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全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年甘肃省白银十中高三(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设全集U=R,A={x|y=lg(2x﹣x2)},B={y|y=cos x},则图中阴影部分表示的区间是( )
A.[﹣1,2) B.(﹣1,2) C.(﹣∞,﹣1)∪[2,+∞) D.(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞)
2.若点P在角的终边上,且P的坐标为(﹣1,y),则y等于( )
A. B. C. D.
3.给出以下四个判断,其中正确的判断是( )
A.命题p:∃α∈R,使幂函数y=xα图象经过第四象限;命题q:在锐角△ABC中,sinA>cosB,则p∧q为真
B.命题:“正切函数y=tan x在定义域内为增函数”的逆否命题为真
C.在区间(a,b)连续的函数f(x),f(a)•f(b)<0是f(x)在区间(a,b)内有零点的充要条件
D.命题p:函数f(x)=x2﹣2x仅有两个零点,则¬p是真命题
4.一个扇形OAB的面积是1cm2,它的周长是4cm,则弦长AB=( )
A.2 B.2sin 1 C.2sin 2 D.sin 1
5.已知α∈(,π),sin(α+)=,则=( )
A. B. C. D.
6.关于函数y=tan(2x﹣),下列说法正确的是( )
A.最小正周期为π
B.是奇函数
C.在区间上单调递减
D.为其图象的一个对称中心
7.已知x1=dx,x2=e﹣1.1(其中e为自然对数的底数),实数x3满足,则x1,x2,x3的大小关系为( )
A.x1>x2>x3 B.x2>x1>x3 C.x3>x2>x1 D.x3>x1>x2
8.把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度,再把函数图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=f(x)的图象,则函数y=f(x)的图象上最高点与最低点之间的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
9.如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴正方向滚动.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),设y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域为S,则直线x=t从t=0到t=4所匀速移动扫过区域S的面积D与t的函数图象大致为( )
A. B. C. D.
10.已知函数f(x)=的图象上恰好有两对关于原点对称的点,则实数a的取值范围是( )
A.(4,+∞) B.(﹣∞,0)∪(4,+∞) C.(0,4) D.(﹣∞,0)
11.函数f(x)=﹣2ax+2a+1图象经过四个象限的必要而不充分条件是( )
A.﹣<x<﹣ B.﹣2<a<0 C.﹣<a<﹣ D.﹣1<a<﹣
12.设函数f(x)(x∈R)满足f(﹣x)=f(x),f(x)=f(2﹣x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos(πx)|,则函数h(x)=g(x)﹣f(x)在上的零点个数为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把最终答案填在题中的横线上)
13.函数y=x与f(x)=2﹣x2围成的封闭图形的面积为 .
14.已知sinα﹣cosα=﹣,π<α<,求tanα的值.
15.函数f(x)是定义在[﹣4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图所示,那么不等式<0的解集为
16.已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)>0,f(x)•f(y)=f(x+y),且f(1)=,当x∈(0,+∞)时f(x)<1,关于x的不等式f(a)•f(﹣2﹣xex)﹣4>0(其中e为自然对数的底数)恒成立,则实数a的取值范围为 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(1)计算:﹣lg0.4﹣2lg0.5﹣14×
(2)已知P(sinα,cosα)在直线y=x,求+2sinαcosα的值.
18.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
19.已知函数f(x)=x3+bx2+cx在x=1处的切线方程为12x+y﹣1=0.
(1)求b,c的值;
(2)若方程f(x)﹣m=0有三个解,求m的取值范围.
20.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求的值;
(2)求函数g(x)=f(x)+f(x+)的对称轴与单调区间.
21.已知函数f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程
(2)若对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,有f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立,求a的取值范围.
22.己知函数f(x)=aex+x2,g(x)=sin+bx,直线l与曲线y=f(x)切于点(0,f(0))且与曲线y=g(x)切于点(1,g(1)).
(I)求a,b的值和直线l的方程.
(Ⅱ)证明:f(x)>g(x)
2016-2017学年甘肃省白银十中高三(上)期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设全集U=R,A={x|y=lg(2x﹣x2)},B={y|y=cos x},则图中阴影部分表示的区间是( )
A.[﹣1,2) B.(﹣1,2) C.(﹣∞,﹣1)∪[2,+∞) D.(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞)
【考点】Venn图表达集合的关系及运算.
【分析】根据定义得到阴影部分的集合为∁U(A∪B),求出集合A,B的等价条件,结合集合的基本运算进行求解即可.
【解答】解:由题意知,A={x|2x﹣x2>0}={x|0<x<2},B={y|﹣1≤y≤1},A∪B={x|﹣1≤x<2},
则∁U(A∪B)即图中阴影部分所表示的区间,
区间为(﹣∞,﹣1)∪[2,+∞),
故选C.
2.若点P在角的终边上,且P的坐标为(﹣1,y),则y等于( )
A. B. C. D.
【考点】任意角的三角函数的定义.
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义、诱导公式,求得y的值.
【解答】解:∵点P在角的终边上,且P的坐标为(﹣1,y),
∴tan(﹣)=﹣tan=﹣tan=﹣=,
∴y=,
故选:B.
3.给出以下四个判断,其中正确的判断是( )
A.命题p:∃α∈R,使幂函数y=xα图象经过第四象限;命题q:在锐角△ABC中,sinA>cosB,则p∧q为真
B.命题:“正切函数y=tan x在定义域内为增函数”的逆否命题为真
C.在区间(a,b)连续的函数f(x),f(a)•f(b)<0是f(x)在区间(a,b)内有零点的充要条件
D.命题p:函数f(x)=x2﹣2x仅有两个零点,则¬p是真命题
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】通过幂函数的性质判断A的正误;正切函数的单调性判断B的正误;零点判定定理以及充要条件判断C的正误;函数的零点个数判断D的正误;
【解答】解:对于A,因为幂函数y=xα图象恒不过第四象限角,命题p是假命题;命题q是真命题,则p∧q为假命题;
对于B,正切函数y=tan x在每个周期内为增函数,故命题为假;
对于C,f(a)•f(b)<0是f(x)在区间(a,b)内有零点的充分不必要条件;
对于D,做出y=x2和y=2x,可知x=0时02﹣20<0,x=﹣1时,(﹣1)x2﹣2﹣1>0,可知x∈(﹣1,0),x=2,x=4也是函数的零点,有三个交点,故命题p为假,¬p是真命题;
故选:D.
4.一个扇形OAB的面积是1cm2,它的周长是4cm,则弦长AB=( )
A.2 B.2sin 1 C.2sin 2 D.sin 1
【考点】扇形面积公式.
【分析】由已知利用扇形面积公式,可求扇形的半径和弧长,过O作OH⊥AB于H,解三角形即可得解AB的值.
【解答】解:设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,
则:,解得:,
∴圆心角α==2.
如图,过O作OH⊥AB于H,则∠AOH=1 rad.
∴AH=1•sin 1=sin 1(cm),
∴AB=2sin 1(cm).
故选:B.
5.已知α∈(,π),sin(α+)=,则=( )
A. B. C. D.
【考点】两角和与差的正弦函数.
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos(α+)的值,进而利用诱导公式可求的值.
【解答】解:∵α∈(,π),α+∈(,),sin(α+)=,
∴cos(α+)=﹣=﹣,
∴=sin(α++)=cos(α+)=﹣.
故选:C.
6.关于函数y=tan(2x﹣),下列说法正确的是( )
A.最小正周期为π
B.是奇函数
C.在区间上单调递减
D.为其图象的一个对称中心
【考点】正切函数的奇偶性与对称性.
【分析】根据正切函数的图象与性质,求出函数y=tan(2x﹣)的最小正周期,判断它的奇偶性以及单调性、对称中心.
【解答】解:函数y=tan(2x﹣)最小正周期为T==,A错误;
令2x﹣≠+kπ,k∈Z,解得x≠+,k∈Z,
∴f(x)的定义域为{x|x≠+,k∈Z},
其定义域不关于原点对称,是非奇非偶函数,B错误;
又周期函数在其定义域内无单调减区间,
∴f(x)无单调减区间,C错误;
令2x﹣=,k∈Z,解得x=+,k∈Z,
∴f(x)的对称中心为(﹣+,0),k∈Z;
当k=1时,f(x)的对称中心为(,0),D正确.
故选:D.
7.已知x1=dx,x2=e﹣1.1(其中e为自然对数的底数),实数x3满足,则x1,x2,x3的大小关系为( )
A.x1>x2>x3 B.x2>x1>x3 C.x3>x2>x1 D.x3>x1>x2
【考点】定积分.
【分析】分别计算三个数的大小;x1利用定积分计算;x2结合指数函数判断,x3结合函数y=与函数y=lgx的交点进行判断.
【解答】解:x1=dx=,x2=e﹣1.1<,实数x3是为函数y=与函数y=lgx的交点的横坐标,由作图可知x3>1.
如图:
所以x3>x1>x2.
故选:D.
8.把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度,再把函数图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=f(x)的图象,则函数y=f(x)的图象上最高点与最低点之间的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
【考点】正弦函数的对称性.
【分析】由题意根据正弦函数的平移变换规律可求函数y=f(x)的解析式,利用正弦函数的图象和性质即可利用勾股定理计算得解.
【解答】解:把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度得到y=sin(2x+)的图象,
再把函数y=sin(2x+)图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,
得到函数y=sin(x+)的图象,其周期为2π,最大值为1,最小值为﹣1,
可得:最高点与最低点距离为: =.
故选:A.
9.如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴正方向滚动.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),设y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域为S,则直线x=t从t=0到t=4所匀速移动扫过区域S的面积D与t的函数图象大致为( )
A. B. C. D.
【考点】函数的图象.
【分析】沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续,先画出y=f(x)最终构成图象,即得到其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域为S,再由图象选出直线x=t从t=0到t=4所匀速移动扫过区域S的面积D与t的函数图象.
【解答】解:由题意得,从顶点A落在x轴上的时候开始计算,到下一次A点落在x轴上,
这个过程中四个顶点依次落在了x轴上,而每两个顶点间距离为正方形的边长1,
下面考查P点的运动轨迹,知正方形向右滚动,
P点从x轴上开始运动的时候,首先是围绕A点运动个圆,该圆半径为1,
然后以B点为中心,滚动到C点落地,其间是以BP为半径,旋转90°,再以C为圆心,旋转90°,这时候以CP为半径,因此y=f(x)最终构成图象如下:
由图得,两个相邻零点间的图象与x轴所围区域S为曲线与x轴围成的封闭图形,
则直线x=t从t=0到t=4所匀速移动扫过区域S的面积D与t的函数变化:
从O到B面积相同时间内越来越大,D随着t变化得越来越快,从B到D面积相同时间内越来越小,D随着t变化得越来越慢,故D与t的函数变化图象大致为D中的图象,
故选:D.
10.已知函数f(x)=的图象上恰好有两对关于原点对称的点,则实数a的取值范围是( )
A.(4,+∞) B.(﹣∞,0)∪(4,+∞) C.(0,4) D.(﹣∞,0)
【考点】分段函数的应用;二次函数的性质.
【分析】若函数f(x)=的图象上恰好有两对关于原点对称的点,则当x>0时,x2﹣2ax+2a=﹣(﹣x)2即x2﹣ax+a有两个解,解得实数a的取值范围.
【解答】解:若函数f(x)=的图象上恰好有两对关于原点对称的点,
则当x>0时,x2﹣2ax+2a=﹣(﹣x)2即x2﹣ax+a有两个解,
所以,
解得a∈(4,+∞).
故选:A.
11.函数f(x)=﹣2ax+2a+1图象经过四个象限的必要而不充分条件是( )
A.﹣<x<﹣ B.﹣2<a<0 C.﹣<a<﹣ D.﹣1<a<﹣
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】由f(x),求导,f′(x)=ax2+ax﹣2a=a(x﹣1)(x+2),由题意可知:f(﹣2)<0,且f(1)>0,即可求得a的取值范围,根据a的取值范围,根据集合的关系,即可求得函数f(x)图象经过四个象限的必要而不充分条件为﹣2<a<0.
【解答】解:由f(x)=﹣2ax+2a+1,求导f′(x)=ax2+ax﹣2a=a(x﹣1)(x+2).
若a<0,令f′(x)<0,解得:x<﹣2或x>1,
令f′(x)>0,解得:﹣2<x<1,
由题意可知:f(﹣2)<0,且f(1)>0,
,
解得:﹣<a<﹣,
若a≥0,则无解,
∴数f(x)=﹣2ax+2a+1图象经过四个象限的充要条件为{a丨﹣<a<﹣},
由题意可知:函数f(x)图象经过四个象限的必要而不充分条件为:﹣2<a<0.
故选:B.
12.设函数f(x)(x∈R)满足f(﹣x)=f(x),f(x)=f(2﹣x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos(πx)|,则函数h(x)=g(x)﹣f(x)在上的零点个数为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】利用函数对称性,周期性得出图象判断即可,注意特殊值的运用.
【解答】解:∵当x∈[0,1]时,f(x)=x3.
∴当x∈[1,2]时,2﹣x∈[,0,1],
∴f(x)=f(2﹣x)=(2﹣x)3,
当x∈[0,]时,函数g(x)=|xcos(πx)|,当x∈[,]时,函数g(x)=﹣xcos(πx),
∵f(x),g(x)都为偶函数,f(0)=g(0)=0,f(1)=g(1)=1,g()=g()=0
据图象可知,函数还在(﹣,0)(0,)(,1)(1,)上各有一个零点,
∴共有8个零点
故选:C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把最终答案填在题中的横线上)
13.函数y=x与f(x)=2﹣x2围成的封闭图形的面积为 .
【考点】定积分.
【分析】首先求出两个函数的交点,然后利用定积分表示封闭图形的面积,计算定积分.
【解答】解:由得到,所以函数y=x与f(x)=2﹣x2围成的封闭图形的面积为==;
故答案为:.
14.已知sinα﹣cosα=﹣,π<α<,求tanα的值.
【考点】同角三角函数间的基本关系.
【分析】利用平方关系和商数关系即可得出.
【解答】解:由sinα﹣cosα=﹣,sin2α+cos2α=1,
得5cos2 α﹣cos α﹣2=0
∴cos α=或cos α=﹣
∵π<α<,
∴cos α<0.
∴cos α=﹣,∴sin α=﹣.
因此tan α==2.
15.函数f(x)是定义在[﹣4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图所示,那么不等式<0的解集为 (﹣,﹣1)∪(1,)
【考点】偶函数;函数奇偶性的性质.
【分析】先求出不等式在[0,4]上的解集,再由偶函数的对称性求出在[﹣4,0)上,不等式的解集,将这2个解集取并集.
【解答】解:在[0,1]上,f(x)≥0,cosx>0,不等式不成立. 在(1,4]上,f(x)<0,
要使不等式成立,必有cosx>0,∴x∈(1,),
∴在[0,4]上,不等式的解集是(1,),再由偶函数的对称性知,
在[﹣4,0)上,不等式的解集是(﹣,﹣1),
∴不等式的解集是(1,)∪(﹣,﹣1).
16.已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)>0,f(x)•f(y)=f(x+y),且f(1)=,当x∈(0,+∞)时f(x)<1,关于x的不等式f(a)•f(﹣2﹣xex)﹣4>0(其中e为自然对数的底数)恒成立,则实数a的取值范围为 (﹣∞,﹣) .
【考点】函数恒成立问题.
【分析】利用定义判断函数的单调性,根据函数的单调性把恒成立问题转化为求函数最值问题解决.
【解答】解:对于∀x1>x2,
f(x1)﹣f(x2)=f(x2+x1﹣x2)﹣f(x2)
=f(x2)[f(x1﹣x2)﹣1],
又x1﹣x2>0,所以f(x1﹣x2)<1,从而f(x1)﹣f(x2)<0,
所以f(x)在R上单调递减.
f(0)•f(0)=f(0+0)得f(0)=1或0(舍),f(﹣1)•f(1)=f(﹣1+1)得f(﹣1)=2,从而f(﹣2)=4,所以原不等式f(a)•f(﹣2﹣xex)﹣4>0
等价于f(a﹣2﹣xex)>f(﹣2)
所以a﹣2﹣xex<﹣2即a<xex恒成立,
令t=xex,t'=ex(1+x),
当x>﹣1时,函数递增,当x<﹣1时,函数递减,
所以当x=1时,函数取最小值为﹣,
所以a<﹣.
故答案为(﹣∞,﹣).
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(1)计算:﹣lg0.4﹣2lg0.5﹣14×
(2)已知P(sinα,cosα)在直线y=x,求+2sinαcosα的值.
【考点】运用诱导公式化简求值.
【分析】(1)化根式为分数指数幂,然后利用有理指数幂的运算性质和对数的运算性质化简求值;
(2)由题意可得tanα,进而利用诱导公式,同角三角函数基本关系式化简求值.
【解答】解:(1)原式=()+|(﹣2)3|﹣(lg0.4+lg0.25)﹣14×
=+8﹣(﹣1)﹣7
=.
(2)∵由题意可得:cos,可得:tanα=2,
∴+2sinαcosα
=+
=+
=﹣1+
=﹣.
18.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
【考点】三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值.
【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性得出结论.
(2)利用定义域和值域求得f(x)在区间上的最值.
【解答】解:(1)∵f(x)=sin2x+cos2x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x
=sin(2x+)+1,
∴函数f(x)的最小正周期为T==π.
(2)由(1)的计算结果知,f(x)=sin(2x+)+1,
当x∈[,]时,2x+∈[,],
由正弦函数y=sin t在单调递减,在上单调递减.
当2x+=,即x=时,f(x)取最大值2;
当2x+=,即x=时,f(x)取最小值﹣+1.
综上,f(x)在区间上的最大值为2,最小值为﹣+1.
19.已知函数f(x)=x3+bx2+cx在x=1处的切线方程为12x+y﹣1=0.
(1)求b,c的值;
(2)若方程f(x)﹣m=0有三个解,求m的取值范围.
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;根的存在性及根的个数判断.
【分析】(1)根据导数几何意义,导数的几何意义、切点坐标的应用,得到关于b,c的方程组,解得即可.
(2)利用导数求出函数的单调区间,可得函数的极值,利用方程f(x)﹣m=0有三个解,即可求m的取值范围.
【解答】解:(1)∵f'(x)=3x2+2bx+c,
∴k=f'(1)=3+2b+c=﹣12①,
又∵f(1)=﹣11,∴﹣,11=1+b+c②,
由①②解得:b=﹣3,c=﹣9;
(2)f'(x)=3x2﹣6x﹣9=3(x+1)(x﹣3),
∴f(x)在(﹣∞,﹣1)单调递增,在(﹣1,3)单调递减,在(3,+∞)单调递增.
∴f(x)得极大值f(﹣1)=5,极小值为f(3)=﹣27,
∵方程f(x)﹣m=0有三个解,
∴﹣27<m<5.
20.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求的值;
(2)求函数g(x)=f(x)+f(x+)的对称轴与单调区间.
【考点】正弦函数的单调性.
【分析】(1)利用两角差的正弦函数公式化简函数解析式可得f(x)=2sin(ωx+φ﹣),由f(x)是偶函数,可得φ=+kπ(k∈Z),结合范围0<φ<π,可求φ,利用周期公式可求ω,即可求得函数解析式为f(x)=2cos 2x.利用诱导公式,特殊角的三角函数值即可求值得解.
(2)利用三角函数恒等变换的应用可得解析式g(x)=2sin(2x+),令2x+=+kπ,k∈Z,即可解得对称轴方程,令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ,即可解得单调递增区间,令+2kπ≤2x+≤+2kπ,解得单调递减区间.
【解答】解:(1)f(x)=sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)
=2[sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)
=2sin(ωx+φ﹣).
因为f(x)是偶函数,
则φ﹣=+kπ(k∈Z),
所以φ=+kπ(k∈Z),
又因为0<φ<π,
所以φ=,
所以f(x)=2sin()=2cosωx.
由题意得=2•,
所以ω=2.
故f(x)=2cos 2x.
因此=2cos=.
(2)g(x)=2cos 2x+2cos 2(x+)
=2cos 2x+2cos(2x+)
=2cos 2x﹣2sin 2x
=2sin(2x+),
令2x+=+kπ,k∈Z,解得对称轴x=﹣+kπ,k∈Z,
令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ,解得:﹣+kπ≤x≤﹣+kπ,k∈Z,
令+2kπ≤2x+≤+2kπ,解得:﹣+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数g(x)的对称轴x=﹣+kπ,k∈Z,
单调递增区间为:[﹣+kπ,﹣+kπ],k∈Z,单调递减区间为:[﹣+kπ, +kπ],k∈Z.
21.已知函数f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程
(2)若对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,有f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立,求a的取值范围.
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;函数恒成立问题.
【分析】(1)a=1时,求f(x)的导函数,计算曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率k,写出该点处的切线方程;
(2)由题意设g(x)=f(x)+2x,(x>0),g(x)应是增函数,即g'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,求出a的取值范围.
【解答】解:(1)a=1时,f(x)=x2﹣3x+lnx,f(1)=﹣2,
∴,
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率k=f'(1)=0;
所以在点(1,f(1))处的切线方程为 y=﹣2;
(2)令g(x)=f(x)+2x=ax2﹣ax+lnx,(x>0);
由题意知g(x)在(0,+∞)单调递增,所以g'(x)=2ax﹣a+≥0在(0,+∞)上恒成立,即2ax2﹣ax+1≥0在(0,+∞)上恒成立;
令h(x)=2ax2﹣ax+1,(x>0);
则①若a=0,h(x)=1≥0恒成立,
②若a<0,二次函数h(x)≥0不恒成立,舍去
③若a>0,二次函数h(x)≥0恒成立,只需满足最小值,即,解得0<a≤8;
综上,a的取值范围是[0,8].
22.己知函数f(x)=aex+x2,g(x)=sin+bx,直线l与曲线y=f(x)切于点(0,f(0))且与曲线y=g(x)切于点(1,g(1)).
(I)求a,b的值和直线l的方程.
(Ⅱ)证明:f(x)>g(x)
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】(Ⅰ)分别求出f(x)、g(x)的导数,求得切线的斜率和切线方程,再由切线唯一,即可求得a,b和切线方程;
(Ⅱ)设F(x)=f(x)﹣(x+1)=ex+x2﹣x﹣1,运用导数,求得最小值大于0,再设G(x)=x+1﹣g(x),由正弦函数的值域可得G(x)≥0,即可得到f(x)>g(x),即可得证.
【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=aex+2x,g′(x)=cos+b,
即有f(0)=a,f′(0)=a,g(1)=1+b,g′(1)=b,
曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线为y=ax+a,
曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线为y=b(x﹣1)+1+b,
即y=bx+1.
依题意,有a=b=1,直线l方程为y=x+1.
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知f(x)=ex+x2,g(x)=sin+x.
设F(x)=f(x)﹣(x+1)=ex+x2﹣x﹣1,则F′(x)=ex+2x﹣1,
当x∈(﹣∞,0)时,F′(x)<F′(0)=0;
当x∈(0,+∞)时,F′(x)>F′(0)=0.
F(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增,
故F(x)≥F(0)=0.
设G(x)=x+1﹣g(x)=1﹣sin,
则G(x)≥0,当且仅当x=4k+1(k∈Z)时等号成立.
由上可知,f(x)≥x+1≥g(x),且两个等号不同时成立,
因此f(x)>g(x).
2016年12月15日