数学（理）卷·2019届湖南省长郡中学高二12月月考（第二次模块检测）（2017-12） 11页

长郡中学2017—2018学年度高二第一学期第二次模拟检测 数 学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数，则在复平面内对应的点位于（ ） ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ ‎2.角 的终边在第一象限，则“”是“ ”的 （ ）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3. 在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知向量，且与 互相垂直，则的值是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.2个男生和4个女生排成一排，其中男生既不相邻也不排两端的不同排法有 （ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎6. 已知向量，则以为邻边的平行四边形的面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7. 已知点是抛物线的焦点，是抛物线上两点，，则中点的横坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.如图所示，在正方体中，，直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 由不等式组，确定的平面区域为，由不等式组确定的平面区域为，在内随机的取一点，则点落在区域内的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10. 设曲线为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 双曲线的左右焦点分别为是右支上一点，且，直线与圆相切，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12. 已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. ．‎ ‎14.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 ．（用数字作答）‎ ‎15.若直线与曲线相切，则 ．‎ ‎16.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形，如三角形数，第 个三角形数为，记第个边形数为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：‎ 三角形数：；正方形数：；五边形数：；六边形数：，由此推测 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知命题，命题方程表示焦点在轴上的双曲线.‎ ‎（1）命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题“”为真，命题“”为假，求实数的取值范围.‎ ‎18. 已知函数.‎ ‎（1）若函数在处有极值，求的值；‎ ‎（2）若对于任意的在上单调递增，求的最小值.‎ ‎19.某工厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间满足关系式为大于的常数），现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：‎ 对数据作了处理，相关统计量的值如下表：‎ ‎（1）根据所给数据，求关于的回归方程（提示：由已知，是的线性关系）；‎ ‎（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品，现从抽取的6件合格产品再任选3件，求恰好取得两件优等品的概率；‎ ‎（附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为 ）‎ ‎20. 如图，在三棱锥中，底面分别是的中点，在，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；‎ 若不存在，请说明理由.‎ ‎21.已知椭圆的中心在原点焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.‎ ‎（1）求椭圆的焦点；‎ ‎（2）已知点在椭圆上，点是椭圆上不同于的两个动点，且满足：，试问：直线的斜率是否为定值？请说明理由.‎ ‎22.函数.‎ ‎（1）求函数的最大值；‎ ‎（2）对于任意，且，是否存在实数，使恒成立，若存在求出的范围，若不存在，说明理由；‎ ‎（3）若正项数列满足，且数列的前项和为，试判断与的大小，并加以证明.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BDCDA 6-10:BCDDB 11、B 12：A ‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）命题为真命题 由，得，即，‎ ‎（2）若命题为真命题，则，得，‎ 即，‎ 由题意，命题一真一假，则，真假：，‎ 或假真：‎ 所以或.‎ ‎18.解：（1）由 ，‎ 于是，根据题意设有，‎ 解得 或，‎ 当时，所以函数，所以函数有极值点；‎ 当时，所以函数，所以无极值点，‎ 所以 .‎ ‎（2）由题意知对任意的都成立，‎ 所以对任意的都成立，‎ 因为，所以在上为单调增函数或为常数函数，‎ ‎①当为常数函数时，；‎ ‎②当为增函数时，，‎ 即对任意都成立，‎ 又，所以时，，所以，‎ 所以的最小值为.‎ ‎19.解：（1）对，两边取自然对数得，‎ 令，得，‎ ‎，，‎ 得，故所求回归方程为.‎ ‎（2）由，解得，，即优等品有3件.‎ 记“恰好取得两件优等品”为事件,从件合格品中选出3件的方法数为，‎ 从件合格品取3件恰好2件为优等品的取法有种，则.‎ ‎20. 解：（1）由，‎ 是的中点，得，‎ 因为底面，所以，‎ 在中，，所以，‎ 因此，又因为，‎ 所以，‎ 则，即，因为底面，‎ 所以，又,‎ 又，所以平面.‎ ‎(2)假设满足条件的点，存在，‎ 并设，以为坐标原点，分别以为轴建立空间之间坐标系，‎ 则，‎ 由，所以，所以，‎ 设平面的法向量为，‎ 则 ，取，得，‎ 即，设平面的法向量为，‎ 则 ，取，得，‎ 即，‎ 由二面角的大小为，得，‎ 化简得，又，求得，于是满足条件的点存在，且.‎ ‎21.解：（1）因为椭圆的中心的原点，焦点在轴上，‎ 所以设椭圆标准方程为，‎ 因为椭圆离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，‎ 焦点为，所以，‎ 所以，解得，‎ 所以椭圆的标准方程.‎ ‎（2）由题意，直线与椭圆交点，‎ 所以，设，‎ 当时直线斜率之和为，‎ 设斜率为，则斜率为，‎ 的直线方程为，‎ 与椭圆联立得，‎ 所以，同理，‎ 所以，‎ ‎，‎ 直线的斜率为.‎ ‎22.解：（1）在，则，‎ 所以函数单调递减，函数单调递增，‎ 从而.‎ ‎（2）若恒成立，‎ 则，‎ 设函数，又，‎ 则只需函数在上为单调递减函数，‎ 即在上恒成立，‎ 则，记，则，从 在上单调递减，‎ 在上单调递增，故，‎ 则存在，使得不等式恒成立.‎ ‎（3）由，‎ 即，由，得，‎ 因为，‎ 由（1）知时，，‎ 故，‎ 所以 ‎