2018-2019学年安徽省六安市第一中学高一下学期第二次段考数学（理）试题（解析版） 17页

‎2018-2019学年安徽省六安市第一中学高一下学期第二次段考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知，再利用二倍角公式即可得解.‎ ‎【详解】‎ 因为角的终边与单位圆的交点为，‎ 所以，则.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查任意角的三角函数，二倍角公式，属于基础题.‎ ‎2．已知锐角，满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】 , 因为 , 所以 ,选D.‎ ‎3．已知均为单位向量，，则（ ）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】首先将等式左右两边同时平方求出 ‎，再根据向量数量积的运算律展开并化简，代入相应值即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎，，，‎ 又，，‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查已知向量的模求数量积，数量积的运算律，属于基础题.‎ ‎4．已知的三个顶点及所在平面内一点P，若，若实数满足，则（ ）‎ A． B．3 C．-1 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用向量的加法化简即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 因为 所以，则.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量的加法，属于基础题.‎ ‎5．（ ）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】等价于，利用两角和的余弦公式展开即可得解.‎ ‎【详解】‎ 原式 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查两角和的余弦公式，属于基础题.‎ ‎6．已知菱形的边长为2，，点，分别为，的中点，则（ ）‎ A．3 B．1 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先确定一组基底，利用向量加法运算法则，用这对基底把表示出来，然后进行数量积计算．‎ ‎【详解】‎ 点为的中点 所以;‎ 点F为CD的中点，所以,‎ ‎=‎ ‎ =‎ 因为菱形的边长为2,所以,又因为，运用数量积公式，可求＝＝＝‎ ‎=故本题选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的数量积运算、向量的加法运算、菱形的几何性质．‎ ‎7．在ΔABC中，若，则ΔABC是（ ）‎ A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】此题考查向量的数量积的计算、余弦定理的应用。由已知得，所以是直角三角形，选C ‎8．设a＝cos 2°－sin 2°，b＝，c＝，则有(　　)‎ A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b ‎【答案】D ‎【解析】利用辅助角公式化简的表达式，利用正切的二倍角公式化简的表达式，利用降次公式化简的表达式，最后利用正弦函数的单调性以及这个性质，比较大小，得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，a＝sin 28°，b＝tan 28°，c＝sin 25°，∴c＜a＜b. 答案D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用辅助角公式、二倍角公式以及降次公式化简三角函数的表达式，属于基础题.‎ ‎9．已知函数，下面结论中错误的是（ ）‎ A．函数的最小正周期为 B．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于中心对称 ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ ‎，最小正周期为，故A正确；‎ 的图象向右平移个单位得到，故B错误；‎ ‎，故C正确；‎ ‎，是函数的对称中心，故D正确. ‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数的周期性与对称性，根据三角函数的变换求解析式，属于基础题.‎ ‎10．已知函数的部分图象如图所示，点，是该图象与轴的交点，过点作直线交该图象于两点，点是的图象的最高点在轴上的射影，则的值是（ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由图象得到函数的周期，进而求得．又由条件得点D,E关于点B对称，可得，然后根据数量积的定义求解可得结果．‎ 详解：由图象得，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 又由图象可得点B为函数图象的对称中心，‎ ‎∴点D,E关于点B对称，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选B．‎ 点睛：本题巧妙地将三角函数的图象、性质和向量数量积的运算综合在一起，考查学生分析问题和解决问题的能力．解题的关键是读懂题意，通过图象求得参数；另外，根据函数图象的对称中心将向量进行化简，从而达到能求向量数量积的目的．‎ ‎11．(2016·太原五中模拟)已知的外接圆的圆心为，半径，如果，且，则向量在方向上的投影为(　　)‎ A．6 B．－6‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由＝0得，＝∴DO经过边EF的中点，‎ ‎∴DO⊥EF.连接OF，∵||＝||＝||＝4，‎ ‎∴△DOF为等边三角形，‎ ‎∴∠ODF＝60°.∴∠DFE＝30°，且EF＝4×sin 60°×2＝4.‎ ‎∴向量在方向上的投影为 ‎||cos〈,〉＝4cos 150°＝－6，故选B.‎ 点睛：平面向量数量积的类型及求法 ‎(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.‎ ‎(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.‎ ‎12．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周牌算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知，，，从出发逐步化简即可用表示出.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，，，‎ 则 ‎,‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查向量的加减法，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎13．在矩形中，，，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据向量加减法运算得到，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 在矩形中.，|.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了向量的加法运算和减法运算，题目简单基础.‎ ‎14．已知,则__________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】利用二倍角公式及同角三角函数间的基本关系化简后得到tanα，即可求出值．‎ ‎【详解】‎ 由tana＝3，‎ ‎．‎ 故答案为3.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查学生灵活运用二倍角公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．‎ ‎15．__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】，‎ ‎.‎ 故答案为1‎ 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.‎ ‎16．已知非零向量夹角为，，对任意，有，则的最小值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】两边平方整理，由判别式小于等于0可得且，运用数量积的定义求得，设，建立平面直角坐标系求出点A、B的坐标，然后求得的坐标表示，运用配方法及两点间的距离公式即可求得最小值.‎ ‎【详解】‎ 两边平方整理可得 ‎，则，‎ 化简可得，所以 则且，‎ 因为非零向量夹角为，，‎ 所以，，‎ 设，建立平面直角坐标系如图所示：‎ ‎ 其中，，‎ 上式表示点与点的距离的和，当P与M、N共线时上式取得最小值.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由平面向量的数量积求向量模，垂直向量的数量积关系，两点间距离公式的应用，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知向量．‎ ‎（1）若与向量垂直，求实数的值；‎ ‎（2）若向量，且与向量平行，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由代入的坐标，然后得到的坐标表示，再由与 垂直，得到，分别代入坐标，得到关于的方程，求出答案.‎ ‎（2）先得到的坐标，然后根据与平行，得到坐标关系，即关于的方程，求出答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，，‎ ‎，‎ 因为与 垂直，‎ 所以 整理得，解得．‎ ‎（2）由题意，，‎ 由（1）知，，‎ 因为与平行，‎ 所以，‎ 整理得，解得．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的坐标运算，向量平行和垂直的坐标表示，属于简单题.‎ ‎18．已知，，．‎ 求，的值；‎ 求的值．‎ ‎【答案】（1），； （2）.‎ ‎【解析】正切的二倍角公式得，再由同角三角函数关系式即可得 的值．先计算然后由角的范围即可确定角.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 且，‎ 所以：．‎ 故：，，‎ ‎，‎ 所以：，‎ 由于：．‎ 所以：，‎ 所以：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数关系式的恒等变换，考查给值求角问题，通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：用已知三角函数值的角来表示未知角，(1)已知正切函数值，则选正切函数；(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正弦、余弦皆可；若角的范围是 ，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好．‎ ‎19．已知A(2,0)，B(0,2)，，O为坐标原点．‎ ‎（1），求sin 2θ的值；‎ ‎（2）若，且θ∈(－π,0)，求与的夹角．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：(1) 先根据向量数量积得sin θ＋cos θ值，再平方得结果，(2)先根据向量的模得cos θ，即得C点坐标，再根据向量夹角公式求结果.‎ 详解：(1)∵＝(cos θ，sinθ)－(2,0)＝(cos θ－2，sin θ)，‎ ‎＝(cos θ，sin θ)－(0,2)＝(cos θ，sin θ－2)，‎ ‎＝cos θ(cos θ－2)＋sin θ(sin θ－2)＝cos2θ－2cos θ＋sin2θ－2sin θ＝1－2(sin θ＋cos θ)＝－‎ ‎∴sin θ＋cos θ＝，‎ ‎∴1＋2sin θcos θ＝，‎ ‎∴sin 2θ＝－1＝－.‎ ‎(2)∵＝(2,0)，＝(cos θ，sin θ)，‎ ‎∴＋＝(2＋cos θ，sin θ)，‎ ‎∵|＋|＝，所以4＋4cos θ＋cos2θ＋sin2θ＝7，‎ ‎∴4cos θ＝2，即cos θ＝.‎ ‎∵－π＜θ＜0，∴θ＝－，‎ 又∵＝(0,2)，＝，‎ ‎∴cos〈，〉＝，∴〈，〉＝.‎ 点睛：向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，通过解三角求得结果.‎ ‎20．设平面向量， ，函数.‎ ‎(1)求的最小正周期，并求出的单调递减区间；‎ ‎(2)若方程在内无实数根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）最小正周期为．单调递减区间为， （2）‎ ‎【解析】（1）根据向量坐标运算公式，求出的表达式，化简为标准型，从而可得周期和单调区间；‎ ‎（2）求出的值域，结合图像特点，得出范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意得 .‎ ‎∴的最小正周期为． ‎ 由，‎ 得．‎ ‎∴函数的单调递减区间为， ． ‎ ‎(2)由可得：‎ ‎∵，∴，∴令,则. ‎ 只需直线与图像没有交点即可.‎ ‎∴或者 ‎ 解得：或 ‎ 故的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图像与性质，利用恒等变换先把函数化为标准型，再结合换元法可求单调区间及最值等.‎ ‎21．已知向量，，且.‎ ‎（1）求的表达式以及的取值范围；‎ ‎（2）记函数，若的最小值为-1，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），.（2）‎ ‎【解析】(1)利用两角和与差公式以及平面向量的数量积公式可得，先求出向量模的平方的范围，再求的范围；(2)首先求出的表达式利用换元法将函数化为，以对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，求出函数的最小值列方程求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 因为 又，所以，‎ 所以，.‎ ‎（2）依题意，得.‎ 令，由（Ⅰ）知，，‎ 则有.‎ ‎①当，即时，有，舍去；‎ ‎②当，即时，有，舍去；‎ ‎③当，即，有，符合题意.‎ 综上所述，所求实数.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量的数量积，一次函数和二次函数，简单的三角恒等变换以及正弦函数的图像与性质，属于中档题.‎ ‎22．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.‎ ‎（1）设函数，试求的伴随向量； ‎ ‎（2）记向量的伴随函数为，求当且时的值；‎ ‎（3）由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）存在，‎ ‎【解析】(1)利用三角函数诱导公式化简函数得，根据题意写出伴随向量； (2)根据题意求出函数，再由及求出及，由展开代入相应值即可得解；(3) 根据三角函数图像变换规则求出的解析式，设，由得列出方程求出满足条件的点P的坐标即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵‎ ‎∴‎ ‎∴的伴随向量 ‎（2）向量的伴随函数为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（3）由（1）知：‎ 将函数的图像（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，得到函数 再把整个图像向右平移个单位长得到的图像，得到 设，∵‎ ‎∴，‎ 又∵，∴‎ ‎∴‎ ‎∴（）‎ ‎∵，∴‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴当且仅当时，和同时等于，这时（）式成立 ‎∴在的图像上存在点，使得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量坐标形式与三角函数的综合应用，涉及三角函数诱导公式，三角恒等变换，求三角函数图像变换后的解析式，向量垂直的数量积关系，属于中档题.‎