数学文·湖南省邵阳二中2016-2017学年高二上学期期中考试数学文试卷+Word版含解析x 14页

‎2016-2017学年湖南省邵阳二中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一．选择题（请将你认为正确的答案填写在答题卷上，每小题5分，共60分）‎ ‎1．“sinA=”是“A=30°”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分必要条件 D．必要而不充分条件 ‎2．“mn＜0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的（　　）‎ A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分而不必要条件 D．必要而不充分条件 ‎3．命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（　　）‎ A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0‎ C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0‎ ‎4．双曲线=1的焦距为（　　）‎ A．2 　B．4 C．2 　D．4‎ ‎5．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（　　）‎ A．e2 B．e C． D．ln2‎ ‎6．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4‎ ‎7．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知两点F1（﹣1，0）、F2（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（　　）‎ A．1 B． C． D．﹣1‎ ‎10．抛物线的准线方程是（　　）‎ A． B． C．y=2 D．y=﹣2‎ ‎11．双曲线﹣=1的渐近线方程是（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎12．已知对任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时（　　）‎ A．f′（x）＞0，g′（x）＞0 B．f′（x）＞0，g′（x）＜0 C．f′（x）＜0，g′（x）＞0 D．f′（x）＜0，g′（x）＜0‎ ‎　‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则m的取值范围为　　．‎ ‎14．已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=　　．‎ ‎15．已知双曲线的离心率是，则n=　　．‎ ‎16．命题p：若0＜a＜1，则不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，命题q：a≥1是函数f（x）=ax﹣在（0，+∞）上单调递增的充要条件；在命题①“p且q”、②“p或q”、③“非p”、④“非q”中，假命题是　　，真命题是　　．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．（10分）求下列函数的导函数．‎ ‎（1）f（x）=2lnx ‎（2）f（x）=．‎ ‎18．（12分）已知函数f（x）=2x3+3mx2+3nx﹣6在x=1及x=2处取得极值．‎ ‎（1）求m、n的值；‎ ‎（2）求f（x）的单调区间．‎ ‎19．（12分）求下列各曲线的标准方程 ‎（1）实轴长为12，离心率为，焦点在y轴上的椭圆；‎ ‎（2）抛物线的焦点是双曲线16x2﹣9y2=144的右顶点．‎ ‎20．（12分）已知椭圆=1，求以点P（1，1）为中点的弦所在的直线方程．‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=x3+ax2﹣9x+3（a＜0），且曲线y=f（x）斜率最小的切线与直线12x+y=6平行．试求：‎ ‎（1）a的值；‎ ‎（2）函数f（x）的单调区间．‎ ‎22．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1（﹣2，0）、F2（2，0）点P（，1）在双曲线C上．‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）记O为坐标原点，过点Q （0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2，求直线l的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖南省邵阳二中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（请将你认为正确的答案填写在答题卷上，每小题5分，共60分）‎ ‎1．（2016秋•大祥区校级期中）“sinA=”是“A=30°”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分必要条件 D．必要而不充分条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】简易逻辑．‎ ‎【分析】先求出满足条件的A的值，再结合充分必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：∵sinA=，∴A=2kπ+或2kπ+，（k∈Z），‎ 故“sinA=”是“A=30°”的必要不充分条件，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了三角函数的求值，考查了充分必要条件，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（2014秋•商丘校级期末）“mn＜0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的（　　）‎ A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分而不必要条件 D．必要而不充分条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑．‎ ‎【分析】“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”⇒“mn＜0”，反之不成立，可能是“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线”即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”⇒“mn＜0”，反之不成立，可能是“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线”．‎ ‎∴“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的必要不充分条件．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的标准方程、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（2007•山东）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（　　）‎ A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0‎ C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题 ‎∴否定命题为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化．要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．‎ ‎　‎ ‎4．（2015•芜湖校级模拟）双曲线=1的焦距为（　　）‎ A．2 B．4 C．2 D．4‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】直接利用双曲线方程，求出c，即可得到双曲线的焦距．‎ ‎【解答】解：双曲线=1，可知a2=10，b2=2，c2=12，‎ ‎∴c=2，2c=4．‎ 双曲线=1的焦距为：4．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎5．（2008•海南）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（　　）‎ A．e2 B．e C． D．ln2‎ ‎【考点】导数的乘法与除法法则．‎ ‎【分析】利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f'（x0）=2解方程即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=xlnx ‎∴‎ ‎∵f′（x0）=2‎ ‎∴lnx0+1=2‎ ‎∴x0=e，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查两个函数积的导数及简单应用．导数及应用是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．‎ ‎　‎ ‎6．（2006•安徽）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】通过椭圆、抛物线的焦点相同，计算即得结论．‎ ‎【解答】解：由a2=6、b2=2，可得c2=a2﹣b2=4，‎ ‎∴到椭圆的右焦点为（2，0），‎ ‎∴抛物线y2=2px的焦点（2，0），‎ ‎∴p=4，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（2009•宜昌一模）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】根据椭圆的长轴长是短轴长的2倍可知a=2b，进而可求得c关于a的表达式，进而根据求得e．‎ ‎【解答】解：已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴a=2b，椭圆的离心率，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查了椭圆的基本性质．属基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（2014秋•贵阳期末）已知两点F1（﹣1，0）、F2（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】椭圆的定义．‎ ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】根据|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，得到2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，得到点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，已知a，c的值，做出b的值，写出椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），‎ ‎∴|F1F2|=2，‎ ‎∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，‎ ‎∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，‎ 即|PF1|+|PF2|=4，‎ ‎∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，‎ ‎∵2a=4，a=2‎ c=1‎ ‎∴b2=3，‎ ‎∴椭圆的方程是 故选C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程，解题的关键是看清点所满足的条件，本题是用定义法来求得轨迹，还有直接法和相关点法可以应用．‎ ‎　‎ ‎9．（2012•汕头一模）设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（　　）‎ A．1 B． C． D．﹣1‎ ‎【考点】导数的几何意义．‎ ‎【分析】利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解．‎ ‎【解答】解：y'=2ax，‎ 于是切线的斜率k=y'|x=1=2a，∵切线与直线2x﹣y﹣6=0平行 ‎∴有2a=2‎ ‎∴a=1‎ 故选：A ‎【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率．‎ ‎　‎ ‎10．（2013秋•兴庆区校级期末）抛物线的准线方程是（　　）‎ A． B． C．y=2 D．y=﹣2‎ ‎【考点】抛物线的标准方程．‎ ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．‎ ‎【解答】解：整理抛物线方程得x2=﹣8y，∴p=4，‎ ‎∵抛物线方程开口向下，‎ ‎∴准线方程是y=2，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程及简单性质．属基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（2016秋•大祥区校级期中）双曲线﹣=1的渐近线方程是（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】直接根据双曲线的方程，令方程的右边等于0求出渐近线的方程．‎ ‎【解答】解：已知双曲线﹣=1‎ 令：﹣=0‎ 即得到渐近线方程为：y=±x 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：双曲线的渐渐线方程的求法，比较基础．‎ ‎　‎ ‎12．（2013秋•龙海市校级期末）已知对任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时（　　）‎ A．f′（x）＞0，g′（x）＞0 B．f′（x）＞0，g′（x）＜0 C．f′（x）＜0，g′（x）＞0 D．f′（x）＜0，g′（x）＜0‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．‎ ‎【分析】先利用函数奇偶性的定义判断出f（x），g（x）的奇偶性；利用导数与函数的单调性的关系判断出两个函数在（0，+∞）上的单调性，再据奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反得到f（x），g（x）在（﹣∞，0）的单调性，再利用导数与函数的单调性的关系判断出两个导函数的符号．‎ ‎【解答】解：∵对任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），‎ ‎∴f（x）为奇函数；g（x）为偶函数，‎ ‎∵x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）上为增函数；g（x）在（0，+∞）上为增函数，‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，0）上为增函数；g（x）在（﹣∞，0）上为减函数，‎ ‎∴f′（x）＞0；g′（x）＜0，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】导数的符号与函数单调性的关系为：导函数为正则函数单调递增；导函数为负，则函数单调递减；函数的奇偶性与单调性的关系：奇函数在对称区间的单调性相同，偶函数在对称区间的单调性相反．‎ ‎　‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（2014春•黄山期末）函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则m的取值范围为　[，+∞）　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【专题】计算题；导数的概念及应用．‎ ‎【分析】对函数进行求导，令导函数大于等于0在R上恒成立即可．‎ ‎【解答】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，‎ 只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，‎ 即△=4﹣12m≤0，‎ ‎∴m≥．‎ 故m的取值范围为[，+∞）．‎ 故答案为：[，+∞）．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．即当导数大于0是原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．‎ ‎　‎ ‎14．（2008•浙江）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=　8　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a=20，再由周长，即可得到AB的长．‎ ‎【解答】解：椭圆=1的a=5，‎ 由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，‎ 则三角形ABF2的周长为4a=20，‎ 若|F2A|+|F2B|=12，‎ 则|AB|=20﹣12=8．‎ 故答案为：8‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（2015秋•吉林校级期末）已知双曲线的离心率是，则n=　﹣12或24　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】分类讨论当n﹣12＞0，且n＞0时，双曲线的焦点在y轴，当n﹣12＜0，且n＜0时，双曲线的焦点在x轴，由题意分别可得关于n的方程，解方程可得．‎ ‎【解答】解：双曲线的方程可化为 当n﹣12＞0，且n＞0即n＞12时，双曲线的焦点在y轴，‎ 此时可得=，解得n=24；‎ 当n﹣12＜0，且n＜0即n＜12时，双曲线的焦点在x轴，‎ 此时可得=，解得n=﹣12；‎ 故答案为：﹣12或24‎ ‎【点评】本题考查双曲线的离心率，涉及分类讨论的思想，属中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（2012秋•榆阳区校级期末）命题p：若0＜a＜1，则不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，命题q：a≥1是函数f（x）=ax﹣在（0，+∞）上单调递增的充要条件；在命题①“p 且q”、②“p或q”、③“非p”、④“非q”中，假命题是　①、③　，真命题是　②、④　．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【专题】简易逻辑．‎ ‎【分析】先判断命题p，q的真假，然后根据由“且“，“或“，“非“逻辑连接词构成的命题的真假情况，即可找出这四个命题中的真命题和假命题．‎ ‎【解答】解：命题p：△=4a2﹣4a=4a（a﹣1），∵0＜a＜1，∴△＜0，∴不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，∴该命题为真命题；‎ 命题q：f′（x）=，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f′（x）＞0，即ax2+1＞0，若a≥0，该不等式成立；若a＜0，解该不等式得：，即此时函数f（x）在（0，+∞）上不单调递增，∴a≥0是函数f（x）在（0，+∞）上单调递增的充要条件，∴该命题为假命题；‎ ‎∴p且q为假命题，p或q为真命题，非p为假命题，非q为真命题；‎ ‎∴假命题为：①③，真命题为：②④；‎ 故答案为：①③；②④．‎ ‎【点评】考查一元二次不等式的解和判别式的关系，函数单调性和导数符号的关系，由“或“，“且“，“非“逻辑连接词连接的命题的真假情况．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．（10分）（2016秋•大祥区校级期中）求下列函数的导函数．‎ ‎（1）f（x）=2lnx ‎（2）f（x）=．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【专题】计算题；函数思想；定义法；导数的概念及应用．‎ ‎【分析】根据导数的基本公式和导数的运算法则计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=，‎ ‎（2）f′（x）=‎ ‎【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•大祥区校级期中）已知函数f（x）=2x3+3mx2+3nx﹣6在x=1及x=2处取得极值．‎ ‎（1）求m、n的值；‎ ‎（2）求f（x）的单调区间．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用．‎ ‎【分析】（1）由题意可知f（x）在x=1及x=2处取得极值，即，列方程组即可求得m、n的值；‎ ‎（2）由题意可知：f′（x）=6x2﹣18x+12，令f′（x）＞0，求得函数单调递增区间，令f′（x）＜0，求得函数的单调递减区间．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）=2x3+3mx2+3nx﹣6，求导，f′（x）=6x2+6mx+3n=0，‎ f（x）在x=1及x=2处取得极值，‎ ‎∴，整理得：，‎ 解得：，‎ m、n的值分别为﹣3，4；‎ ‎（2）由（1）可知：f′（x）=6x2﹣18x+12，‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，‎ 令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，‎ f（x）的单调递增区间（﹣∞，1），（2，+∞），‎ 当单调递减区间（1，2）．‎ ‎【点评】本题考查导数的求法，考查函数的单调性与极值的综合应用，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•大祥区校级期中）求下列各曲线的标准方程 ‎（1）实轴长为12，离心率为，焦点在y轴上的椭圆；‎ ‎（2）抛物线的焦点是双曲线16x2﹣9y2=144的右顶点．‎ ‎【考点】抛物线的标准方程；椭圆的标准方程．‎ ‎【专题】综合题；方程思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）由题意a=6，c=4，b=2，即可求出椭圆的方程；‎ ‎（2）双曲线16x2﹣9y2=144的右顶点为（3，0），抛物线的焦点为（3，0），即可求出抛物线的方程．‎ ‎【解答】解：（1）由题意a=6，c=4，b=2，椭圆的方程为=1；‎ ‎（2）双曲线16x2﹣9y2=144的右顶点为（3，0），∴抛物线的焦点为（3，0），∴抛物线的方程为y2=12x．‎ ‎【点评】本题考查椭圆、抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•大祥区校级期中）已知椭圆=1，求以点P（1，1）为中点的弦所在的直线方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1，+=1，相减利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则+=1，+=1，‎ 可得+=0，‎ 可得+=0，解得k=﹣．‎ ‎∴以点P（1，1）为中点的弦所在的直线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1）．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•大祥区校级期中）设函数f（x）=x3+ax2﹣9x+3（a＜0），且曲线y=f（x）斜率最小的切线与直线12x+y=6平行．试求：‎ ‎（1）a的值；‎ ‎（2）函数f（x）的单调区间．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；演绎法；导数的概念及应用．‎ ‎【分析】（1）先求出导函数的最小值，最小值与直线12x+y=6的斜率相等建立等式关系，求出a的值即可；‎ ‎（2）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，解得的区间就是所求．‎ ‎【解答】解：（1）因f（x）=x3+ax2﹣9x﹣1‎ 所以f'（x）=3x2+2ax﹣9=．‎ 即当x=﹣时，f'（x）取得最小值﹣9﹣．‎ 因斜率最小的切线与12x+y=6平行，即该切线的斜率为﹣12，‎ 所以﹣9﹣=﹣12．‎ 解得a=±3，由题设a＜0，所以a=﹣3．‎ ‎（2）由（1）知a=﹣3，因此f（x）=x3﹣3x2﹣9x+3，‎ f'（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x﹣3）（x+1），‎ 令f'（x）=0，解得：x1=﹣1，x2=3．‎ 当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上为增函数；‎ 当x∈（﹣1，3）时，f'（x）＜0，故f（x）在（﹣1，3）上为减函数；‎ 当x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在（3，+∞）上为增函数．‎ 由此可见，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）；‎ 单调递减区间为（﹣1，3）．‎ ‎【点评】本小题主要考查导数的几何意义，及运用导数求函数的单调区间、一元二次不等式的解法等基础知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•大祥区校级期中）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1（﹣2，0）、F2（2，0）点P（，1）在双曲线C上．‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）记O为坐标原点，过点Q （0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2，求直线l的方程．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）根据题意可得a2+b2=4，得到a和b的关系，把点P（，1）代入双曲线方程，求得a，进而根据a2+b2=4求得b，双曲线方程可得；‎ ‎（2）可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，根据直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F，进而可得k的范围，设E（x1，y1），F（x2，y2），根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，进而表示出|EF|和原点O到直线l的距离根据三角形OEF的面积求得k，进而可得直线方程．‎ ‎【解答】解：（1）依题意，由c2=a2+b2=4，‎ 得双曲线方程为﹣=1（0＜a2＜4），‎ 将点（，1）代入上式，得﹣=1．‎ 解得a2=2或a2=6（舍去），‎ 故所求双曲线方程为﹣=1；‎ ‎（2）：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，‎ 得（1﹣k2）x2﹣4kx﹣6=0．‎ ‎∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F，‎ ‎∴⇔∴k∈（﹣，﹣1）∪（1，）．‎ 设E（x1，y1），F（x2，y2），则由①式得x1+x2=，x1x2=﹣，‎ 于是，|EF|=‎ ‎=•=•，‎ 而原点O到直线l的距离d=，‎ ‎∴S△OEF=d•|EF|=•••=，‎ 若S△OEF==2⇔k4﹣k2﹣2=0，‎ 解得k=±，满足判别式大于0．‎ 故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=x+2和y=﹣x+2．‎ ‎【点评】本题主要考查了双曲线的方程和双曲线与直线的关系．考查了学生综合运算能力．‎