湖南省长郡中学2015届高三第五次月考数学（理）试题（PDF版） 12页

书书书 炎德!英才大联考理科数学!长郡版"!"!!!! 题 ! ! 答 ! ! 要 ! ! 不 ! ! 内 ! ! 线 ! ! 封 ! ! " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 密 ! 号 ! 学 ! 名 ! 姓 ! 级 ! 班 ! 校 ! 学 炎德!英才大联考长郡中学#$"%届高三月考试卷!五" 数!学!理科" 长郡中学高三数学命题组组稿 得分#!!!!!!! !!本试题卷包括选择题$填空题和解答题三部分%共&页&时量"#$分钟& 满分"%$分& 一$选择题#本大题共!"小题%每小题#分%共#"分!在每小题给出的四个选 项中%只有一项是符合题目要求的$ "!复数 #' #!'所对应的点位于复平面内 ()第一象限 *)第二象限 +)第三象限 ,)第四象限 #!已知离散型随机变量" 的分布列为 " " # - # - % - "$ " "$ 则" 的数学期望$!"". ()- # *)# +)% # ,)- -!已知%!&"是定义在 %上的奇函数%当&#$时%%!&".&#!-&%则函数 '!&".%!&"!&/-的零点的集合为 ()'"%-( *)'!-%!"%"%-( +)' 槡#! 0%"%-( ,)' 槡!#! 0%"%-( 1!在!"/&"2!"/("1 的展开式中%记&)(* 项的系数为%!)%*"%则%!-%$"/ %!#%""/%!"%#"/%!$%-". 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()#$"- *)#$"1 +)#$"% ,)#$"2 选择题答题卡 题!号 " # - 1 % 2 0 & 3 "$ 得分 答!案 炎德!英才大联考理科数学!长郡版"!-!!!! 二$填空题#本大题共&小题%考生作答#小题%每小题#分%共'#分!把答案 填在答题卡中对应题号后的横线上! !一"选做题!请考生在第!!%!'%!(三题中任选两题作答%如果全做%则按前 两题记分" ""!如图%,- 是半圆6 的直径%点7在半圆上%78*,-%垂足为8%且,8. %8-%设+768."%则:;6"的值为!!!!!!! "#!已知在平面直角坐标系&6( 中%圆 7 的参数方程为 & 槡. -/-897" (."/-7'6 , - . " % !"为参数"%以 6& 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系%直 线9 的 极 坐 标 方 程 为 #897"/!! "2 .$%则圆7截直线9所得的弦长为!!!!!! "-!不等式 &/" & #(0!#(/7'6(对一切非零实数&%(均成立%则实数0 的取值范围为!!!!!! !二"必做题!!)!!&题" "1!已知点, 是不等式组 &!-(/"/$ &/(!-/$ &# , - . " 所表示的平面区域内的一个动点% 点-!!"%""%6为坐标原点%则 0116,. 0116-的取值范围是!!!!!! "%!如 图%已 知 过 椭 圆&# 0# /(# 1# ."!0212$"的 左 顶 点 ,!!0%$"作直线9交( 轴于点#%交椭圆于点 :%若 3,6# 是等腰三角形%且 011#:.# 011:,%则椭圆的离心率 为!!!!!! "2!等边3,-7的边长为#%取各边的三等分点并连线%可以将3,-7 分成 如图所示的3个全等的小正三角形%记这3个小正三角形的重心分别为 ;"%;#%;-%-%;3%则(!,;011 "/-;011 ""/!,;011 #/-;011 #"/-/!,;011 3/-;011 3"( .!!!!!! 炎德!英才大联考理科数学!长郡版"!1!!!! 三$解答题#本大题共&小题%共*#分!解答应写出文字说明$证明过程或演 算步骤! "0!!本小题满分"#分" 某车间甲组有"$名工人%其中有1名女工人,乙组有%名工人%其中有- 名女工人%现采用分层抽样方法!层内采用不放回简单随机抽样"从甲$ 乙两组中共抽取-名工人进行技术考核! !""求从甲$乙两组各抽取的人数, !#"记$表示抽取的-名工人中男工人数%求$的分布列及数学期望! "&!!本小题满分"#分" 在3,-7中%角,%-%7的对边分别是0%1%2%若槡-08977.27'6,! !""求角7的大小, !#"若0.-%3,-7的面积为 槡- - # %求 0117,. 011,-的值! 炎德!英才大联考理科数学!长郡版"!%!!!! "3!!本小题满分"#分" 如图%在四棱锥 #!,-78 中%底面 ,-78 为矩形% #,*平面,-78%,-.#,."%,8 槡. -%<是#- 中 点%$ 为-7 上一点! !""求证#,<*平面#-7, !#"当-$ 为何值时%二面角7!#$!8 为1%0!"6#0"! 由 (!&)6"0$ (6)( !&0$ &解得 (0# )(0" &即'!#&""此时,=:50!#6"0!"! 故!"&,&"&故答案为)!"&"*! "%! 槡# % % !$解析%1)$"- 是等腰三角形&$!!+&$"&2-!$&+"! 设.!($&)$"&1 '((-.0# '((.$&2!($&)$!+"0#!!+!($&!)$"! 炎德!英才大联考理科数学参考答案!长郡版"!#!!!! 2 ($0!#+!#($ )$!+0!#)( $ &解得 ($0!# &+ )$0" & * + , + ! 代入椭圆方程得 ' ++# +# 6 " ++# /# 0"&化为/# +# 0" %!2001 + 0 "!/# +槡 # 0 槡# % % !故答案为 槡# % % ! "(! 槡( &!$解析%1)$%&为等边三角形&边长为#& 2$'0%20# &&"34'(( ""0槡& +&且 '(($'6 '((%20!& 2"!$4'(( "6%4'(( ""6"6!$4'(( +6%4'(( +"" 0 " # '(($'634'(( "6% # '((%2634'((! "" 6"6 % # '(($'634'(( "6" # '((%2634'((! "" 0 %'34'(( " 槡0( &!故答案为 槡( &! 三#解答题 ")!解'!""因为甲组有"$名工人&乙组有%名工人&从甲#乙两组中共抽取&名工人进行技术考核&根据分层抽 样的原理可直接得到&在甲中抽取#名&乙中抽取"名! !'分"!!!!!!!!!!!!!!!!!! !#"#的可能取值为$&"&#&&& -!#0$"0/# ' /# "$ !/" & /" % 0( )%& -!#0""0/" '/" ( /# "$ !/" & /" % 6/# ' /# "$ !/" # /" % 0#* )%& -!#0&"0/# ( /# "$ !/" # /" % 0"$ )%& -!#0#"0"!-!#0$"!-!#0""!-!#0&"0&" )%! #的分布列为 # $ " # & - ( )% #* )% &" )% "$ )% 故3#0$;( )%6";#* )%6#;&" )%6&;"$ )%0* %! !"#分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! "*!解'!"" 槡1 &+789&019:5$& 由正弦定理得'槡&9:5$789&09:5&9:5$&1$-$-"&29:5$.$& 槡2 &789&09:5&&即345& 槡0 &&又$-&-"&2&0" &! !(分"!!!!!!!!!!!!!!!!!! !#"1+0&&)$%&的面积为 槡& & # &250" #+/9:5&0" #;&/9:5 " &0 槡& & # &2/0#& 由余弦定理得'1#0'6+!(0)&即1 槡0 )&789$0##6!槡)"#!&# 槡#;#; ) 0槡) "'& 则 '((&$! '(($%0/1789!"!$" 槡0# ); !槡)! ""' 0!"! !"#分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! "+!解'!""证明'以$ 为原点&$' 为( 轴&$% 为) 轴&$- 为,轴&建立空间直角坐标系& 1$%0-$0"&$' 槡0 &&2 是-% 中点&2$!$&$&$"&-!$&$&""&%!$&"&$"&&!槡&&"&$"&'!槡&&$&$"& '((-%0!$&"&!""&'((-&0!槡&&"&!""&2 $&" #&! "" # &'(($20 $&" #&! "" # &1 '(($2! '((-%0$&'(($2! 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