【数学】2019届一轮复习人教B版　“三法”解决平面向量数量积问题学案 12页

增分点 “三法”解决平面向量数量积问题 平面向量的数量积是向量的一种重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学 中应用十分广泛．在高考试卷中备受青睐，命题方式灵活多样，试题内容活泼、新颖，是一个稳定的高频考点．解决这类问题有三种基本方法：投影法、基底法和坐标法．“三法”的准确定位应是并举！即不应人为地、凭主观划分它们的优劣，而应具体问题具体分析．‎ ‎[典例] 已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝，其外接圆的圆心为O，则·＝________.‎ ‎[思路点拨]‎ 本题如果直接利用向量数量积的定义求解，计算复杂，过程较长．我们可以从以下三种思路着手：‎ ‎(1)利用数量积的几何意义，及数形结合思想，可以巧妙解决该题；‎ ‎(2)选择，为基底，利用向量基本定理，将·转化到两个基底之间的运算，问题自然就能顺利解决．‎ ‎(3)设D是边BC的中点，根据题意可知OD⊥BC，因此方便建立平面直角坐标系，利用坐标运算解答问题．‎ ‎[方法演示]‎ 法一：投影法 如图，作OD⊥BC，垂足为D，则D是线段BC的中点．‎ 作AE⊥BC，垂足为E.‎ 则在的方向上的投影为 ‎||·cos〈，〉＝|ED―→|，‎ 所以·＝||·||·cos〈，〉＝|ED―→|·||.‎ 在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝，‎ 由余弦定理，得cos∠ABC＝＝－.‎ 所以cos∠ABE＝cos(π－∠ABC)＝，‎ 所以BE＝AB·cos∠ABE＝.‎ 所以|ED―→|＝BE＋BD＝＋.‎ 因为||＝，‎ 所以·＝|ED―→|·||＝10.‎ 法二：基底法 如图，作OD⊥BC，垂足为D，‎ 则D是线段BC的中点，且·＝0.‎ 所以· ‎＝(＋＋)· ‎＝·＋·＋· ‎＝·＋· ‎＝－·＋·，‎ 在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝，‎ 由余弦定理，得cos∠ABC＝＝－.‎ 所以·＝－·＋· ‎＝－||·||cos∠ABC＋||2‎ ‎＝－4××＋×()2＝10.‎ 法三：坐标法 如图，作OD⊥BC，垂足为D，则D是线段BC的中点．‎ 以D为坐标原点，BC，DO分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系．‎ 在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝，‎ 由余弦定理，得cos∠ACB＝＝.‎ 作AE⊥BC，垂足为E.‎ 在Rt△ACE中，CE＝AC·cos∠ACB＝.‎ 设A，O(0，yO)，又B，C.‎ 所以＝，＝(，0)．‎ 所以·＝×＋(yO－yA)×0＝10.‎ 答案：10‎ ‎[解题师说]‎ ‎(1)法一(投影法)利用向量数量积的几何意义，借助于向量的投影求向量的数量积，巧妙地利用平面图形的性质，解答简短．法二(基底法)通过向量的分解变换，即向量的线性运算，转化成另外向量的数量积，不断化简求出值，充分体现了转化的思想，其中垂直关系的利用是化简的关键．思维更自然，处理更简单．法三(坐标法)巧妙地把向量运算转化为数量运算，解答过程同样简洁，体现了坐标法的威力．‎ ‎(2)如果题目图形便于建立平面直角坐标系，可以优先考虑的坐标法．如果不方便建立平面直角坐标系，则可考虑投影法或基底法，其中选择恰当的基底，将要求的数量积的两向量用基底表示是关键．‎ ‎[应用体验]‎ ‎1.如图，△ABC是边长为2的正三角形，P是以C为圆心，半径为1的圆上任意一点，则·的取值范围是( )‎ A．[1,13] B．(1,13)‎ C．(4,10) D．[4,10]‎ 解析：选A 取AB的中点D，连接CD，CP，则＋＝2，所以·＝(－)·(－)＝·－2·＋1＝(2)2cos－2×3×1×cos〈，〉＋1＝7－6cos〈，〉，所以当cos〈，〉＝1时，·取得最小值为1；当cos〈，〉＝－1时，·取得最大值为13，因此·的取值范围是[1,13]．‎ ‎2．已知四边形ABCD的对角线相交于一点，＝(1，)，＝(－，1)，则·的取值范围是( )‎ A．(0,2) B．(0,4]‎ C．[－2,0) D．[－4,0)‎ 解析：选C 由已知得，||＝||＝2，AC⊥BD.‎ 法一(基底法)：设四边形ABCD的对角线相交于一点O，设OA＝x，OB＝y，‎ 则OC＝2－x，OD＝2－y，且0