2021版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4-1任意角的概念与蝗制任意角的三角函数练习新人教B版 9页

‎4.1 任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数 核心考点·精准研析 考点一　象限角与终边相同的角 ‎ ‎1.若角α是第二象限角,则是 (　　)‎ A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 ‎2.(2019·长春模拟)若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-x上,则角α的取值集合是 (　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎3.下列各角中,与角330°的终边相同的是 (　　)‎ A.150° B.-390° C.510° D.-150°‎ ‎4.与-2 010°终边相同的最小正角是________.  ‎ ‎【解析】1.选C.因为α是第二象限角,所以+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,所以+‎ kπ<<+kπ,k∈Z.当k为偶数时,是第一象限角;当k为奇数时,是第三象限角.综上,是第一或第三象限角.‎ ‎2.选D.因为直线y=-x的倾斜角是,所以终边落在直线y=-x上的角的取值集合为{α|α=kπ-,k∈Z}.‎ 9‎ ‎3.选B.与角330°的终边相同的角为α=k·360°+330°(k∈Z),令k=-2,可得α=-390°.‎ ‎4.因为-2 010°=(-6)×360°+150°,‎ 所以150°与-2 010°终边相同,又终边相同的两个角相差360°的整数倍,所以在0°～360°中只有150°与-2 010°终边相同,故与-2 010°终边相同的最小正角是150°.‎ 答案:150°‎ ‎1.表示区间角的三个步骤 ‎(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.‎ ‎(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°～360°范围内的角α和β,写出最简区间.‎ ‎(3)起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角集合.‎ ‎2.象限角的两种判断方法 ‎(1)图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.‎ ‎(2)转化法:先将已知角化为k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.‎ ‎3.求或nθ(n∈N*)所在象限的方法 ‎(1)将θ的范围用不等式(含有k)表示.‎ ‎(2)两边同除以n或乘以n.‎ ‎(3)对k进行讨论,得到或nθ(n∈N*)所在的象限.‎ 提醒:注意“顺转减,逆转加”的应用,如角α的终边逆时针旋转180°可得角α+180°的终边,类推可知α+k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角.‎ ‎【秒杀绝招】　‎ 结论法解T1,若角α是第一(或二)象限角,则是第一或第三象限角;若角α是第三(或四)象限角,则是第二或第四象限角.‎ 9‎ 排除法解T2,终边在直线上,是kπ,终边在射线上是2kπ,排除A,B;直线y=-x的倾斜角是钝角,加钝角或减锐角,排除C,所以选D.‎ 考点二　弧度制、扇形的弧长及面积公式 ‎ ‎【典例】1.若扇形的圆心角α=120°,弦长AB=12 cm,则弧长l=________cm. ‎ ‎2.已知扇形的周长为20 cm,当它的面积最大时,它的圆心角的弧度数为________. ‎ ‎【解题导思】‎ 序号 联想解题 ‎1‎ 由扇形的圆心角想到弧长公式l=|α|·r ‎2‎ 由扇形的周长想到扇形面积公式S=lr,周长=l+2r,转化为函数求最值 ‎【解析】1.设扇形的半径为r cm,如图.‎ 由sin 60°=得r=4cm,‎ 所以l=|α|·r=×4=π(cm).‎ 答案:π ‎2.因为扇形的周长为20,所以l+2r=20,即l=20-2r,所以扇形的面积S=lr=(20-2r)·r=-r2+10r=-(r-5)2+25,所以当半径r=5时,扇形的面积最大为25,此时α=2(rad).‎ 答案:2‎ ‎　有关弧长及扇形面积问题的注意点 ‎(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.‎ ‎(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.‎ ‎(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.‎ 9‎ ‎1.已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角.‎ ‎【解析】设圆心角是θ,半径是r,则 解得(舍去)或 所以扇形的圆心角为 rad.‎ ‎2.已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角分别取何值时,扇形的面积最大?‎ ‎【解析】设圆心角是θ,半径是r,则2r+rθ=40.‎ 又S=θr2=r(40-2r)=r(20-r)=-(r-10)2+100≤100,当且仅当r=10时,Smax=100,此时2×10+10θ=40,θ=2,所以当r=10,θ=2时,扇形的面积最大.‎ 考点三　任意角三角函数的定义及应用 ‎ 命 题 精 解 读 考什么:(1)三角函数符号判断,比较大小、解不等式,运用定义求值等等.‎ ‎(2)考查数学抽象,逻辑推理,数学运算等核心素养,以及数形结合的思想.‎ 怎么考:与直线、诱导公式、三角恒等变换等结合考查判断符号、求三角函数值等等.‎ 学 霸 好 方 法 ‎1.三角函数值符号的判断方法 ‎(1)先分别判断每个三角函数值的符号.‎ ‎(2)按照题中要求判断所求三角函数值的符号.‎ ‎2.利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤 ‎(1)用边界值定出角的终边位置.‎ ‎(2)根据不等式组定出角的范围.‎ ‎(3)求交集,找单位圆中公共的部分.‎ ‎(4)写出角所满足的范围.‎ 9‎ 三角函数符号判断 ‎【典例】(2019·衡水模拟)若sin θ·cos θ<0,>0,则角θ是 (　　)‎ A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 ‎【解析】选D.由>0,得>0,所以cos θ>0.又sin θ·cos θ<0,‎ 所以sin θ<0,所以θ为第四象限角.‎ 知道哪些三角函数符号,可确定角所在象限?‎ 提示:知sin θ,cos θ,tan θ中两个的符号,可确定角所在象限.‎ 比较大小、解不等式 ‎【典例】1.设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则 (　　)‎ A.c>b>a B.b>c>a C.a>b>c D.c>a>b ‎2.(2020·长春模拟)已知α,β是第一象限角,且sin α>sin β,则 (　　)‎ A.α>β B.α<β C.cos α>cos β D.tan α>tan β ‎【解析】1.选A.b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,c=tan 35°>sin 35°=b,所以c>b>a.‎ ‎2.选D.因为α,β是第一象限角,所以sin α>0,sin β>0,又sin α>sin β,所以sin2α>sin2β>0,所以1-cos2α>1-cos2β,所以cos2α >0,‎ 所以tan2α>tan2β,因为tan α>0,tan β>0,所以tan α>tan β.‎ 三角函数式如何比较大小?‎ 提示:对于较为简单的三角不等式,在单位圆中,利用三角函数线先作出使其相等的角(称为临界状态,注意实线与虚线),再通过大小找到其所满足的角的区域,由此写出不等式的解集.‎ 运用定义求值 9‎ ‎【典例】1.(2019·南昌模拟)已知角α的终边在直线y=-x上,且cos α<0,则tan α=________. ‎ ‎2.(2019·许昌模拟)设α是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cos α=x,则tan α=________.  ‎ ‎【解析】1.如图,由已知,角α的终边在第二象限,在其终边上任取一点P(x,y),则y=-x,由三角函数的定义得tan α===-1.‎ 答案:-1‎ ‎2.因为α是第二象限角,所以cos α=x<0,即x<0.又cos α=x=,解得x=-3,所以tan α==-.‎ 答案:-‎ 如何运用三角函数定义求三角函数值?‎ 提示:(1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.‎ ‎(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义求解.‎ ‎1.若tan α>0,则 (　　)‎ A.sin 2α>0 B.cos α>0‎ C.sin α>0 D.cos 2α>0‎ 9‎ ‎【解析】选A.因为tan α>0,所以α∈(k∈Z)是第一、三象限角.所以sin α,cos α都可正、可负,排除B,C.而2α∈(2kπ,2kπ+π)(k∈Z),结合正、余弦函数图象可知,A正确.取α=,则tan α=1>0,而cos 2α=0,所以D不正确.‎ ‎2.若角θ的终边经过点P(-,m)(m≠0)且sin θ=m,则cos θ的值为________. ‎ ‎【解析】由已知r=,所以sin θ==m,因为m≠0,所以m=±,所以r==2,所以cos θ==-.‎ 答案:-‎ ‎3.函数y=lg sin x+的定义域为________. ‎ ‎【解析】要使函数有意义,则有 即 解得(k∈Z),‎ 所以2kπ