数学理卷·2017届山西省大同市灵丘豪洋中学高三下学期第三次模拟考试（2017 10页

豪洋中学2017届高三下学期第三次模拟考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，，则集合的子集共有（ ）‎ A．2个 B．4个 C．8个 D．16个 ‎2.图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点所表示的复数满足，则复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.给出下列函数：‎ ‎①；②；③‎ 其中满足“倒负”变换的函数是（ ）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．① ‎ ‎4.已知数列的前项和为，，，且对于任意，，满足，则的值为（ ）‎ A．91 B．90 C.55 D．54‎ ‎5.某算法的程序框图如图所示，若输出的，则输入的的值可能为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.在区间上任取两个数，则这两个数之和小于的概率是（ ） ‎ A． B． C. D．‎ ‎7.在中，，，，是斜边上的两个动点，且，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.若一个正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.若关于的方程有解，则实数的最小值为（ ）‎ A．4 B．6 C.8 D．2‎ ‎11.已知为双曲线的左焦点，点为双曲线虚轴的一个端点，过，的直线与双曲线的一条渐近线在轴右侧的交点为，若，则此双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷：非选择题（共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题至第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.如图，圆内的正弦曲线,与轴围成的区域记为（图中阴影部分），随机向圆内投一个点，则点落在区域外的概率是 ．‎ ‎14.在三棱柱中，侧棱平面，，底面是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为 ．‎ ‎15.设，满足约束条件，记的最小值为，则展开式中项的系数为 ．‎ ‎16.已知数列满足，，则 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. 已知.‎ ‎（1）求函数取最大值时的取值集合；‎ ‎（2）设的角，，所对的边分别为，，，若，，求面积的最大值.‎ ‎18. 随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民在17：00—21：00时间段的休闲方式是否与性别有关，得到下面的数据表：‎ ‎（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量，求的分布列和期望；‎ ‎（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为在17：00—21：00时间段的休闲方式与性别有关系？‎ ‎19. 如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，点，分别在棱，上移动，且.‎ ‎（1）当时，证明：直线平面；‎ ‎（2）是否存在，使面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎20. 在平面直角坐标系中，椭圆的一个焦点为，‎ 为椭圆上的一点，的面积为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若点在圆上，是否存在过点的直线交椭圆于点，使？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）求在上的最大值和最小值；‎ ‎（2）设曲线与轴正半轴的交点为处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有.‎ 请考生在22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 已知半圆的参数方程为，其中为参数，且.‎ ‎（1）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆的极坐标方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，设是半圆上的一点，且，试写出点的极坐标.‎ ‎23.【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）已知，若恒成立，求函数的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题：‎ ‎1-5:DBCAC 6-10:DCBDB 11、12：AA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由题意，‎ ‎，‎ 当取最大值时，即，此时，‎ 所以的取值集合为.‎ ‎（2）因，由（1）得，又，‎ 即，所以，解得，‎ 在中，由余弦定理，‎ 得，所以，‎ 当且仅当，，即为等边三角形时不等式取等号.‎ 故面积的最大值为.‎ ‎18.解：（1）由题意可知，‎ 且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为，‎ 根据题意可得，‎ ‎，‎ 故的分布列为 所以.‎ ‎（2）由，得，‎ 因为，所以我们有的把握认为休闲方式与性别有关.‎ ‎19.解：以为原点，射线，，分别为，，轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得，，，，，，，则，，，，.‎ ‎（1）当时，，因为，所以，即，又平面，且平面，故直线平面.‎ ‎（2）设平面的一个法向量为，则 由，得，于是可取.‎ 设平面的一个法向量为，由，得，于是可取.‎ 若存在，使面与面所成的二面角为直二面角，则，即，解得 ‎，显然满足.‎ 故存在，使面与面所成的二面角为直二面角.‎ ‎20.解：（1）由椭圆的一个焦点为知，即.①‎ 又因为的面积为，即，求得，则，‎ 代入椭圆方程，得.②‎ 由①②解得，.‎ 故椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）假设存在过点的直线适合题意，则结合图形易判断知直线的斜率必存在，于是可设直线的方程为，‎ 由，得.（*）‎ 解得，所以，即.‎ 所以，即.‎ 因为点在圆上，所以，‎ 化简得，解得，所以.‎ 经检验知，此时（*）对应的判别式，满足题意.‎ 故存在满足条件的直线，其方程为.‎ ‎21.解（1）由，可得.‎ 令，解得，或.‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ 所以，在，上单调递减，在上单调递增，极小值，极大值，可得最大值为2，最小值为-18.‎ ‎（2）设点的坐标为，则，.‎ 曲线在点处的切线方程为，即.‎ 令，则，所以，‎ 由于在上单调递减，故在上单调递减.‎ 又因为，所以当时，.‎ 当时，，所以在内单调递增，在上单调递减，所以对于任意的正实数，都有.‎ 故对于任意的正实数，都有.‎ ‎22.解:（1）根据半圆的参数方程，其中为参数，且，得圆的普通方程为：，‎ 所以，半圆的极坐标方程为：，.‎ ‎（2）因为，所以令，，‎ 则解得.‎ 故点的极坐标为.‎ ‎23.解：（1）不等式，即.‎ 当时，即，得；‎ 当时，即，得；‎ 当时，即，无解.‎ 综上，原不等式的解集为.‎ ‎（2）.‎ 令 结合函数的图象易知：当时，.‎ 要使不等式恒成立，只需，即，‎ 故所求实数的取值范围是.‎