数学·甘肃省白银市会宁四中2016-2017学年中高二上学期期中考试数学试卷 Word版含解析x 13页

2016-2017 学年甘肃省白银市会宁四中高二（上）期中数学 试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项． 1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ） A．1， ， ， ，…B．﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，… C．﹣1，﹣ ，﹣ ，﹣ ，…D．1， ， ，…， 2．数列 ， ， ， ，…的第 10 项是（ ） A． B． C． D． 3．在△ABC 中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长是（ ） A． B． C． D． 4．已知锐角△ABC 的面积为 ，BC=4，CA=3，则角 C 的大小为（ ） A．75° B．60° C．45° D．30° 5．设 a=lge，b=（lge）2，c=lg ，则（ ） A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a 6．在△ABC 中，A：B：C=4：1：1，则 a：b：c=（ ） A． ：1：1 B．2：1：1 C． ：1：2 D．3：1：1 7．等差数列 1，﹣1，﹣3，﹣5，…，﹣89，它的项数是（ ） A．92 B．47 C．46 D．45 8．在等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2+a4+a15 的值为常数，则下列为常数的是（ ） A．S7 B．S8 C．S13 D．S15 9．已知数列{an}是公比为 q 的等比数列，且 a1，a3，a2 成等差数列，则公比 q 的值为（ ） A．﹣2 B． C． D．1 10．在△ABC 中，（a+c）（a﹣c）=b（b+c），则 A=（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 11．下列不等式组中，能表示图中阴影部分的是（ ） A． B． C． D． 12．给出下列四个推导过程： ①∵a，b ∈ R+，∴（ ）+（ ）≥2 =2； ②∵x，y ∈ R+，∴lgx+lgy≥2 ； ③∵a ∈ R，a≠0，∴（ ）+a≥2 =4； ④∵x，y ∈ R，xy＜0，∴（ ）+（ ）=﹣[（﹣（ ））+（﹣（ ））]≤﹣2 = ﹣2． 其中正确的是（ ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后三项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个 数列有 项． 14．在△ABC 中，如果 S△ABC= ，那么∠C= ． 15．数列 ，的前 n 项之和等于 ． 16．若 a＞0，b＞0，且 ln（a+b）=0，则 的最小值是 ． 三、解答题： 17．（10 分）在△ABC 中，B=45°，AC= ，cosC= ，求 BC 的长． 18．（12 分）在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边长，若（a+b+c）（sinA+sinB ﹣sinC）=3asinB，求 C 的大小． 19．（12 分）在数列{an}中，a1=2，a17=66，通项公式是关于 n 的一次函数． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求 a2015． 20．（12 分）设 z=2y﹣2x+4，式中 x，y 满足条件 ，求 z 的最大值和最小值． 21．（12 分）解下列不等式： （1）8x﹣1≤16x2； （2）x2﹣2ax﹣3a2＜0（a＜0）． 22．（12 分）在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中．已知 a1=b1=1．a2=b2．a6=b3 （1）求等差数列{an}的通项公式 an 和等比数列{bn}的通项公式 bn； （2）求数列{an•bn}的前 n 项和 Sn． 2016-2017 学年甘肃省白银市会宁四中高二（上）期中数 学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项． 1．（2016 秋•会宁县校级期中）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ） A．1， ， ， ，…B．﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，… C．﹣1，﹣ ，﹣ ，﹣ ，…D．1， ， ，…， 【考点】数列的概念及简单表示法． 【专题】点列、递归数列与数学归纳法． 【分析】根据递增数列、递减数列、无穷数列、有穷数列的定义，对各个选项依次判断． 【解答】解：A、此数列 1， ， ， ，…是递减数列，则 A 不符合题意； B、此数列﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，…是递减数列，则 B 不符合题意； C、此数列﹣1，﹣ ，﹣ ，﹣ ，…是递增数列又是无穷数列，则 C 符合题意； D、此数列 1， ， ，…， ，是有穷数列，则 D 不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查数列的分类，属于基础题． 2．（2015 秋•湛江校级期末）数列 ， ， ， ，…的第 10 项是（ ） A． B． C． D． 【考点】数列的概念及简单表示法． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】由数列 ， ， ， ，…可得其通项公式 an= ．即可得出． 【解答】解：由数列 ， ， ， ，…可得其通项公式 an= ． ∴ = ． 故选 C． 【点评】得出数列的通项公式是解题的关键． 3．（2011•云南模拟）在△ABC 中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长是（ ） A． B． C． D． 【考点】正弦定理． 【专题】计算题． 【分析】由 B=45°，C=60°可得 A=75°从而可得 B 角最小，根据大边对大角可得最短边是 b， 利用正弦定理求 b 即可 【解答】解：由 B=45°，C=60°可得 A=75°， ∵B 角最小，∴最短边是 b， 由 = 可得，b= = = ， 故选 A． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和、大边对大角、正弦定理等知识的综合进行解三角 形，属于基础试题． 4．（2009•福建）已知锐角△ABC 的面积为 ，BC=4，CA=3，则角 C 的大小为（ ） A．75° B．60° C．45° D．30° 【考点】解三角形． 【专题】计算题． 【分析】先利用三角形面积公式表示出三角形面积，根据面积为 3 和两边求得 sinC 的值， 进而求得 C． 【解答】解：S= BC•AC•sinC= ×4×3×sinC=3 ∴sinC= ∵三角形为锐角三角形 ∴C=60° 故选 B 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．利用三角形的两边和夹角求三角形面积的问 题，是三角形问题中常用的思路． 5．（2009•全国卷Ⅱ）设 a=lge，b=（lge）2，c=lg ，则（ ） A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a 【考点】对数函数的单调性与特殊点；对数值大小的比较． 【分析】因为 10＞1，所以 y=lgx 单调递增，又因为 1＜e＜10，所以 0＜lge＜1，即可得到 答案． 【解答】解：∵1＜e＜3＜ ， ∴0＜lge＜1，∴lge＞ lge＞（lge）2． ∴a＞c＞b． 故选：C． 【点评】本题主要考查对数的单调性．即底数大于 1 时单调递增，底数大于 0 小于 1 时单调 递减． 6．（2016 秋•会宁县校级期中）在△ABC 中，A：B：C=4：1：1，则 a：b：c=（ ） A． ：1：1 B．2：1：1 C． ：1：2 D．3：1：1 【考点】正弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】通过三角形的角的比，求出三个角的大小，利用正弦定理求出 a、b、c 的比即可 【解答】解：∵A+B+C=π，A：B：C=4：1：1， ∴A=120°，B=C=30°， 由正弦定理可知：a：b：c=sinA：sinB：sinC= = ：1：1． 故选：A． 【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的内角和，基本知识的考查． 7．（2016 秋•会宁县校级期中）等差数列 1，﹣1，﹣3，﹣5，…，﹣89，它的项数是（ ） A．92 B．47 C．46 D．45 【考点】等差数列的通项公式． 【专题】计算题． 【分析】给出的数列是等差数列，由题意得到首项和公差，直接由通项公式求项数． 【解答】解：a1=1，d=﹣1﹣1=﹣2，∴an=1+（n﹣1）•（﹣2）=﹣2n+3，由﹣89=﹣2n+3， 得：n=46． 故选 C． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，是基础的会考题型． 8．（2016 秋•会宁县校级期中）在等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2+a4+a15 的值为常数， 则下列为常数的是（ ） A．S7 B．S8 C．S13 D．S15 【考点】等差数列的前 n 项和． 【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】利用等差数列的通项公式及其性质即可得出． 【解答】解：设等差数列{an}的公差为 d，∵a2+a4+a15=3a1+18d=3a7 为常数， ∴S13= =13a7 为常数． 故选：C． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题． 9．（2016 秋•会宁县校级期中）已知数列{an}是公比为 q 的等比数列，且 a1，a3，a2 成等差 数列，则公比 q 的值为（ ） A．﹣2 B． C． D．1 【考点】等差数列与等比数列的综合． 【专题】计算题；转化思想． 【分析】a1，a3，a2 成等差数列得 2a3=a1+a2，利用数列的通项公式展开即可得到公比 q 的方 程，易求 【解答】解：由题意 2a3=a1+a2，∴2a1q2=a1q+a1，∴2q2=q+1，∴q=1 或 q= 故选 C 【点评】本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求 q 是解题的关键， 对于等比数列的通项公式也要熟练． 10．（2011 春•南充期末）在△ABC 中，（a+c）（a﹣c）=b（b+c），则 A=（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【考点】余弦定理． 【专题】计算题． 【分析】利用余弦定理表示出 cosA，把已知的等式变形后代入求出 cosA 的值，由 A 为三 角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数． 【解答】解：原式（a+c）（a﹣c）=b（b+c）， 变形得：b2+c2﹣a2=﹣bc， 根据余弦定理得：cosA= =﹣ ， ∵A 为三角形的内角， 则 A=120°． 故选 C 【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，余弦定理建立了三角形的边角关 系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，同时注意角度的范围． 11．（2016 秋•会宁县校级期中）下列不等式组中，能表示图中阴影部分的是（ ） A． B． C． D． 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域． 【专题】计算题；数形结合；转化思想；不等式． 【分析】利用可行域判断不等式组即可． 【解答】解：可行域是三角形，所以 A，B 不正确，约束条件 C 表示的可行域表不是三角 形，约束条件 D 表示的可行域是三角形，满足题意． 故选：D． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，可行域的判断，是基础题． 12．（2014•开福区校级模拟）给出下列四个推导过程： ①∵a，b ∈ R+，∴（ ）+（ ）≥2 =2； ②∵x，y ∈ R+，∴lgx+lgy≥2 ； ③∵a ∈ R，a≠0，∴（ ）+a≥2 =4； ④∵x，y ∈ R，xy＜0，∴（ ）+（ ）=﹣[（﹣（ ））+（﹣（ ））]≤﹣2 = ﹣2． 其中正确的是（ ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【考点】基本不等式． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】基本不等式 a+b≥2 的成立条件是 a＞0，b＞0，然后判断即可 【解答】解：对于①∵a，b ∈ R+，∴（ ）+（ ）≥2 =2，当且仅当 a=b 时取等号， 故①正确， 对于②∵x，y ∈ R+，但是 lgx，lgy 不一定大于 0，故不能用基本不等式，故②错误， 对于③∵a ∈ R，a≠0，∴（ ）+a≥2 =4；成立的条件是 a＞0，故③错误， 对于④x，y ∈ R，xy＜0，∴（ ）+（ ）=﹣[（﹣（ ））+（﹣（ ））]≤﹣2 = ﹣2．当且仅当 x+y=0 时取等号，故④正确． 故选：D 【点评】本题主要考查了基本不等式的性质，属于基础题， 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．（2014 秋•潍坊校级期中）若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后三项的和为 146，且 所有项的和为 390，则这个数列有 13 项． 【考点】等差数列的性质． 【专题】计算题． 【分析】已知前三项和后三项的和，根据等差数列的性质，可用倒序相加法求解． 【解答】解：由题意可知：a1+a2+a3+an﹣2+an﹣1+an=3（a1+an）=180， ∴s= ×n=30n=390， ∴n=13． 故答案为 13． 【点评】本题考查了等差数列的性质及前 n 项和公式，巧妙地利用了倒序相加法对数列求和． 14．（2016 秋•会宁县校级期中）在△ABC 中，如果 S△ABC= ，那么∠C= ． 【考点】余弦定理． 【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形． 【分析】由已知利用三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式整理可得 tanC=1， 结合 C 的范围，利用特殊角的三角函数值即可得解 C 的值． 【解答】解：∵S△ABC= absinC= = ， ∴sinC=cosC，即 tanC=1， ∵C ∈ （0，π）， ∴C= ． 故答案为： ． 【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，特殊角的 三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 15．（2013•临淄区校级模拟）数列 ，的前 n 项之和等于 ． 【考点】数列的求和． 【分析】由数列 ，得到 an=n+2n，所以其前 n 项和 ，利用分组求和法，得到 Sn= （1+2+3+4+…+n）+（ ），再由等差数列和等比数列的前 n 项和公式能够 得到结果． 【解答】解：数列 ，的前 n 项之和 =（1+2+3+4+…+n）+（ ） = + = ． 故答案为： ． 【点评】本题考查数列求和的应用，解题时要认真审题，仔细解答．关键步骤是找到 an=n+2n， 利用分组求法进行求解． 16．（2015•鄂州三模）若 a＞0，b＞0，且 ln（a+b）=0，则 的最小值是 4 ． 【考点】基本不等式． 【专题】计算题． 【分析】先根据 ln（a+b）=0 求得 a+b 的值，进而利用 =（ ）（a+b）利用均值不 等式求得答案． 【解答】解：∵ln（a+b）=0， ∴a+b=1 ∴ =（ ）（a+b）=2+ + ≥2+2=4 故答案为：4 【点评】本题主要考查了基本不等式的应用．考查了学生综合分析问题的能力和对基础知识 的综合运用． 三、解答题： 17．（10 分）（2016 秋•会宁县校级期中）在△ABC 中，B=45°，AC= ，cosC= ，求 BC 的长． 【考点】余弦定理；正弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】如图所示，过 A 作 AD⊥BC，可得出三角形 ABD 为等腰直角三角形，即 AD=BD， 在直角三角形 ADC 中，由 cosC 的值求出 sinC 的值，利用正弦定理求出 AD 的长，进而利 用勾股定理求出 DC 的长，由 BD+DC 即可求出 BC 的长． 【解答】解：如图所示，过 A 作 AD⊥BC， 在 Rt△ABD 中，B=45°， ∴△ABD 为等腰直角三角形，即 AD=BD， 在 Rt△ADC 中，cosC= ， ∴sinC= = ， 由正弦定理 = ，即 AD= = ， 利用勾股定理得：DC= =2 ， 则 BC=BD+DC=AD+DC=3 ． 【点评】此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键． 18．（12 分）（2016 秋•会宁县校级期中）在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的 边长，若（a+b+c）（sinA+sinB﹣sinC）=3asinB，求 C 的大小． 【考点】正弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】已知等式利用正弦定理化简，整理后利用余弦定理求出 cosC 的值，即可确定出 C 的度数． 【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab， 整理得：a2+2ab+b2﹣c2=3ab，即 = ， ∴cosC= ， 则 C=60°． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的 关键． 19．（12 分）（2016 秋•会宁县校级期中）在数列{an}中，a1=2，a17=66，通项公式是关于 n 的一次函数． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求 a2015． 【考点】数列与函数的综合． 【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用；等差数列与等比数列． 【分析】（1）设 an=kn+b（k≠0），由题意可得 ，解得 k，b，即可得出 an． （2）把 n=2015 代入 an 即可得出． 【解答】解：（1）设 an=kn+b（k≠0），∵a1=2，a17=66，∴ ， 解得 k=4，b=﹣2， ∴an=4n﹣2． （2）a2015=4×2015﹣2=8058． 【点评】本题考查了数列的函数性质、通项公式、待定系数法，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题． 20．（12 分）（2015 秋•咸阳期末）设 z=2y﹣2x+4，式中 x，y 满足条件 ，求 z 的最大值和最小值． 【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，由 z=2y﹣2x+4 得 y=x+ ，利用数形结合即可 的得到结论． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=2y﹣2x+4 得 y=x+ ， 平移直线 y=x+ ，由图象可知当直线 y=x+ 经过点 A（0，2）时， 直线 y=x+ 的截距最大，此时 z 最大，zmax=2×2+4=8． 直线 y=x+ 经过点 B 时，直线 y=x+ 的截距最小，此时 z 最小， 由 ，解得 ，即 B（1，1），此时 zmin=2﹣2+4=4， 即 z 的最大值是 8，最小值是 4． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关 键． 21．（12 分）（2016 秋•会宁县校级期中）解下列不等式： （1）8x﹣1≤16x2； （2）x2﹣2ax﹣3a2＜0（a＜0）． 【考点】其他不等式的解法． 【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用． 【分析】分别将两个不等式分解变形，求不等式的解集． 【解答】解：（1）8x﹣1≤16x2，变形为：（4x﹣1）2≥0，所以 x ∈ R； （2）x2﹣2ax﹣3a2＜0（a＜0），变形为（x﹣3a）（x+a）＜0，所以不等式的解集为{x|3a＜x ＜﹣a}． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法；利用分解因式法将不等式变形求解． 22．（12 分）（2016 秋•会宁县校级期中）在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中．已 知 a1=b1=1．a2=b2．a6=b3 （1）求等差数列{an}的通项公式 an 和等比数列{bn}的通项公式 bn； （2）求数列{an•bn}的前 n 项和 Sn． 【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（1）由已知条件结合等差数列和等比数列的性质，列出方程组，求出等差数列{an} 的公差和等比数列{bn}的公比，由此能求出等差数列{an}和等比数列{bn}的通项公式． （2）由 an•bn=（3n﹣2）•4n﹣1，利用错位相减法能求出数列{an•bn}的前 n 项和 Sn． 【解答】解：（1）∵公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中．a1=b1=1，a2=b2，a6=b3， ∴ ，且 d≠0， 解得 d=3，q=4， ∴an=1+（n﹣1）×3=3n﹣2， bn=qn﹣1=4n﹣1． （2）由（1）得 an•bn=（3n﹣2）•4n﹣1， ∴Sn=1•40+4×4+7×42+…+（3n﹣2）•4n﹣1，① 4Sn=4+4×42+7×43+…+（3n﹣2）•4n，② ①﹣②，得：﹣3Sn=1+3（4+42+43+…+4n﹣1）﹣（3n﹣2）•4n =1+3× ﹣（3n﹣2）•4n =﹣3﹣（3n﹣3）•4n． ∴Sn=1+（n﹣1）•4n． 【点评】本题考查数列的通项公式和前 n 项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审 题，注意等差数列、等比数列的性质和裂项求和法的合理运用．