2019高三数学（北师大版理科）一轮：单元质检卷三+导数及其应用 17页

单元质检卷三　导数及其应用 ‎(时间:100分钟　满分:150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.如果一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.7米/秒 B.6米/秒 C.5米/秒 D.8米/秒 ‎2.设曲线y=x+1‎x-1‎在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a等于(　　)‎ A.2 B.-2‎ C.‎1‎‎2‎ D.-‎‎1‎‎2‎ ‎3.若函数y=ex+mx有极值,则实数m的取值范围是(　　)‎ A.m>0 B.m<0‎ C.m>1 D.m<1‎ ‎4.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是减少的,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,-‎3‎]∪[‎3‎,+∞) B.[-‎3‎‎,‎‎3‎]‎ C.(-∞,-‎3‎)∪(‎3‎,+∞) D.(-‎3‎‎,‎‎3‎)‎ ‎5.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是(　　)‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎6.已知a≤‎1-xx+ln x对任意x∈‎1‎‎2‎‎,2‎恒成立,则a的最大值为(　　)‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎7.(2017河北唐山三模,理12)已知函数f(x)=x3+ax2+bx有两个极值点x1,x2,且x10,且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)‎ A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) ‎ C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)‎ ‎9.(2017河北石家庄二中模拟,理12)若存在正实数m,使得关于x的方程x+a(2x+2m-4ex)[ln(x+m)-ln x]=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,0) B.‎0,‎‎1‎‎2e ‎ C.(-∞,0)∪‎1‎‎2e‎,+∞‎ D.‎‎1‎‎2e‎,+∞‎ ‎10.已知函数f(x)=-‎2f'(1)‎‎3‎x-x2的最大值为f(a),则a等于(　　)‎ A.‎1‎‎16‎ B.‎‎3‎‎4‎‎4‎ C.‎1‎‎4‎ D.‎‎3‎‎4‎‎8‎ ‎11.若函数f(x)=x‎3‎‎3‎‎-‎a‎2‎x2+x+1在区间‎1‎‎2‎‎,3‎内有极值点,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.‎2,‎‎5‎‎2‎ B.‎2,‎‎5‎‎2‎ ‎ C.‎2,‎‎10‎‎3‎ D.‎‎2,‎‎10‎‎3‎ ‎12.(2017江西新余一中模拟七,理12)设点M(x1,f(x1))和点N(x2,g(x2))分别是函数f(x)=sin x+‎1‎‎6‎x3和g(x)=x-1图像上的点,且x1≥0,x2≥0,若直线MN∥x轴,则M,N两点间的距离的最小值为(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.函数f(x)=ex·sin x的图像在点(0,f(0))处的切线方程是　　　　　. ‎ ‎14.(2017内蒙古包头一模,理15)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数记为f'(x),若对于任意x∈R,有f(x)>f'(x),且y=f(x)-1是奇函数,则不等式f(x)2恒成立,则整数k的最大值为　　　　　. ‎ 三、解答题(本大题共5小题,共70分)‎ ‎17.(14分)(2017安徽安庆二模,理21)已知函数f(x)=ax‎2‎+x+aex,a∈R.‎ ‎(1)若a≠0,求函数f(x)的递增区间;‎ ‎(2)若a=0,x1‎f(x‎2‎)-f(x‎1‎)‎x‎2‎‎-‎x‎1‎.‎ ‎〚导学号21500615〛‎ ‎18.(14分)已知f(x)=ex+ax(a∈R),‎ ‎(1)求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若常数a>-e,求证:对于任意x∈(1,+∞),都有f(x)>(x-1)2恒成立.‎ ‎19.(14分)(2017福建厦门一中考前模拟,理21)函数f(x)=ln x+‎1‎‎2‎x2+ax(a∈R),g(x)=ex+‎3‎‎2‎x2.‎ ‎(1)讨论f(x)的极值点的个数;‎ ‎(2)若对于任意x>0,总有f(x)≤g(x),‎ ‎①求实数a的取值范围;‎ ‎②求证:对于任意x>0,不等式ex+x2-(e+1)x+ex>2成立.‎ ‎20.(14分)设函数f(x)=ln x+mx,m∈R.‎ ‎(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;‎ ‎(2)讨论函数g(x)=f'(x)-x‎3‎零点的个数.‎ ‎21.(14分)(2017山西临汾三模,理21)已知函数f(x)=(x2-x)ex.‎ ‎(1)求曲线y=f(x)在原点处的切线方程;‎ ‎(2)若f(x)-ax+e≥0恒成立,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)若方程f(x)=m(m∈R)有两个正实数根x1,x2,求证:|x1-x2|0,若y=ex+mx有极值,则必须使y'的值有正有负,故m<0.‎ ‎4.B　由题意,知f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立,所以Δ=(2a)2-4×(-3)×(-1)≤0,解得-‎3‎≤a≤‎3‎.‎ ‎5.A　由f'(x)=2x+1-‎1‎x‎=‎‎2x‎2‎+x-1‎x=0,得x=‎1‎‎2‎或x=-1(舍去).当0‎1‎‎2‎时,f'(x)>0,f(x)是增加的.则f(x)的最小值为f‎1‎‎2‎‎=‎‎3‎‎4‎+ln 2>0,所以f(x)无零点.‎ ‎6.A　令f(x)=‎1-xx+ln x,则f'(x)=x-1‎x‎2‎.‎ 当x∈‎1‎‎2‎‎,1‎时,f'(x)<0;‎ 当x∈(1,2]时,f'(x)>0.‎ ‎∴f(x)在‎1‎‎2‎‎,1‎内是减少的,在(1,2]上是增加的,‎ ‎∴在x∈‎1‎‎2‎‎,2‎,f(x)min=f(1)=0,‎ ‎∴a≤0,即a的最大值为0.‎ ‎7.B　由已知g(x)=f(x)-f(x0)=x3+ax2+bx-(x‎0‎‎3‎+ax‎0‎‎2‎+bx0)=(x-x0)·[x2+(x0+a)x+x‎0‎‎2‎+ax0+b],‎ ‎∵f'(x)=3x2+2ax+b,‎ ‎∴x‎1‎‎+x‎2‎=-‎2a‎3‎,‎x‎1‎x‎2‎‎=b‎3‎,‎x‎0‎‎=‎3x‎2‎-‎x‎1‎‎2‎,‎代入上式可得g(x)=(x-x0)(x-x1)2,所以g(x)恰有两个零点.‎ ‎8.D　∵当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)·g'(x)>0,‎ 即[f(x)g(x)]'>0,∴当x<0时,f(x)g(x)为增函数.‎ 又g(x)是偶函数,且g(3)=0,‎ ‎∴g(-3)=0,‎ ‎∴f(-3)g(-3)=0.‎ 故当x<-3时,f(x)g(x)<0.‎ ‎∵f(x)g(x)是奇函数,‎ ‎∴当x>0时,f(x)g(x)是增加的,且f(3)g(3)=0,故当00,当a=0时,不合题意,∴a≠0.‎ 由题意得-‎1‎‎2a‎=‎‎1+mx-2eln‎1+‎mx=(t-2e)ln tt=mx+1>0‎,令f(t)=(t-2e)ln t(t>0),则f'(t)=ln t+1-‎2et,[f'(t)]'=‎1‎t‎+‎‎2et‎2‎>0,当t>e时,f'(t)>f'(e)=0,当00,解得x<‎3‎‎4‎‎4‎,令f'(x)<0,解得x>‎3‎‎4‎‎4‎,‎ 故f(x)在‎0,‎‎3‎‎4‎‎4‎内是增加的,在‎3‎‎4‎‎4‎‎,+∞‎内是减少的,故f(x)的最大值是f‎3‎‎4‎‎4‎,a=‎3‎‎4‎‎4‎.‎ ‎11.C　若f(x)=x‎3‎‎3‎‎-‎a‎2‎x2+x+1在区间‎1‎‎2‎‎,3‎内有极值点,‎ 则f'(x)=x2-ax+1在区间‎1‎‎2‎‎,3‎内有零点,且零点不是f'(x)的图像顶点的横坐标.‎ 由x2-ax+1=0,得a=x+‎1‎x.‎ 因为x∈‎1‎‎2‎‎,3‎,y=x+‎1‎x的值域是‎2,‎‎10‎‎3‎,‎ 当a=2时,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合题意.‎ 所以实数a的取值范围是‎2,‎‎10‎‎3‎,故选C.‎ ‎12.A　∵当x≥0时,f'(x)=cos x+‎1‎‎2‎x2>0,∴函数y=f(x)在[0,+∞)上是增加的.‎ 当x1≥0,x2≥0,由MN∥x轴,则f(x1)=g(x2),即sin x1+‎1‎‎6‎x‎1‎‎3‎=x2-1,‎ 则M,N两点间的距离为x2-x1=sin x1+‎1‎‎6‎x‎1‎‎3‎+1-x1.‎ 令h(x)=sin x+‎1‎‎6‎x3+1-x,x≥0,则h'(x)=cos x+‎1‎‎2‎x2-1,[h'(x)]'=-sin x+x≥0,‎ 故h'(x)在[0,+∞)上是增加的,故h'(x)=cos x+‎1‎‎2‎x2-1≥h'(0)=0,‎ 故h(x)在[0,+∞)上是增加的,故h(x)的最小值为h(0)=1,故选A.‎ ‎13.y=x　∵f(x)=ex·sin x,f'(x)=ex(sin x+cos x),f'(0)=1,f(0)=0,‎ ‎∴函数f(x)的图像在点(0,0)处的切线方程为y-0=1×(x-0),即y=x.‎ ‎14.(0,+∞)　由题意令g(x)=f(x)‎ex,则g'(x)=f'(x)ex-(ex)'f(x)‎‎(‎ex‎)‎‎2‎‎=‎f'(x)-f(x)‎ex,‎ ‎∵f(x)>f'(x),∴g'(x)<0,故函数g(x)=f(x)‎ex在R上是减少的.‎ ‎∵y=f(x)-1是奇函数,‎ ‎∴f(0)-1=0,即f(0)=1,g(0)=1,‎ 则不等式f(x)0.‎ ‎15.‎1‎‎10‎　由已知条件,得b=-ln a+2a2,d=3c-2,令f(x)=-ln x+2x2,g(x)=3x-2,‎ 所求最小值可转化为两个函数f(x)与g(x)图像上的点之间的距离的最小值的平方,‎ f'(x)=-‎1‎x+4x,设与直线y=3x-2平行且与曲线f(x)相切的切点为P(x0,y0),‎ 则-‎1‎x‎0‎+4x0=3,x0>0,解得x0=1,可得切点P(1,2),‎ 切点P(1,2)到直线y=3x-2的距离d=‎|3-2-2|‎‎10‎‎=‎‎1‎‎10‎.‎ 所以(a-c)2+(b-d)2的最小值为d2=‎1‎‎10‎.故答案为‎1‎‎10‎.‎ ‎16.4　∵x>2,∴k(x-2)0,故g(x)在(2,+∞)上是增加的,‎ 且g(8)=8-2ln 8-4=2(2-ln 8)<0,g(9)=9-2ln 9-4=5-2ln 9>0;‎ 故存在x0∈(8,9),使g(x0)=0,即2ln x0=x0-4.‎ 故F(x)在(2,x0)上是减少的,在(x0,+∞)上是增加的;‎ 故F(x)min=F(x0)=x‎0‎‎+x‎0‎·‎x‎0‎‎-4‎‎2‎x‎0‎‎-2‎‎=‎x‎0‎‎2‎,故k0时,1-‎1‎a<1,由f'(x)>0,得函数的递增区间为‎1-‎1‎a,1‎;‎ ‎②当a<0,1-‎1‎a>1,由f'(x)>0,得函数的递增区间为(-∞,1)和‎1-‎1‎a,+∞‎.‎ ‎(2)证明 a=0,f(x)=xex,x1‎f(x‎2‎)-f(x‎1‎)‎x‎2‎‎-‎x‎1‎,只要证明g(x)=f(x)-f(x‎1‎)‎x-‎x‎1‎在(x1,2)上是减少的.‎ g'(x)=‎1-xex‎(x-x‎1‎)-xex+‎x‎1‎ex‎1‎‎(x-‎x‎1‎‎)‎‎2‎,设h(x)=‎1-xex(x-x1)-xex‎+‎x‎1‎ex‎1‎,‎ ‎∴h'(x)=‎(x-x‎1‎)(x-2)‎ex<0,‎ ‎∴h(x)在(x1,2)上是减少的,‎ ‎∴h(x)<0,∴g'(x)<0,‎ ‎∴g(x)=f(x)-f(x‎1‎)‎x-‎x‎1‎在(x1,2)上是减少的.‎ ‎∵x1‎f(x‎2‎)-f(x‎1‎)‎x‎2‎‎-‎x‎1‎.‎ ‎18.(1)解 f'(x)=ex+a,‎ 当a≥0时,因为f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上是增加的,‎ 当a<0时,令f'(x)=0,得x=ln(-a),‎ f(x)在(-∞,ln(-a))上是减少的,在(ln(-a),+∞)上是增加的.‎ 综上:当a≥0时,递增区间为(-∞,+∞);‎ 当a<0时,递减区间为(-∞,ln(-a)),增区间为(ln(-a),+∞).‎ ‎(2)证明 设g(x)=f(x)-(x-1)2=ex+ax-x2+2x-1,g'(x)=ex-2x+a+2,‎ 设h(x)=ex+a-2x+2,‎ ‎∵h'(x)=ex-2>0在(1,+∞)上恒成立,‎ ‎∴h(x)在(1,+∞)是增加的,‎ ‎∵h(x)>h(1)=e+a>0,‎ ‎∴g'(x)>0在(1,+∞)恒成立,‎ 即g(x)在(1,+∞)上是增加的,‎ ‎∴g(x)>g(1)=e+a>0,所以对任意x∈(1,+∞),都有f(x)>(x-1)2恒成立.‎ ‎19.解 (1)由题意得f'(x)=x+‎1‎x+a=x‎2‎‎+ax+1‎x,‎ 当a2-4≤0,即-2≤a≤2时,f'(x)≥0恒成立,无极值点;‎ 当a2-4>0,即a<-2或a>2时,‎ a<-2时,设方程x2+ax+1=0的两个不同实根为x1,x2,不妨设x10,x1x2=1>0,故02时,设方程x2+ax+1=0的两个不同实根为x1,x2,‎ 则x1+x2=-a<0,x1x2=1>0,故x1<0,x2<0,故函数没有极值点.‎ 综上,当a<-2时,函数有两个极值点;当a≥-2时,函数没有极值点.‎ ‎(2)①f(x)≤g(x)等价于ex-ln x+x2≥ax,‎ 由x>0,得a≤ex‎+x‎2‎-lnxx对于任意x>0恒成立.‎ 设φ(x)=ex‎+x‎2‎-lnxx(x>0),‎ φ'(x)=ex‎(x-1)+lnx+(x+1)(x-1)‎x‎2‎,‎ ‎∵x>0,∴x∈(0,1)时,φ'(x)<0,φ(x)是减少的,‎ x∈(1,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)是增加的,‎ ‎∴φ(x)≥φ(1)=e+1,∴a≤e+1.‎ ‎②由①知,当a=e+1时,有f(x)≤g(x),即ex+‎3‎‎2‎x2≥ln x+‎1‎‎2‎x2+(e+1)x,整理得ex+x2-(e+1)x≥ln x○　ⅰ,当且仅当x=1时取等号.‎ 所以要证ex+x2-(e+1)x+ex>2,只需证明ln x+ex≥2.‎ 设θ(x)=ln x+ex,则θ'(x)=‎1‎x‎-ex‎2‎=‎x-ex‎2‎,‎ ‎∴当x∈(0,e)时,θ'(x)<0,θ(x)是减少的,‎ x∈(e,+∞)时,θ'(x)>0,θ(x)是增加的,‎ ‎∴θ(x)≥θ(e)=2,∴ln x+ex≥2,○　ⅱ当且仅当x=e时取等号.‎ 由于○　ⅰ○　ⅱ等号不同时成立,故ex+x2-(e+1)x+ex>2.‎ ‎20.解 (1)由题设,当m=e时,f(x)=ln x+ex,‎ 定义域为(0,+∞),则f'(x)=x-ex‎2‎,‎ 由f'(x)=0,得x=e.‎ ‎∴当x∈(0,e)时,f'(x)<0,f(x)在(0,e)上是减少的;‎ 当x∈(e,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(e,+∞)上是增加的,‎ ‎∴当x=e时,f(x)取得极小值f(e)=ln e+ee=2,‎ ‎∴f(x)的极小值为2.‎ ‎(2)由题设g(x)=f'(x)-x‎3‎‎=‎1‎x-mx‎2‎-‎x‎3‎(x>0),‎ 令g(x)=0,得m=-‎1‎‎3‎x3+x(x>0).‎ 设φ(x)=-‎1‎‎3‎x3+x(x>0),‎ 则φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),‎ 当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)在(0,1)上是增加的;‎ 当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上是减少的.‎ ‎∴x=1是φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1也是φ(x)的最大值点.‎ ‎∴φ(x)的最大值为φ(1)=‎2‎‎3‎.‎ 又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图像(如图)可得,‎ ‎①当m>‎2‎‎3‎时,函数g(x)无零点;‎ ‎②当m=‎2‎‎3‎时,函数g(x)有且只有一个零点;‎ ‎③当0‎2‎‎3‎时,函数g(x)无零点;‎ 当m=‎2‎‎3‎或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;‎ 当00时,问题等价于a≤(x-1)ex+ex恒成立.‎ 设g(x)=(x-1)ex+ex,则g'(x)=xex-ex‎2‎.‎ ‎∵g'(x)=xex-ex‎2‎在(0,+∞)内是增加的,且g'(1)=0,‎ ‎∴g(x)在(0,1)内是减少的,在(1,+∞)内是增加的.‎ ‎∴g(x)在(0,+∞)的最小值为g(1)=e,∴a≤e.‎ ‎③当x<0时,问题等价于a≥(x-1)ex+ex恒成立.‎ 设h(x)=(x-1)ex+ex,则h'(x)=xex-ex‎2‎<0,‎ ‎∵h(x)在(-∞,0)内是减少的,且x→-∞时,h(x)→0.∴a≥0.‎ 综上所述0≤a≤e.‎ ‎(3)证明 依(2)得a=e时,(x2-x)ex>ex-e,又y=f(x)在原点处的切线方程为y=-x,‎ 设φ(x)=(x2-x)ex+x(x>0),则φ'(x)=(x2+x-1)ex+1,[φ'(x)]'=(x2+3x)ex,‎ 令[φ'(x)]'=0,解得x=-3或x=0.‎ ‎∴φ'(x)在(-∞,-3),(0,+∞)内是增加的,在(-3,0)内是减少的.‎ φ'(0)=0,∴x>0时,φ'(x)>0,φ(x)是增加的,而φ(0)=0,‎ ‎∴当x>0时,φ(x)>0,即(x2-x)ex≥-x.‎ 设y=m,分别与y=-x,y=e(x-1)交点的横坐标为x3,x4,x3=-m,x4=me+1,‎ 则x3