内蒙古呼和浩特市2020届高三下学期第一次普查调研考试数学（文）试题 24页

2020 年呼和浩特市高三年级第一次质量普查调研考试 文科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分答卷前，考生务必将自 己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上本试卷满分 150 分，考试时间 120 分 钟. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选 项中只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 解不等式可得集合 B，再根据交集运算即可求得 . 【详解】解不等式可得集合 ， 由交集运算可知 ， 故选：B. 【点睛】本题考查了一元二次不等式解法，集合交集的简单运算，属于基础题. 2.若复数 ，则当 时，复数 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B { | 0 3}A x Z x= ∈ ≤ ≤ { | ( 1)( 2) 0}B x x x= + − ≤ A B = {1,2} {0,1,2} { | 0 2}x x≤ ≤ { | 1 3}x x− ≤ ≤ A B { | 1 2}B x x= − ≤ ≤ {0,1,2{ | 0 3} { | 1 2 }}x Z x xA xB ∈ ≤ ≤ ∩ − ≤ == ≤ cos sinz iα α= + 2 π α π< < z 【解析】 【分析】 根据角的范围，结合复数的几何意义，即可判断出点的符号，进而得复数 在复平面内对应的 点所在象限. 【详解】复数 ，在复平面内对应的点为 ， 当 时， ， 所以对应点的坐标位于第二象限， 故选：B. 【点睛】本题考查了复数 几何意义，三角函数符号的判断，属于基础题. 3.在等差数列 中，若 ， ，则 （ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等差数列通项公式，可得关于首项与公差的方程组，解方程组即可得首项与公差，进而 由等差数列通项公式求得 . 【详解】在等差数列 中， ， ， 根据等差数列通项公式，设公差为 ， 可知 ，解得 ， 故 ， 故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的基本量计算，属于基础题. 4.如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》向题的统计图（每 的 z cos sinz iα α= + ( )cos ,sinα α 2 π α π< < cos 0,sin 0α α< > { }na 1 2 5a a+ = 3 4 15a a+ = 5 6a a+ = 5 6a a+ { }na 1 2 5a a+ = 3 4 15a a+ = d 1 1 1 1 5 2 3 15 a a d a d a d + + =  + + + = 1 5 4 5 2 a d  =  = 5 6a a+ 1 14 5a d da+= + + 1 9 22 5a d+= = 个受访者都只能在问卷的 5 个活动中选择一个），以下结论错误的是（　　） A. 回答该问卷的总人数不可能是 100 个 B. 回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多 C. 回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少 D. 回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少 8 个 【答案】D 【解析】 【分析】 先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解． 【详解】对于选项 A，若回答该问卷的总人数不可能是 100 个，则选择③④⑤的同学人数不 为整数，故 A 正确， 对于选项 B，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故 B 正确， 对于选项 C，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故 C 正确， 对于选项 D，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%，故 D 错 误， 故选 D． 【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理，属中档题． 5.若 5 件产品中包含 2 件废品，今在其中任取两件则取出的两件中至少有一件是废品的概率是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，三件不是废品标记为 ，两件废品为 ；利用列举法列举出所有可能，即 3 10 2 5 3 5 7 10 , ,A B C 1,2 可得在其中任取两件则取出的两件中至少有一件是废品的概率. 【详解】若 5 件产品中包含 2 件废品，则有三件不是废品，标记为 ，两件废品为 ； 在其中任取两件的所有取法有： ； 取出的两件中至少有一件是废品的为 ， 则在其中任取两件则取出的两件中至少有一件是废品的概率是 ； 故选：D. 【点睛】本题考查了古典概型概率的求法，列举法求古典概型概率，属于基础题. 6.已知 ， ， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用对数的运算性质，结合不等式性质可证明 ，从而比较 大 小；根据对数性质可比较 与 大小，即可得解. 【 详 解 】 由 对 数 函 数 性 质 可 知 ， ， 而由 因为 ， 所以 ， 因而 ，即 所以 , ,A B C 1,2 , , , 1, 2, 1, 2, 1, 2,12AB AC BC A A B B C C 1, 2, 1, 2, 1, 2,12A A B B C C 7 10 2log 3a = 2 1log 31 2b  =    5log 6c = b a c> > b c a> > c a b> > c b a> > ( ) ( )1log 2 log 1nn nn+ + +< ,a c b ,a c ( ) ( ) ( )3 32 5 4 42 5log 3 log 6 log 3 log 4 log 4 log log l g5 o 65− = − + + −− ( ) ( ) ( )1 1 1 log 2 l1 og 2 loglog n n n n n nn n+ + + + = + ⋅+ ( ) 2 1log 2 2 n n n+ + ⋅ ≤     ( ) ( )222 2 1n n n n n+ ⋅ = + < + ( ) 2 1log 2 12 n n n+ + ⋅  <    ( ) ( )1log 2 1lo 1gn n n n + + + < ( ) ( )1log 2 log 1nn nn+ + +< ( ) ( ) ( )3 32 5 4 542log 3 log 6 log 3 log 4 log 4 log log log 6 05 5+ −− = − + − > 则 ，即 ； 而 ， 所以 ， 故选：A. 【点睛】本题考查了对数函数图像与性质的应用，由不等式证明大小关系，对数的运算与化 简，属于中档题. 7.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球若球的表面积等于圆柱 的侧面积，则球的体积与圆柱的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设球的半径为 ，表示出圆柱和球的体积，即可求得球的体积与圆柱的体积之比. 【详解】设球的半径为 ，则圆柱的底面半径为 ，圆柱的高为 ， 所以球的体积为 ， 圆柱的体积为 ， 所以球的体积与圆柱的体积之比为 ， 故选：B. 【点睛】本题考查了圆柱与球体积公式的简单应用，属于基础题. 8.已知抛物线 ， 是焦点， 是抛物线准线上一点， 为线段 与抛物线的交点， 定义 .当点 坐标为 时， （ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 2 5log 3 log 6> 2 a c> > 2 2 2 1log 13 log log 332 22 31b − =    = = = b a c> > 1 2 2 3 3 4 4 5 r r r 2r 34= 3V rπ球 2 3= 2 2V r r rπ π× =圆柱 3 3 4 23 32 rV V r π π = =球 圆柱 2 4y x= F P Q PF | |( ) | | PFd P FQ = P ( 1,4 2)− ( )d P = 4 2 2 2 【解析】 【分析】 根据抛物线方程，先求得焦点坐标，由两点间距离公式可得 ，结合两点间斜率公式求得 直线 的斜率 ，即可由点斜式表示出直线 的方程；联立抛物线与直线方程，即可求得 交点坐标，进而求得 ，即可由定义求得 . 【详解】抛物线 ， 是焦点，则 ， 点 坐标为 ，则 ， 而直线 的斜率为 ，则 的方程为 ， 所以联立直线 与抛物线可得 ，解得 或 （舍）， 则 ， 所以由定义可得 ， 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合应用，两点间斜率公式及两点间距离公式的应用， 属于基础题. 9.如图，已知正三棱柱 的侧棱长为底面边长的 2 倍， 是侧棱 的中点，则 异面直线 和 所成的角的余弦值为（ ） PF PF k PF FQ | |( ) | | PFd P FQ = 2 4y x= F ( )1,0F P ( 1,4 2)− ( )2 24 2 2 6PF = + = PF 4 2 0 2 21 1k −= = −− − PF ( )2 2 1y x= − − PF ( ) 2 2 2 1 4 y x y x  = − − = 1 2 2 x y  =  = 2 2 2 x y = = − ( )2 21 322 2FQ  = + =   | | 6( ) 43| | 2 PFd P FQ = = = 1 1 1ABC A B C− M 1CC 1AB BM A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设 ，则 ，取 中点 ， 中点 ，连接 ，由勾股定 理及中位线定理表示出 的三条边长，结合余弦定理即可求得 ，由异面直 线夹角的取值范围即可确定异面直线 和 所成的角的余弦值. 【详解】正三棱柱 的侧棱长为底面边长的 2 倍，设 ，则 ， 取 中点 ， 中点 ，连接 ，如下图所示： 则 即为异面直线 和 所成的角或其补角， 所以 ， ， 3 10 20 − 3 16 − 3 10 20 3 16 AB a= 1 2AA a= 1BB N AB E 1 1, , ,NE NC EC CE 1ENC△ 1cos ENC∠ 1AB BM 1 1 1ABC A B C− AB a= 1 2AA a= 1BB N AB E 1 1, , ,NE NC EC CE 1ENC∠ 1AB BM 1 1 5 2 2EN AB a= = 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1944 4EC EC CC a a a= + = + = ， 所以在 中由余弦定理可得 ， 因为异面直线夹角的取值范围为 ， 所以异面直线 和 所成的角的余弦值为 ， 故选：C 【点睛】本题考查了异面直线夹角 求法，余弦定理在解三角形中的应用，异面直角夹角取 值范围的应用，属于中档题. 10.已知定义在 上的偶函数 ，当 时，其解析式为 ，则 在 点 处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据偶函数性质及分段函数解析式求法，先求得 时 的解析式，即可由导数几何意义 求得切线方程. 【详解】定义在 上 偶函数 ，所以 当 时，其解析式为 ， 则当 时， ，则 ， 而 ， 的 的 1 2C N BM a= = 1ENC△ 2 2 2 1 11 1 cos 2 NC NE ECENC NC NE + −∠ = ⋅ 2 2 25 192 3 104 4 2052 2 2 a a a aa + − = = − × × 0, 2 π     1AB BM 3 10 20 R ( )f x 0x > 21( ) 2 xf x xe x= + ( )f x ( 1, ( 1))f− − 1(2 1) 2y e x e= − + − − 1(2 1) 2y e x e= + − − 3(2 1) 3 2y e x e= − + + + 3(2 1) 3 2y e x e= + + + 0x < ( )f x R ( )f x ( )( )f x f x= − 0x > 21( ) 2 xf x xe x= + 0x < 0x− > 21( ) 2 xf x xe x−− = − + ( )( )f x f x= − 所以当 时， ， 则 ，所以切点坐标为 ， 由 ，可得 ， 所以切线斜率为 则切线方程为 ，化简可得 ， 故选：A. 【点睛】本题考查了由奇偶性求函数解析式，由导函数求切线方程，属于基础题. 11.已知函数 ，给出下列四个结论： ①函数 的最小正周期是 ； ②函数 在区间 上是减函数； ③函数 的图象关于直线 对称； ④函数 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位得到其中所有正确结论 的编号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据降幂公式和辅助角公式化简三角函数式，结合正弦函数的图像与性质即可判断各选项是 否正确. 【详解】由降幂公式和辅助角公式化简可得 ， 0x < 21( ) 2 xf x xe x−= − + 1( 1) 2f e− = + 11, 2e − +   21( ) 2 xf x xe x−= − + ( ) x xf x xe e x− −−′ = + ( )( 1) 1 2 1k f e e e−= ′ − = − + − = − − ( )( ) 12 1 1 2y e x e= − + + + + 1(2 1) 2y e x e= − + − − 2( ) sin 2 2sin 1f x x x= − + ( )f x π ( )f x 5,8 8 π π     ( )f x 3 8x π= − ( )f x 2 sin 2y x= 4 π 2( ) sin 2 2sin 1f x x x= − + sin 2 cos2x x= + 2 sin 2 4x π = +   对于①，由解析式可知最小正周期为 ，所以①正确； 对于②，由函数解析式可知，满足 时单调递减，解得 ，当 时，单调递减区间为 ，所以②正确； 对于③，由函数解析式可知对称轴满足 ，解得 ， 所以当 时，对称轴为 ，所以③正确； 对于④，函数 的图象向左平移 个单位可得 ，与所求解析式不同，因而④错误， 综上可知，正确的为①②③， 故选：C. 【点睛】本题考查了降幂公式与辅助角公式化简三角函数式的应用，正弦函数图像与性质的 综合应用，属于基础题. 12.已知定义在实数集 的函数 满足 ，且 的导函数 在 上恒有 ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据所要求的不等式及导数不等式，构造函数 ，可知 在 上单 调递减，结合 可知 ，即可由单调性得不等式解集. 【详解】令 ， 则 ， 因为 ， ， 所以 在 上单调递减， π 32 2 2 ,2 4 2k x k k Z π π ππ π+ ≤ + ≤ + ∈ 5 ,8 8k x k k Z π ππ π+ ≤ ≤ + ∈ 0k = 5,8 8 π π     2 ,4 2x k k Z π π π+ = + ∈ ,8 2 kx k Z π π= + ∈ 1k = − 3 8x π= − 2 sin 2y x= 4 π 2 sin 2 2 sin 24 2y x x π π   = + = +       R ( )f x (2) 7f = ( )f x ( )f x′ R ( ) 3f x′ < ( )x R∈ ( ) 3 1f x x< + (1, )+∞ ( , 2)−∞ − ( ,1) (1, )−∞ ∪ +∞ (2, )+∞ ( ) ( )( ) 3 1g x f x x= − + ( )g x R (2) 7f = ( )2 0g = ( ) ( )( ) 3 1g x f x x= − + ( ) ( ) 3g x f x′ = ′ − ( ) 3f x′ < ( )x R∈ ( ) ( )( ) 3 1g x f x x= − + R 且因为 ，所以 ， 所以 ，即 的解集为 ， 故选：D. 【点睛】本题考查了构造函数解不等式，导函数与函数单调性关系，属于中档题. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题~21 题为必考题，每个试题考生都必须 做答；第 22 题~第 23 题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把正确答案填在答题卡的相 应位置.） 13.已知 ， ，若 与 共线，则 _______. 【答案】 . 【解析】 【分析】 根据向量共线的坐标关系，即可求得参数 的值. 【详解】 ， ， 与 共线， 则满足 ， 解得 ， 故答案为： . 【点睛】本题考查了向量平行的坐标关系及简单应用，属于基础题. 14.在一次电子邮件传播病毒 事例中，已知第一轮感染的计算机数是 6 台，并且从第一轮开 始，以后各轮的每一台计算机都会感染下一轮的 10 台，那么到第 6 轮后，被感染的计算机的 台数为_____（用数字作答）. 【答案】666666 【解析】 【分析】 根据题意，可知数列为等比数列，即可由等比数列的前 n 项和公式求解. 【详解】根据题意可知，新感染的计算机为等比数列，首项为 6，公比为 10， 的 (2) 7f = ( ) ( )2 (2) 3 2 1 0g f= − × + = ( ) 3 1f x x< + ( ) 0g x < (2, )+∞ (3,2)a = ( 1,2 )b x x= − a b x = 1 2 − x (3,2)a = ( 1,2 )b x x= − a b ( )3 2 2 1x x× = × − 1 2x = − 1 2 − 所以前 6 轮的总感染计算机台数为 ， 故答案为： . 【点睛】本题考查了等比数列的前 n 项和公式在实际问题中的应用，属于基础题. 15.给出下列四个命题： ①“ ”是“ ”的必要不充分条件 ②函数 的最小值为 2 ③命题“ ， ”的否定是“ ， ” ④已知双曲线 过点 ，且渐近线为 ，则离心率 ，其中所有正确命 题的编号是：_______. 【答案】①④ 【解析】 【分析】 根据充分必要条件的关系和定义，可判断①；根据基本不等式成立条件，结合对勾函数求得 最小值，即可判断②；根据含有量词的否定形式，可判断③；根据双曲线的渐近线方程，可 设出标准方程，代入点的坐标，即可求得双曲线方程，进而求得离心率，即可判断④. 【详解】对于①，当 时，满足 ，所以 ，反过 来不成立，因而“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以①正确； 对于②，函数 ，令 ，则 ， 由对勾函数性质可知，当 时取得最小值， ，即 的最小 值为 ，所以②错误； 对于③，命题“ ， ”的否定是“ ， ”， 所以③错误； ( )6 6 6 1 10 6666661 10S × − = =− 666666 3x < − ln( 4) 0x + < 2 2 1( ) 2 2 f x x x = + + + 0x∀ > (2020) 2020 0x + > 0 0x∃  0(2020) 2020 0x +  C (3, 2) 3 3y x= ± 2 3 3e = ln( 4) 0x + < 4 3x− < < − 4 3 3x x− < < − ⇒ < − 3x < − ln( 4) 0x + < 2 2 1( ) 2 2 f x x x = + + + 2 2, 2t x t= + ≥ 1( ) , 2f t t tt = + ≥ 2t = 1 3 2( 2) 2 22 f = + = ( )f x 3 2 2 0x∀ > (2020) 2020 0x + > 0 0x∃ > 0(2020) 2020 0x + ≤ 对于④，双曲线渐近线为 ，不妨设双曲线方程为 ，且过点 ，代入可得 ，所以 ，即 ，所以离心率为 ，所以④正确； 综上可知，正确的为①④， 故答案为：①④. 【点睛】本题考查了充分必要条件的定义，含有量词命题的否定形式，基本不等式使用条件 及最值求法，双曲线标准方程及渐近线的综合应用，双曲线离心率求法，综合性强，属于中 档题. 16.动直线 与圆 交 于点 ，则动直线 必过定点______；当弦 最短时，直线 的方程为______. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 将直线方程变形，即可求得所过定点的坐标；由圆的几何性质，可知当直线与定点和圆心连 线垂直时，直线与圆相交所得弦长最短，进而由垂直时的斜率关系和点斜式求得直线方程. 【详解】将直线 ， 变形可得 ，所以直线所过定点满足 ， 解得 ，所以直线 必过定点 ； 圆 ，化为标准方程可得 ， 设圆心为 ，当直线与 垂直时，解得圆的弦长最短， 因为直线 的斜率为 ，所以直线 的斜率为 ，因为过定点 ，所以由点斜式可得 ，化简可得 ； 3 3y x= ± ( )2 2 , 09 3 x y λ λ− = ≠ (3, 2) 9 2 9 3 λ− = 1 3 λ = 2 2 13 x y− = 2 2 3 33 ce a = = = :(1 2 ) ( 1) 3( 1) 0,( )l m x m y m m R+ + − − + = ∈ 2 2: 2 4 4 0C x y x y+ − + − = A B、 l AB l (2, 1)− 1 0x y+ − = :(1 2 ) ( 1) 3( 1) 0,( )l m x m y m m R+ + − − + = ∈ ( )2 3 3 0x y m x y+ − + − − = 2 3 0 3 0 x y x y + − =  − − = 2 1 x y =  = − l (2, 1)A − 2 2: 2 4 4 0C x y x y+ − + − = ( ) ( )2 21 2 9x y− + + = ( )1, 2C − AC AC ( )1 2 12 1ACk − − −= =− l 1lk = − (2, 1)A − ( )2 1y x= − − − 1 0x y+ − = 故答案为： ； . 【点睛】本题考查了直线过定点的求法，直线与圆位置关系的综合应用，圆的几何性质应用， 属于中档题. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤.） 17.在 中， ，且 . （1）求 边长； （2）求 边上中线 的长. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）利用同角的三角函数关系，可以求出 的值，利用三角形内角和定理，二角和的正 弦公式可以求出 ，最后利用正弦定理求出 长； （2）利用余弦定理可以求出 的长，进而可以求出 的长，然后在 中，再利用余 弦定理求出 边上中线 的长. 【详解】（1） ， ，由正弦定理可知中： （2）由余弦定理可知： ， 是 的 中点，故 ，在 中，由余弦定理可知： 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、同角的三角函数关系、以及三角形内角和定理， 考查了数学运算能力. (2, 1)− 1 0x y+ − = ABC∆ 45 , 10B AC°∠ = = 2 5cos 5C = BC AB CD 3 2 13 sinC sin A BC AB BD BCD∆ AB CD 2 5(0, ) sin 1 cos 5C C Cπ∈ ∴ = − = 3 10sin sin( ) sin cos cos sin 10A B C B C B Cπ= − − = ⋅ + ⋅ = sin 3 2;sin sin sin BC AC AC ABCA B B ⋅= ⇒ = = 2 2 2 52 cos 10 18 2 10 3 2 25AB AC BC AC BC C= + − ⋅ ⋅ = + − × × × = D AB 1BD = CBD∆ 2 2 22 cos 18 1 2 3 2 1 13.2CD BC BD BC BD B= + − ⋅ ⋅ = + − × × × = 18.呼和浩特市地铁一号线于 2019 年 12 月 29 日开始正式运营有关部门通过价格听证会，拟定 地铁票价后又进行了一次调查.调查随机抽查了 50 人，他们的月收入情况与对地铁票价格态度 如下表： 月收入（单位： 百元） 认为票价合理 的人数 1 2 3 5 3 4 认为票价偏高 的人数 4 8 12 5 2 1 （1）若以区间的中点值作为月收入在该区间内人的人均月收入求参与调查的人员中“认为票价 合理者”的月平均收入与“认为票价偏高者”的月平均收入的差是多少（结果保留 2 位小数）； （2）由以上统计数据填写下面 列联表分析是否有 的把握认为“月收入以 5500 元为 分界点对地铁票价的态度有差异” 月收入不低于 5500 元人 数 月收入低于 5500 元人 数 合计 认为票价偏高者 认为票价合理者 合计 附： 0.05 0.01 3.841 6.635 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) 2 2× 99% 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bck a b c d a c b d −= + + + + ( )2 0P k k 0k 【答案】（1）差距为 11.81（百元）；（2）列联表见解析；没有 的把握认为“月收入以 5500 元为分界点对地铁定价的态度有差异. 【解析】 【分析】 （1）设 表示“认为价格合理者”的月平均收入， 表示“认为价格偏高者”的月平均收入 ，根据所给数据即可求得 、 的值，即可求得 、 的差，即为“认为票价合理者”的月平均 收入与“认为票价偏高者”的月平均收入的差. （2）根据所给数据，填写列联表，即可由公式求得 ，与临界值比较，即可判断. 【详解】（1）设 表示“认为价格合理者”的月平均收入， 表示“认为价格偏高者”的月平均收 入， ， ， 所以“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距为 11.81（百元）， （2）根据条件可到列联表如下： 月收入不低于 5500 元人 数 月收入低于 5500 元人 数 合计 认为票价偏高者 3 29 32 认为票价合理者 7 11 18 合计 10 40 50 因为 所以没有 的把握认为“月收入以 5500 元为分界点对地铁定价的态度有差异. 【点睛】本题考查平均数的求法，完善列联表及独立性检验思想的综合应用，卡方计算，属 于基础题. 99% x y x y x y 2K x y 20 1 30 2 40 3 50 5 60 3 70 4 50.561 2 3 5 3 4x × + × + × + × + × + ×= ≈+ + + + + 20 4 30 8 40 12 50 5 60 2 70 1 38.754 8 12 5 2 1y × + × + × + × + × + ×= =+ + + + + 2 2 2 ( ) 50 (3 11 7 29) 6.27( )( )( )( ) 32 18 10 40 n ad bcK a b c d a c b d − × × − ×= = ≈+ + + + × × × 6.27 6.635< 99% 19.如图，矩形 中， ， ， 在 边上，且 ，将 沿 折到 的位置，使得平面 平面 . （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求三棱锥 的体积. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） . 【解析】 【详解】试题分析：（1）先根据三角形相似得 ，设 交 于点 ，则根据折 叠前后关系得 ， ，再根据线面垂直判定定理得 平面 .最后 根据线面垂直性质定理得 ；（2）先由面面垂直性质定理得 平面 ， 即得三棱锥的高，再根据三棱锥体积公式求体积 ，最后利用等体积法得三棱锥 的体积. 试题解析：（Ⅰ）连接 交 于点 ，依题意得 ，所以 ， 所以 ，所以 ，所以 ， 即 ， ，又 ， , 平面 . 所以 平面 .又 所以 ； （Ⅱ）因为平面 平面 ， 由（Ⅰ）知， 平面 ， 所以 为三棱锥 的高， ABCD 4AB = 2AD = E DC 1DE = ADE AE AD E′ AD E′ ⊥ ABCE AE BD′⊥ A BCD′− 8 5 15 AE BD⊥ BD AE O OB AE⊥ OD AE′ ⊥ AE ⊥ OBD′ AE BD′⊥ OD′ ⊥ ABCE D ABCV ′− A BCD′− BD AE O 2AB AD DA DE = = Rt ABD ∼ Rt DAE DAE ABD∠ = ∠ 90AOD∠ = ° AE BD⊥ OB AE⊥ OD AE′ ⊥ OB OD O∩ ′ = OB OD′ ⊂ OBD′ AE ⊥ OBD′ 1 ,BD OBD⊂ ′平面 AE BD′⊥ AD E′ ⊥ ABCE OD′ ⊥ ABCE OD′ D ABC′− 在矩形 中， ， ， ，所以 ， 所以 即三棱锥 的体积为 . 20.已知函数 有极值，且导函数 的极值点是 的零点. （1）求 关于 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明： . 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据函数解析式先求得导函数 ，由极值点存在条件可知 ，可得 ；再 求得导函数 的极值点，即可由导函数 的极值点是 的零点代入求得 等量关 系，结合不等式求得定义域. （2）利用分析法分析可知，若证明 ，只需证明 ，利用换元法转化并 求得导函数，结合导函数的单调性和最值证明不等式成立即可. 【详解】（1）函数 , 则 ， 因为有极值点，所以 ， 化简可得 ， 导函数 的极值点是 的零点. 而导函数 的极值点为二次函数顶点的横坐标，所以 是 的零点. ABCD 4AB = 2AD = 1DE = 2 5 DO′ = A BCD D ABCV V ′− −′ = = 1 3 ABCS D O⋅ =′  1 1 2 8 54 23 2 155  × × × × =   A BCD′− 8 5 15 3 2( ) 1,( 0, )f x x ax bx a b R= + + + > ∈ ( )f x′ ( )f x b a 2 3b a> 22 3 , 39b a aa = + > ( )f x′ > 0∆ 2 3a b> ( )f x′ ( )f x′ ( )f x ,a b 2 3b a> 3 2 3 2 2 3 39 a a + > 3 2( ) 1,( 0, )f x x ax bx a b R= + + + > ∈ 2( ) 3 2f x x ax b′ = + + 24 12 0a b∆ = − > 2 3a b> ( )f x′ ( )f x ( )f x′ 2 2 3 3 a ax = − = −× ( )f x 即 ， 代入可得 ，化简可知 ， 又 ，即 ，解得 ， ， （2）证明:要证 ， ， 只要证 ， 只要证 ， 只要证 ， 设 ， ，则 ， 所以 ， ， ， ， 原式得证. 【点睛】本题考查了导函数与极值点的关系，函数零点定义，由分析法证明不等式，利用导 数单调性与最值证明不等式成立，属于中档题. 21.已知椭圆 的离心率为 ， 分别为椭圆的左、右焦点，点 为椭圆上一点， 面积的最大值为 . （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）过点 作关于 轴对称的两条不同直线 分别交椭圆于 与 ， 且 ，证明直线 过定点，并求 的面积 的取值范围. 03 af  − =   3 2 1 03 3 3 a a aa b     − + ⋅ − + ⋅ − + =           22 3 9b a a = + 2 3a b> 22 2 3 93a a a + > ×   3a > 22 3 , 39b a aa ∴ = + > 2 3b a> 3a > 3b a> 22 3 39 a aa + > 3 2 3 2 2 3 39 a a + > 3 2t a= 3 3t > 2 3( ) 9g t t t = + 2 2 2 2 2 2 2 3 2 27 27( ) 09 9 9 t t tg t t t t − + −′ = − = = > 2 27t > ( ) (3 3) 3g t g∴ > = 2 3b a∴ > 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 3 2 1 2,F F P 1 2F PF∆ 3 C (4,0)A x 1 2,l l 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 1 2x x≠ MN AMN∆ S 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)答案见解析. 【解析】 试题分析： (Ⅰ)由题意利用待定系数法可得椭圆 的方程为 . （Ⅱ）设 方程为 ，与椭圆方程联立可得 ，则 ，满足题意时 ，据此可得 .则直线 过定点 ， 且 ，三角形的面积 . 试题解析： （Ⅰ）设 ，则 ， 设 ，则 . 解得 . 所以椭圆 的方程为 . （Ⅱ）设 方程为 ，联立 ， 得 ， ， 2 2 14 x y+ = C 2 2 14 x y+ = MN ( ), 0x ny m n= + ≠ ( )2 2 24 2 4 0n y nmy m+ + + − = 2 1 2 1 22 2 2 4,4 4 nm my y y yn n − −+ = =+ + 1 2 1 2 1 2 1 2 04 4 4 4 y y y y x x ny m ny m + = + =− − + − + − 1m = MN ( )1,0B ( ) ( )1 2 22 2 1 14 0, 34 4 y y n n − = − ∈+ + 1 2 1 2 1 3 3 30,2 2 2S AB y y y y  = − = − ∈    2 2 2a b c− = 3 2 c a = ( ),P x y 1 2 1 2 , 3F PF F PFS c y y b S bc∆ ∆= ≤ ∴ ≤ = 2 1 a b =  = C 2 2 14 x y+ = MN ( ), 0x ny m n= + ≠ 2 24 4 0 x ny m x y = +  + − = ( )2 2 24 2 4 0n y nmy m+ + + − = 2 1 2 1 22 2 2 4,4 4 nm my y y yn n − −∴ + = =+ + 因为关于 轴对称的两条不同直线 的斜率之和为 0， 即 ，即 ， 得 ， 即 .解得： . 直线 方程为： ，所以直线 过定点 ， 又 ， 令 ， 又 . 点睛：求定点，定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时， 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.已知椭圆 的普通方程为： ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，正方形 的顶点都在 上，且 逆时针 依次排列，点 的极坐标为 （1）写出曲线 的参数方程，及点 的直角坐标； （2）设 为椭圆 上的任意一点，求： 的最大值. 【答案】（1） ， 为参数， ， ， ； x 1 2,l l 1 2 1 2 04 4 y y x x + =− − 1 2 1 2 04 4 y y ny m ny m + =+ − + − ( ) ( )1 2 1 2 1 22 4 0ny y m y y y y+ + − + = ( )2 2 2 2 2 2 4 2 8 04 4 4 n m nm nm n n n − − + =+ + + 1m = MN 1x ny= + MN ( )1,0B ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 22 2 22 2 4 32 3 1 14 44 4 44 4 n ny y n n nn n ⋅ −− + − = − = = − + + +  + + 2 1 1, 0,4 4t tn  = ∴ ∈ +   ( )2 1 2 4 0, 3y y t t∴ − = − + ∈ 1 2 1 2 1 3 3 30,2 2 2S AB y y y y  = − = − ∈    1C 2 2 14 9 x y+ = x 2C 4ρ = ABCD 2C ABCD A 4, 6 π     1C , ,B C D P 1C 2 2 2 2| | | | | | | |PA PB PC PD+ + + 2cos 3sin x y θ θ =  = θ ( 2,2 3)B − ( 2 3, 2)C − − (2, 2 3)D − （2）100. 【解析】 【分析】 （1）根据普通方程与参数方程的转化可得曲线 的参数方程，由极坐标与直角坐标的转化可 得 的直角坐标；进而由 为正方形求得点 的直角坐标； （2）设 ，即可由两点间距离公式表示出 ，再 根据三角函数性质即可求得最大值. 【详解】（1）椭圆 的普通方程为 ， 则 ， 为参数， 的极坐标为 ， 的直角坐标为 ， ， 曲线 的极坐标方程为 ，化为直角坐标方程为 ， 将 旋转 得 ， 同理 ， . （2）设 ， 的最大值为 100 【点睛】本题考查了椭圆参数方程与极坐标方程的转化，两点间距离公式及三角函数性质的 应用，属于中档题. 1C A ABCD , ,B C D (2cos ,3sin )P θ θ 2 2 2 2| | | | | | | |PA PB PC PD+ + + 1C 2 2 14 9 x y+ = 1 2cos 3sin xC y θ θ =  = θ A 4, 6 π     A∴ (2 3,2) 4OA = 2C 4ρ = 2 2 16x y+ = A 90° ( 2,2 3)B − ( 2 3, 2)C − − (2, 2 3)D − (2cos ,3sin )P θ θ 2 2 2 2| | | | | | | |PA PB PC PD+ + + 2 2 2 2(2cos 2 3) (3sin 2) (2cos 2) (3sin 2 3)θ θ θ θ= − + − + + + − 2 2 2 2(2cos 2 3) (3sin 2) (2cos 2) (3sin 2 3)θ θ θ θ+ + + + + − + + ( )2 2 2 22 4cos 12 9sin 4 4cos 4 9sin 12θ θ θ θ= + + + + + + + ( )24 20 5sin θ= + 2 2 2 2| | | | | | | |PA PB PC PD∴ + + + 23.已知函数 ， （1）当 时，求关于 的不等式 的解集； （2）已知 ，若对任意 ，都存在 ，使得 成立， 求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）将 代入不等式，分类讨论即可解不等式，求得解集. （2）由 可知 ，结合绝对值三角不等式可知 ，进而可 知 ，解不等式即可求得 的取值范围. 【详解】（1）当 时， ， 当 时，不等式可化为 ，解得 ， 当 时，不等式可化为 ，解得 ， 当 时，不等式可化为 ，解得 ， 综上所述，不等式的解集是 . （2） ， 由题意得 或 的取值范围是 【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式，绝对值三角不等式的综合应用，属于中档题. ( ) 2 2 1f x x a x= − + + 1a = x ( ) 6f x ≤ ( ) 1 2g x x= − + 1x R∈ 2x R∈ ( ) ( )1 2f x g x= a 7 5| 4 4x x − ≤ ≤   ( , 4] [0, )−∞ − +∞ 1a = ( ) 1 2g x x= − + ( ) 2g x ≥ ( ) 2f x a≥ + 2 2a + ≥ a 1a = ( ) 2 1 2 2f x x x= − + + 1 2x > 2 1 2 2 6x x− + + ≤ 5 4x ≤ 1 5 2 4x∴ < ≤ 11 2x≤ ≤− (2 1) 2 2 6x x− − + + ≤ 3 6< 11 2x∴− ≤ ≤ 1x < − (2 1) (2 2) 6x x− − − + ≤ 7 4x ≥ − 7 14 x∴− ≤ < − 7 5| 4 4x x − ≤ ≤   ( ) 1 2 2g x x= − + ≥ ( ) 2 2 2 2f x x a x a= − + + ≥ + | 2| 2a + ≥ 0a ≥ 4a ≤ − a∴ ( , 4] [0, )−∞ − +∞