数学理卷·2017届河北省保定市高三下学期第一次模拟考试（2017 10页

‎2017年高三第一模拟考试理科数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1、已知全集，集合，则等于 A． B． C． D． ‎ ‎2、在复平面内，若，则中，点C对应的复数为 A． B． C． D．‎ ‎3、已知为等差数列，若，则的值为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4、若直线与圆相切，则的值为 A．1 B． C． D．‎ ‎5、命题若，则；命题，使得，则下列命题中为真命题的是 A． B． C． D． ‎ ‎6、为了得到函数的图象，可将函数的 图象上所有的点的 A．纵坐标缩短到（横坐标不变），再向左平移1个单位 ‎ B．纵坐标缩短到（横坐标不变），再向左平移个单位 ‎ C．横坐标缩短到倍（横坐标不变），再向左平移个单位 ‎ D．横坐标缩短到2倍（横坐标不变），再向右平移1个单位 ‎7、执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的 A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎8、中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了278里路，第一天健步行走，从第二天其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第二天走了 里？‎ A．76 B．96 C．146 D．188‎ ‎9、平面直角坐标系中，为原点，三点满足，则 A．1 B．2 C．3 D．‎ ‎10、的展开式中，记项的系数为，则 A．9 B．16 C．18 D．24‎ ‎11、某三棱锥的三视图如图所示，主视图和俯视图为全等的等腰 直角三角形，则该棱锥的棱长为 A． B． C． D． ‎ ‎12、已知函数，则函数的零点 A．1 B．3 C．4 D．6‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..‎ ‎13、设 ，则 ‎ ‎14、已知点M的坐标满足不等式组，为直线上任一点，‎ 则的最小值是 ‎ ‎15、已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且，则此三棱锥外接球的表面积是 ‎ ‎16、已知数列中，，设 ，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17、（本小题满分12分）‎ ‎ 已知 .‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎ （2）在中，分别是内角的对边，若的面积为，求的值.‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点，且.‎ ‎（1）求二面角的大小；‎ ‎ （2）在侧棱SC上是否存在一点E，使得平面？若存在，求 的值；若不存在，试说明理由.‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ ‎ 教育学家分析发现加强语文乐队理解训练与提高数学应用题得分率有关，某校兴趣小组为了验证这个结论，从该校选择甲乙两个同轨班级进行试验，其中甲班加强阅读理解训练，乙班常规教学无额外训练，一段时间后进行数学应用题测试，统计数据情况如下面的列联表（单位：人）‎ ‎（1）能够据此判断有97.5%把握热内加强语文阅读训练与提高数学应用题得分率有关？‎ ‎ （2）经过多次测试后，小明正确解答一道数学应用题所用的时间在5—7分钟，小刚正确解得一道数学应用题所用的时间在6—8分钟，现小明、小刚同时独立解答同一道数学应用题，求小刚比小明现正确解答完的概率；‎ ‎ （3）现从乙班成绩优秀的8名同学中任意抽取两人，并对他们点答题情况进行全程研究，记A、B两人中被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）.‎ ‎20、（本小题满分12分）‎ ‎ 设椭圆与轴相交于A、B两点，（A在B的下方），直线与该椭圆相较于不同的两点M、N，直线与BM交于G.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎ （2）求证：三点共线.‎ ‎21、（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎（1）求函数在点处的切线方程；‎ ‎ （2）试比较与1的大小.‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．‎ ‎22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，圆，曲线的参数方程为为参数），并以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）写出的极坐标方程，并将化为普通方程；‎ ‎ （2）若直线的极坐标方程为与相交于两点，‎ 求的面积（为圆的圆心）.‎ ‎23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲 ‎ 已知函数，不等式的解集为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎ （2）若函数，求的最小值.‎ ‎2017年高考数学第一次模拟考理科科数学评分标准 一、选择题：DAADC ABBCD AC 二、填空题：13. ； 14. 15. ； 16. ‎ 三、解答题 ‎………………………………………2分 ‎…………………………5分 ‎（2）,‎ ‎ …………8分 ‎ …………………………10分 ‎ …………………………12分 ‎18. 解法一：(1)连接交于点,连接 平面 ‎ 又 ……………………………2分 设的中点为,连接,为等边三角形 ‎ 的中点 的四等分点,，‎ ‎ 又 即为二面角的平面角 ……………………………4分 ‎ 由图可知二面角为锐二面角，‎ ‎ 所求二面角大小为…………………………………………………………6分 （2） 存在点E且 ，使得 ………………………7分 证明如下：‎ 在平面内作 又………9分 又 ‎ ‎…………………………………………………………12分 解法二：连接交于点,以分别为轴建立空间直角坐标系……………1分 ‎（１）设底面边长为1，平面 ‎ 又 。……………………………3分 由勾股定理易知, ,,‎ ‎,,=-由图可知，‎ x y z O 所求二面角为锐二面角,所以所求二面角大小为……………6分 ‎（２）存在点Ｅ，当时，面PAC ……………………………7分 ‎………………9分 设则 而，,‎ 存在点Ｅ，当时，面PAC. ……………………………12分 ‎19. 解:（1）由表中数据得的观测值………3分 所以根据统计有的把握认为加强语文阅读理解训练与提高数学应用题得分率有关. ………4分 ‎(2)设小明和小刚解答这道数学应用题的时间分别为分钟，‎ 则基本事件满足的区域为(如图所示) ……………………………6分 设事件为“小刚比小明先解答完此题” 则满足的区域为 由几何概型 即小刚比小明先解答完此题的概率为.……………………8分 ‎（3）可能取值为，，，…………10分 的分布列为：‎ ‎1‎ ‎.………………………………………………………………12分 ‎20. 解：（1）化为标准方程可得……3分 所以.……………………………………………………4分 ‎（2）直线代入椭圆方程得：…………………………5分 设，，，‎ 由韦达定理得： ①， ② …………7分 法1：方程为：，则， ……………………9分 将①②代入上式得： 三点共线…………………………12分 将①②代入上式得：0‎ 所以 三点共线…………………………12分 ‎21. 解：（1） 切点为 ‎ ‎ ……………………2分 切线方程为 即……………………………4分 （2） ‎,所以猜想.……………………………5分 理由如下：‎ 因为……………………………8分 ‎【或：要比较与1的大小，只需比较的大小，即比较与的大小……8分】‎ 令，‎ ‎ 令； ‎ 在单调递减，在单调递增 …………………9分 ‎ 令；‎ 在单调递增，在单调递减 ………………………11分 ‎ 恒成立 ‎ ‎………………………………………………………………………………………12分 ‎22.解：（1）的极坐标方程为：………………3分 ‎ 化为普通方程为: …………………………6分 ‎ （2）直线的普通方程为，显然曲线与相交于原点，不妨设重合…8分 ‎ ,,，‎ ‎…………………………10分 ‎23.解：（1） ……………2分 显然（或分类谈论得）‎ ‎ …………………………5分 ‎ （2）依题意可得： ……………………8分 当时，…………………………10分