2018-2019学年福建省福州市八县（市）协作校高二上学期期末联考数学（理）试题 Word版 12页

福州市八县（市）协作校2018—2019学年第一学期期末联考 高二理科 数学试卷 ‎ ‎【完卷时间：120分钟； 满分150分】‎ 命题：平潭城关中学 王学坚 江赛珍 ‎ 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）‎ ‎1. 的焦点坐标是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.若直线的方向向量为,平面的法向量为,则( )‎ A. B. C. D.与相交 ‎3.直线过椭圆左焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.下列结论正确的是( )‎ A. 命题“若，则”的逆命题为真命题 B. 命题“若，则”的否命题是真命题 第5题 C. 命题的否定是“.”‎ ‎ D.“”是“”的充要条件 ‎5.如图，平行六面体中，与交于点，‎ 设，则　　‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知曲线的方程为，给定下列两个命题：‎ 若，则曲线为双曲线； 若曲线是焦点在轴上的椭圆，则．‎ 其中是真命题的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，为坐标原点，‎ 当时，，则抛物线的准线方程是（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎9.在直角梯形中，‎ 分别是的中点，平面，‎ 且，‎ 则异面直线所成角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.抛物线上的点到直线的距离的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. 3‎ ‎11. 设是椭圆的两个焦点，若椭圆上任意一点都满足为锐角 则椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.椭圆的左右焦点分别为,过的一条直线与椭圆交于两点,‎ 若的内切圆面积为,且,则( )‎ A. ‎ B. C. D.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13.若椭圆的焦距为2，则 .‎ ‎14.在棱长为2的正四面体中，分别是的中点，则 .‎ ‎15.若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，‎ 则该椭圆长半轴长的最小值为 .‎ ‎16.已知是双曲线的两个焦点，圆与双曲线位于轴上方的两个交点分别为，若,则双曲线的离心率为　　　　.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（本题满分10分）‎ 已知命题关于的方程有实数根，命题．‎ ‎(Ⅰ) 若是的必要非充分条件，求实数的取值范围；‎ ‎(Ⅱ) 若时“”是真命题，求实数的取值范围.‎ ‎18．（本题满分12分）已知中心在原点的双曲线的右焦点为，直线与双曲线的一个交点的横坐标为．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，求的面积．‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 如图所示，平面，且四边形为矩形，‎ 四边形为直角梯形，，，‎ ‎.‎ ‎ (Ⅰ) 求证：平面；‎ ‎(Ⅱ) 求平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎20．（本题满分12分）‎ 点在圆上运动，轴，为垂足，点在线段上，满足．‎ ‎(Ⅰ) 求点的轨迹方程；‎ ‎(Ⅱ) 过点作直线与点的轨迹相交于、两点，使点被弦平分，‎ 求直线的方程．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 如图，直三棱柱中，，‎ ‎，，分别是，的中点，‎ 点在直线上，且．‎ ‎ (Ⅰ)证明：无论取何值，总有；‎ ‎ (Ⅱ)当取何值时，直线与平面所成的角最大？‎ 并求该角取最大值时的正切值．‎ ‎22．（本题满分12分）‎ 已知抛物线，过点作一条直线与抛物线交于两点，‎ ‎(Ⅰ) 证明:为定值；‎ ‎ (Ⅱ) 设点是定直线上的任意一点，分别记直线，，的斜率为，，．问：，，能否组成一个等差数列？若能，说明理由；若不能，举出反例.‎ 福州市八县（市）协作校2018—2019学年第一学期期末联考 高二理科数学试卷答案及评分标准 一、选择题： DCBCD CBABC BB 二、填空题： 13.3或5 14.1 15. 16.‎ 三、解答题：‎ ‎17.解答：‎ ‎(Ⅰ)命题或 ………………2分 由是的必要非充分条件可得 ………………3分 所以 或者 ………………………………4分 ‎ 即 或者 ……………………………………5分 ‎(Ⅱ)当时命题即 …………………………………………6分 ‎ 由“”是真命题可知 真或真 ……………………………………7分 ‎ 即 或或 ………………………………………………9分 实数的取值范围是或. …………………………………………10分 ‎18.解答：‎ ‎（Ⅰ）设双曲线的标准方程是， …………………………1分 由题可知 点在双曲线上 ……………………………………………………2分 从而有 ………………………………………………………………4分 解得 ………………………………………………………………5分 所以 双曲线的标准方程为 ……………………………………6分 ‎（Ⅱ）由已知得直线的方程为即 ………………………………7分 ‎ 所以 原点到直线的距离 ………………………………8分 ‎ 解法一：联立消去可得 ‎ ‎ 设，则 ‎ 所以 ……11分 解法二：联立解得或 ‎ 即 两点坐标分别为和 ‎ 所以 ……………………………………11分 所以 的面积． ………………………………12分 ‎19.解答：‎ ‎（Ⅰ）由已知可建立空间直角坐标系如右图，则 ‎ ‎ ‎……………………………………………………1分 由平面可知 ‎ ‎ 又∵‎ ‎ ∴平面 所以 是平面的一个法向量 …………………………………………3分 由已知可得 ，‎ 所以 ‎ 所以 …………………………………………5分 ‎ 又∵平面 ‎ 从而 平面 ……………………………………6分 ‎（若学生采用几何法请酌情给分）‎ ‎（Ⅱ）与（Ⅰ）同理可知 是平面的一个法向量……………………7分 设是平面的一个法向量，则有 ‎ 又由题可知 ‎ ‎ 从而有 ‎ 取可得 …………………………………………9分 ‎ 从而 …………11分 ‎ 所以 平面与平面所成锐二面角的余弦值为. ………………………………12分 ‎20.解答：‎ ‎（Ⅰ）设点， ………………1分 由轴，为垂足，点在线段上，满足可知 …………2分 又由点在圆上可得 …………3分 将代入上式，得 即 …………4分 所以 点的轨迹方程为 ………………5分 ‎（Ⅱ）设，由点被弦平分可得 ①………7分 解法一：由点、在点的轨迹上可得 ……………………8分 从而有 ……………………9分 将①代入上式可得 即 ……………………11分 故所求直线的方程的方程为，即 ………………12分 解法二：由题可知直线的斜率必存在（否则与点被弦平分矛盾），故可设 直线的方程为，即 ………………8分 联立消去可得 ‎ ………9分 则 …………………………………………10分 由①得 ‎ 解得 ……………………………………………………11分 所以 所求直线的方程的方程为，即………………12分 ‎21.解答：‎ ‎ 由，可得 ,故 ………………1分 结合已知可建立空间直角坐标系如右图，则 由，分别是，的中点可得 ‎ ,‎ 由可得 ………………………………………………3分 ‎（1）由已知可得 ………………………………4分 ‎ 所以 ‎ ‎ 所以 ……………………………………………………5分 故无论取何值，总有； …………………………………………6分 ‎（2）由已知得 向量平面的一个法向量…………………………7分 ‎ 结合（1）可得 ……………………9分 ‎ 从而当时，最大，即直线与平面所成的角最大，…………11分 ‎ 此时，从而. …………………………………………………………12分 ‎22.解答：‎ ‎（Ⅰ）证明：设直线的方程为…………………………………………………………1分 联立消去可得 ……………………………………2分 设，则有 ………………………………………3分 从而 ……4分 所以 …………………………………………………………5分 即 为定值. …………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）能，理由如下： ………………………………………………………………7分 设，则 ‎ …………………………………………8分 所以 ‎ ‎ ‎ ‎………………………………………………………………………………………………………11分 即 ，，能组成一个等差数列. ………………………………………………12分