难点08 立体几何中的空间角与距离（测试卷）-2017年高考数学二轮复习精品资料（新课标版） 14页

www.ks5u.com 难点八 难点突破强化训练 ‎（一）选择题（12*5=60分）‎ ‎1．【2017届甘肃天水一中高三12月月考】直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎2．【2017届河北武邑中学高三上学期调研五】下图是三棱锥的三视图，点在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线和所成角的余弦值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图提供的图形信息与数据信息科画出该几何体的直观图，如图容易算得,故在中运用余弦定理可得.应选C.‎ ‎3．【2017届江西鹰潭一中高三上学期月考五】直三棱柱中，底面是正三角形，三棱柱的高为，若是中心，且三棱柱的体积为，则与平面所成的角大小是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎4．【2017届江西鹰潭一中高三上学期月考五】已知，为异面直线，下列结论不正确的是（ ）‎ A．必存在平面使得 B．必存在平面使得，与所成角相等 C．必存在平面使得， D．必存在平面使得，与的距离相等 ‎【答案】C ‎【解析】由，为异面直线，知：在A中，在空间中任取一点，过分别作，的平行线，则由过的，的平行线确一个平面，使得，故A正确；在B中，平移至与相交，因而确定一个平面，在上作，交角的平分线，明显可以做出两条．过角平分线且与平面垂直的平面使得，与所成角相等．角平分线有两条，所以有两个平面都可以．故B正确；‎ 在C中，当，不垂直时，不存在平面使得，，故C错误；在D中，过异面直线，的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面，则平面使得，与的距离相等，故D正确．故选：C．‎ ‎5．【2017届河南中原名校豫南九校高三上学期质检四】在直三棱柱中，，点是侧面内的一点，若与平面所成的角为，与平面所成的角也为，则与平面所成的角正弦值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】以为对角线作长方体，设与平面所成的角为，则，故.选B.‎ ‎6．【2017届江西鹰潭一中高三上学期月考五】如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，，为上任意两点，且的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（ ）‎ A．点到平面的距离 B．三棱锥的体积 C．直线与平面所成的角 D．二面角的大小 ‎【答案】C ‎7．【2017届福建连城县一中高三上期中】如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，则点到平面的距离为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】点到平面的距离等于点点到平面的距离，即三角形中边上的高，利用三角形面积公式有，解得.‎ ‎8．【2017届河北沧州一中高三10月月考】正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，为的中点，则与所成角的余弦值为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图,设,连接是的中位线,故,由异面直线所成角的.设,则,在中,运用余弦定理可得,故应选C．‎ ‎ 9．【2017届河南商丘第一高级中学年高三上开学摸底】如图，在直三棱柱中，，过的中点作平面的垂线，交平面于，则与平面所成角的正切值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】连接及交点为，连接，由图形易知面，，故面，故与点重合，取中点,连接和，有几何关系易判断为与平面所成角，，，故，故选项为C.‎ ‎10. 【2017届河北正定中学高三上学期第一次月考】如图，在直三棱柱中，，过的中点作平面的垂线，交平面于，则点到平面的距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ 11．【2017届浙江名校协作体高三上学期联考】已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则直线与侧面所成角的正弦值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】如下图所示，取中点，连结，，则可知面，∴即为直线与平面所成的角，不妨设正三棱柱的棱长为，∴在中，‎ ‎，故选A．‎ ‎ 12．【2017届浙江温州中学高三11月模拟】如图四边形，，.现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】如图所示，取中点，连结，，∴即为二面角的平面角，而，，∴，∴ ，设异面直线，‎ 所成的角为，∴，故选D.‎ ‎（二）填空题（4*5=20分）‎ ‎13. 【2017届湖南五市十校高三12月联考】有共同底边的等边三角形和所在平面互相垂直，则异面直线和所成角的余弦值为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎14．【2017届广东惠州市高三上二模】在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，为的中点，则异面直线与所成角的大小为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，由题意易知，因为，所以为异面直线与所成角，又，中，，，得为等腰直角三角形，故异面直线与所成角为.‎ ‎15．【2017届浙江温州中学高三10月高考模拟】．三棱锥中，两两垂直且相等，点，分别是和上的动点，且满足，，则和所成角余弦值的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图,过点作的平行线,则的运动相当于点在图中的四边形内运动,显然最大;最小.以分别为轴建立空间直角坐标系,则,所以,则,所以;由于,所以,所以和所成角余弦值的取值范围是,故应填.‎ ‎16．【2017届江西鹰潭一中高三上学期月考五】已知四面体的每个顶点都在球的表面上，，，底面，为的重心，且直线与底面所成角的正切值为，则球的表面积为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在等腰中，，，取的中点，连接，重心为的三等分点，，，由于底面，直线与底面所成角的正切值为，所以，，在等腰中，，，所以的外接圆直径，，设的外接圆圆心为，四面体的球心为，在中，，球的表面积为 ‎，故答案为.‎ ‎ (三)解答题（4*10=40分）‎ ‎17．【2017届广东珠海市高三9月摸底考试】如图，在四棱锥中，，，，．‎ ‎⑴ 求证：；‎ ‎⑵ 求点到平面的距离．‎ ‎18. 【2017届宁夏石嘴山三中高三上学期月考】在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体，且这个几何体的体积为.‎ ‎（1）求棱的长；‎ ‎（2）若的中点为 ，求异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎19. 【2017届山西怀仁县一中高三上学期开学考】在三棱锥中，，，点、分别是、的中点，底面．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值；‎ ‎（3）当取何值时，在平面内的射影恰好为△的重心？‎ ‎【解析】（1）∵、分别为、中点，∴．又平面，∴平面．‎ ‎（2）∵，，∴，又∵平面，∴．取中点，连接，则平面，作于，连接，则平面，∴是与平面所成的角．又，∴与平面所成的角的大小等于．在中，．‎ ‎（3）由（2）知平面，∴是在平面内的射影．∵是的中点，若点是△的中心，则，，三点共线，∴直线在平面内的射影为直线，∵，∴，∴，即．反之，当时，三棱锥为正三棱锥，∴在平面内的射影为△的重心．‎ ‎20.【2017届河南省豫北重点中学高三联考】如图所示，在四棱柱中，底面是梯形，，侧面为菱形，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，点在平面上的射影恰为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎【解析】（1）因为侧面为菱形，所以，又，所以， ，．‎ ‎（2）设线段的中点为，连接，由题意知平面 ，因为侧面为菱形，所以，故可分别以射线射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.设，由可知，所以，从而，所以．由可得，所以．设平面的一个法向量为，由，得取，则，所以．又平面的法向量为，所以 ‎ ‎