数学（文）卷·2018届黑龙江省双鸭山市一中高二下学期期中考试（2017-05） 9页

双鸭山市一中 ‎2016-2017学年高二（下）期中数学试卷（文）‎ 第I卷（选择题：共60分）‎ 一、选择题 ‎1、若函数满足，则的值为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎2、由“正三角形的内切圆切与三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面（ ）‎ A．各三角形内一点 B．各正三角形的中心 C．各正三角形的某高线上的点 D．各正三角形外的某点 ‎3、已知点P的极坐标是（1，），则过点P且垂直极轴的直线方程是（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎4、圆的圆心是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5、下列在曲线上的点是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6、函数的图象大致是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7、从甲乙丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎8、已知是定义在上的可导函数，且满足，则（ ）‎ A. B. C. 为减函数 D. 为增函数 ‎9、将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数和 不小于10的概率为( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ B. ‎10、已知直线y=3﹣x与两坐标轴围成的区域为Ω1，不等式组所形成的区域为Ω2，现在区域Ω1中随机放置一点，则该点落在区域Ω2的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11、检测600个某产品的质量（单位：g），得到的直方图中，前三组的长方形的高度成等差数列，后三组对应的长方形的高度成公比为0.5的等比数列，已知检测的质量在100.5﹣105.5之间的产品数为150，则质量在115.5﹣120.5的长方形高度为（　　）‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎12、已知定义在上的奇函数在上递减，若对恒成立，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（每小题5分共20分）‎ ‎13、参数方程 （为参数）表示的图形上的点到直线 的最短距离为 ． ‎ ‎14、我校高二年级张雨同学到科伦制药总厂进行研究性学习，收集到该制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示：‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y(万盒)‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ 张雨同学为了求出y关于x的线性回归方程y=bx+a，根据收集到的表中数据已经正确计算出b=0.6，请你根据上述数据估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数为________万盒.‎ ‎15.已知，，，.，类比这些等式，若（均为正整数），则= .‎ ‎16、若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是__________．‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17、已知函数．‎ ‎（1）求的单调区间和极值；‎ ‎（2）求曲线在点处的切线方程．‎ ‎18、近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎（1）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？‎ ‎（2）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率；‎ ‎（3）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，你有多大的把握认为心肺疾病与性别有关？‎ 下面的临界值表供参考：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式，其中n=a+b+c+d）‎ ‎19、在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为．以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，为实数．‎ ‎（1）求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点在曲线上，从点向作切线，切线长的最小值为，求实数的值．‎ ‎20、通过市场调查，得到某产品的资金投入（万元）与获得的利润（万元）的数据，如下表所示：‎ 资金投入x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 利润y ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎（Ⅰ）画出数据对应的散点图；‎ ‎（Ⅱ）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程；‎ ‎（Ⅲ）现投入资金（万元），求估计获得的利润为多少万元.‎ ‎21、在直角坐标系中，圆和的参数方程分别是（为参数）和（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求圆和的极坐标方程；‎ ‎（2）射线：与圆的交点分别为，与圆的交点分别为，求的最大值.‎ ‎22、已知函数在点处的切线与直线垂直.（注：为自然对数的底数）‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；‎ ‎（3）求证：当时，恒成立.‎ 参考答案 一、单项选择 ‎1、【答案】A ‎2、【答案】B ‎3、【答案】C ‎4、【答案】A ‎5、【答案】B ‎6、【答案】B ‎【解析】 ，所以当 时 ；当 时 ；又当 时，选选B.‎ ‎7、【答案】C ‎8、【答案】A ‎【解析】令，则由题意，得，所以函数 在上单调递增，又因为，所以当时， ，则，当时， ，则，而恒成立，则；所以；故选A.‎ ‎9、【答案】D ‎10、【答案】B ‎11、【答案】D ‎【解析】解：根据题意，质量在100.5﹣105.5之间的产品数为150，频率为=0.25；前三组的长方形的高度成等差数列，设公差为d，则根据频率和为1，得 ‎（0.25﹣d）+0.25+（0.25+d）+（0.25+d）+（0.25+d）=1；解得d=；‎ 所以质量在115.5﹣120.5的频率是×（0.25+）=，对应小长方形的高为 ‎÷5=．故选：D．‎ ‎12、【答案】C ‎【解析】由已知可得 在 上是减函数，故原命题等价于，即 在 上恒成立，设，令，当 时 ，当 时 ，因此 ，故选C.‎ 二、填空题 ‎13、【答案】‎ ‎14、【答案】6.8‎ ‎15、【答案】‎ ‎【解析】依题意，有，，故.‎ ‎16、【答案】‎ ‎【解析】因为函数，所以，因为在上存在单调递增区间，所以，即有解，令，则，则，所以当时， ；当时， ，当时， ，所以 三、解答题 ‎17、【答案】（1）极大值为，极小值为（2）‎ ‎18、【答案】解：（1）在患心肺疾病的人群中抽6人，则抽取比例为 =，‎ ‎∴男性应该抽取20×=4人…．[来源]‎ ‎（2）在上述抽取的6名学生中，女性的有2人，男性4人．女性2人记A，B；男性4人为c，d，e，f，则从6名学生任取2名的所有情况为：（A，B）、（A，c）、（A，d）、（A，e）、（A，f）、（B，c）、（B，d）、（B，e）、（B，f）、（c，d）、（c，e）、（c，f）、（d，e）、（d，f）、（e，f）共15种情况，其中恰有1名女生情况有：（A，c）、（A，d）、（A，e）、（A，f）、（B，c）、（B，d）、（B，e）、（B，f），共8种情况，‎ 故上述抽取的6人中选2人，恰有一名女性的概率概率为P=．…．‎ ‎（3）∵K2≈8.333，且P（k2≥7.879）=0.005=0.5%，‎ 那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．…．‎ ‎19、【答案】（1），;（2）‎ 试题解析：（1）曲线的普通方程为，‎ 曲线的直角坐标方程 ‎（2）切线长的最小值为即圆心到直线的距离为3‎ 解得 ‎20、【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）（Ⅲ）15.2‎ 试题解析：（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎，‎ ‎（Ⅲ）当（万元），（万元）‎ ‎21、【答案】（1）和；（2）．‎ 试题解析：（1）圆和的普通方程分别是和，‎ ‎∴圆和的极坐标方程分别是和．‎ ‎（2）依题意得，点的极坐标分别为和，不妨取，‎ ‎∴，从而，‎ 当且仅当时，即时，上式取“=”，取最大值4.‎ ‎22、【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.‎ 试题解析：（1）因为，所以，‎ 又据题意，得，所以，所以.‎ ‎（2），‎ 当时，，为增函数，‎ 当时，，为减函数.‎ 所以函数仅当时，取得极值.‎ 又函数在区间上存在极值，所以，所以.‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎（3）当时，，令，则 ‎，‎ 再令，则，‎ 又因为，所以.‎ 所以在上是增函数，‎ 又因为，‎ 所以当时，.‎ 所以在区间上是增函数.‎ 所以当时，，又，∴恒成立，即原不等式成立.‎