【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第九章　第7讲　双曲线学案 24页

第 7 讲 双曲线 一、知识梳理 1．双曲线的定义 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫 做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0. (1)当 2a<|F1F2|时，P 点的轨迹是双曲线． (2)当 2a＝|F1F2|时，P 点的轨迹是两条射线． (3)当 2a>|F1F2|时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0) y2 a2 －x2 b2 ＝1(a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 x≥a 或 x≤－a，y∈R y≤－a 或 y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±b ax y＝±a bx 离心率 e＝c a ，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的实半 轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c 的关 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 系 3.等轴双曲线及性质 (1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作： x2－y2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率 e＝ 2⇔两条渐近线 y＝±x 互相垂直． 常用结论 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b. 2．若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c， |PF2|min＝c－a. 3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2 a ，异支的弦中 最短的为实轴，其长为 2a. 4．设 P，A，B 是双曲线上的三个不同的点，其中 A，B 关于原点对称，直线 PA，PB 斜率存在且不为 0，则直线 PA 与 PB 的斜率之积为b2 a2. 5．P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点， 则 S△PF1F2＝b2· 1 tan θ 2 ，其中θ为∠F1PF2. 二、教材衍化 1．若双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线 的离心率为________． 解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a±y b ＝0，即 bx±ay＝0， 所以 2a＝ bc a2＋b2 ＝b. 又 a2＋b2＝c2，所以 5a2＝c2. 所以 e2＝c2 a2 ＝5，所以 e＝ 5. 答案： 5 2．经过点 A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． 解析：设双曲线的方程为x2 a2 －y2 a2 ＝±1(a＞0)， 把点 A(3，－1)代入，得 a2＝8(舍负)， 故所求方程为x2 8 －y2 8 ＝1. 答案：x2 8 －y2 8 ＝1 3．以椭圆x2 4 ＋y2 3 ＝1 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________． 解析：设要求的双曲线方程为x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)，由椭圆x2 4 ＋y2 3 ＝1，得焦点为(±1， 0)，顶点为(±2，0)．所以双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2，0)．所以 a＝1，c＝2，所以 b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为 x2－y2 3 ＝1. 答案：x2－y2 3 ＝1 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲 线．( ) (2)椭圆的离心率 e∈(0，1)，双曲线的离心率 e∈(1，＋∞)．( ) (3)方程x2 m －y2 n ＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线．( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ(1)忽视双曲线的定义； (2)忽视双曲线焦点的位置； (3)忽视双曲线的渐近线与离心率的关系． 1．平面内到点 F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于 6 的点的轨迹是________． 解析：由|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝8，得 a＝3，又 c＝4，则 b2＝c2－a2＝7，所以所求点 的轨迹是双曲线y2 9 －x2 7 ＝1 的下支． 答案：双曲线y2 9 －x2 7 ＝1 的下支 2．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π 3 ，则双 曲线的离心率为________． 解析：若双曲线的焦点在 x 轴上，设双曲线的方程为x2 a2 －y2 b2 ＝1，则渐近线的方程为 y ＝±b ax，由题意可得b a ＝tan π 3 ＝ 3，b＝ 3a，可得 c＝2a，则 e＝c a ＝2；若双曲线的焦点在 y 轴上，设双曲线的方程为y2 a2 －x2 b2 ＝1，则渐近线的方程为 y＝±a bx，由题意可得a b ＝tan π 3 ＝ 3， a＝ 3b，可得 c＝2 3 3 a，则 e＝2 3 3 .综上可得 e＝2 或 e＝2 3 3 . 答案：2 或2 3 3 3．若双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率 为________． 解析：由条件知 y＝－b ax 过点(3，－4)，所以3b a ＝4，即 3b＝4a，所以 9b2＝16a2，所以 9c2－9a2＝16a2，所以 25a2＝9c2，所以 e＝5 3. 答案：5 3 双曲线的定义(多维探究) 角度一 利用定义求轨迹方程 已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为____________． 【解析】 如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和点 B.根据两圆外切 的条件，得 |MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|， 因为|MA|＝|MB|，所以 |MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|， 即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点 M 到两定点 C1、C2 的距离的差是常数且小于 |C1C2|＝6. 又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大，与 C1 的距离小)， 其中 a＝1，c＝3，则 b2＝8. 故点 M 的轨迹方程为 x2－y2 8 ＝1(x≤－1)． 【答案】 x2－y2 8 ＝1(x≤－1) 角度二 利用定义解决“焦点三角形”问题 已知 F1，F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左，右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|， 则 cos∠F1PF2＝________． 【解析】 由双曲线的定义有 |PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2 2， 所以|PF1|＝2|PF2|＝4 2， 则 cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 2|PF1|·|PF2| ＝（4 2）2＋（2 2）2－42 2×4 2×2 2 ＝3 4. 【答案】 3 4 【迁移探究 1】 (变条件)将本例中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，求 △F1PF2 的面积是多少？ 解：不妨设点 P 在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2，在△F1PF2 中，由余弦 定理，得 cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 2|PF1|·|PF2| ＝1 2 ， 所以|PF1|·|PF2|＝8， 所以 S△F1PF2＝1 2|PF1|·|PF2|sin 60°＝2 3. 【迁移探究 2】 (变条件)将本例中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“PF1 → ·PF2 → ＝0”，求 △F1PF2 的面积是多少？ 解：不妨设点 P 在双曲线的右支上，则 |PF1|－|PF2|＝2a＝2 2，由于PF1 → ·PF2 → ＝0， 所以PF1 → ⊥PF2 → ，所以在△F1PF2 中，有 |PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝4， 所以 S△F1PF2＝1 2|PF1|·|PF2|＝2. 角度三 利用定义求解最值问题 若双曲线x2 4 －y2 12 ＝1 的左焦点为 F，点 P 是双曲线右支上的动点，A(1，4)，则 |PF|＋|PA|的最小值是( ) A．8 B．9 C．10 D．12 【解析】 由题意知，双曲线x2 4 －y2 12 ＝1 的左焦点 F 的坐标为(－4，0)，设双曲线的右 焦点为 B，则 B(4，0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋ （4－1）2＋（0－4）2＝4＋5＝9，当且仅当 A，P，B 三点共线且 P 在 A，B 之间时取等号． 所以|PF|＋|PA|的最小值为 9. 【答案】 B 双曲线定义的应用 (1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运 用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系． [提醒] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双 曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支． 1．(2020·河南非凡联盟 4 月联考)已知双曲线 C：x2 a2 －y2 9 ＝1(a＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，一条渐近线与直线 4x＋3y＝0 垂直，点 M 在 C 上，且|MF2|＝6，则|MF1|＝( ) A．2 或 14 B．2 C．14 D．2 或 10 解析：选 C.由题意知3 a ＝3 4 ，故 a＝4，则 c＝5.由|MF2|＝6＜a＋c＝9，知点 M 在 C 的右 支上，由双曲线的定义知|MF1|－|MF2|＝2a＝8，所以|MF1|＝14. 2．(2020·河北廊坊省级示范学校联考)设 F1，F2 分别为双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞ 0)的左、右焦点，过 F1 的直线交双曲线 C 的左支于 A，B 两点，且|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB| ＝4，则△BF1F2 的面积为________． 解析：因为|AF2|＝3，|BF2|＝5， |AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a， 所以|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a＝3＋5－4＝4， 所以 a＝1，所以|BF1|＝3，又|AF2|2＋|AB|2＝|BF2|2， 所以∠F2AB＝90°，所以 sin B＝3 5 ， 所以 S△BF1F2＝1 2 ×5×3×sin B＝1 2 ×5×3×3 5 ＝9 2. 答案：9 2 双曲线的标准方程(师生共研) (1)(一题多解)与椭圆x2 4 ＋y2＝1 共焦点且过点 P(2，1)的双曲线方程是( ) A.x2 4 －y2＝1 B．x2 2 －y2＝1 C.x2 3 －y2 3 ＝1 D．x2－y2 2 ＝1 (2)(一题多解)若双曲线的渐近线方程为 y＝±1 2x，且经过点(4， 3)，则双曲线的方程为 ________． 【解析】 (1)法一：椭圆x2 4 ＋y2＝1 的焦点坐标是(± 3，0)．设双曲线方程为x2 a2 －y2 b2 ＝ 1(a>0，b>0)，所以 4 a2 － 1 b2 ＝1，a2＋b2＝3，解得 a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是x2 2 － y2＝1. 法二：设所求双曲线方程为 x2 4－λ ＋ y2 1－λ ＝1(1<λ<4)，将点 P(2，1)的坐标代入可得 4 4－λ ＋ 1 1－λ ＝1，解得λ＝2(λ＝－2 舍去)，所以所求双曲线方程为x2 2 －y2＝1. (2)法一：因为双曲线的渐近线方程为 y＝±1 2x， 所以可设双曲线的方程为 x2－4y2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点(4， 3)，所以λ＝16－4×( 3)2＝4， 所以双曲线的标准方程为x2 4 －y2＝1. 法二：因为渐近线 y＝1 2x 过点(4，2)，而 3<2， 所以点(4， 3)在渐近线 y＝1 2x 的下方，在 y＝－1 2x 的上方(如图)． 所以双曲线的焦点在 x 轴上，故可设双曲线方程为x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)． 由已知条件可得 b a ＝1 2 ， 16 a2 － 3 b2 ＝1， 解得 a2＝4， b2＝1， 所以双曲线的标准方程为x2 4 －y2＝1. 【答案】 (1)B (2)x2 4 －y2＝1 (1)求双曲线标准方程的答题模板 (2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法 ①与双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1 共渐近线的方程可设为x2 a2 －y2 b2 ＝λ(λ≠0)； ②若双曲线的渐近线方程为 y＝±b ax，则双曲线的方程可设为x2 a2 －y2 b2 ＝λ(λ≠0)； ③若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为x2 m ＋y2 n ＝1(mn<0)或 mx2＋ny2＝ 1(mn<0)． 1．(2020·安阳模拟)过双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的右焦点 F(c，0)作其渐近线 y＝ 3 2 x 的垂线，垂足为 M，若 S△OMF＝4 3(O 为坐标原点)，则双曲线的标准方程为( ) A.x2 4 －y2 3 ＝1 B．x2 8 －y2 6 ＝1 C.x2 16 －y2 12 ＝1 D．x2 32 －y2 24 ＝1 解析：选 C.由题意易得 b a ＝ 3 2 ， 1 2ab＝4 3， 解得 a＝4， b＝2 3， 所以双曲线的标准方程为x2 16 －y2 12 ＝1，故选 C. 2．过双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1 的右顶点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦点 F 为圆心、半径为 4 的圆经过 A，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线 C 的方程为 ( ) A.x2 4 －y2 12 ＝1 B．x2 7 －y2 9 ＝1 C.x2 8 －y2 8 ＝1 D．x2 12 －y2 4 ＝1 解析：选 A.因为渐近线 y＝b ax 与直线 x＝a 交于点 A(a，b)，c＝4 且 （4－a）2＋b2＝4， 解得 a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为x2 4 －y2 12 ＝1. 3．经过点 P(3，2 7)，Q(－6 2，7)的双曲线的标准方程为________． 解析：设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，因为所求双曲线经过点 P(3，2 7)，Q(－ 6 2，7)，所以 9m＋28n＝1， 72m＋49n＝1， 解得 m＝－ 1 75 ， n＝ 1 25. 故所求双曲线方程为y2 25 －x2 75 ＝1. 答案：y2 25 －x2 75 ＝1 双曲线的几何性质(多维探究) 角度一 求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长 已知离心率为 5 2 的双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2， M 是双曲线 C 的一条渐近线上的点，且 OM⊥MF2，O 为坐标原点，若 S△OMF2＝16，则双 曲线的实轴长是( ) A．32 B．16 C．84 D．4 【解析】 由题意知 F2(c，0)，不妨令点 M 在渐近线 y＝b ax 上，由题意可知|F2M|＝ bc a2＋b2 ＝b，所以|OM|＝ c2－b2＝a.由 S△OMF2＝16，可得 1 2ab＝16，即 ab＝32，又 a2＋b2＝c2，c a ＝ 5 2 ，所以 a＝8，b＝4，c＝4 5，所以双曲线 C 的实轴长为 16.故选 B. 【答案】 B 角度二 求双曲线的渐近线方程 (1)(2020·福建厦门一模)已知双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为 F， 点 A，B 是 C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以 AB 为直径的圆过 F 且交 C 的左支于 M，N 两点，若|MN|＝2，△ABF 的面积为 8，则 C 的渐近线方程为( ) A．y＝± 3x B．y＝± 3 3 x C．y＝±2x D．y＝±1 2x (2)过双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左焦点 F 作圆 O：x2＋y2＝a2 的两条切线，切点为 A， B，双曲线的左顶点为 C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为( ) A．y＝± 3x B．y＝± 3 3 x C．y＝± 2x D．y＝± 2 2 x 【解析】 (1)设双曲线的另一个焦点为 F′，由双曲线的对称性，可得四边形 AFBF′是 矩形， 所以 S△ABF＝S△ABF′， 即 bc＝8， 由 x2＋y2＝c2， x2 a2 －y2 b2 ＝1 可得 y＝±b2 c ， 则|MN|＝2b2 c ＝2，即 b2＝c， 所以 b＝2，c＝4， 所以 a＝ c2－b2＝2 3， 所以 C 的渐近线方程为 y＝± 3 3 x， 故选 B. (2)如图所示，连接 OA，OB， 设双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的焦距为 2c(c>0)，则 C(－a，0)，F(－c，0)． 由双曲线和圆的对称性知，点 A 与点 B 关于 x 轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝1 2 ∠ACB＝ 1 2 ×120°＝60°. 因为|OA|＝|OC|＝a，所以△ACO 为等边三角形，所以∠AOC＝60°. 因为 FA 与圆 O 相切于点 A，所以 OA⊥FA， 在 Rt△AOF 中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，所以|OF|＝2|OA|，即 c ＝2a， 所以 b＝ c2－a2＝ （2a）2－a2＝ 3a， 故双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±b ax，即 y＝± 3x. 【答案】 (1)B (2)A 角度三 求双曲线的离心率(或范围) (2019·高考全国卷Ⅱ)设 F 为双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的右焦点，O 为坐 标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2＋y2＝a2 交于 P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则 C 的离心率 为( ) A. 2 B． 3 C．2 D． 5 【解析】 如图，由题意，知以 OF 为直径的圆的方程为 x－c 2 2 ＋y2＝c2 4 ①，将 x2＋y2 ＝a2 记为②式，①－②得 x＝a2 c ，则以 OF 为直径的圆与圆 x2＋y2＝a2 的相交弦所在直线的 方程为 x＝a2 c ，所以|PQ|＝2 a2－ a2 c 2 .由|PQ|＝|OF|，得 2 a2－ a2 c 2 ＝c，整理得 c4－4a2c2 ＋4a4＝0，即 e4－4e2＋4＝0，解得 e＝ 2，故选 A. 【答案】 A 与双曲线几何性质有关问题的解题策略 (1)求双曲线的离心率(或范围)：依据题设条件，将问题转化为关于 a，c 的等式(或不等 式)，解方程(或不等式)即可求得． (2)求双曲线的渐近线方程：依据题设条件，求双曲线中 a，b 的值或 a 与 b 的比值，进 而得出双曲线的渐近线方程． (3)求双曲线方程：依据题设条件，求出 a，b 的值或依据双曲线的定义，即可求双曲线 的方程． (4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长：依题设条件及 a，b，c 之间的关系求解． 1．(2019·高考全国卷Ⅲ)双曲线 C：x2 4 －y2 2 ＝1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上， O 为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO 的面积为( ) A.3 2 4 B．3 2 2 C．2 2 D．3 2 解析：选 A.不妨设点 P 在第一象限，根据题意可知 c2＝6，所以|OF|＝ 6. 又 tan∠POF＝b a ＝ 2 2 ，所以等腰三角形 POF 的高 h＝ 6 2 × 2 2 ＝ 3 2 ，所以 S△ PFO＝ 1 2 × 6× 3 2 ＝3 2 4 . 2．(2020·广东汕尾一模)已知双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)，F 是双曲线 C 的右焦 点，A 是双曲线 C 的右顶点，过 F 作 x 轴的垂线，交双曲线于 M，N 两点．若 tan∠MAN＝ －3 4 ，则双曲线 C 的离心率为( ) A．3 B．2 C.4 3 D． 2 解析：选 B.由题意可知 tan∠MAN＝－3 4 ＝ 2tan∠MAF 1－tan2∠MAF ， 解得 tan∠MAF＝3， 可得 b2 a c－a ＝3，可得 c2＋2a2－3ac＝0，e2＋2－3e＝0， 因为 e＞1，所以解得 e＝2. 故选 B. [基础题组练] 1．“k<9”是“方程 x2 25－k ＋ y2 k－9 ＝1 表示双曲线”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 A.因为方程 x2 25－k ＋ y2 k－9 ＝1 表示双曲线，所以(25－k)(k－9)<0，所以 k<9 或 k>25， 所以“k<9”是“方程 x2 25－k ＋ y2 k－9 ＝1 表示双曲线”的充分不必要条件，故选 A. 2．双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的离心率为 3，则其渐近线方程为( ) A．y＝± 2x B．y＝± 3x C．y＝± 2 2 x D．y＝± 3 2 x 解析：选 A.法一：由题意知，e＝c a ＝ 3，所以 c＝ 3a，所以 b＝ c2－a2＝ 2a，所以b a ＝ 2，所以该双曲线的渐近线方程为 y＝±b ax＝± 2x，故选 A. 法二：由 e＝c a ＝ 1＋ b a 2 ＝ 3，得b a ＝ 2，所以该双曲线的渐近线方程为 y＝±b ax＝ ± 2x，故选 A. 3．(2020·广东揭阳一模)过双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的两焦点且与 x 轴垂直的直线 与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为( ) A. 5－1 B． 5＋1 2 C.3 2 D．2 解析：选 B.将 x＝±c 代入双曲线的方程得 y2＝b4 a2 ⇒y＝±b2 a ，则 2c＝2b2 a ，即有 ac＝b2＝ c2－a2，由 e＝c a ，可得 e2－e－1＝0，解得 e＝ 5＋1 2 (舍负)．故选 B. 4．设双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的右焦点是 F，左、右顶点分别是 A1，A2，过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B，C 两点．若 A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为( ) A．y＝±1 2x B．y＝± 2 2 x C．y＝±x D．y＝± 2x 解析：选 C. 如图，不妨令 B 在 x 轴上方，因为 BC 过右焦点 F(c，0)，且垂直于 x 轴，所以可求得 B， C 两点的坐标分别为 c，b2 a ， c，－b2 a .又 A1，A2 的坐标分别为(－a，0)，(a，0)． 所以A1B→ ＝ c＋a，b2 a ，A2C→ ＝ c－a，－b2 a . 因为 A1B⊥A2C，所以A1B→ ·A2C→ ＝0， 即(c＋a)(c－a)－b2 a ·b2 a ＝0， 即 c2－a2－b4 a2 ＝0， 所以 b2－b4 a2 ＝0，故b2 a2 ＝1，即b a ＝1. 又双曲线的渐近线的斜率为±b a ， 故该双曲线的渐近线的方程为 y＝±x. 5．(2020·河北衡水三模)过双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的右焦点 F( 5，0)作斜率为 k(k ＜－1)的直线与双曲线过第一象限的渐近线垂直，且垂足为 A，交另一条渐近线于点 B，若 S△BOF＝5 3(O 为坐标原点)，则 k 的值为( ) A．－ 2 B．－2 C．－ 3 D．－ 5 解析：选 B.由题意得双曲线过第一象限的渐近线方程为 y＝－1 kx，过第二象限的渐近线 的方程为 y＝1 kx，直线 FB 的方程为 y＝k(x－ 5)，联立方程得 y＝k（x－ 5）， y＝1 kx ⇒x＝ 5k2 k2－1 ， 所以 y＝ 5k k2－1 ，所以 S△BOF＝1 2|OF|×|yB|＝1 2 × 5×| 5k k2－1|＝5 2 － k k2－1 . 令5 2 － k k2－1 ＝5 3 ，得 k＝－2 或 k＝1 2(舍)．故选 B. 6．(2020·黄山模拟)过双曲线 E：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的左焦点(－ 5，0)，作圆(x－ 5)2 ＋y2＝4 的切线，切点在双曲线 E 上，则 E 的离心率等于( ) A．2 5 B． 5 C. 5 3 D． 5 2 解析：选 B.设圆的圆心为 G，双曲线的左焦点为 F.由圆的方程(x－ 5)2＋y2＝4，知圆 心坐标为 G( 5，0)，半径 R＝2，则 FG＝2 5. 设切点为 P， 则 GP⊥FP，PG＝2，PF＝2＋2a， 由|PF|2＋|PG|2＝|FG|2， 即(2＋2a)2＋4＝20， 即(2＋2a)2＝16，得 2＋2a＝4，a＝1，又 c＝ 5， 所以双曲线的离心率 e＝c a ＝ 5，故选 B. 7．设 F 为双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，若线段 OF 的垂直平分线与双曲线 的渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为1 2|OF|，则双曲线的离心率为( ) A．2 2 B．2 3 3 C．2 3 D．3 解析：选 B.双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为 y＝±b ax，线段 OF 的垂直平分 线为直线 x＝c 2 ，将 x＝c 2 代入 y＝b ax，则 y＝bc 2a ，则交点坐标为 c 2 ，bc 2a ， 点 c 2 ，bc 2a 到直线 y＝－b ax，即 bx＋ay＝0 的距离 d＝ |bc 2 ＋bc 2 | a2＋b2 ＝1 2|OF|＝c 2 ，得 c＝2b＝ 2 c2－a2，即 4a2＝3c2， 所以双曲线的离心率 e＝c a ＝2 3 3 ，故选 B. 8．已知双曲线 C：x2 3 －y2＝1，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两 条渐近线的交点分别为 M，N.若△OMN 为直角三角形，则|MN|＝( ) A.3 2 B．3 C．2 3 D．4 解析：选 B.因为双曲线x2 3 －y2＝1 的渐近线方程为 y＝± 3 3 x，所以∠MON＝60°.不妨设 过点 F 的直线与直线 y＝ 3 3 x 交于点 M，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°， 则∠MFO＝60°，又直线 MN 过点 F(2，0)，所以直线 MN 的方程为 y＝－ 3(x－2)， 由 y＝－ 3（x－2）， y＝ 3 3 x， 得 x＝3 2 ， y＝ 3 2 ， 所以 M 3 2 ， 3 2 ，所以|OM|＝ 3 2 2 ＋ 3 2 2 ＝ 3，所 以|MN|＝ 3|OM|＝3，故选 B. 9．(2020·湛江模拟)设 F 为双曲线 E：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a，b＞0)的右焦点，过 E 的右顶点作 x 轴的垂线与 E 的渐近线相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，四边形 OAFB 为菱形，圆 x2＋y2 ＝c2(c2＝a2＋b2)与 E 在第一象限的交点是 P，且|PF|＝ 7－1，则双曲线 E 的方程是( ) A.x2 6 －y2 2 ＝1 B．x2 2 －y2 6 ＝1 C.x2 3 －y2＝1 D．x2－y2 3 ＝1 解析：选 D.双曲线 E：x2 a2 －y2 b2 ＝1 的渐近线方程为 y＝±b ax， 因为四边形 OAFB 为菱形， 所以对角线互相垂直平分，所以 c＝2a，∠AOF＝60°， 所以b a ＝ 3. 则有 x2 a2 － y2 3a2 ＝1， x2＋y2＝c2＝4a2， 解得 P 7 2 a，3 2a . 因为|PF|＝ 7－1， 所以 7 2 a－2a 2 ＋ 3 2a 2 ＝( 7－1)2，解得 a＝1， 则 b＝ 3， 故双曲线 E 的方程为 x2－y2 3 ＝1. 故选 D. 10．已知双曲线x2 9 －y2 b2 ＝1(b＞0)的左顶点为 A，虚轴长为 8，右焦点为 F，且⊙F 与双 曲线的渐近线相切，若过点 A 作⊙F 的两条切线，切点分别为 M，N，则|MN|＝( ) A．8 B．4 2 C．2 3 D．4 3 解析：选 D.因为双曲线x2 9 －y2 b2 ＝1(b＞0)的虚轴长为 8， 所以 2b＝8，解得 b＝4， 因为 a＝3， 所以双曲线的渐近线方程为 y＝±4 3x，c2＝a2＋b2＝25，A(－3，0)，所以 c＝5，所以 F(5， 0)， 因为⊙F 与双曲线的渐近线相切， 所以⊙F 的半径为|4×5＋0| 42＋32 ＝4， 所以|MF|＝4， 因为|AF|＝a＋c＝3＋5＝8， 所以|AM|＝ 82－42＝4 3， 因为 S 四边形 AMFN＝2×1 2|AM|·|MF|＝1 2|AF|·|MN|， 所以 2×1 2 ×4 3×4＝1 2 ×8|MN|， 解得|MN|＝4 3，故选 D. 11．(2020·开封模拟)过双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的右焦点 F 作圆 x2＋y2＝a2 的 切线 FM(切点为 M)，交 y 轴于点 P，若PM→ ＝2MF→ ，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B． 6 2 C. 3 D．2 解析：选 B.设 P(0，3m)，由PM→ ＝2MF→ ，可得点 M 的坐标为 2 3c，m ，因为 OM⊥PF， 所以m 2 3c ·3m －c ＝－1，所以 m2＝2 9c2，所以 M 2 3c，± 2c2 9 ，由|OM|2＋|MF|2＝|OF|2，|OM|＝a， |OF|＝c 得，a2＋ c 3 2 ＋2c2 9 ＝c2，a2＝2 3c2，所以 e＝c a ＝ 6 2 ，故选 B. 12．过双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两 点，D 为虚轴上的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为( ) A．(1， 2) B．( 2， 2＋ 2) C．( 2，2) D．(1， 2)∪( 2＋ 2，＋∞) 解析：选 D.设双曲线：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左焦点为 F1(－c，0)， 令 x＝－c，可得 y＝±b2 a ，可设 A －c，b2 a ，B －c，－b2 a . 又设 D(0，b)，可得AD→ ＝ c，b－b2 a ，DA→ ＝ －c，b2 a －b ， AB→＝ 0，－2b2 a ，DB→ ＝ －c，－b－b2 a . 由△ABD 为钝角三角形，可得∠DAB 为钝角或∠ADB 为钝角． 当∠DAB 为钝角时，可得AD→ ·AB→<0，即为 0－2b2 a · b－b2 a <0，化为 a>b，即有 a2>b2＝ c2－a2.可得 c2<2a2，即 e＝c a< 2.又 e>1，可得 10，由 e＝c a ， 可得 e4－4e2＋2>0.又 e>1，可得 e> 2＋ 2. 综上可得，e 的范围为(1， 2)∪( 2＋ 2，＋∞)．故选 D. 13．焦点在 x 轴上，焦距为 10，且与双曲线y2 4 －x2＝1 有相同渐近线的双曲线的标准方 程是________． 解析：设所求双曲线的标准方程为y2 4 －x2＝－λ(λ>0)，即x2 λ － y2 4λ ＝1，则有 4λ＋λ＝25， 解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x2 5 －y2 20 ＝1. 答案：x2 5 －y2 20 ＝1 14．过双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的左焦点 F1 作圆 x2＋y2＝a2 的切线交双曲线的右支 于点 P，且切点为 T，已知 O 为坐标原点，M 为线段 PF1 的中点(点 M 在切点 T 的右侧)，若 △OTM 的周长为 4a，则双曲线的渐近线方程为________． 解析：连接 OT，则 OT⊥F1T， 在直角三角形 OTF1 中，|F1T|＝ OF21－OT2＝ c2－a2＝b. 设双曲线的右焦点为 F2，连接 PF2，M 为线段 F1P 的中点，O 为坐标原点， 所以 OM＝1 2PF2， 所以|MO|－|MT|＝1 2|PF2|－ 1 2|PF1|－|F1T| ＝1 2(|PF2|－|PF1|)＋b＝1 2 ×(－2a)＋b＝b－a. 又|MO|＋|MT|＋|TO|＝4a，即|MO|＋|MT|＝3a， 故|MO|＝b＋2a 2 ，|MT|＝4a－b 2 ， 由勾股定理可得 a2＋ 4a－b 2 2 ＝ b＋2a 2 2 ，即b a ＝4 3 ， 所以渐近线方程为 y＝±4 3x. 答案：y＝±4 3x 15．已知 M(x0，y0)是双曲线 C：x2 2 －y2＝1 上的一点，F1，F2 是双曲线 C 的两个焦点．若 MF1 → ·MF2 → <0，则 y0 的取值范围是________． 解析：由题意知 a＝ 2，b＝1，c＝ 3， 设 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)， 则MF1 → ＝(－ 3－x0，－y0)，MF2 → ＝( 3－x0，－y0)． 因为MF1 → ·MF2 → <0， 所以(－ 3－x0)( 3－x0)＋y20<0， 即 x20－3＋y20<0. 因为点 M(x0，y0)在双曲线 C 上， 所以x20 2 －y20＝1，即 x20＝2＋2y20， 所以 2＋2y20－3＋y20<0，所以－ 3 3 0，b>0)的左、右两个焦点，若直线 y＝x 与双曲线 C 交于 P，Q 两点，且四边形 PF1QF2 为矩形，则双曲线的离心率为________． 解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线 y＝x 代入双曲线 C 方程，可得 x＝ ± a2b2 b2－a2 ，所以 2· a2b2 b2－a2 ＝c，所以 2a2b2＝c2(b2－a2)，即 2(e2－1)＝e4－2e2，所以 e4 －4e2＋2＝0.因为 e>1，所以 e2＝2＋ 2，所以 e＝ 2＋ 2. 答案： 2＋ 2 [综合题组练] 1．过双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左焦点 F(－c，0)作圆 O：x2＋y2＝a2 的切线，切点 为 E，延长 FE 交双曲线于点 P，若 E 为线段 FP 的中点，则双曲线的离心率为( ) A. 5 B． 5 2 C. 5＋1 D． 5＋1 2 解析：选 A. 法一：如图所示，不妨设 E 在 x 轴上方，F′为双曲线的右焦 点，连接 OE，PF′， 因为 PF 是圆 O 的切线，所以 OE⊥PE，又 E，O 分别为 PF， FF′的中点，所以|OE|＝1 2|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根 据双曲线的性质，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a， 在 Rt△OEF 中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即 a2＋4a2＝c2，所以 e＝ 5，故选 A. 法二：连接 OE，因为|OF|＝c，|OE|＝a，OE⊥EF，所以|EF|＝b，设 F′为双曲线的右焦 点，连接 PF′，因为 O，E 分别为线段 FF′，FP 的中点，所以|PF|＝2b，|PF′|＝2a，所以|PF| －|PF′|＝2a，所以 b＝2a，所以 e＝ 1＋ b a 2 ＝ 5. 2．(2020·汉中模拟)设 F1(－c，0)，F2(c，0)是双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的左， 右焦点，点 P 是 C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是∠F1PF2 的平分线，过点 F1 作 PQ 的 垂线，垂足为 Q，O 为坐标原点，则|OQ|( ) A．为定值 a B．为定值 b C．为定值 c D．不确定，随 P 点位置变化而变化 解析：选 A.延长 F1Q，PF2 交于点 M，则三角形 PF1M 为等腰三角形，可得 Q 为 F1M 的中点，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝|F2M|＝2a，由三角形中位线定理可得|OQ|＝ 1 2|F2M|＝a，故选 A. 3．以椭圆x2 9 ＋y2 5 ＝1 的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线 C，其左、右焦点分别是 F1， F2.已知点 M 的坐标为(2，1)，双曲线 C 上的点 P(x0，y0)(x0>0，y0>0)满足PF1 → ·MF1 → |PF1 → | ＝ F2F1 → ·MF1 → |F2F1 → | ， 则 S△PMF1－S△PMF2＝( ) A．2 B．4 C．1 D．－1 解析：选 A.由题意，知双曲线方程为x2 4 －y2 5 ＝1，|PF1|－|PF2|＝4，由PF1 → ·MF1 → |PF1 → | ＝ F2F1 → ·MF1 → |F2F1 → | ，可得F1P→ ·F1M→ |MF1 → ||F1P→ | ＝F1F2 → ·F1M→ |MF1 → ||F1F2 → | ，即 F1M 平分∠PF1F2. 又结合平面几何知识可得，△F1PF2 的内心在直线 x＝2 上，所以点 M(2，1)就是△F1PF2 的内心． 故 S△PMF1－S△PMF2＝1 2 ×(|PF1|－|PF2|)×1＝1 2 ×4×1＝2. 4．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点．若F1A→ ＝AB→，F1B→ ·F2B→ ＝0，则 C 的离心率为________． 解析：通解：因为F1B→ ·F2B→ ＝0，所以 F1B⊥F2B，如图． 所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为F1A→ ＝AB→，所以 点 A 为 F1B 的中点，又点 O 为 F1F2 的中点，所以 OA∥BF2，所以 F1B⊥OA，因为直线 OA， OB 为双曲线 C 的两条渐近线，所以 tan ∠BF1O＝a b ，tan ∠BOF2＝b a.因为 tan ∠BOF2＝ tan(2∠BF1O)，所以b a ＝ 2×a b 1－ a b 2 ，所以 b2＝3a2，所以 c2－a2＝3a2，即 2a＝c，所以双曲线的 离心率 e＝c a ＝2. 优解：因为F1B→ ·F2B→ ＝0，所以 F1B⊥F2B， 在 Rt△F1BF2 中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B，又F1A→ ＝AB→，所以 A 为 F1B 的 中点，所以 OA∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B.又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2 为等边三角 形．由 F2(c，0)可得 B c 2 ， 3c 2 ，因为点 B 在直线 y＝b ax 上，所以 3 2 c＝b a·c 2 ，所以b a ＝ 3， 所以 e＝ 1＋b2 a2 ＝2. 答案：2 5．已知双曲线 C：x2 4 －y2＝1，直线 l：y＝kx＋m 与双曲线 C 相交于 A，B 两点(A，B 均 异于左、右顶点)，且以线段 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D，则直线 l 所过定点为 ________． 解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 y＝kx＋m， x2 4 －y2＝1， 得(1－4k2)x2－8kmx－4(m2＋1)＝0， 所以Δ＝64m2k2＋16(1－4k2)(m2＋1)＞0，x1＋x2＝ 8mk 1－4k2 ＞0，x1x2＝－4（m2＋1） 1－4k2 ＜0， 所以 y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝m2－4k2 1－4k2 . 因为以线段 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D(－2，0)，所以 kAD·kBD＝－1， 即 y1 x1＋2 · y2 x2＋2 ＝－1， 所以 y1y2＋x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝0， 即m2－4k2 1－4k2 ＋－4（m2＋1） 1－4k2 ＋ 16mk 1－4k2 ＋4＝0， 所以 3m2－16mk＋20k2＝0，解得 m＝2k 或 m＝10k 3 . 当 m＝2k 时，l 的方程为 y＝k(x＋2)，直线过定点(－2，0)，与已知矛盾； 当 m＝10k 3 时，l 的方程为 y＝k x＋10 3 ，直线过定点 －10 3 ，0 ，经检验符合已知条件． 故直线 l 过定点 －10 3 ，0 . 答案： －10 3 ，0 6．已知 P 为双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)右支上的任意一点，经过点 P 的直线与 双曲线 C 的两条渐近线分别相交于 A，B 两点．若点 A，B 分别位于第一、四象限，O 为坐 标原点，当AP→＝1 2PB→时，△AOB 的面积为 2b，则双曲线 C 的实轴长为________． 解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由AP→＝1 2PB→，得(x－x1，y－y1)＝1 2(x2－x，y2 －y)， 则 x＝2 3x1＋1 3x2，y＝2 3y1＋1 3y2， 所以 （2 3x1＋1 3x2）2 a2 － （2 3y1＋1 3y2）2 b2 ＝1. 由题意知 A 在直线 y＝b ax 上，B 在 y＝－b ax 上，则 y1＝b ax1，y2＝－b ax2. 所以 （2 3x1＋1 3x2）2 a2 － （2 3y1＋1 3y2）2 b2 ＝1，即 b2(2 3x1＋1 3x2)2－a2(2b 3ax1－ b 3ax2)2＝a2b2， 化简得：a2＝8 9x1x2， 由渐近线的对称性可得 sin∠AOB＝sin 2∠AOx ＝ 2sin∠AOxcos∠AOx sin2∠AOx＋cos2∠AOx ＝ 2tan∠AOx tan2∠AOx＋1 ＝ 2b a （b a ）2＋1 ＝ 2ab b2＋a2. 所以△AOB 的面积为1 2|OA||OB|sin∠AOB＝1 2 x21＋y21· x22＋y22·sin∠AOB ＝1 2 x21＋（b ax1）2· x22＋（－b ax2）2· 2ab b2＋a2 ＝x1x2· 1＋（b a ）2· 1＋（b a ）2· ab b2＋a2 ＝9 8a2· ab b2＋a2 ·[1＋(b a)2]＝9 8ab＝2b，解得 a＝16 9 .所以双曲线 C 的实轴长为32 9 . 答案：32 9