云南省昆明市东川区明月中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文）试题 11页

‎2019年春季学期高二年级期中考试文科数学试题 ‎（考试时间：120分钟 满分：150分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的相关信息填写在答题卡上;‎ ‎2．将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。‎ 第I卷（选择题)‎ 一、选择题:共12题,每题5分,共60分,在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，则= （ ）‎ A． B. C． D．‎ ‎2．函数的定义域是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．复数的共轭复数对应的点在复平面内位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎4．设是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中不正确的 一个是（ ）‎ A．若则∥ B．若，则∥‎ C．若则 D．若∥，则∥‎ ‎5．已知实数满足条件，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，若输入的值为4，则输出的值是( )‎ A．24 B． C．2 D．‎ ‎7．已知一个几何体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设向量满足， ，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．函数的图象大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．过双曲线的右焦点作垂直于轴的直线，交双曲线的渐近线于两点，若（为坐标原点）是等边三角形，则双曲线的离心率为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，若对任意， 恒成立，则实数的取值范围是 ‎（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题)‎ 二、填空题：共4题，每题5分，共20分.‎ ‎13．展开式中常数为 ‎ ‎14．设向量,且 ,则=_________‎ ‎15．已知函数的部分图象如图，则 ‎16．已知函数，且关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是_______ .‎ 三、解答题:共6题，17题10分，18到22每题12分,共70分.‎ ‎17．（本题10分）设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.‎ ‎（1）当时，求a的值； ‎ ‎（2）当的面积为3时，求a+c的值.‎ ‎18．（本题12分）已知等差数列的首项为1，公差，且是与的等比中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前n项和．‎ ‎19．（本题12分）某校两个班级100名学生在一次考试中的成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区如下表：‎ 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 （1） 求频率表分布直方图中的值；‎ （2） 根据频率表分布直方图，估计这100名学生这次考试成绩的平均分；‎ ‎（3）现用分层抽样的方法从第三、四、五组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.‎ ‎20．（本题12分）如图，在三棱柱中，底面，，，，点分别为与的中点.‎ （1） 证明：平面 ‎ （2） 求与平面所成角的正弦值.‎ ‎21．（本题12分）已知椭圆的离心率为，且经过点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点的直线交椭圆于两点，是轴上的点，若是以为斜边的等腰直角三角形，求直线的方程.‎ ‎22．（本题12分）已知.‎ ‎（1）求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎2019年春季学期高二年级期中考试文科数学答案 一、选择题（本题共12题，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C C D B A D D A C B B 二、填空题（本题共题，共分）‎ ‎13. 14.‎ ‎15. 0 ‎ 三、解答题 ‎17．‎ ‎(1)..............................................1分 由正弦定理得..............................2分 ‎................................................................2分 (2) 的面积，‎ ‎.....................................................1分 由余弦定理， ‎ ‎4= ,即...........................2分 ‎∴， ∴..................2分 ‎18．（1）（2）‎ ‎(I)设数列的公差为，‎ 由，且是与的等比中项得：‎ ‎.........................................2分 舍去.....................................................2分 ‎，数列的通项公式为............1分 ‎(II)...........................2分 ‎.......................................2分 ‎...................................................................................................................2分 ‎.................................................................................................................................................1分 19. ‎(1) a=0.005;(2) 74.5;‎ 解：（Ⅰ）10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．....2分 ‎（Ⅱ）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35，[70，80]的频率为0.30，[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5................................................................3分 ‎（Ⅲ）由直方图，得：‎ 第3组人数为0.3×100=30，第4组人数为0.2×100=20人，第5组人数为0.1×100=10人．..........................................................................................................................................1分 所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，‎ 每组分别为：第3组：人，第4组：人，第5组：=1人．...........................................................................................................................................2分 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人． ‎ 设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：‎ ‎（A1，A2），（A1，A3），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1）...........................................................................................................................................2分 其中恰有1人的分数不低于90分的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5种．所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为..........................................................................................................................................2分 ‎20．（1）见解析（2）‎ ‎（1）证明：如图，连接，................................................................................1分 在三棱柱中，为的中点.又因为为的中点，‎ 所以...................................................................................................................2分 又平面，平面，所以平面....2分 ‎（2）解：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系..................................1分 则，，，，‎ 所以，，...............................................2分 设平面的法向量为，‎ 则，‎ 令，得..................................................................................................2分 记与平面所成角为，则.‎ ‎.................................................................................................................................2分 ‎21．（1）；（2）‎ 试题解析：（1）由，设椭圆方程为.............2分 则，椭圆方程为..........................2分 （2） 设的中点坐标 则由得..............................3分 由得 的中垂线方程为，所以 点到直线的距离为，.................................3分 ‎，所以，解得 直线的方程为.............................................................................................2分 ‎22．(1);(2).‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，则，切点为……...2分 所求切线方程为，即...............................2分 ‎（2）由，原不等式即为，‎ 记，..............................................................1分 依题意有对任意恒成立，‎ 求导得..............................2分 当时，，则在上单调递增，有，‎ 若，则，若在上单调递增，且，适合题意；‎ 若，则，又，故存在使，.............................................................3分 当时，，得在上单调递减，在，舍去.......................................................................1分 综上，实数的取值范围是...............................................................................1分