青海省大通回族土族自治县第一完全中学2019-2020学年高一下学期期中考试联考数学试题 14页

大通县四校联考2019—2020学年第二学期期中考试 高一年级数学试卷 一、 选择题 ：本题共12小题 ，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .‎ ‎1.已知,,满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质，逐项判断，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为,,满足，且，则，，所以一定成立；‎ 又因为，所以，即一定不成立；‎ 因为是否为不确定，因此也不一定成立；‎ 因为，所以一定成立.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查不等关系与不等式，熟记不等式性质即可，属于常考题型.‎ ‎2. 是等差数列 的前n项和，如果 ，那么 的值是 ( )‎ A. 12 B. ‎24 ‎C. 36 D. 48‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质：若m+n=p+q,则 即可得.‎ ‎【详解】 ‎ 故选B ‎【点睛】本题考查等比数列前n项和的求解和性质的应用，是基础题型，解题中要注意认真审题，注意下标的变化规律，合理地进行等价转化.‎ ‎3.不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先不等式变形为，再解不等式.‎ ‎【详解】原式等价于 ‎ 所以不等式的解集为：.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，重点考查基础基础，基础方法，属于简单题型.‎ ‎4.当时，函数 的最小值为（ ）‎ A. B. 2 C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先换元设，再利用基本不等式求最小值.‎ ‎【详解】设，‎ ‎，‎ 当且仅当时等号成立，即成立.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式求最值，属于基础题型，注意求最值时需满足“一正，二定，三相等”.‎ ‎5.若的三个内角满足，则（ ）‎ A. 一定锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定钝角三角形 D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得出，可得出角为最大角，并利用余弦定理计算出，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状.‎ ‎【详解】由，可得出，‎ 设，则，，则角为最大角，‎ 由余弦定理得，则角为钝角，‎ 因此，为钝角三角形，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎6.已知数列，=2，，则=（ ）‎ A. 15 B. ‎-15 ‎C. 28 D. -28‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据递推公式，令，依次代入求.‎ ‎【详解】当时， ‎ 当时，，‎ 当时，.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查递推公式求数列的某一项，属于简单题型.‎ ‎7.在中，,BC=1,AC=5，则AB=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.‎ 详解：因为 所以，选A.‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.‎ ‎8.已知分别是的三个内角所对的边，若，是的等差中项，则角（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】解析：由题设可得，运用正弦定理可得，则或，但，应选答案A．‎ ‎9.若a、b为实数,且a+b=2, 则‎3a+3b的最小值为（ ）‎ A. 18 B. ‎6 ‎C. 2 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本不等式求解即可.‎ ‎【详解】因为,由基本不等式有,当且仅当时取等号.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了基本不等式求和的最小值问题.属于基础题.‎ ‎10.已知等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，则数列的公比q大小是（ ）‎ A 1 B. C. 1或 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，，成等差数列，列式计算．‎ ‎【详解】∵，，成等差数列，∴，即，‎ ‎，．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项定义，掌握等比数列通项公式是解题关键．本题没用等比数列的前项和公式，否则需要讨论是否为1．‎ ‎11.已知的三个内角所对的边分别为，的外接圆的面积为，且，则的最大边长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，根据正弦定理得到 ‎，根据余弦定理得到，再计算得到答案.‎ ‎【详解】的外接圆的面积为 则 ‎，根据正弦定理： ‎ 根据余弦定理：‎ 故为最长边： ‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，外接圆面积，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.‎ ‎12.已知数列为各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则=（ ）‎ A. 32 B. ‎31 ‎C. 30 D. 29‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知求出，再求出公比和首项，最后求.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以.‎ 所以，‎ 所以 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等比中项的应用，考查等比数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 二、填空题 ：本题共4小题 ，每小题5分，共20分.‎ ‎13.在中，内角，，的对边分别为，，，，，的面积为4，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由正弦定理得：，又，得：，所以，故填.‎ ‎14.若y=对于x取一切实数均有意义，则实数的取值范围是___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据根式的意义，将条件转化为恒成立，结合含有参数的一元二次不等式恒成立问题求解即可.‎ ‎【详解】要使对于取一切实数均有意义，则恒成立，‎ 若，则不等式等价为恒成立，所以成立，‎ 若，要使恒成立，‎ 则，解得，‎ 综上，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数恒成立问题，将条件转化为一元二次不等式恒成立是解决本题的关键，属于基础题.‎ ‎15.已知实数x，y满足，则的最大值是________．‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，‎ ‎，故，表示直线在轴的截距，‎ 根据图像知，当直线过点，即，时，有最大值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划问题，意在考查学生的应用能力，画出图像是解题的关键.‎ ‎16.若，，且，则的最小值是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.‎ ‎【详解】，且，由基本不等式得，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 因此，的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，涉及的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ 三、解答题：共70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.三角形ABC中，，且.‎ ‎（1）求AC；‎ ‎（2）求 ‎【答案】（1）AC=5.（2）120°‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用正弦定理计算得到答案.‎ ‎（2）直接利用余弦定理计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）在中，，，‎ 根据正弦定理及，可得 ，即AC=5.‎ ‎（2）由余弦定理可得，，‎ ‎，∴.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎18.在ABC中，a、b是方程x2－2x+2=0的两根，且2cos(A+B)=－1.‎ ‎(1)求角C的度数；‎ ‎(2)求c；‎ ‎(3)求△ABC的面积.‎ ‎【答案】(1)60°；(2)c=；(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角形的内角和及诱导公式，即可求得结论；‎ ‎（2）利用韦达定理及余弦定理，可求c的值；‎ ‎（3）利用三角形的面积公式，可求面积．‎ ‎【详解】（1）∵2cos（A+B）＝﹣1，A+B+C＝180°，∴2cos（180°﹣C）＝﹣1，‎ ‎∴cos（180°﹣C）＝﹣．∴cosC＝，∵0°＜C＜180°，∴C＝60°.‎ ‎（2）∵a、b是方程x2﹣2+2＝0的两根，∴a+b＝2，ab＝2‎ 由余弦定理可知cosC＝，∴c＝.‎ ‎（3）S△ABC＝absinC．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的诱导公式，方程的根与系数的关系，余弦定理，三角形的面积公式的综合运用，属于基础题.‎ ‎19.已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求和：．‎ ‎【答案】（1）an=2n−1.（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由是等比数列，知依然是等比数列，并且公比是，再利用等比数列求和公式求解.‎ 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a2+a4=10，所以‎2a1+4d=10.‎ 解得d=2.‎ 所以an=2n−1.‎ ‎（Ⅱ）设等比数列的公比为q.‎ 因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.‎ 解得q2=3.‎ 所以.‎ 从而.‎ ‎【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：（1）分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；（2）裂项相消法求和，一般适用于，,等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列等比数列的形式；（4）倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和. ‎ ‎20.在等差数列中，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）依题意，从而.由此能求出数列的通项公式；‎ ‎（2）由数列是首项为1，公比为2的等比数列，求出，再分组求和即可.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差是.‎ 由已知，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 得 ，‎ ‎∴数列的通项公式为.‎ ‎（2）由数列是首项为1，公比为2的等比数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项公式和前项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.‎ ‎21.2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）‎ ‎（1）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；‎ ‎（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？‎ ‎【答案】（1）； ‎ ‎（2）2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意时，，求出，进一步求出销售价格，由利润销售额固定成本再投入成本促销费，即可求解. ‎ ‎（2）由（1），利用基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意知，当时，（万件），‎ 则，解得，.‎ 所以每件产品的销售价格为（元），‎ ‎2018年的利润.‎ ‎（2）当时，，‎ ‎，当且仅当时等号成立.‎ ‎，‎ 当且仅当，即万元时，（万元）.‎ 故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.‎ ‎【点睛】本题考查了常见函数的模型（分式型）、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.‎ ‎22.已知为数列的前项和，且，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知可得，利用与的关系可得，从而可得数列为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解.‎ ‎（2）由（1）可知，再利用错位相减法即可求解.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎ ‎ 是以3为首项，为公比的等比数列，‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】本题考查了与的关系、等比数列的通项公式、错位相减法求和，属于中档题.‎