数学卷·2018届广东省阳江市阳东县广雅学校高二上学期期中数学试卷 （解析版） 12页

‎2016-2017学年广东省阳江市阳东县广雅学校高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1．在△ABC中，已知a=，b=，∠B=60°，那么∠A等于（　　）‎ A．30° B．45° C．90° D．135°‎ ‎2．已知△ABC中，a：b：c=3：2；4，则cosB=（　　）‎ A．﹣ B． C． D．﹣‎ ‎3．在等比数列{an}中，a1=，q=，an=，则项数n为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎4．等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（　　）‎ A．15 B．30 C．31 D．64‎ ‎5．不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是（　　）‎ A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）‎ ‎6．在等比数列{an}中，若a3a6=9，a2a4a5=27，则a2的值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．9‎ ‎7．已知△ABC中，AB=，AC=1，∠CAB=30°，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．Sn是等差数列{an}的前n项和，如果S10=120，那么a1+a10的值是（　　）‎ A．12 B．36 C．24 D．48‎ ‎9．已知a+b＞0，b＜0，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系是（　　）‎ A．a＞b＞﹣b＞﹣a B．a＞﹣b＞﹣a＞b C．a＞﹣b＞b＞﹣a D．a＞b＞﹣a＞﹣b ‎10．如果实数x、y满足条件，则2x+y的最大值为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎11．已知等比数列{an}中，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+anan+1=（　　）‎ A．（1﹣） B．（1﹣） C．16（1﹣） D．16（1﹣）‎ ‎12．设函数f（x）=，数列{an}满足an=f（n），n∈N+，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（1，3） B．（2，3） C．，3） D．（1，2）‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．已知A、B两地的距离是10km，B、C两地的距离是20km，现测得∠ABC=120°，则A、C两地的距离是　　km．‎ ‎14．各项均为正数的等比数列{an}中，a1=81，a5=16，则它的前5项和S5=　　．‎ ‎15．已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1（n∈N*），则它的通项公式是　　．‎ ‎16．已知不等式＞2对任意x∈R恒成立，则k的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 三、计算题（第17题10分，18～22题每题12分，共70分）‎ ‎17．比较（a+3）（a﹣5）与（a+2）（a﹣4）的大小．‎ ‎18．（1）已知等比数列{an}中，a1=﹣1，a4=64，求q与S4‎ ‎（2）已知等差数列{an}中，a1=，d=﹣，Sn=﹣15，求n及an．‎ ‎19．已知函数f（x）=x2+ax+6．‎ ‎（1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；‎ ‎（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．‎ ‎20．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．‎ ‎（1）求sinB的值；‎ ‎（2）求c的值．‎ ‎21．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3=10，S4=24．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令Tn=，求证：Tn＜．‎ ‎22．已知数列{an}是首项为a1=，公比q=的等比数列，设bn+2=3an（n∈N*），数列{cn}满足cn=an•bn．‎ ‎（1）求证：{bn}是等差数列；‎ ‎（2）求数列{cn}的前n项和Sn；‎ ‎（3）若cn≤m2+m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省阳江市阳东县广雅学校高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1．在△ABC中，已知a=，b=，∠B=60°，那么∠A等于（　　）‎ A．30° B．45° C．90° D．135°‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知及正弦定理可解得：sinA=，从而A=45°或135°，由a＜b从而确定A=45°．‎ ‎【解答】解：由正弦定理知：‎ ‎∵a=，b=，∠B=60°，代入上式，‎ ‎∴，故可解得：sinA=，从而A=45°或135°，‎ ‎∵a＜b ‎∴A＜B ‎∴A=45°‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．已知△ABC中，a：b：c=3：2；4，则cosB=（　　）‎ A．﹣ B． C． D．﹣‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】由已知可求a=，c=2b，利用余弦定理即可得解cosB的值．‎ ‎【解答】解：∵a：b：c=3：2；4，‎ ‎∴a=，c=2b，‎ ‎∴cosB===．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．在等比数列{an}中，a1=，q=，an=，则项数n为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】根据等比数列的通项公式建立等式关系，然后根据指数函数的单调性解指数方程即可求出项数n．‎ ‎【解答】解：∵{an}是等比数列 ‎∴=a1qn﹣1=×==‎ 解得：n=5‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（　　）‎ A．15 B．30 C．31 D．64‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，从而求得a12的值．‎ ‎【解答】解：设公差等于d，由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，即 a1+7d=8．‎ 再由a4=1=a1+3d，可得 a1=﹣，d=．‎ 故 a12 =a1+11d=﹣+=15，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是（　　）‎ A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】把不等式x2﹣2x﹣3＜0化为（x+1）（x﹣3）＜0，求出解集即可．‎ ‎【解答】解：不等式x2﹣2x﹣3＜0可化为 ‎（x+1）（x﹣3）＜0，‎ 解得﹣1＜x＜3，‎ ‎∴不等式的解集是（﹣1，3）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．在等比数列{an}中，若a3a6=9，a2a4a5=27，则a2的值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．9‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】设公比为q，可得=9， =27，两式相除可得答案．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，‎ 由题意可得a3a6===9，①‎ a2a4a5===27，②‎ 可得a2=3‎ 故选B ‎　‎ ‎7．已知△ABC中，AB=，AC=1，∠CAB=30°，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】根据题意和三角形的面积公式直接求出△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，AB=，AC=1，∠CAB=30°，‎ ‎∴△ABC的面积S=‎ ‎===，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．Sn是等差数列{an}的前n项和，如果S10=120，那么a1+a10的值是（　　）‎ A．12 B．36 C．24 D．48‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】等差数列{an}中，由S10=120，知（a1+a10）=120，由此能求出a1+a10．‎ ‎【解答】解：等差数列{an}中，‎ ‎∵S10=120，‎ ‎∴（a1+a10）=120，‎ ‎∴a1+a10=24．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．已知a+b＞0，b＜0，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系是（　　）‎ A．a＞b＞﹣b＞﹣a B．a＞﹣b＞﹣a＞b C．a＞﹣b＞b＞﹣a D．a＞b＞﹣a＞﹣b ‎【考点】不等式比较大小．‎ ‎【分析】法一：特殊值法，令a=2，b=﹣1代入检验即可．‎ 法二：利用不等式的性质，及不等式的符号法则，先把正数的大小比较出来，再把负数的大小比较出来．‎ ‎【解答】解：法一：∵A、B、C、D四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，∴可用特殊值法．‎ 令a=2，b=﹣1，则有2＞﹣（﹣1）＞﹣1＞﹣2，‎ 即a＞﹣b＞b＞﹣a．‎ 法二：∵a+b＞0，b＜0，‎ ‎∴a＞﹣b＞0，﹣a＜b＜0，‎ ‎∴a＞﹣b＞0＞b＞﹣a，‎ 即a＞﹣b＞b＞﹣a．‎ ‎　‎ ‎10．如果实数x、y满足条件，则2x+y的最大值为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得B（1，1），‎ 令z=2x+y，得y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过B时直线在y轴上的截距最大，z最大为2×1+1=3．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．已知等比数列{an}中，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+anan+1=（　　）‎ A．（1﹣） B．（1﹣） C．16（1﹣） D．16（1﹣）‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】推导出{anan+1}是以8为首项，为公比的等比数列，由此能出a1a2+a2a3+…+anan+1．‎ ‎【解答】解：∵等比数列{an}中，a2=2，a5=，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴=8×，‎ ‎∴{anan+1}是以8为首项，为公比的等比数列，‎ ‎∴a1a2+a2a3+…+anan+1==（1﹣）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．设函数f（x）=，数列{an}满足an=f（n），n∈N+，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（1，3） B．（2，3） C．，3） D．（1，2）‎ ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】根据函数的单调性，n∈N*，得出，求解即可．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=，‎ 数列{an}满足an=f（n），n∈N+，且数列{an}是递增数列 ‎∴，解得：，‎ 即：2＜a＜3，‎ 故选：B ‎　‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．已知A、B两地的距离是10km，B、C两地的距离是20km，现测得∠ABC=120°，则A、C两地的距离是　10　km．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】由题意，A，B，C组成三角形，利用余弦定理列出关系式，把AB，BC，以及cos∠ABC代入求出AC的长即可．‎ ‎【解答】解：∵AB=10km，BC=20km，∠ABC=120°，‎ ‎∴由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠ABC=100+400+200=700，‎ 则AC=10；‎ 故答案为：10‎ ‎　‎ ‎14．各项均为正数的等比数列{an}中，a1=81，a5=16，则它的前5项和S5=　211　．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】先用等比数列的通项公式求等比数列的公比，然后利用前n项和公式．‎ ‎【解答】解：各项均为正数，公比为q的等比数列{an}中，a1=81，a5=16，‎ 可得q4==，‎ 解得q=，‎ 则它的前5项和S5==211，‎ 故答案为：211．‎ ‎　‎ ‎15．已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1（n∈N*），则它的通项公式是　　．‎ ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】先求出sn﹣1，由an=sn﹣sn﹣1得到数列的通项公式即可．‎ ‎【解答】解：由题意知：当n=1时，a1=s1=2，‎ 当n≥2时，Sn=n2+1①‎ sn﹣1=（n﹣1）2+1②，所以利用①﹣②得：an=sn﹣sn﹣1=2n﹣1．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．已知不等式＞2对任意x∈R恒成立，则k的取值范围为　[2，10）　．‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】将不等式＞2转化为（k﹣2）x2+（k﹣2）x+2＞0．分k=2和k≠2两种情况讨论，对于后者利用一元二次不等式的性质可知，解不等式组即可确定k的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵x2+x+2＞0，‎ ‎∴不等式＞2可转化为：‎ kx2+kx+6＞2（x2+x+2）．‎ 即（k﹣2）x2+（k﹣2）x+2＞0．‎ 当k=2时，不等式恒成立．‎ 当k≠2时，不等式（k﹣2）x2+（k﹣2）x+2＞0恒成立，‎ 等价于，‎ 解得2＜k＜10，‎ ‎∴实数k的取值范围是[2，10），‎ 故答案为：[2，10）．‎ ‎　‎ 三、计算题（第17题10分，18～22题每题12分，共70分）‎ ‎17．比较（a+3）（a﹣5）与（a+2）（a﹣4）的大小．‎ ‎【考点】不等式比较大小．‎ ‎【分析】利用作出法，即可比较大小．‎ ‎【解答】解：∵（a+3）（a﹣5）﹣（a+2）（a﹣4）=（a2﹣2a﹣15）﹣（a2﹣2a﹣8）=﹣7＜0‎ ‎∴（a+3）（a﹣5）＜（a+2）（a﹣4）‎ ‎　‎ ‎18．（1）已知等比数列{an}中，a1=﹣1，a4=64，求q与S4‎ ‎（2）已知等差数列{an}中，a1=，d=﹣，Sn=﹣15，求n及an．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】（1）由a1=﹣1，a4=64，可得﹣q3=64，解得q．利用求和公式即可得出．‎ ‎（2）等差数列{an}中，a1=，d=﹣，Sn=﹣15，可得﹣15=n+×，解得n，再利用通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵a1=﹣1，a4=64，∴﹣q3=64，解得q=﹣4．‎ ‎∴S4==51．‎ ‎（2）∵等差数列{an}中，a1=，d=﹣，Sn=﹣15，‎ ‎∴﹣15=n+×，化为n2﹣7n﹣60=0，n∈N*，解得n=12．‎ ‎∴a12=+11×=﹣4．‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=x2+ax+6．‎ ‎（1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；‎ ‎（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质．‎ ‎【分析】（1）首先把一元二次不等式变为x2+5x+6＜0，然后运用因式分解即可解得不等式的解集；‎ ‎（2）要使一元二次不等式x2+ax+6＞0的解集为R，只需△＜0，求出实数a的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵当a=5时，不等式f（x）＜0即 x2+5x+6＜0，‎ ‎∴（x+2）（x+3）＜0，‎ ‎∴﹣3＜x＜﹣2．‎ ‎∴不等式f（x）＜0的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}‎ ‎（2）不等式f（x）＞0的解集为R，‎ ‎∴x的一元二次不等式x2+ax+6＞0的解集为R，‎ ‎∴△=a2﹣4×6＜0⇒﹣2＜a＜2‎ ‎∴实数a的取值范围是（﹣2，2）‎ ‎　‎ ‎20．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．‎ ‎（1）求sinB的值；‎ ‎（2）求c的值．‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】（1）根据余弦函数在（0，π）的符号，结合cosA=＞0，可得A是锐角，再由同角三角函数关系求出sinA的值，最后利用正弦定理列式，可得sinB的值；‎ ‎（2）根据余弦定理，列出等式：a2=b2+c2﹣2bccosA，代入已知数据可得关于边c的一元二次方程，然后解这个一元二次方程，可得c的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵△ABC中，cosA=＞0，‎ ‎∴A为锐角，sinA==…‎ 根据正弦定理，得，‎ ‎∴，…‎ ‎∴…‎ ‎（2）根据余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA，‎ ‎∴9=4+c2﹣2×2c×，‎ ‎∴3c2﹣4c﹣15=0…‎ 解之得：c=3或c=﹣（舍去），‎ ‎∴c=3…‎ ‎　‎ ‎21．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3=10，S4=24．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令Tn=，求证：Tn＜．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】（1）由已知条件利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出an=2n+1．‎ ‎（2）由Sn===n（n+2），利用裂项求和法能证明Tn＜．‎ ‎【解答】（1）解：设等差数列{an}的公差为d，‎ ‎∵a1+a3=10，S4=24，‎ ‎∴，‎ 解得a1=3，d=2，‎ ‎∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．‎ ‎（2）证明：由（1）得Sn===n（n+2），‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=…‎ ‎=‎ ‎=…‎ ‎．…‎ ‎　‎ ‎22．已知数列{an}是首项为a1=，公比q=的等比数列，设bn+2=3an（n∈N*），数列{cn}满足cn=an•bn．‎ ‎（1）求证：{bn}是等差数列；‎ ‎（2）求数列{cn}的前n项和Sn；‎ ‎（3）若cn≤m2+m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】数列的求和；数列的函数特性．‎ ‎【分析】（1）根据题意和等比数列的通项公式求出an，再由对数的运算性质求出bn，根据等差数列的定义进行证明；‎ ‎（2）由（1）和题意求出数列{cn}的通项公式，利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和；‎ ‎（3）先化简cn+1﹣cn，再根据结果的符号与n的关系，判断出数列{cn}的最大项，将恒成立问题转化为具体的不等式，再求出实数m的取值范围．‎ ‎【解答】证明：（1）由题意得，an==，‎ 又bn+2=3an（n∈N*），则bn+2=3=3n，‎ 所以bn=3n﹣2，即bn+1﹣bn=3，且b1=1，‎ 所以{bn}是为1为首项，3为公差的等差数列；‎ 解：（2）由（1）得，an=，bn=3n﹣2‎ 所以cn=an•bn=，‎ 则Sn=①，‎ Sn=②，‎ ‎①﹣②得， Sn=‎ ‎=‎ ‎=，‎ 所以Sn=，‎ ‎（3）由（2）得，cn=，‎ cn+1﹣cn=﹣=，‎ 所以当n=1时，c2=c1=，‎ 当n≥2时，c2=c1＞c3＞c4＞c5＞…＞cn，‎ 则当n=1或2时，cn的最大值是，‎ 因为cn≤m2+m﹣1对一切正整数n恒成立，‎ 所以≤m2+m﹣1，即m2+4m﹣5≥0，解得m≥1或m≤﹣5，‎ 故实数m的取值范围是m≥1或m≤﹣5．‎ ‎　‎