数学卷·2017届河北省定州中学高三上学期期末考试（2017 9页

河北定州中学2016-2017学年第一学期高三数学期末考试试题 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎（1）已知全集，则图中阴影部分所表示的集合等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（2）复数满足，则对应的点位于复平面的（ ）‎ A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D．第四象限 ‎（3）已知满足对，且时，（为常数），则的值为（ ）‎ A．4 B．-4 C．6 D．-6‎ ‎（4）如图，在空间四边形中，一个平面与边分别交于（不含端点），则下列结论错误的是（ ）‎ A．若，则平面 B．若分别为各边中点，则四边形为平行四边形 C．若分别为各边中点且，则四边形为矩形 D．若分别为各边中点且，则四边形为矩形 ‎（5）等差数列中，是其前项和，，则（ ）‎ A． 0 B． -9 C． 10 D．-10‎ ‎（6）设，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎（7）．如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（8）已知满足约束条件，目标函数，若的最大值为，则当时，的最大值和最小值之和是（ ）‎ A．4 B．10 C．13 D．14‎ ‎（9）在边长为1的正中，是边的两个三等分点（靠近于点），则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（10）已知函数的图象关于直线对称且，如果存在实数，使得对任意的都有，则的最小值是（ ）‎ A．4 B．6 C．8 D．12‎ ‎（11）已知边长为的菱形中，，现沿对角线折起，使得二面角为120°，此时点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（12）已知方程在上有三个不等实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ．‎ ‎（13）命题“”为假命题，则实数的取值范围是____________．‎ ‎（14）已知，则__________．‎ ‎（15）已知正实数满足，则的最小值为___________．‎ ‎（16）已知函数，点为曲线在点处的切线上的一点，点在曲线上，则的最小值为____________．‎ 三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎（17）（本小题满分10分）‎ 已知数列的前项和为，且对任意正整数，都有成立．‎ ‎（1）记，求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 已知中，角的对边分别为，且．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 在如图所示的三棱锥中，分别是的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若为正三角形，且为上的一点，，求直线与直线所成角的正切值．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）记的极小值为，求的最大值；‎ ‎（2）若对任意实数恒有，求的取值范围．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，为正三角形，平面．‎ ‎（1）若为棱的中点，求证平面；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离．‎ ‎（22）（本小题满分12分）‎ 已知．‎ ‎（1）若在上单调，求实数的取值范围；‎ ‎（2）证明：当时，在上恒成立．‎ 参考答案 一、选择题 ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D B C A B A D C C C C 二、填空题 ‎13. 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）在中令得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 因为对任意正整数，都有成立，所以，‎ 两式相减得，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 又，所以数列为等比数列，所以，所以．．．．．5分 ‎（2），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 所以．．．．．．．．．．．10分 又，所以 ‎，．．．．．．．．．．．．9分 因为，所以，所以，所以，‎ 即的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎19．解：（1）‎ 取的中点，连接．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 在中，因为分别为的中点，‎ 所以平面平面，‎ 所以平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3分 在矩形中，因为分别为的中点，‎ 所以平面 平面，所以平面．．．．．．．．．．4分 因为，所以平面平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 因为平面，所以平面．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面，‎ 连接，因为为正三角形，为中点，所以，所以平面，‎ 取的中点，连接，可得，故平面，‎ 又因为，所以，‎ 所以即为直线与直线所成角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 设，在中，，‎ 所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎20．解：（1）函数的定义域是，，‎ 令，得，所以的单调递增区间是；‎ 令，得，所以的单调递减区间是，函数在处取极小值，‎ ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ‎，当时，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减，‎ 所以是函数在上唯一的极大值点，也是最大值点，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）当时，恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 当时，，即，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 令，‎ 当时，，当时，，故的最小值为，‎ 所以，故实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎，，由上面可知恒成立，‎ 故在上单调递增，所以，‎ 即的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎21．解：（1）因为平面平面，所以，‎ ‎∵，所以平面，而平面，∴．．．．．2分 ‎∵是的中点，∴，又，所以平面，‎ 而平面，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎∵底面，∴平面平面，又，‎ 由面面垂直的性质定理可得平面，又∵，∴平面．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）因为平面，所以，所以，‎ 由（1）的证明知，平面，所以，‎ 因为为正三角形，所以，因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 设点的平面的距离为，则．．．．．．8分 在中，，所以．．．．．9分 所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 因为，所以，解得，‎ 即点到平面的距离为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎22．解：（1）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　1分 若在上单调递增，则当，恒成立，‎ 当时，‎ ‎，‎ 此时；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 若在上单调递减，同理可得．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 所以的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）时，．．．．．．．．．．．．7分 当时，在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ‎∴存在，使得在上，在上，‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 故在上，，所以在上恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分