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- 2021-06-21 发布
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不等式 同步测试
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷 50 分，第二卷 100 分，共 150 分；答题
时间 120 分钟。
第Ⅰ卷（选择题共 50 分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代
号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 50 分）．
1．若 a0,则 a、b、c、d 的大小关系是 （ ）
A．d0 满足 ).()()( yfxfy
xf
（1）求 )1(f 的值； （2）若 1)6( f ，解不等式 .2)1()3(
xfxf
19．（14 分）要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格
小钢板的块数如下表所示：
类 型 A 规格 B 规格 C 规格
第一种钢板 1 2 1
第二种钢板 1 1 3
每张钢板的面积,第一种为 21m ,第二种为 22m ,今需要 A、B、C 三种规格的成品各 12、15、
27 块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小？
20．（14 分）（1）设不等式 2x－1＞m(x2－1)对满足|m|≤2 的一切实数 m 的取值都成立，求 x
的取值范围；
（2）是否存在 m 使得不等式 2x－1＞m(x2－1)对满足|x|≤2 的一切实数 x 的取值都成立．
参考答案（一）
一、ABDDD DCACD
二、11．2008；12． 223 ；13． )1,2
1()0,2
1( ； 14． ]1,0()2
1,1[ 。
三、15．（1）证明：∵a2＋x2≥2ax，b2＋y2≥2by，
∴a2＋x2＋b2＋y2≥2(ax＋by)，∴ax＋by≤
2
11 ＝1。
又∵a2＋x2≥－2ax，b2＋y2≥－2by，
∴a2＋x2＋b2＋y2≥－2(ax＋by)，∴ax＋by≥－
2
11 ＝－1。
∴|ax＋by|≤1。
（2）证明： 2222233 )( babababababa
122 babababa
y(t)
1 2
O t
y y x x
1
2 y=x
1 y x
1
O 1 x
002
)(4)2(3)(4)(33
4
22
22222
bababa
bababababababa
16．解：当 a＝0 时，不等式的解为 x＞1；当 a≠0 时，分解因式 a(x－
a
1 )(x－1)＜0
当 a＜0 时，原不等式等价于(x－
a
1 )(x－1)＞0，不等式的解为 x＞1 或 x＜
a
1 ；
当 0＜a＜1 时，1＜
a
1 ，不等式的解为 1＜x＜
a
1 ；
当 a＞1 时，
a
1 ＜1，不等式的解为
a
1 ＜x＜1；
当 a＝1 时，不等式的解为 。
17．解：（1）解法一： )1(
4
1
4
4
4
5
22
2
2
2
tt
xx
x
x
xy
令 )2(42 txt ，则 )2(012 tytt
令 )2(1)( 2 tytttf ， 1)0( f
显然 012 ytt 只有一个大于或等于 2 的根，
0)2( f
即
2
50124)2( yyf ，即
4
5
2
2
x
xy 的最小值是
2
5 。
解法二： )1(
4
1
4
4
4
5
22
2
2
2
tt
xx
x
x
xy
令 )2(42 txt
利用图象迭加，可得其图象（如下图）
2t
当 2t 时，
tty 1 递增，
2
5
2
12min y 。
（2） 1200
2
2 baba ，，
4
23)2
2
11
(2
2
22
1
22
12
2
12)1(1
2
22
2
2
2
2
2222
baba
bababa
当
00
12
2
1
2
2
2
2
ba
ba
ba
，
2
2
2
3 ba ， 时， 21 ba 的最大值为
4
23
18．解： (1). 0x y 令 ，则 ( ) ( ) ( ) 0, (1) 0xf f x f x fy
1(2). (6) 1, 2 2 (6), ( 3) ( ) 2 (6)f f f x f fx
即 3( ) 2 (6), ( ( 3)) (6) (6)1
xf f f x x f f
x
∴ 3 (6),6
x xf f
又 ( )f x 在 0, 是增函数，则
1 0
3 3 173 0 0 2( 3) 66
x
x x
x x
.
19．解：设需截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,所用钢板面积为 2zm ,
则有
0
,0
,273
,152
,12
y
x
yx
yx
yx
作出可行域(如图)
目标函数为 yxz 2
作出一组平行直线 tyx 2 (t 为参数).由
12
,273
yx
yx 得 ),2
15,2
9(A 由于点 )2
15,2
9(A 不是可行域内
的整数点,而在可行域内的整数点中,点(4,8)和点(6,7)使 z 最小,且 20726824min z .
答:应截第一种钢板 4 张,第二种钢板 8 张,或第一种钢板 6 张,第二种钢板 7 张,得所需三种规格的钢板,且使所
用的钢板的面积最小.
20．(1)解：令 f(m)＝2x－1－m(x2－1)＝(1－x2)m＋2x－1，可看成是一条直线，且使|m|≤2 的一切
实数都有 2x－1＞m(x2－1)成立。
所以，
02)f(
0)2(
＞－
＞f ，即
032x2x
012x2x
2
2
＜－＋
＞－－ ，即
2
71x2
71x
2
31x2
31
＋－＞或－－＜
＋＜＜－
所以，
2
13x2
17 ＋＜＜－ 。
(2) 令 f(x)= 2x－1－m(x2－1)= －mx2+2x+(m－1)，使|x|≤2 的一切实数都有 2x－1＞m(x2
－1)成立。
当 0m 时，f(x)= 2x－1 在 22
1 x 时，f(x) 0 。（不满足题意）
当 0m 时，f(x)只需满足下式：
0)2(
21
)0(,0
f
m
mm
或
0
012
)0(,0
m
mm
或
0)2(
0)2(
)0(,0
f
f
mm
解之得结果为空集。
故没有 m 满足题意。
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