数学文卷·2017届四川省仁寿一中高三下学期第三次模拟考试（2017 10页

高中2017届毕业班第三次诊断性考试 数 学（文史类）‎ 注意事项：‎ ‎1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．答第Ⅰ卷时，选出每个题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。‎ ‎3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎4．考试结束后，将答题卡交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项目符合题目要求的.‎ ‎1．已知全集，，，则集合 A． B． C． D． ‎ ‎2．已知是虚数单位，则复数的虚部为 ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待时间大于10分钟的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．已知两组数据,的对应值如下表，若已知,是线性相关的 且线性回归方程为：经计算知：则 x ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎12‎ ‎10‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎6‎ A. -0.6 B. 0.6 C. -17.4 D. 17.4‎ ‎5．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：‎ ‎“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自 半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果为 A.5 B. 4 C. 3 D.2‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎6. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A．1 B．2 C. D. ‎ ‎7．函数大致图象是 ‎8．等比数列的前项和为，若，，则等于 A．-3 B．-31 C．5 D．33‎ ‎9．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎10．定义运算：，将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值是 A． B． C．2 D．‎ ‎11．已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为．若，则的离心率是 A. B. C. D.‎ ‎12．设函数，若关于x的方程有四个不同的解且，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知向量=（ ,1）与向量=（4，）共线且方向相同，则的值为 ．‎ ‎14．不等式组满足，则的最大值为 ．‎ ‎15．已知A，B，C三点都在体积为的球O的表面上，若，，则球心O到平面的距离为 ．‎ ‎16．若数列是正项数列，且，则 ．‎ 三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑。‎ ‎17．（本小题满分为12分）已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为且 ‎，‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若，求面积的最大值．‎ 人数 数学 地理 优秀 优秀 良好 及格 及格 良好 ‎7‎ ‎9‎ ‎20‎ ‎18‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎18．（本小题满分为12分）已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查.抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如右表：‎ 成绩分为优秀、良好、及格三个等级；‎ 横向，纵向分别表示地理成绩与数学 成绩，例如：表中数学成绩为良好的 共有人． ‎ ‎（1）在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求的值；‎ ‎（2）在地理成绩及格的学生中，已知，，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．‎ ‎19.（本小题满分12分）如图，平面，矩形的边长，，为的中点．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）已知，求到平面的距离．‎ ‎20.（本小题满分12分）已知椭圆：经过点，离心率为，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于不同于点的两个点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求面积的最大值．‎ ‎21.（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，证明：对任意的，有．‎ 考生在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为，曲线C的极坐标方程 ‎（1）求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，已知定点P（），当时，求的值．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）若，求的取值范围.‎ 高中2017届毕业班第三次诊断性考试 数学（文史类）参考答案 一、 选择题：共12小题，每小题5分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1—5 C A B D B 6—10 A C D C A 11—12 B C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎ 13. 2 14. 6 15. 3 16. ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分为12分）‎ 解：（I）在三角形ABC中，因为,由正弦定理得：‎ ‎ ， 即 ‎ ‎ 化简得：‎ ‎ 因为,所以 ‎ 因为（0，），所以················································6分 ‎（II）因为，，由余弦定理得：，‎ ‎ 即，当且仅当时取等号. 故 ‎ 所以,当三角形为等边三角形时,三角形的面积有最大值为 ....................12分 ‎（18）（本小题满分为12分）‎ 解: （1），∴，.......5分 ‎ （2）在地里及格学生中，............6分 ‎ 因为，，所以的搭配有：‎ ‎ ，‎ ‎ 共有15种 .............................................................8分 ‎ 记“数学成绩优秀的人数比及格的人数少”为事件，可得，‎ 即.‎ ‎ 事件包括：，共3个基本事件；..............................10分 ‎ 所以，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率 .....................12分 （19） ‎（本小题满分12分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）证明：连接AE，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E为BC的中点, 所以BE=EC=1，‎ ABE与ECD为等腰直角三角形 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎........................................6分 (2) 由PE=,得PA=2‎ 又令A到平面PED的距离为, ‎ ‎ ‎ ‎ 代入计算得=........................................12分 ‎20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知：且，可得：，‎ ‎ 椭圆的标准方程为 ..............................................4分 ‎（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，设，与联立得.‎ ‎ 由于，得，解得或（舍去）.‎ ‎ 此时，的面积为..............................................6分 当直线的斜率存在时，设，与联立得：. ‎ 由，得；且，. ..........7分 由于，得：.‎ 代入式得：，即或m=-2k（此时直线过点，舍去）.‎ ‎，‎ 点到直线的距离为： ..................................... ..... ..... ..... ................10分 ‎ ‎，‎ 将代入得：，令 ，‎ ‎，由 在上递减，，故 ‎ 综上 ............. ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ........................................12分 ‎21.（1）由题意知： ............. ...................1分 ‎ ①当时，恒成立，所以在上单调递增 ..............3分 ‎ ②当时，由得，由得 ‎ 所以，在上单调递增，在上单调递减.....................5分 ‎ 综上所述，当时，恒成立，所以在上单调递增；‎ ‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减 ‎ ‎（2）当时，要证：在上恒成立，‎ 只需证：在上恒成立，.....................................6分 令，，‎ 因为，‎ 易得在上递增，在上递减，故，........................8分 由得 当时，；当时，‎ 所以在上递减，在上递增 所以............................................10分 又，∴，即，‎ 所以在上恒成立，.............. .......... .......... .......................11分 故当时，对任意的，恒成立.........................12分 请考生在22、23、题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 ‎ ‎（22）（本小题满分10分）解：(1)由，‎ ‎ 所以曲线C的直角坐标方程为....................................................................5分 ‎(2)因为，直线的参数方程为，代入，得，‎ ‎ 设两点对应的参数分别为，则，‎ ‎ 所以＝＝ .................... ...... ...... ................10分 ‎（23）（本小题满分10分）‎ ‎（I）【证明】‎ ‎ 因为，所以 ‎ 当且仅当时，等号成立 .......................... ....... ....... ....... ....... .........................5分 ‎（II）【解】由及得， （*）‎ ‎ ①当时，不等式（*）可化为 ‎ 解得，，或 所以，‎ ‎ ②当时，不等式（*）可化为 ‎ 解得，，或所以，‎ ‎ 综上，的取值范围是(0，1) U (4，＋∞).... ............ ................................................10分