高考数学【理科】真题分类详细解析版专题12 概率（解析版） 85页

专题12 概率 ‎【2013高考真题】‎ ‎（2013·新课标I理）3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )‎ A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 D、系统抽样 ‎【答案】C；‎ ‎【解析】不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照年段分层抽样.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查随机抽样，考查学生对概念的理解.‎ ‎（2013·新课标Ⅱ理）（14）从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n=________.‎ ‎【答案】8‎ ‎（2013·上海理）10．设非零常数d是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，则方差 ‎【答案】‎ ‎【解析】，．‎ ‎【学科网考点定位】考查方差的计算，属容易题。‎ ‎（2013·‎ 上海理）8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为．‎ ‎【学科网考点定位】考查古典概型，属容易题。‎ ‎（2013·陕西理）4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 （ ）‎ ‎ (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14‎ ‎【答案】B ‎（2013·山东理）14.在区间上随机取一个数，使得成立的概率为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则，当时，成立，‎ ‎【学科网考点定位】本题把绝对值不等式和几何概型相结合来考查概率的运算，体现了几何概型“无处不在”的特点，考查了分类讨论思想和运算能力.‎ ‎（2013·辽宁理）（16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】由题意可得：，‎ 两式整理可得：，不妨设，由此可推算出 ‎【学科网考点定位】本题考查样本均值和方差的概念以及不等式知识和推理运算能力。‎ 本解析为学科网名师解析团队原创，授权学科网独家使用，如有盗用，依法追责！‎ ‎（2013·辽宁理）（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，‎ 数据的分组一次为 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】从20到60 的频率为： ，故总人数为人，选B ‎【学科网考点定位】本题考查频率分布直方图。‎ ‎（2013·湖南理）2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）‎ A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 ‎ ‎【答案】D；‎ ‎【解析】因为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，男生与女生之间存在差异，故使用分层抽样；‎ ‎【学科网考点定位】本题考查随机抽样的定义，考查学生对定义的理解.‎ ‎（2013·广东理）4．已知离散型随机变量的分布列为 X P ‎ 则的数学期望 ( )‎ A . B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】,故选A．‎ ‎【学科网考点定位】离散型随机变量的期望 ‎（2013·福建理）11. 利用计算机产生～之间的均匀随机数，则事件‘’的概率为_________‎ ‎ ‎ ‎（2013·北京理）16.( 本小题共13分)下图是某市‎3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择‎3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天 ‎（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率 ‎（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望.‎ ‎（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）‎ ‎【解析】 由图读出基本事件的总数和满足条件的事件个数，代入古典概型公式计算.X 的可能取值为0,1,2，求出相应的概率，完成分布列，代入公式求出数学期望值.连续三天的空气质量指数方差最大的是应该是这三天空气质量指数悬殊最大的.‎ ‎【答案】设表示事件“此人于3月日到达该市”，，根据题意，，且.‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 的期望为.‎ ‎（Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查了相互对立事件同时发生的概率、离散型随机变量的期望和方差.本题以图表的形式给出题意，考查了学生阅读理解能力.‎ ‎（2013·安徽理）（5）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（ ）‎ ‎（A）这种抽样方法是一种分层抽样 ‎（B）这种抽样方法是一种系统抽样 ‎（C）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 ‎（D）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 ‎【答案】C ‎【解析】一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层 叫做系统抽样。则B不正确，经过计算可知C正确.‎ ‎【学科网考点定位】抽样方法以及平均数与方差.‎ ‎（2013·大纲理）20.（本小题满分12分）‎ 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结束相互独立，第1局甲当裁判.‎ ‎（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；‎ ‎（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望.‎ ‎【答案】（Ⅰ）记表示事件“第2局结果为甲胜”，‎ ‎ 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，‎ ‎ A表示事件“第4局甲当裁判”.‎ 则. ……3分 ‎. ……6分 ‎（Ⅱ）X的可能取值为0,1,2.‎ 记表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，‎ 表示事件“第1局结果为乙胜丙”，‎ 表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，‎ 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”.‎ 则 ‎，‎ ‎， ……10分 ‎ . ……12分 查分析问题和计算能力.‎ ‎（2013·福建理）16.（本小题满分13分）‎ 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分。每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品。‎ （1） 若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,求的概率；‎ （2） 若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？‎ ‎【答案】（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分”的事件为A，则A事件的对立事件为“”， ‎ ‎，‎ 这两人的累计得分的概率为．‎ ‎（Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为，都选择方案乙抽奖中奖的次数为，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 ‎，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．‎ ‎【解析】对于概率应用的考查就注重理解题意，方法选择要恰当，比如用对立事件的方向就可以大大减少计算量。再有，注意甄别事件是否为二项分布或超几何分布也会给计算带来方便。‎ ‎【学科网考点定位】 本题主要考查古典概型、离散型随机变更的分布列、数学期望等基础知识。属容易题。‎ ‎（2013·广东理）17．（本小题满分12分）‎ 某车间共有名工人,随机抽取名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第17题图 ‎(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；‎ ‎(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.‎ 根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人；‎ ‎(Ⅲ) 从该车间名工人中,任取人,求恰有名优秀 工人的概率.‎ ‎【答案】 (Ⅰ) 样本均值为；‎ ‎ (Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为,故推断该车间名工人中有名优秀工人.‎ ‎(Ⅲ) 设事件:从该车间名工人中,任取人,恰有名优秀工人,则 ‎.‎ ‎【解析】(1)根据茎叶图得到各个数据，然后利用均值公式直接求解，注意计算的准确性；（2）根据样本中优秀工人占的比例进行推断即可；（3）明确有名优秀工人来源于4名工人中的一个，然后利用组合的知识和随机事件的概率公式求解.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查茎叶图、均值和随机事件的概率问题.‎ ‎（2013·湖南理）18．（本小题满分12分）‎ 某人在如图4所示的直角边长为‎4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过‎1米。‎ ‎（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；‎ ‎（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。‎ ‎【答案】（1）所种植物的总数为15，其中三角形内部有3株， 边界上有12株；从三角形内部和边界上分别随机选取一株不同结果有，满足条件的有3+3+2=8；故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为；‎ ‎（2）先求从所种作物中选取的一株作物的年收获量的分布列，因为 ‎，‎ 所以只需求出即可，‎ 记为其“相近”作物恰有k株的作物株数，则；‎ 由得:‎ ‎，‎ 所求分布列为 X ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎43‎ P 故所求期望 ‎【解析】（1）利用排列组合的原理进行计算；（2）根据 ‎“”进行转化，列出分布列，求出期望.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查排列组合知识、离散型随机变量的分布列以及期望，考查学生的逻辑推理能力.‎ ‎（2013·安徽理）（21）（本小题满分13分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有位学生，每次活动均需该系位学生参加（和都是固定的正整数）。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系位学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 ‎（Ⅰ）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；‎ ‎（Ⅱ）求使取得最大值的整数。‎ ‎，所以最后的结果就能求出；第（2）题考查的考点比较多，而且和都是变量，‎ 为整数，需要讨论，还需要考虑是否成立的问题，于是，接下来一方面需要讨论是否为整，另一方面要证明，详细的解答如下.‎ ‎【答案】设事件A：“学生甲收到李老师所发信息”，事件B：“学生甲收到张老师所发信息”，由题意A和B是相互独立的事件，则与 相互独立，‎ 而 所以 因此，学生甲收到活动通知信息的概率为 ‎.‎ （2） 当时，只能取，有 当，整数满足，其中是和中的较小者.“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给位同学”所包含的基本事件总数为.‎ 当时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为，仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数为，则由乘法计数原理知：事件所含基本事件数为 ‎，故在和处达到最大值；‎ 则当不能被整除时，在处达最大值.（注：表示不超过的最大整数）.‎ 下证：‎ 因为，所以，‎ ‎，故，显然.‎ 因此.‎ ‎【学科网考点定位】考查古典概型，计数原理，分类讨论思想等基础知识.，以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.‎ ‎（2013·江西理）18.（本小题满分12分）‎ 小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从，‎ ‎（如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X。若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队。‎ ‎（1）求小波参加学校合唱团的概率；‎ ‎（2）求X的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】（1）因为X满足=0的是两个垂直的向量有8个，从8个向量中任取2个乘积共有种，所以小波参加学校合唱团的概率为 (2) 由题意知X可能取值有-2，-1,0,1，‎ X的分布列如下：‎ X ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎（2013·辽宁理）19．（本小题满分12分）‎ 现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答. ‎ ‎（I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；‎ ‎（II）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是 ‎，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数，求的分布列和数学期望.‎ 所求的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎【解析】第一小问可以从两个方面去思考，一是间接法，就是张同学1道乙类题都没有取到的取法是多少？二是直接法，就是取一道乙类题和两道甲类体；两道乙类题和一道甲类体；三道乙类题。三种情况加起来就是共有多少种取法。第二问一是思考随机变量的所有可能取值，二是算出对应的概率，其中X=1和X=2要注意有两种情形。最后利用数学期望的公式求解。‎ ‎【学科网考点定位】本题考查古典概型，随机变量的分布列和数学期望的定义。‎ ‎（2013·山东理）19．（本小题满分12分）‎ ‎ 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是。假设各局比赛结果相互独立。‎ ‎（Ⅰ）分别求甲队以胜利的概率；‎ ‎（Ⅱ）若比赛结果为求或，则胜利方得分，对方得分；若比赛结果为，则胜利方得分、对方得分。求乙队得分的分布列及数学期望。‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）‎ ‎【解析】解法一 （Ⅰ）设甲胜局次分别为负局次分别为 ‎（Ⅱ）根据题意乙队得分分别为 所以乙队得分的分布列为 解法二（Ⅰ）记“甲队以3：0胜利”为事件，“甲队以3：1胜利”为事件，“甲队以3：2胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立，‎ 所以，甲队以3：0,3:1,3:2胜利的概率分别是，，；‎ ‎（Ⅱ）设“乙队以3:2胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立，所以 由题意，随机变量的所有可能的取值为0,1,2,3，，根据事件的互斥性得 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以。‎ ‎【学科网考点定位】本题考查了独立事件互斥事件的识别与概率运算、离散型随机变量的分布列和期望，要注意对不同事件的合理表述，便于书写过程。服从于二项分布，可用概率公式进行运算，也可以采用罗列方式进行 ，是对运算能力的常规考查.‎ ‎（2013·陕西理）19. (本小题满分12分) 在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手. ‎ ‎ (Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率; ‎ ‎ (Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望. ‎ ‎【解析】本题考查涉及排列组合、概率、随机变量分布列和期望问题，(Ⅰ)问中考查了“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”互斥事件同时发生的概率，也可以利用树形图解决。(Ⅱ)问中要注意分布列性质运用，验证概率总合是否为1。此类问题在高考中属于常考重点题型，必须熟练掌握。‎ ‎【答案】(Ⅰ) 由于观众甲必选1，不选2，则观众甲选中3号歌手的概率为 ‎，观众乙未选中3号歌手的概率为，甲乙选票彼此独立，故观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为. ‎ ‎(Ⅱ)X的所有可能取值为0,1,2,3.由(Ⅰ)知，观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙选中3号歌手的概率为，则观众丙选中3号歌手的概率也为，则 则X的分布列如下：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎。‎ ‎【学科网考点定位】本题考查排列组合、概率、随机变量分布列和期望问题。属于中档题。‎ ‎（2013·天津理）(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). ‎ ‎(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率. ‎ ‎(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望. ‎ ‎【解析】(Ⅰ)设“取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片”为事件A，则 ‎.‎ 所以取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率为.‎ ‎(Ⅱ) 随机变量X的所有可能取值为1，2，，3，4，‎ ‎，，，，‎ 所以随机变量X的分布列是 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 随机变量X的数学期望.‎ ‎【解题思路与技巧】本题第（Ⅰ）问，求古典概型的概率，列举出试验所有的结果与事（2013·浙江理）19.设袋子中装有个红球，个黄球，个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，‎ 取出一个黄球2分，取出蓝球得3分。‎ ‎（Ⅰ）当时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，.求分布列；‎ ‎（Ⅱ）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量为取出此球所得分数.若，求 ‎【解析】此题关键是读懂题目的意思，即搞清楚游戏的规则，取球是有放回的且取出球 量的期望和方差的计算公式列出关于的方程即可求出他们关系；‎ ‎（Ⅰ）由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时，此时；当两次摸到的球分别是黄黄，红蓝，蓝红时，此时；当两次摸到的球分别是红黄，黄红时，此时；当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时，此时；当两次摸到的球分别是蓝蓝时，此时；所以的分布列是：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎（Ⅱ）由已知得到：有三种取值即1,2,3，所以的分布列是：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以：，所以 ‎【学科网考点定位】此题考查概率与统计，考查离散型随机变量的分布列及期望和方差的计算；‎ ‎；若服从正态分布，即；‎ ‎（2013·新课标Ⅱ理）（19）（本小题满分12分）‎ 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品。以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内经销该农产品的数量，T表示利润.‎ ‎（Ⅰ）将T表示为x的函数 ‎（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;‎ ‎（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x,则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110，求T的数学期望.‎ ‎【解析】（Ⅰ）当时，=，‎ 当时，，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知利润T不少于57000元，当且仅当，‎ 由直方图知需求量的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.‎ ‎（Ⅲ）由题意可得T的分布列为 T ‎45000‎ ‎53000‎ ‎61000‎ ‎65000‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ 所以=.‎ ‎（2013·新课标I理）19、（本小题满分12分）‎ 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。‎ 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立 ‎（1）求这批产品通过检验的概率；‎ ‎（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。‎ ‎【答案】（1）记该批产品通过检验为事件A；则；‎ ‎（2）X的可能取值为400、500、800；‎ ‎，，，则X的分布列为 X ‎400‎ ‎500‎ ‎800‎ P ‎【解析】（1）利用相互独立事件模型计算概率；（2）在（1）的基础上，利用对立事件算出X为400、500、800时的概率，进而列出分布列，求出期望.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查相互独立事件的概率计算、离散型随机变量的分布列、期望，考查学生的逻辑推理能力以及基本运算能力.‎ ‎【2012高考真题】‎ ‎（2012·浙江卷）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．‎ ‎(1)求X的分布列；‎ ‎(2)求X的数学期望E(X)．‎ X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎(2)由(1)知 E(X)＝3·P(X＝3)＋4·P(X＝4)＋5·P(X＝5)＋6·P(X＝6)＝.‎ ‎2012·重庆卷）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．‎ ‎【答案】.　‎ ‎【解析】 6节课共有A＝720种排法，相邻两节文化课间最多间隔1‎ 节艺术课排法分两类：‎ ‎(1)两节相邻文化课之间没有艺术课间隔：可将三节文化课捆绑为一个元素，然后再与另三节艺术课进行全排列，排法有AA＝144种；‎ ‎(2)三节文化课间都有1节艺术课间隔：有“文艺文艺文艺”与“艺文艺文艺文” 两种形式，（2012·上海卷）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】 考查古典概率和组合问题，关键是把情况分析清楚，不要漏掉或者重复情况．‎ 所有的可能情况有CCC，满足条件有且仅有两人选择的项目完全相同的情况有 CCC，由古典概率公式得P＝＝.‎ ‎（2012·江苏卷）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】 本题考查等比数列的通项公式的运用以及古典概型的求解．解题突破口为等比数列通项公式的运用．由通项公式an＝1×(－3)n－1得，满足条件的数有1，－3，－33，－35，－37，－39，共6个，从而所求概率为P＝.‎ ‎（2012·福建卷）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：‎ 品牌 甲 乙 首次出现故 障时间x(年)‎ ‎0＜x≤1‎ ‎1＜x≤2‎ x＞2‎ ‎0＜x≤2‎ x＞2‎ 轿车数量(辆)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎45‎ ‎5‎ ‎45‎ 每辆利润(万元)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1.8‎ ‎2.9‎ 将频率视为概率，解答下列问题：‎ ‎(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；‎ ‎(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；‎ ‎(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．‎ X1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X2的分布列为 X2‎ ‎1.8‎ ‎2.9‎ P ‎(3)由(2)得，E(X1)＝1×＋2×＋3×＝＝2.86(万元)，‎ E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．‎ 因为E(X1)＞E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．‎ ‎（2012·广东卷）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D　‎ ‎【解析】 本题考查利用古典概型求解概率以及两个基本计数原理，解决本题的突破口是首先确定符合条件的两位数的所有个数，再找到个位是0的个数，利用公式求解，‎ 设个位数与十位数分别为y，x，则如果两位数之和是奇数，则x，y分别为一奇数一偶数：‎ 两类共计45个，其中个位数是0，十位数是奇数的两位数有10,30,50,70,90这5个数，所以个位数是0的概率为：P(A)＝＝.‎ ‎（2012·辽宁卷）在长为‎12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于‎32 cm2的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】C　‎ ‎【解析】 本小题主要考查几何概型．解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比．‎ 令AC＝x，CB＝12－x，这时的面积为S＝x(12－x)，根据条件S＝x(12－x)<32⇒x2－12x＋32>0⇒02)＝0.5；‎ X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，‎ 所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；‎ P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.5‎ ‎0.49‎ ‎0.01‎ EX＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.‎ ‎（2012·辽宁卷）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图．‎ 图1－6‎ 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．‎ ‎(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中．采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次．记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．‎ 附：χ2＝，‎ P(χ2≥k)‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【解析】解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(X)＝np＝3×＝.‎ D(X)＝np(1－p)＝3××＝.‎ ‎（2012·课标全国卷）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．‎ ‎(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；‎ ‎(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：‎ 日需求量n ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．‎ ‎①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；‎ ‎②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17‎ 枝？请说明理由．‎ X ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.7‎ X的数学期望为 EX＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.‎ X的方差为 DX＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.‎ ‎②答案一：‎ 花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：‎ 若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为 Y ‎55‎ ‎65‎ ‎75‎ ‎85‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.16‎ ‎0.54‎ Y的数学期望为 EY＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.‎ Y的方差为 Y ‎55‎ ‎65‎ ‎75‎ ‎85‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.16‎ ‎0.54‎ Y的数学期望为 EY＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.‎ 由以上的计算结果可以看出，EX2)＝0.5；‎ X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，‎ 所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y>1)＋P(Y＝2)‎ ‎＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；‎ X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，‎ 所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.5‎ ‎0.49‎ ‎0.01‎ EX＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.5‎ ‎0.49‎ ‎0.01‎ EX＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.‎ ‎（2012·北京卷）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 ‎400‎ ‎100‎ ‎100‎ 可回收物 ‎30‎ ‎240‎ ‎30‎ 其他垃圾 ‎20‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；‎ ‎(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；‎ ‎(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．‎ 注：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数 事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，‎ 即P()约为＝0.7，‎ 所以P(A)约为1－0.7＝0.3.‎ ‎(3)当a＝600，b＝c＝0时，s2取得最大值．‎ 因为＝(a＋b＋c)＝200，‎ 所以s2＝[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80 000.‎ ‎（2012·辽宁卷）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图．‎ 图1－6‎ 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．‎ ‎(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中．采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次．记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．‎ 附：χ2＝，‎ P(χ2≥k)‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【解析】解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得 一名“体育迷”的概率为.‎ 由题意X～B，从而X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(X)＝np＝3×＝.‎ D(X)＝np(1－p)＝3××＝.‎ ‎（2012·四川卷）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.‎ ‎(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；‎ ‎(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ.‎ ‎【解析】解： (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P()＝1－·p＝ ‎.‎ ‎＝，所以，随机变量ξ的概率分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故随机变量ξ的数学期望：‎ Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎【2011高考真题】‎ ‎1. (2011年高考广东卷理科6)甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】D.由题得甲队获得冠军有两种情况，第一局胜或第一局输第二局胜，所以甲队获得冠军的概率所以选D.‎ ‎2．(2011年高考湖北卷理科7)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连成一个系统.当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 A.0.960 B.‎0.864 ‎C.0.720 D.0.576‎ 答案：B ‎ 解析：系统正常工作概率为，所以选B.‎ ‎3．(2011年高考陕西卷理科10)甲乙两人一起去“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览有种，且等可能，最后一小时他们同在一个景点有种，则最后一小时他们同在一个景点的概率是，故选D ‎4. (2011年高考四川卷理科12)在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量a=（a,b）.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积不超过的平行四边形的个数为，则( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 答案：B 解析：基本事件：.其中面积为2的平行四边形的个数；其中面积为4的平行四边形的为； m=3+2=5故. ‎ ‎5.(2011年高考浙江卷理科15)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率为，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记 为该毕业生得到面试得公司个数。若，则随机变量的数学期望 ‎ ‎【答案】‎ ‎6. (2011年高考江西卷理科12)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】小波周末不在家看书包含两种情况:一是去看电影;二是去打篮球;所以小波周末不在家看书的概率为.‎ ‎7. (2011年高考湖南卷理科15)如图4，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则（1） ;（2） .‎ 答案：; ‎ 解析：（1）是几何概型：；（2）是条件概率：.‎ ‎8. (2011年高考湖北卷理科12)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期的概率为 （结果用最简分数表示）‎ 答案： ‎ 解析：因为30瓶饮料中未过期饮料有30-3=27瓶，故其概率为.‎ ‎9.(2011年高考重庆卷理科13)将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为 ‎ 答案：‎ 解析：硬币投掷6次，有三类情况，①正面次数比反面次数多；②反面次数比正面次数个的两倍的概率是.‎ ‎11. (2011年高考山东卷理科18)（本小题满分12分）‎ 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。‎ ‎（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；‎ ‎（Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.‎ ‎【解析】（Ⅰ）红队至少两名队员获胜的概率为=0.55.‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.35‎ ‎0.4‎ ‎0.15‎ 数学期望=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.‎ ‎12. (2011年高考天津卷理科16)（本小题满分13分）‎ 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）‎ ‎（Ⅰ）求在一次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）求在两次游戏中获奖次数的分布列及数学期望.‎ ‎【解析】本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）由题意可知的所有可能取值为0,1,,2,‎ 所以的分布列是 ‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 的数学期望=+=.‎ ‎ 13.(2011年高考江西卷理科16)（本小题满分12分）‎ 某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4‎ 杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．‎ ‎ （1）求X的分布列；‎ ‎ （2）求此员工月工资的期望．‎ 解析：（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，‎ 则，所以所求的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎（2）设Y表示该员工的月工资，则Y的所有可能取值为3500，2800，2100，‎ 相对的概率分别为，，，‎ 所以．‎ 所以此员工工资的期望为2280元．‎ 本题考查排列、组合的基础知识及概率分布、数学期望．‎ ‎14.(2011年高考湖南卷理科18)（本小题满分12分）某商店试销某种商品20‎ 天，获得如下数据：‎ 日销售量（件）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎5‎ 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变）.设某天开始营业时由该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货.将频率视为概率.‎ 求当天商店不进货的概率；‎ 记为第二天开始营业时该商品视为件数，求的分布列和数学期望.‎ ‎【解析】解：=+‎ 由题意知，的可能取值为2，3.‎ ‎+‎ 故的分布列为 所以的数学期望为.‎ ‎15. (2011年高考广东卷理科17)（本小题满分13分）‎ 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：‎ ‎（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；‎ ‎（2）当产品中的微量元素x，y满足≥175且y≥75，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；‎ ‎（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）.‎ ‎【解析】解：（1），即乙厂生产的产品数量为35件。‎ ‎ （2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品 ‎ 故乙厂生产有大约（件）优等品，‎ ‎ （3）的取值为0，1，2。‎ ‎ ‎ ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 故 ‎26.(2011年高考陕西卷理科20)（本小题满分13分）‎ 如图，A地到火车站共有两条路径 和 ，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：‎ 时间（分钟）‎ 的频率 ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎ 的频率 ‎0‎ ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。‎ ‎（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？‎ ‎（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望。‎ ‎【解析】（Ⅰ） 表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到火车站”， 表示事件 ‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.04‎ ‎0.42‎ ‎0.54网]‎ ‎ ‎ ‎26. (2011年高考全国卷理科18) (本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立 ‎(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；‎ ‎(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求的期望。 ‎ ‎【解析】设该车主购买乙种保险的概率为，由题：，解得 ‎（Ⅰ）设所求概率为，则故该地1位车主至少购买27．(2011年高考福建卷理科19)（本小题满分13分）‎ 某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准 ‎（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ P ‎0．4‎ a b ‎0．1‎ 且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；‎ ‎（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：‎ ‎ 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4‎ ‎ 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3‎ ‎8 3 4 3 4 4 7 5 6 7‎ 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．‎ ‎ （III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．‎ 注：（1）产品的“性价比”=；‎ ‎ （2）“性价比”大的产品更具可购买性．‎ 又由X1的概率分布列得 由 ‎（II）由已知得，样本的频率分布表如下：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎0．3‎ ‎0．2‎ ‎0．2‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ P ‎0．3‎ ‎0．2‎ ‎0．2‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ 所以 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.‎ ‎（III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：‎ 因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为 因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为 据此，乙厂的产品更具可购买性。‎ ‎【2010年高考真题】‎ ‎（2010辽宁理数）（3）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为 和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ‎（A） (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，则P(A)=P(A1)+ P(A2)=‎ ‎（2010江西理数）11.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为和，则 A. = B. < C. > D。以上三种情况都有可能 ‎【答案】B ‎【解析】考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。本题是北师大版新课标的课堂 ‎（2010重庆理数）（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为 ‎，则该队员每次罚球的命中率为____________.‎ 解析：由得 ‎（2010北京理数）(17)(本小题共13分) www.@ks@5u.com 某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；‎ ‎(Ⅱ)求，的值；‎ ‎(Ⅲ)求数学期望ξ。‎ ‎【解析】解：事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知 ‎，，‎ （I） 由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以 （II） ‎（III）由题意知 ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎（2010四川理数）（17）（本小题满分12分）w_w w. k#s5_u.c o*m 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。‎ ‎（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.‎ ‎【解析】‎ 所以中奖人数ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P Eξ=0×+1×+2×+3×=………………………………………………12分 ‎（2010天津理数）（18）.（本小题满分12分）‎ 某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。‎ ‎（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率 ‎（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；‎ ‎（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列。‎ ‎【解析】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。‎ ‎（1）解：设为射手在5次射击中击中目标的次数，则~.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率 ‎（Ⅱ）解：设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5‎ 次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则 ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎（Ⅲ）解：由题意可知，的所有可能取值为 所以的分布列是 ‎（2010江苏卷）22.本小题满分10分）‎ 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。‎ （1） 记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；‎ （2） 求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。‎ ‎【解析】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。‎ 解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且 ‎ P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=5）=0.2×0.9=0.18，‎ ‎ P（X=2）=0.8×0.1=0.08， P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。‎ ‎ 由此得X的分布列为：‎ X ‎10‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎-3‎ P ‎0.72‎ ‎0.18‎ ‎0.08‎ ‎0.02‎ ‎【2009年高考真题】‎ ‎ ( 2009·山东理)在区间-1，1：上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为( )．‎ A． B． C． D． ‎ 解析：在区间-1，1：上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或∴或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为．故选A．‎ 答案:A ‎ ( 2009·山东文)在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为( )．‎ A． B． C． D． ‎ 解析：在区间 上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或，区间长度为，由几何概型知的值介于0‎ 到之间的概率为．故选A． ‎ 答案:A ‎（2009·安徽理）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 ‎ A B C D E F ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解析：如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有 所求概率为0．2。‎ ‎（2009·广东理）（本小题满分12分）‎ 根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：‎ 对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间，，，，，进行分组，得到频率分布直方图如图5． ‎ ‎（1）求直方图中的值； ‎ ‎（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；‎ ‎（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率．‎ ‎（结果用分数表示．已知，， ，）‎ ‎【解析】解：（1）由图可知 ‎．‎ ‎14．（2009·浙江理）（本题满分14分）在这个自然数中，任取个数．‎ ‎ （I）求这个数中恰有个是偶数的概率；‎ ‎（II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数 和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望．‎ 解析：（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则；． ‎ ‎（II）随机变量的取值为的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以的数学期望为 ． ‎ ‎ ( 2009·山东理)(本小题满分12分)‎ 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q为0．25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎5 ‎ p ‎ ‎0．03 ‎ P1 ‎ P2 ‎ P3 ‎ P4 ‎ （1） 求q的值； ‎ （2） 求随机变量的数学期望E;‎ （3） 试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。‎ ‎【解析】解:（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0．25,, P(B)= q,．‎ 根据分布列知: =0时=0．03,所以，q=0．8．‎ 所以随机变量的分布列为 ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎5 ‎ p ‎ ‎0．03 ‎ ‎0．24 ‎ ‎0．01 ‎ ‎0．48 ‎ ‎0．24 ‎ 随机变量的数学期望 ‎（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为 ‎;‎ 该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0．48+0．24=0．72．‎ 由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大．‎ ‎18．（2009·安徽文）（本小题满分12分）‎ ‎ 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照 试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：． ‎ 品种A:357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，414，‎ ‎ 415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，451，454‎ 品种B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，395，397‎ ‎ 397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430‎ ‎（Ⅰ）完成所附的茎叶图 ‎（Ⅱ）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？． ‎ ‎（Ⅲ）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论。‎ 解析：（1）茎叶图如图所示 A B ‎9 7‎ ‎35‎ ‎8 7‎ ‎36‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎37‎ ‎1 4‎ ‎8‎ ‎38‎ ‎3 5 6‎ ‎9 2‎ ‎39‎ ‎1 2 4 457 7‎ ‎5 0‎ ‎40‎ ‎0 1 1 3 6 7‎ ‎5 4 2‎ ‎41‎ ‎0 2 5 6‎ ‎7 3 3 1‎ ‎42‎ ‎2‎ ‎4 0 0‎ ‎43‎ ‎0‎ ‎5 5 3‎ ‎44‎ ‎4 1‎ ‎45‎ ‎（2）用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况,而且可以看出每组中的具体数据．‎ ‎（2009·宁夏海南理）（本小题满分12分）‎ 某工厂有工人1000名， 其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。‎ ‎（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人； ‎ ‎（II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2．‎ 表1：‎ 生产能力分组 人数 ‎4‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎3‎ 表2：‎ 生产能力分组 人数 ‎ 6‎ ‎ y ‎ 36‎ ‎ 18‎ ‎（i）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论） ‎ ‎（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均为，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为 ‎ ‎　　　 ．‎ ‎ （Ⅱ）（i）由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名．‎ ‎ 故 ，得，‎ ‎　　　 ，得 ． ‎ ‎ 频率分布直方图如下 ‎ 从直方图可以判断：B类工人中个体间的关异程度更小 ．‎ ‎ （ii） ，‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的会计值分别为123，133．8和131．1 ．‎ ‎【2008年高考真题】‎ ‎（2008·山东理）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 ‎（A）　　　　　　　　　　　　　　　　（B）‎ ‎（C）　　　　　　　　　　　　　　　（D）‎ 答案：B ‎2．（2008·江苏）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 。‎ 解析：本小题考查古典概型。基本事件共个，点数和为4的有、、共3个，故。‎ 答案：‎ ‎3．（2008·江苏）在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率为 。‎ ‎ 答案：‎ ‎（2008·海南、宁夏理）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门 对某校6名学生进行问调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10。把这6名学生的得分看成一个总体。‎ ‎（1）求该总体的平均数；‎ ‎（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总 体平均数之差的绝对值不超过0．5的概率。‎