,‎ 因为x1-x2＜0,x1+x2＞0,所以＜0.‎ 所以f(x1)0.25-0.2.‎ ‎(3)首先比较指数相同的两个数的大小,考察函数y=x0.3的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为0.2＜0.3,所以0.20.3<0.30.3.‎ 再比较同底数的两个数的大小,考察函数y=0.3x的单调性,它在定义域内函数单调递减,又因为0.2＜0.3,所以0.30.3<0.30.2.‎ 所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.‎ 另外,本题还有图象法,计算结果等方法,留作同学们自己完成.‎ 点评：指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性；底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性.‎ 知能训练 ‎1.下列函数中,是幂函数的是( )‎ A.y=2x B.y=2x3 C.y= D.y=2x ‎2.下列结论正确的是( )‎ A.幂函数的图象一定过原点 B.当α<0时,幂函数y=xα是减函数 C.当α>0时,幂函数y=xα是增函数 D.函数y=x2既是二次函数,也是幂函数 ‎3.下列函数中,在(-∞,0)是增函数的是( )‎ A.y=x3 B.y=x2 C.y= D.y=x ‎ ‎4.已知某幂函数的图象经过点(2,),则这个函数的解析式为.‎ 答案：1.C 2.D 3.A 4.y=x 拓展提升 分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系.‎ ‎①y＝x-1,y＝x-2,y=x-3;②y＝x,y＝x;‎ ‎③y=x,y=x2,y=x3;④y=x,y＝x.‎ 活动：学生思考或交流,探讨作图的方法,教师及时提示,必要时,利用几何画板演示.‎ 解：利用描点法,在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图2-3-2、图2-3-3，图2-3-4、图2-3-5.‎ 图2-3-2 图2-3-3‎ 图2-3-4 图2-3-5‎ ‎①观察图2-3-2得到:‎ 函数y＝x-1、y＝x-2、y=x-3的图象都过点(1,1),且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.‎ ‎②观察图2-3-3得到:‎ 函数y＝x、y＝x的图象都过点(1,1),且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.‎ ‎③观察图2-3-4得到:‎ 函数y=x、y=x2、y=x3的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间［0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象下凸越大,在第一象限来看,图象向上离y轴近,向下离y轴近.‎ ‎④观察图2-3-5得到:‎ 函数y=x、y＝x的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间［0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象上凸越大,在第一象限来看,图象在点(1,1)的左边离y轴近,在点(1,1)的右边离x轴近.‎ 根据上述规律可以判断函数图象的分布情况.‎ 课堂小结 ‎1.幂函数的概念.‎ ‎2.幂函数的性质.‎ ‎3.幂函数的性质的应用.‎ 作业 课本P87习题2.3 1、2、3.‎ 设计感想 幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数,课本内容较少,但高考内容不少,应适当引申,所以设计了一些课本上没有的题目类型,以扩展同学们的视野,同时由于作图的内容较多,建议抓住关键点作图,要会熟练地运用计算机或计算器作图,强化对知识的理解.‎ 习题详解 ‎(课本第79页习题2.3)‎ ‎1.函数y=是幂函数.‎ ‎2.解析:设幂函数的解析式为f（x）=xα,‎ 因为点（2,）在图象上,所以=2α.‎ 所以α=,即幂函数的解析式为f（x）=x,x≥0.‎ ‎3.（1）因为流量速率v与管道半径r的四次方成正比,所以v=k·r4；‎ ‎（2）把r=3,v=400代入v=k·r4中,得k=＝,即v=r4；‎ ‎（3）把r=5代入v=r4,得v=×54≈3 086（cm3/s）,即r=5 cm时,该气体的流量速率为3 086 cm3/s.‎