高三数学同步辅导教材(第4讲) 8页

高三数学总复习教程（第 4 讲） 一、本讲进度 集合的概念和运算 集合的概念、集合间关系、集合的运算 二、 习指导 集合的三特性——元素的确定性，无序性、互异性揭示了集合的本质，它是我们解一些集合问题的 钥匙，理解集合，子集、补集、交集、并集、空集、全集的意义，对属于包含、相等关系的定义要掌握 相关术语和符号会改、会写，对集合的文字表达，符号表达及图示（韦恩图）要能转换自如。 三、 型例题讲评 例 1．已知集合 A= xyyxyx ,,  ，B= 0,, 2222 yxyx  ，A=B，求 x，y 的值。 本题考查集合相等的概念及集合的特性。 如一般地考虑分成 x－y=0，x+y=0 和 xy=0 三种情况，费时费力，比较合理的思路是： 10. 根中元素的互异性，B 中 x2－y2≠0，故 A 中 x－y，x+y 均不为 0，从而 xy=0； 20. 再根据元素的互异性：x+y≠x－y，知 y≠0 而 x=0 30.于是有 y=y2 和－y=y2 两种方案，据 y≠0 知 y=±1. 例 2．已知集使 A= 0)1()1( 222  aayaayy ， B=        30,2 5 2 1 2 xxxyy ，A∩B=φ ，求实数 a 的取值范围. 先易后难，先明后暗，这是解题的策略，故先写出集合 B=[2，4]. 方程 y2－(a2+a+1)y+a(a2+1)=0 的两根为 a，a2+1，而 a2+1≥2 a ≥ ≥a，且等号不能都成立，故 A= （－∞，a）∪（a2+1，+∞），A∩B=φ       14 2 2a a  a∈（－∞，－ 3 ）∪[ ，2] 本题中，最易出错的地方是把      14 2 2a a 写为      14 2 2a a ，做题时必须把边界处仔细推敲。 例 3．已知函数 y=3x+1 的定义域为 A= dcb ,,,3 ，值域为 B= 2025,3,7,4 233  aaaaa 求 a+b+c+d. 本题涉及到的知识为集合的特性，映射及道映射. 分别令 3x+1= 4，7，知 1，2∈A. 又 3 的象为 10. 若 a3+3a=10，知 a=2 或－5，相应地，a3+5a2+2a+20=52 或 10，故 a=－5 时，a2+3a 与 a3+5a2+2a+20 相同，舍去， 若 a3+5a2+2a+20=10，即(a+5)(a2+2)=0，a=－5，相应地，a2+3a=10，亦应舍去. ∴a=2，令 52=3x+1，x=17 知 17∈A. ∴a+b+c+d=2+17+1+2=22. 本题中并没有确定（也无法确定）b、c、d 分别是什么，而是从总体考虑“它们是什么”，这可能是 读者不习惯的所在. 例 4．已知函数 f(x)=x+1，g(x)=x2，A=[－1，a]（a＞－1），求使集合 A= Axxfyy  ),( 与集合 B= Axxgyy  ),( 相等的实数 a 的值. 本题涉及一次函数的值域（指定定义域）和二次函数的值域（指定定义域）两个知识点及分类讨论 的数学思想。 一次函数 f(x)=x+1，x∈[－1，a]是单调递增函数，∴A=[0，a+1]，而 B 集合是指定了定义域的二次 函数，不一定是单调的决不能简单地“代两头”而说它的值域是[1－a2]（按这样的错误想法，A、B 是决 然不会相等的），故该讨论： 10. 若 a∈（－1，0），则 g(x)单调递减，B=[a2，1]不可能与集合 A 相等。 20. 若 a∈[0，1]，则 B=[0，1]，要与 A 相等，须 a+1=0，∴a=0， 30. 若 a∈（1，+∞），则 B=[0，a2]，要与 A 相等，须 a+1=a2，a= 2 51 但 2 51 ＜1，舍去. ∴a=0 或 2 51 例 5．已知集合 A= 有意义使 2xaxayx  ，集合 B= 有意义使 2xaxayy  ，A=B 是否 可能成立？如可能成立，求出使 A=B 的 a 的取值范围，如不可能成立，说明理由. 本题两集合是用描述法表示的，在“元素的形式”这一部分分别用了 x、y，不能据此认为“元素的 形式不同，故不可能相等”因它们只不过用以表达的字（代号）不同，实质是一样的，即元素的形式是 “数”。它所能否相等，只要看它们所表示的数集是否相同。 当 a＞0 时，A=[0，a]，B=[0， 2 2a ]，要 A=B，须 a= ，a=2. 当 a＜0 时，A=[a，0]，B=[－ ，0]，要 A=B，须 a=－ ，a=－2. 当 a=0 时，A= 0 ，B= 0 ，满足 A=B 根据上面的讨论知，A 与 B 两集合有可能相等，只需 a∈ 2,0,2 即可. 例 6．定义域为  0,  xRxx 且 的奇函数 f(x)在（0，+∞）上单调递增，而 f(1)=0，设函数 g(x)=sin2x+kcosx－2k（x∈[0， 2  ]）集合 M= 0)( xgk 使 N= 0)]([ xgfk 使 ，求 M∩N. 本题如先分别求出 M、N，再求它们的交集，费时费工，因为其中有一部分是重复劳动。 ∵f[g(x)]是复合函数，我们应先由 f[g(x)]＜0，求出相应 g(x)应满足的条件，再进一步求 M∩N 中 g(x) 满足的条件，这样做事半功倍。 先据 f(x)是奇函数 f(1)=0，（ 0，+∞）上增，证明 f(－1)=0，f(0)在（－∞，0）上也增，从而说明 f[g(x)] ＜0 的充要条件是 f(x)∈（―∞，―1）∪（0，1）. 又 N 中要求 g(x)＜0，∴M∩N 要求 g(x)＜－1，即 k＞ x x cos2 sin1 2   = x x cos2 cos2 2   = 4－[（2－cosθ ） + cos2 2  ]， 右边当 cosθ =2－ 2 时有最大值 4－2 ，∴k＞4－2 . M∩N=(4－2 ，+∞). 当然，更多的同学是下面的思路：由 g(x)＜－1 知 cos2x－kcosx+2k－2＞0，记 u=cosx∈[0，1]，则即 u2－ku+2k－2＞0. 10. 当 2 k ∈[0，1]，即 k∈[0，2]时，f(u)=u2－ku+2k－2 的最小值为 2k－2－ 4 2k 须＞0，k∈（ 4－2 ， 4+2 ）. ∴k∈（4－2 ，2） 20.当 ＞1.即 k＞2 时，f(u)∣min=f(1)=k－1＞0，k＞1. ∴k＞2 30. 当 ＜0，即 k＜0 时，f(u)∣min=f(0)=2k－2＞0，k＞1. ∴k∈φ 综上，k∈(4－2 ，+∞) 第一种思路是以 k 为主，把问题转化为求分式函数 f(x)= x x   2 2 2 ，x∈[0，1]的最小值；第二种思路 是以 u=cosx∈[0，1]为主，讨论二次函数 f(u)=u2－ku+2k－2 的最小值.两者都是解决这类问题的常用办法. 例 7．已知集合 A= 1),( 2  xyyx ，B= 05224),( 2  yxxyx ，C= bkxyyx ),( ， 是否存在正整数 k 与 b，使（A∪B）∩ C=φ ？涉及的第一个知识点是集合的运算：（A∪B）∩ C=φ  A ∩C=φ 且 B∩C=φ . 第二个知识点是两曲线的交点：      bkxy xy 12 ，消去 y，(kx+b)2=x+1      bkxy yxx 05224 2 消去 y，4x2+2x+14=2(kx+b) 即 4x2+2x(1－k)+1－2b=0 无解 故      0)]21(4)1[(4 0144 2 2 2 1 bk bkk .(∵k∈N+，故不由考虑 k=0) 至此，许多同学会遇到障碍：面对二元不等式组，如何“消去”？这与方程消去当然不同，由于两 式中 b 都是一次的，故可得         k kkb k kb 4 14 8 )1(20 4 14 22 2 ，虽可得一高次不等式，k3+6k2－19k+2＜0， 我们都无从解出，有理却无力. 因此，我们通过估值另辟径：         2 5 8 20 8 )1(20 14 14 2 2 kb k kb 从而 1＜b＜ 2 5 ，又 b∈N+，∴b=2. 再代回原不等式组：         8 )1(202 4 142 2 2 k k k 分别解得      31 2 22 2 22 k k 又 k∈N+，∴k=1. ∴存在自然数 k=1，b=2，满足题设条件 四、 巩固练习 1．B 集合 A= 3,1,2 aa ，B= 1,12,3 2  aaa ，A∩B= 3 ，则 a 的值为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）－1 2．B A∩B=φ ，M= Axx  ，N= Byy  ，则下列各式错误的是（ ） （A）M∩N=φ （B）M∩N=  （C）φ ∈M∩N （D）φ   M∩N 3．A 集合 A= 有实数使 axxa  34 ，则 A=（ ） （A）（－∞，1） （B） ,1 （C）（ 1，+∞） （D）（ 3，4） 4．C 函数 y=lg[x2+(m－3)x+ 4 9 ]的定义域为 A，值域为 B，集合 M= RAm 使 ，N= kBm 使 ， 则有（ ） （A）M∩N=φ （B）M  N （C）M N （D）M ∪N=R 5．B 已知集合 M=    RMxaaxx 满足01)1(2 ，求 a 的取值范围. 6．C 设集合 M= )520(log)(10log 2xaxaax  ，M∩Z= 1 ，求 a 的取值范围. 7．B M= 012  bxaxx ，N= 02  abxxx ，若 M N.求 a、b 关系. 8．B 已知 f(x)为一次函数，集合 A= )(xfxx  ，B= )]([ xffxx  ，若 A 为单元素集，求证：B=A 或 B=k. 9．B 已知集合 A= 有意义使 2215 xxyx  ，B= 22 xxayy  ，全集 U=R，（ AC U ）∪B， 求 a 的取值范围. 10．C 已知集合 A= Znmnmxx  ,,22 ，B= Zkkxx  ,12 ，C= Aqppqxx  ,, （1）A 与 B 两集合的关系如何？ （2）A 与 C 两集合的关系如何？ （3）求 CZA. 11．B 已知集合 A= 0,),(  aayxyx ，B= 0)1)(1(),(  yxyx ，若 A∪B 恰为某正八 边形顶点的集合，求 a. 12．B A= 01)2(2  xaxx ，若 A∩R+=φ ，求 a 的取值范围. 13 ． A U=  业生新江中学第一届高中毕 ， A=  该届男生 ， B=  该届赴海外深造者 ， D= 该届考入公务员者 ，写出下列各式的含义：（1）（ CUA）∩B=φ ，（ 2）（ A∩D）∪CUA=U 14．B 求下列不等式的解集： （1） 52 x － 4x ＜2x+2 （2） 522  xx ＜2x （3） 122  xx ＞x－1 15．已知集合 A=   11),(  yxyx 且 ，B= 1)()(),( 22  ayaxyx . （1）若 A∩B≠φ ，求 a 的取值范围. （2）记点集 A∩B 的面积为 f(a)，注 f(1，5). 五、参考答案 1．－3∈B，而 a2+1≥1，∴a―3=―3 或 2a―1=―3，即 a=0 或―1.但 a=0 时，A 中的 a+1 与 B 中的 a2+1 均为 1，与 A∩B= 3 矛盾，∴a=－1，选（D） 2．∵A∩B=φ ，∴M 与 N 有且仅有一个公共元素中，故（B）、（C）、（D）都对，选（A） 3．f(x)= 4x + x3 =      x x 27 1 72 3 )4,3( 4    x x x 知 f(x)≥1. 要使 f(x)＜a 有解，须 a＞1，选（C） 4．要使 A=R，即 x2+(m－3)+ 4 9 ＞0 恒成立，其充要条件是△=(m―3)2―9＜0，m∈(0，6). 要使 B=R，须 x2+(m－3)+ 的值域 R+，即 － 4 )3( 2m ≤0，m≥6 或≤0，选（A） 5．当 a≥0 时，M 不可能是 R+的子集，∴a＜0. φ   M，∴△(a+1)2+4a＞0，M  R+，故两根均正. 即 a a 1 ＞0，且－ a 1 ＞0，解得 a＜―3―2 2 ∴a∈（－∞，―3―2 ）. 6．1∈M，∴loga10(a－1)＜loga15，∴      15)1(10 1 a a a∈（1， 2 5 ）， 此时原不等式即 0＜10(a－x)＜20－5x2，记 u=a－x＞0 则有 f(u)=u2+2(1－a)u+a2－4＜0，相应于 x=0 和 x=2 的 u 为 a 及 a－2,      0204)2)(1(2)2()2( 04)1(2)( 22 22 aaaaaaf aaaaaf 或 ∴a≥2. ∴a∈      2 5,2 7．N 为某开区间或φ ，故 a≥0 时，M 不可能是 N 的子集，a＜0，此时两个不等式之△=b2－4a≥0， M=（ a abb 2 42  ， a abb 2 42  ）（注意，两端不要搞颠倒了） N=（ 2 42 abb  ， 2 42 abb  ） 要使 M N，须         2 4 2 4 2 4 2 4 22 22 abb a abb abb a abb 于是有      )1(4)1( )1(4)1( 2 2 ababa ababa ∴      )1(41 1 2 ababa a 即      22)1( 1 ba a ∴―a―1≥ b （a≤－1） 8．设 f(x)=kx+b，(k≠0)，kx+b=x，(1－k)x=b，解集为单元素集，∴k≠1，于是 f[f(x)]=kf(x)+b=k(kx+b)+b. 方程 k2x+kx+b=x，即(1―k2)x=b(k+1) 若 k=―1，则 B=k，若 k≠―1，则 x= k b 1 ，与 f(x)=x 用解，∴B=A. 9．15―2x―x2≥0，知 x∈[―5，3]，y=a―(x+1)2+1≤a+1，知 B= 1,  a ，CUA=（―∞，―5）∪（3， +∞），要使(CUA)∪B=k，须 a+1≥3，∴a∈ ,2 10．（ 1）对任一 x=2k―1∈B，都有 x=k2―(k―1)2∈ A，∴ B A. （2）对任一 x∈C，必存在 p=m 2 1 ―n .q=m 2 2 ―n ，(m1 ，m2…n1，n2∈Z)，使 x=( m ―n .)( m ― n)=( m m +n n )―(m n + m n )= (m m +2m1m2n1n2++n n )―(m n +2m1n2m2n1+ m n ) =(m1m2+n1n2)2―(m1n2+m2n1)2∈A ∴C  A. (3)∵4(2k―1)=(2k)2―[2(k―1)]2∈A ∴ Zkkxx  ,4  A. 而 4m+2 (m∈Z)，若属于 A，即 4m+2=p2―q2，则 p、q 必同奇偶，但(2k1)2―(2k2)2=4(k1+k2)(k1―k2)， 而(2k―1)2―(2k2―1)2= 4(k1―k2)(k1+k2―1)，均为 4 的倍数 ∴4m+2A 综上，CEA= Emzmxx  ,4 11．A 与 B 对应的图形都是关于原点， x 轴，y 轴对称的， 当 2＞a＞1 时，两图形才会有 8 个交点，在第一象限内两点坐标为（a―1，1），（ 1，a―1），要构成正八 边形，应有 2（a―1）= 2 (2―a)，a= 12．△=(a+2)2－4＜0 或      0)2( 04)2( 2 a a ，知 a＞―4 13．（ 1）该届出国者中无女生 （2）该届男生全部当 1 公务员. 14．（ 1）当 x≥4 时，原不等式即(2x+5) ―(x―4)＜2x+3，x＞6 ∴x＞6 当 x∈ 4,5 时，原不等式即 2x+5+x―4＜2x+3，x＜2， ∴x∈ 2,5 当 x＜－5 时，原不等式即(－2x－5)+x－4＜2x+3，x＞－4 ∴x∈φ 综上，解集为 ∪（6，+∞） （2）      xxxx x 2522 0 2        054 5 0 2 2 xx x x x∈(－ 5 ，5)， （3）当 x≤1 时，原不等式恒成立. 当 x1＞x2―2x―1＞x―1 或 x2―2x―1＜1－x，x∈（1,2）∪（3，+∞） ∴原不等式解集为（－∞，2）∪（3，+∞）. 15．（ 1）A 为 x=±1，y=±1，圆成之正方形及其内部，B 为以( a，a)为圆心，1 为半径的圆及其内部， 要 A∩B≠φ 之 a∈[－（1+ 2 2 ）， 1+ ] （2）把(x－ 2 3 )2+(y－ )2=1 分别与 x=1，y=1 联立，得两交点 A、B 坐标为（1， 2 33  ），（ 2 33  ， 1） AB = (1－ )= 2 13  ，∴∠AOB= 6  f(a)= 12 1 ·π ·12－(1－ )( －1)= 12 333 六、附录 例 1．∵x2+－y2≠0 ∴x+y，x－y 均不为 0 ∴xy=0，但若 y=0，则 x+y=x－y， ∴x=0 若      2 2 yy yy ，则 y=－1(0 舍去)，若      2 2 yy yy ，则 y=1（0 舍去） ∴      1 0 y x 或      1 0 y x 例 2．Y= 2 1 x2－x+ 2 5 ，当 x=1 时取最小值 2，当 x=3 时取最大值 4，∴B=[2，4] y 310 C DB1 A x ∵a2+1 恒大了 a，故 A 可表为(－∞，a)∪(a2+1，+∞) ∵A∩B=φ ，∴      41 2 2a a ，解得 a∈  3, ∪( 3 ，2) 例 3．令 3x1+1=4，3x2+1=7，得 x1=1，x2=2，在 A 中，令 x=3，则 3x+1=10，在 B 中 10.，若 a2+3a=10，则 a=2 或－5，相应地，a3+5a2+2a+20=52 或 10，故 a=－5 时，a2+3a 与 a3+5a2+2a+20 相同，舍去，∴ a=2. 20 .若 a3+5a2+2a+20=10，即(a+5)(a2+2)=0，a=－5，由上面知，应舍去. 又 52 的原象为 17，故 dcb ,, = 17,2,1 ∴a+b+c+d=2+1+2+17=22 例 4．f(x)=x+1 单调递增，∴ A=[0，a+1] B=    ],0[ ]1,0[ ]1,[ 2 2 a a ),1( ]1,0[ )0,1(    a a a 当 当 当 今 A=B，故或      11 ]1,0[ a a 或      21 ),1( aa a 分别解得 a=0 或 a= 2 51 . 例 5．当 a＞0 时，A=[0，a]，B=[0， 2 2a ]要使 A=B，应使 a= ，得 a=2 当 a＜0 时，A=[a，0]，B=[－ ，0]要使 A=B，应使－ =a，a=－2 当 a=0 时，A=B= 0 ∴a∈ 2,0,2 例 6．在（0，+∞）中，f(x)单调增，且 f(1)=0，∴当 x∈（0，1）时 f(x)＜0，当 x＞1 时，f(x)＞0. f(－1)= －f(1)=－0=0，又时任 x1＜x2＜0，有－x1＞－x2＞0 f(x1) －f(x2)= －f(－x1)+f(－x2)＜0，∴当 x∈(－∞，－1)时，f(x)＜0. 当 x∈(－1，0)时，f(x)＞0. M∩N= 0))((0)(  xgfxfk 且使使 = )1,0()(1)(0)(  xgxgxgk 或且使使 = 1)( xgk 使 ∴k＞ x x cos2 sin1 2   = x x cos2 cos2 2   = 4－[(2－cosx)+ xcos2 2  ] 而式右端的最大值为 4－2 2 ,(当 cosθ =2－ 2 时) ∴k＜4－2 ，M∩N=(4－2 ，+∞) 例 7．由已知 A∩C=Φ 且 B∩C=φ . 由      bkxy xy 12 得 k2x2+(2bk－1)x+2－1=0 △1= 4k2－4bk+1＜0，b＞ k k 4 14 2  ≥1 ① 由      bkxy yxx 05224 2 得 4x2+2x(1－k)+1－2b=0 △2= 4[(1－k)2－4(1－2b)]＜0，b＜ 8 )1(20 2 k ≤ 2 5 ② 由①、②      * )2 5,1( Nb b ∴b=2，代入①、②         * 2 2 4)1( 0184 Nk k kk ∴k=1 存在自然数 k=1，b=2，满足题目要求.