高考数学专题复习课件：8-6空间向量及其运算 56页

§8.6 　空间向量及其运算 ［ 考纲要求 ］ 1. 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 .2. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 .3. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 . 1 ．空间向量的有关概念 2. 空间向量中的有关定理 (1) 共线向量定理 空间两个向量 a ( a ≠ 0) 与 b 共线的充要条件是存在实数 λ ，使得 _______ ． b ＝ λa (3) 空间向量基本定理 如果向量 e 1 ， e 2 ， e 3 是空间三个不共面的向量， a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数 λ 1 ， λ 2 ， λ 3 ，使得 a ＝ _________________ ，空间中不共面的三个向量 e 1 ， e 2 ， e 3 叫作这个空间的一个基底． λ 1 e 1 ＋ λ 2 e 2 ＋ λ 3 e 3 3 ．空间向量的数量积及运算律 (1) 数量积及相关概念 ① 两向量的夹角 ② 两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a ， b ，则 _______________ 叫做向量 a ， b 的数量积，记作 ___ ，即 a·b ＝ _______________ ． (2) 空间向量数量积的运算律 ① 结合律： ( λa )· b ＝ _______ ． ② 交换律： a · b ＝ _____ ． ③ 分配律： a ·( b ＋ c ) ＝ ____________ ． | a || b |cos 〈 a ， b 〉 a·b | a || b |cos 〈 a ， b 〉 λ ( a · b ) b · a a · b ＋ a · c 4 ．空间向量的坐标表示及其应用 设 a ＝ ( a 1 ， a 2 ， a 3 ) ， b ＝ ( b 1 ， b 2 ， b 3 ). 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 空间中任意两非零向量 a ， b 共面． ( 　　 ) (2) 在向量的数量积运算中 ( a · b )· c ＝ a ·( b · c ) ． ( 　　 ) (3) 对于非零向量 b ，由 a · b ＝ b · c ，则 a ＝ c .( 　　 ) 【 答案 】 (1) √ 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 　 (5) √ 　 (6) × 【 答案 】 A 【 答案 】 A 4 ． ( 教材改编 ) 已知 a ＝ (2 ， 4 ， x ) ， b ＝ (2 ， y ， 2) ，若 | a | ＝ 6 ，且 a ⊥ b ，则 x ＋ y 的值为 ________ ． 【 答案 】 1 或－ 3 5 ． ( 教材改编 ) 正四面体 ABCD 的棱长为 2 ， E ， F 分别为 BC ， AD 中点，则 EF 的长为 ________ ． 【 方法规律 】 用已知向量表示某一向量的方法 用已知向量来表示未知向量 ，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 题型二　共线定理、共面定理的应用 【 例 2 】 已知 E ， F ， G ， H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB ， BC ， CD ， DA 的中点， 【 证明 】 (1) 如图，连接 BG ， 跟踪训练 2 如图，正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 是 A 1 B 上的点， F 是 AC 上的点，且 A 1 E ＝ 2 EB ， CF ＝ 2 AF ，则 EF 与平面 A 1 B 1 CD 的位置关系为 ________ ． 【 答案 】 平行 题型三　空间向量数量积的应用 【 例 3 】 如图所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a ，点 M 、 N 分别是 AB 、 CD 的中点． 跟踪训练 3 (2017· 张家界模拟 ) 如图所示，四棱柱 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中，底面为平行四边形，以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1 ，且两两夹角为 60 ° . (1) 求 AC 1 的长； (2) 求证： AC 1 ⊥ BD ； (3) 求 BD 1 与 AC 夹角的余弦值． 易错警示系列 12 “ 两向量同向 ” 意义不清致误 【 典例 】 已知向量 a ＝ (1 ， 2 ， 3) ， b ＝ ( x ， x 2 ＋ y － 2 ， y ) ，并且 a ， b 同向，则 x ， y 的值分别为 ________ ． 【 易错分析 】 将 a ， b 同向和 a ∥ b 混淆，没有搞清 a ∥ b 的意义： a 、 b 方向相同或相反． 【 答案 】 1 ， 3 【 温馨提醒 】 (1) 两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况．两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说， “ 两向量同向 ” 是 “ 两向量平行 ” 的充分不必要条件． (2) 若两向量 a ， b 满足 a ＝ λb ( b ≠ 0) 且 λ >0 则 a ， b 同向；在 a ， b 的坐标都是非零的条件下， a ， b 的坐标对应成比例 . ► 方法与技巧 1 ．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础． 2 ．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题． 3 ．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题． ► 失误与防范 1 ．向量的数量积满足交换律、分配律，即 a · b ＝ b · a ， a ·( b ＋ c ) ＝ a · b ＋ a · c 成立，但 ( a · b )· c ＝ a ·( b · c ) 不一定成立． 2 ．求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化 .