辽宁省葫芦岛市六校协作体2020届高三上学期11月月考数学（理）试题 17页

高三上学期第一次考试 数学试题（理科）‎ 考生注意：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.‎ ‎2.请将各题答案填写在答题卡上.‎ ‎3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的交集运算即可求出结果.‎ ‎【详解】因为，，所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，注意仔细检查，属基础题.‎ ‎2.命题“存在一个偶函数，其值域为R”的否定为（）‎ A. 所有的偶函数的值域都不为R B. 存在一个偶函数，其值域不为R C. 所有的奇函数的值域都不为R D. 存在一个奇函数，其值域不为R ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用命题的否定的定义得到答案.‎ ‎【详解】命题“存在一个偶函数，其值域为R”的否定为：“所有的偶函数的值域都不为R”‎ 故答案选A ‎【点睛】本题考查特称命题的否定，考查推理论证能力 ‎3.函数的定义域为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算两部分的定义域，求交集得到答案.‎ ‎【详解】函数 ‎∵，∴.‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力 ‎4.若，且a为整数，则“b能被5整除”是“a能被5整除”的（）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别考虑充分性和必要性，得到答案.‎ ‎【详解】若a能被5整除，则必能被5整除；‎ 若b能被5整除，则未必能被5整除 故答案选B.‎ ‎【点睛】本题考查充分条件、必要条件，考查推理论证能力 ‎5.若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行配方，根据一元二次函数的图象和性质可知对称轴要在给定区间右侧，由此即可求出a的范围.‎ ‎【详解】依题意，在上单调递增，‎ 由二次函数的图象和性质，则，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次函数的图象和性质，研究二次函数的单调性问题关键在于判断对称轴与给定区间的位置关系，属基础题.‎ ‎6.将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得曲线关于y轴对称，最后得到的曲线的对称轴方程为（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数图像的伸缩变换可得曲线为，再由对称变换可得曲线，再令，运算即可得解.‎ ‎【详解】解：将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线，再将所得曲线关于y轴对称，得到曲线，‎ 令，得，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象的伸缩变换与对称变换及函数图像的对称轴方程，考查运算求解能力，属中档题.‎ ‎7.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断的奇偶性，由此可排除C与D，再求，令其跟1比较，据此可排除C，从而可得到正确选项.‎ ‎【详解】因为，所以为奇函数，排除C与D.因为，所以排除B，所以A正确.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的判断，根据函数的性质和利用赋值进行排除是解决此类问题的常用方法，属中档题.‎ ‎8.下列不等式正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，利用排除法，即可求解．‎ ‎【详解】由，‎ 可排除A、B、C选项，‎ 又由，‎ 所以．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎9.已知，则的近似值为（）‎ A. 1.77 B. 1.78 C. 1.79 D. 1.81‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 化简式子等于，代入数据得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 所以的近似值为1.78.‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力 ‎10.已知函数的导函数满足对恒成立，则下列判断一定正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意及选项构造函数，然后求导判断出函数的单调性，再根据单调性判断出各值的大小，进而得到结论．‎ ‎【详解】由题意设，‎ 则，‎ 所以函数在上单调递增，‎ 所以，即．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】当题目条件中有含有导函数的不等式，而所求结论与判断函数值的大小有关时，解题时一般需要通过构造函数来解决．构造函数时要根据题意及积或商的导数来进行，然后判断出所构造的函数的单调性，进而可比较函数值的大小．‎ ‎11.已知定义在R上的函数满足，且的图象关于点对称，当时，，则（）‎ A. B. 4 C. D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由的图象关于点对称，则，结合，‎ 则可得，即函数的周期为8，即有，又，‎ 即可得解.‎ ‎【详解】解：因为的图象关于点对称，所以.又 ‎，所以，所以，则，‎ 即函数的周期为8，所以，‎ 因为，，‎ 所以，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的对称性与周期性，考查推理论证能力与抽象概括能力.‎ ‎12.若函数在上有最大值，则的取值不可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的单调性，可得极大值，根据单调性可知，在上有最大值即为，只需令即可，故可求出的解或，则，解之即可求得结果.‎ ‎【详解】令，得，.‎ 当，；当或时，.‎ 从而在处取得极大值.‎ 根据单调性可知，在上有最大值即为，‎ 由，得，解得或.‎ 在上有最大值，即，‎ ‎，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的最值求参数的范围，要求学生会利用导数研究函数的最值，本题关键在于得出函数极大值即为最大值的结论，由此可列不等式求解，属中档题.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13.设函数，则________.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接代入数据得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故答案16‎ ‎【点睛】本题考查分段函数求值，考查运算求解能力 ‎14.函数的极小值为______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，研究单调性，根据极小值的概念即可得到结果.‎ ‎【详解】，当时，；‎ 当时，.‎ 故的极小值为.‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，要求学生掌握求极值的方法，属基础题.‎ ‎15.直线与曲线，在上的交点的个数为________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断，画出图像得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：‎ 直线与曲线在上有3个交点.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图象及函数与方程，考查数形结合的数学方法，‎ ‎16.张军自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃，价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克，为增加销量，张军对这四种干果进行促销:一次购买干果的总价达到150元，顾客就少付x(2x∈Z)元.每笔订单顾客网上支付成功后，张军会得到支付款的80%.‎ ‎①若顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付180元，则x=________；‎ ‎②在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_____.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①结合题意即可得出；②分段列出式子，求解即可。‎ ‎【详解】解： ①顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付元，则.‎ ‎②设顾客一次购买干果的总价为元，当时，张军每笔订单得到的金额显然不低于促销前总价的七折.当时，.即对恒成立，则，，又,所以.‎ ‎【点睛】本题考查数学在生活中的实际应用，考查数学建模的数学核心素养.属于基础题。‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.设全集，集合，.‎ ‎（1）求，，；‎ ‎（2）若集合，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1），，；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）找出集合A和集合B的公共部分，确定出两集合的交集，找出既属于集合A又属于集合B的部分，确定出两集合的并集，在全集R中找出不属于A的部分，求出A的补集，找出A补集与集合B的公共部分，即可求出两集合的交集；‎ ‎（2）由集合A和C，以及A为C的子集，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围.‎ ‎【详解】（1）由已知得，‎ ‎，又，‎ 则；‎ ‎（2）因，所以，‎ 解得，即的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，以及根据集合间的包含关系求参数范围，学生求补集时需注意全集的范围，属基础题.‎ ‎18.已知是定义域为R的奇函数，当时，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的解析式；‎ ‎（3）若在上的值域为，求的最小值与最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）最大值为；最小值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由奇函数的定义可知，从而可求； （2）要求函数解析式，只要求出时的函数，根据题意设，则，结合，及时，，注意到，从而可求的解析式；‎ ‎（3）依题意，由，得，所以，分和两种情况讨论的解，从而可求的最小值与最大值.‎ ‎【详解】（1）因为是奇函数，所以，‎ 所以；‎ ‎（2）设，则，所以.‎ 因为为奇函数，所以.‎ 又因为为奇函数，所以.‎ 所以；‎ ‎（3）若，为增函数，则，‎ 若，令，得，则.‎ 由，得，所以.‎ 所以，当时，取得最大值，且最大值为；‎ 当时，取得最小值，且最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性及其应用，以及已知函数值域求参数的问题，要求学生掌握分类讨论的思想运用，注意到定义域为R的奇函数满足，属中档题.‎ ‎19.已知函数的部分图象如图所示.‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）若，，求.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据图像得到，，代入点得到.‎ ‎（2）由（1）知，，代入数据化简得到，，代入数据得到答案.‎ ‎【详解】解；（1）由图可知 故，则 又的图象过点，则，得.‎ 而，所以 ‎（2）由（1）知，，则 则 因为，所以，所以，‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数图像，三角恒等变换，其中是解题的关键.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若恒成立，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由导数的几何意义可得：，即曲线在点处的切线方程为；‎ ‎（2）利用导数研究函数的单调性可得函数的减区间为，增区间为，则恒成立等价于，运算即可得解.‎ ‎【详解】解：（1），‎ 所以，‎ 又，所以曲线在点处的切线方程为，‎ 即.‎ ‎（2）因为，所以.令，得，‎ 令，得.令，得，‎ 即函数的减区间为，增区间为， ‎ 所以，‎ 因为恒成立，所以，‎ 因为，所以，‎ 故a的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了导数几何意义及利用导数研究不等式恒成立问题，属中档题.‎ ‎21.将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象.‎ ‎（1）若为偶函数，求；‎ ‎（2）若在上是单调函数，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据三角恒等变换对化简变形为，然后可得到图象左移之后的函数，利用三角函数偶函数的性质即可求出；‎ ‎（2）先求出，再根据的范围求出和的范围，从而根据单调性列出关于的不等式，解之即可求得结果.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎，‎ ‎.‎ 又为偶函数，则，，；‎ ‎（2），.‎ ‎，，‎ 在是单调函数，，‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象变换及性质，以及基本的运算能力和逻辑推理能能力，综合性较强，属于有一定难度的中档题.‎ ‎22.已知函数 ‎（1）讨论f（x）的单调性 ‎（2）若在上有解，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对函数求导，可知单调递增，所以只需讨论，的情况即可；（2）根据（1）的单调性分情况讨论，使得，转化为求解问题.‎ ‎【详解】（1）因为，所以 当时，，则在R上单调递增；‎ 当时，令，解得，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）由（1）可知，当时，则在R上单调递增，因为在上有解，所以，则.‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎①当时，，在上单调递增，所以，则，不符合题意；‎ ‎②当时，，在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以，则.‎ 综上，.‎ ‎【点睛】导数的综合应用主要是在解答题中考查，多涉及利用导数研究函数零点(方程根)，利用导数研究不等式恒成立问题，存在型成立问题以及函数的实际应用，综合性强，有一定的难度．‎ ‎ ‎