数学理卷·2018届广东省揭阳市惠来县第一中高二下学期期中考试（2017-04） 11页

惠来一中2016—2017年度第二学期期中考试 高二理科数学 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分为150分，考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷 选择题 (共60分)‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）‎ ‎1．有一段“三段论”，其推理是这样的：‎ 对于可导函数，若，则是函数的极值点大前提 因为函数满足，小前提 所以是函数的极值点”，结论 ‎ 以上推理（ ） ‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．没有错误 ‎ 第5题图 ‎2．已知是虚数单位，若，，则在复平面内的对应点位于（ ） ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ ‎3．数列为等差数列，为等比数列，，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎4．7名旅客分别从3个不同的景区中选择一处游览，不同选法种数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(　　)‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎6．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，从n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是( )‎ A．(k－1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k2 C．(k＋1)2 D.(k＋1)[2(k＋1)2＋1]‎ ‎7.我们知道：在平面内，点到直线的距离公式为，通过类比的方法，可求得：在空间中，点到平面 的距离为 （ ） ‎ A.3 B.5 C. D.‎ ‎8.已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ）A. B. C. D.‎ ‎9．中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人所站的位置不做要求，那么不同的站法共有（ ）‎ y x ‎3‎ ‎-2‎ O A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎10.已知函数的图象如图，则函数的 单调减区间为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11．在校庆文娱汇演节目中，高二级有3名男生3名女生站成一列合唱“爱我中华”，恰好有两位女同学站在一起的站法一共有（ ）‎ A. 216种 B. 288种 C. 360种 D. 432种 ‎12．已知函数为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴 对称的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． ‎ B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 非选择题 (共90分)‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知复数满足，则的最大值为 .‎ ‎14.在中，角的对边分别是，已知，且，则 的面积 为 .‎ ‎15.如图，一个树形图依据下列规律不断生长：‎ 第15题图 ‎1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，‎ ‎1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和 ‎1个空心圆点．则第11行的实心圆点的个数是 个.‎ ‎16．已知函数的定义域，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示，‎ 下列关于函数的命题：‎ ① 函数的值域为； ②函数在上是减函数；‎ ‎③如果当时，最大值是，那么的最大值为；‎ ‎④当时，函数最多有4个零点.‎ 其中正确命题的序号是 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）选修：不等式选讲 已知．‎ ‎（1）求不等式＜4的解集；‎ ‎（2）若不等式有解，求的取值范围．‎ ‎18．(本题满分12分)‎ 数列 满足 ‎ ‎(1)计算，，，；‎ ‎(2)猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．‎ ‎19．(本题满分12分)‎ 函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.‎ ‎(1)求函数的解析式； ‎ ‎(2)在中，角A,B,C满足，‎ 且其外接圆的半径R=2，求的面积的最大值.‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）设二面角的大小为，‎ 求三棱锥的体积．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆：的右焦点为，点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过坐标原点的两条直线，分别与椭圆交于，，，四点，‎ 且直线，的斜率之积为，求证：四边形的面积为定值．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（1）求在点处的切线方程； ‎（2）若函数在上的最小值为，求的值；‎ ‎（3）若，且对任意恒成立，求的最大值.‎ 高二数学期中考试答案：‎ 一、选择题 ‎1．A 2．A 3.D 4.B 5.C 6. B 7.B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．B ‎ 二、填空题 ‎13． 14. 15．55 16. ①②④‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）作法一：‎ 或或， …………………1分 解得: …………2分 或…………3分 或，…………………4分 故不等式的解集为； …………………5分 ‎（1）作法二：‎ ‎；‎ ‎ ；‎ ‎ …………………1分 ‎ （写出此形式可以适当得分）‎ ‎…………………2分 ‎…………………3分 ‎…………………4分 故不等式的解集为； …………………5分 ‎（2），…………………6分（或者通过图象、解析式说明）‎ ‎，当且仅当时取等号，‎ 而不等式有解，…………………7分 又或…………………8分 …………………9分 故的取值范围是．…………………10分 ‎ ‎18.解：(1) a1＝1，……1分 a2＝，……2分 a3＝，……3分 a4＝.……4分 ‎（2)由此猜想an＝(n∈N*)．……5分 证明：①当n＝1时，a1＝1，结论成立．……6分 ‎②假设n＝k (k∈N*)时，结论成立，即ak＝，……7分 那么n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak，……8分 ‎∴ak＋1＝＝＝，……9分 则n＝k＋1时，结论成立，‎ 由①②知猜想an＝成立 ……10分 ‎19.（1）由图知，解得………1分 ∵‎ ‎∴，即由于，因此……………3分 ‎∴………4分 ∴‎ 即函数的解析式为………………6分 ‎（2）∵∴‎ ‎∵………7分 ……8分 即，所以或1（舍），……9分 由正弦定理得，解得 ………………10分 ‎ 由余弦定理得 ‎∴，……………11分（当且仅当a=b等号成立）‎ ‎∴ ∴的面积最大值为.……………………12分 ‎20．（1）证明：连结BD交AC于点O，连结EO因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又E为PD的中点，所以EO//PB，………2分 , …3分, …4分 ‎……5分 ‎（2）因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直。如图，以A为坐标原点，的方向为的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系， ‎ 可取又 ………6分 ‎ 则，………7分 设B（m,0,0）(m>0)， ‎ 则设为平面ACE的法向量，‎ ‎ ………8分 ‎………10分 ‎ 三棱锥E-ACD的体积V=………12分 ‎21.解：（1）因为点在椭圆上，椭圆的右焦点为， ‎ 则………2分 解得，……3分 所以椭圆的方程为．………4分 ‎（2）当直线斜率不存在时，，，，所以，‎ 又，解得，. ……………………6分 当直线斜率存在时，设直线方程为，，，‎ 联立……7分 得， ，……8分 ‎，……………9分 由得，即，……………10分 原点到直线的距离为，所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以.……………12分 则四边形的面积为定值．‎ 22. ‎（1） ……2分 则切线方程为 ……3分 ‎(2), ‎ ‎（i）．当时,在上单调递增,,所以,舍去. …………4分 ‎ ‎（ii）．当时,在上单调递减,在上单调递增,‎ ‎①若在上单调递增,,所以,舍去 … 5分 ‎②若在上单调递减,在上单调递增,所以,解得. ………6分 ‎③若在上单调递减,,所以,舍去. ………7分 综上所述,. ………8分 ‎(3)作法一：由题意得:对任意恒成立,即对任意恒成立.‎ 令,则,………… 9分 令,‎ 则,所以函数在上单调递增, ……… 10分 因为方程在上存在唯一的实根,且,当时,,即,‎ 当时,,即.所以函数在上递减,在上单调递增.所以……… 11分 所以,又因为,故整数的最大值为3. ……… 12分 作法二：令 ‎ ‎………… 9分 ① 当时，在上恒成立，在上恒成立，……10分 ② 当时，令 ‎ 当变化时，、变化情况如下表：‎ x ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 减函数 极小值 增函数 ‎ 即 即 同法一 …………… 11分 ‎ 的最大值是3 …………… 12分