专题16+导数及其应用++导数的概念及运算-2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试 11页

‎2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试　‎ ‎16 导数及其应用 导数的概念及运算 ‎ 【考点讲解】‎ 具本目标：1.导数概念及其几何意义：(1）了解导数概念的实际背景；（2）理解导数的几何意义.‎ ‎2.导数的运算：（1）根据导数定义，求函数的导数；‎ ‎(2)能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.‎ ‎【考点透析】1.求切线方程或确定切点坐标问题为主； 2.单独考查导数运算的题目少；‎ ‎3.单独考查导数概念的题目极少.‎ ‎【备考重点】‎ ‎ (1) 熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则；‎ ‎(2) 熟练掌握直线的倾斜角、斜率及直线方程的点斜式.‎ 二、知识概述：‎ ‎1．由可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平均变化率的极限.‎ ‎2.基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数)‎ f′(x)＝0‎ ‎1）基本初等函数的导数公式 ‎2）导数的运算法则 ‎（1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（和或差的导数是导数的和与差）‎ ‎（2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（积的导数是，前导后不导加上后导前不导）‎ ‎（3） (g(x)≠0)．（商的导数是上导下不导减去上不导下导与分母平方的商）‎ ‎ (4) 复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．‎ ‎3．函数在处的导数几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．‎ ‎【温馨提示】1.求函数图象上点处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率，由导数的几何意义知，故当存在时，切线方程为.‎ ‎2.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数在处的导数表示曲线在点处切线的斜率，因此，曲线在点处的切线方程，可按如下方式求得：‎ 第一，求出函数在处的导数，即曲线在点处切线的斜率；‎ 第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程；如果曲线在点处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为.‎ ‎【提示】解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．‎ ‎【真题分析】‎ ‎1.【2015高考天津，文11】已知函数 ,其中a为实数,为的导函数,若 ,则a的值为 ．‎ ‎【答案】3‎ ‎【变式】已知函数的导函数为，且满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】本题主要考查导数的运算法则，因为，所以，解得，故选C．‎ ‎【答案】C ‎2.【2018年全国卷Ⅲ理】曲线在点处的切线的斜率为，则________．‎ ‎【解析】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，并利用导数的几何意义求参数的值.由题意可知：，则，所以，故答案为-3.‎ ‎【答案】‎ ‎【变式】【2015高考新课标1，文14】已知函数的图像在点的处的切线过点，则 .‎ ‎【解析】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，并利用导数的几何意义求参数的值.‎ ‎∵，∴，即切线斜率，‎ 又∵，∴切点为（1，），∵切线过（2,7），∴，解得1.‎ ‎【答案】1‎ ‎3．【2018年理数全国卷II】曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【变式】【2014高考广东卷.文.11】曲线在点处的切线方程为________.‎ ‎【解析】本题考点是利用导数的几何意义求曲线上某点的切线方程，提示注意语言的表述，在与过的文字.由题意可知：,,故所求的切线的斜率为,‎ 故所求的切线的方程为,即或.‎ ‎【答案】或.‎ ‎4.【2017福建4月质检】已知定义在上的函数满足，且当时，，则曲线在处的切线方程是__________．‎ ‎【解析】本题考点是考点：1、函数的对称性；2、解析式；3、导数的几何意义．‎ ‎.因为，所以函数关于点（1,1）对称， 时，取点，关于（1,1）对称点是代入时，，可得， 可得，所以 ，令所以切线方程为. ‎ ‎【答案】‎ ‎【变式】（1）【2016高考新课标Ⅲ文数】已知为偶函数，当 时，，则曲线在处的切线方程式_____________________________.‎ ‎【解析】考点：1、函数的奇偶性；2、解析式；3、导数的几何意义．‎ 当时，，则．又因为为偶函数，所以，‎ 所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．‎ ‎【答案】 ‎【变式】（2）【2016高考新课标3理数】已知为偶函数，当时， ，则曲线在点处的切线方程是_______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【变式】（3）【2015高考陕西，文15】函数在其极值点处的切线方程为____________.‎ ‎【解析】本题考点是函数的极值与导数的几何意义.，令，此时.函数在其极值点处的切线方程为.‎ ‎【答案】 ‎5.【2015新课标2文16】已知曲线在点 处的切线与曲线 相切,则 a= ．‎ ‎【解析】本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题. ‎ ‎【答案】C.‎ ‎4.设曲线在点处的切线与直线垂直，则 ．‎ ‎【解析】由已知可知曲线的切线斜率为2，又， ‎ ‎【答案】2‎ 5. 曲线过点处的切线方程是_____________.‎ ‎【解析】由题意可知，，设直线与曲线相切于点，所求的曲线的切线的斜率为，所以有，因为在曲线上，所以有，即有解这个方程组可得：，所以有.所求切线方程为.‎ ‎【答案】‎ ‎6.【2014广东理10】曲线在点处的切线方程为 .‎ ‎【解析】，所求切线的斜率为，‎ 故所求切线的方程为，即或.‎ ‎【答案】或.‎ ‎7.己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为 ． ‎ ‎【答案】‎ 8. ‎ 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边 界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以 所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.‎ ‎ （1）求a，b的值；‎ ‎ （2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.‎ ‎ ①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；‎ ‎ ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.‎ 试题解析：（1）由题意知，点，的坐标分别为，．‎ 将其分别代入，得，解得．‎ ‎（2）①由（1）知，（），则点的坐标为，‎ 设在点处的切线交，轴分别于，点，，‎ 则的方程为，由此得，．‎ 故，．‎ ②设，则．令，解得．‎ 当时，，是减函数；‎ 当时，，是增函数．‎ 从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以，‎ 此时．‎ 答：当时，公路的长度最短，最短长度为千米．‎ ‎【答案】（1）（2）①定义域为，②千米 ‎9.已知函数（为常数）的图象与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1.‎ ‎（I）求的值及函数的极值；（II）证明：当时，；‎ ‎（III）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.‎ ‎（II）当时，恒成立,等价转换为函数的最值问题.令,通过求函数 的导数求出最值即可得到结论.‎ ‎（III）对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.由（II）得到函数的单调性当时,即可找到符合题意.当时.通过等价转化,等价于不等式恒成立问题,再对通过估算得到的值.即可得到结论.‎ 解法一:（I）由，得.又,得.‎ 所以.令,得.‎ 当时,单调递减;当时,单调递增.‎ ‎.所以当时, 取得极小值,且极小值为无极大值.‎ ‎（II）令,则.由（I）得,故在R上单调递增,又,因此,当时, ,即.‎ ‎（III）①若,则.又由（II）知，当时, .所以当时, .取,当时，恒有.‎ ‎②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，‎ 则只要,只要成立.‎ 令,则.‎ 所以当时,在内单调递增.‎ 取,所以在内单调递增.‎ 又.易知.‎ 所以.即存在,当时，恒有.‎ 综上，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.‎ 解法二: （I）同解法一.（II）同解法一.‎ ‎（III）对任意给定的正数,取由（II）知,当时, ,所以当时, ,因此,对任意给定的正数,总存在,当时,恒有.‎ 解法三: （I）同解法一.（II）同解法一.‎ ‎（III）首先证明当时,恒有.证明如下:令则.由（II）知,当时, .从而在单调递减,所以即.取,当时,有.因此,对任意给定的正数,总存在,当时,恒有.‎ ‎10.已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为.‎ ‎（Ⅰ）确定的值； （Ⅱ）若，判断的单调性；‎ ‎（Ⅲ）若有极值，求的取值范围.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），，当时，利用的符号判断的单调性；‎ ‎（Ⅲ）要使函数有极值，必须有零点，由于，所以可以对的取值分类讨论，得到时满足条件的的取值范围.‎ 试题解析：（Ⅰ）对求导得，‎ 由为偶函数，知，即，‎ 因为，所以.又，故.‎ ‎（Ⅱ）当时，，那么 故在上为增函数.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知，而，当时等号成立.‎ 下面分三种情况进行讨论.‎ 当时，对任意，此时无极值；‎ 当时，对任意，此时无极值；‎ 当时，令，注意到方程有两根， ‎ 即有两个根或. ‎ 当时，；又当时，从而在处取得极小值.‎ 综上，若有极值，则的取值范围为.‎