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- 2021-06-25 发布
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2018-2019学年广东省深圳市高一下学期期末考试数学试题
一、单选题
1.若集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】通过集合B中,用列举法表示出集合B,再利用交集的定义求出.
【详解】
由题意,集合, 所以
故答案为:B
【点睛】
本题主要考查了集合的表示方法,以及集合的运算,其中熟记集合的表示方法,以及准确利用集合的运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
2.连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币,出现正面向上与反面向上各一次的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】利用列举法求得基本事件的总数,利用古典概型的概率计算公式,即可求解.
【详解】
由题意,连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币,基本事件包含:(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面),共有4中情况,
出现正面向上与反面向上各一次,包含基本事件:(正面,反面),(反面,正面),共2种,
所以的概率为,故选C.
【点睛】
本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题,其中解答中熟练利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.
3.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】利用函数的奇偶性和单调性,逐一判断各个选项中的函数的奇偶性和单调性,进而得出结论.
【详解】
由于函数是奇函数,不是偶函数,故排除A;
由于函数是偶函数,但它在区间上单调递增,故排除B;
由于函数是奇函数,不是偶函数,故排除C;
由于函数是偶函数,且满足在区间上单调递减,故满足条件.
故答案为:D
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性的判定及应用,其中解答中熟记函数的奇偶性的定义和判定方法,以及基本初等函数的奇偶性是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.
4.如图,扇形的圆心角为,半径为1,则该扇形绕所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】以所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球,利用球面的表面积公式及圆的表面积公式即可求得.
【详解】
由已知可得:以所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球,其中半球的半径为1,故半球的表面积为:
故答案为:C
【点睛】
本题主要考查了旋转体的概念,以及球的表面积的计算,其中解答中熟记旋转体的定义,以及球的表面积公式,准确计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
5.已知函数,下列结论不正确的是( )
A.函数的最小正周期为
B.函数在区间内单调递减
C.函数的图象关于轴对称
D.把函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象
【答案】D
【解析】利用余弦函数的性质对A、B、C三个选项逐一判断,再利用平移“左加右减”及诱导公式得出,进而得出答案.
【详解】
由题意,函数其最小正周期为,故选项A正确;
函数在上为减函数,故选项B正确;
函数为偶函数,关于轴对称,故选项C正确
把函数的图象向左平移个单位长度可得,所以选项D不正确.
故答案为:D
【点睛】
本题主要考查了余弦函数的性质,以及诱导公式的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
6.已知直线是平面的斜线,则内不存在与( )
A.相交的直线 B.平行的直线
C.异面的直线 D.垂直的直线
【答案】B
【解析】根据平面的斜线的定义,即可作出判定,得到答案.
【详解】
由题意,直线是平面的斜线,由斜线的定义可知与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线,所以在平面内肯定不存在与直线平行的直线.
故答案为:B
【点睛】
本题主要考查了直线与平面的位置关系的判定及应用,其中解答中熟记平面斜线的定义是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.
7.若,且,则“”是“函数有零点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】结合函数零点的定义,利用充分条件和必要条件的定义进行判断,即可得出答案.
【详解】
由题意,当时,,函数与有交点,
故函数有零点;
当有零点时,不一定取, 只要满足都符合题意.
所以“”是“函数有零点”的充分不必要条件.
故答案为:A
【点睛】
本题主要考查了函数零点的概念,以及对数函数的图象与性质的应用,其中解答中熟记函数零点的定义,以及对数函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
8.如图,中,分别是边的中点,与相交于点,则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】利用向量的加减法的法则,利用是的重心,进而得出, 再利用向量的加减法的法则,即可得出答案.
【详解】
由题意,点分别是边的中点,与相交于点,
所以是的重心,则,
又因为,
所以
故答案为:C
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算,以及三角形重心的性质,其中解答中熟记三角形重心的性质,以及向量的线性运算法则是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
9.英国数学家布鲁克泰勒(Taylor Brook,1685~1731)建立了如下正、余弦公式( )
其中,,例如:。试用上述公式估计的近似值为(精确到0.01)
A.0.99 B.0.98 C.0.97 D.0.96
【答案】B
【解析】利用题设中给出的公式进行化简,即可估算,得到答案.
【详解】
由题设中的余弦公式得
,
故答案为:B
【点睛】
本题主要考查了新信息试题的应用,其中解答中理解题意,利用题设中的公式,准确计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
10.已知函数,若存在实数,满足,则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据题意可知方程有解即可,代入解析式化简后,利用基本不等式得出, 再利用分类讨论思想即可求出实数的取值范围.
【详解】
由题意知,方程有解,
则,
化简得,即,
因为,所以,
当时,化简得, 解得;
当时,化简得, 解得,
综上所述的取值范围为.
故答案为:A
【点睛】
本题主要考查了函数的基本性质的应用,以及利用基本不等式求最值的应用,其中解答中利用题设条件化简,合理利用基本不等式求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.
二、填空题
11.设为虚数单位,复数的模为______。
【答案】5
【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简,然后代入复数模的公式,即可求得答案.
【详解】
由题意,复数,则复数的模为.
故答案为:5
【点睛】
本题主要考查了复数的乘法运算,以及复数模的计算,其中熟记复数的运算法则,和复数模的公式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
12.已知,则________.
【答案】
【解析】利用向量内积的坐标运算以及向量模的坐标表示,准确运算,即可求解.
【详解】
由题意,向量,
则,,
所以.
故答案为:
【点睛】
本题主要考查了向量内积的坐标运算,以及向量模的坐标运算的应用,其中解答中熟记向量的数量积的运算公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
13.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.7,现两人各自独立射击一次,均中靶的概率为 ______.
【答案】0.56
【解析】根据在一次射击中,甲、乙同时射中目标是相互独立的,利用相互独立事件的概率乘法公式,即可求解.
【详解】
由题意,甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.7,
所以两人均中靶的概率为,
故答案为:0.56
【点睛】
本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式的应用,其中解答中合理利用相互独立的概率乘法公式求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
14.某学校高一年级举行选课培训活动,共有1024名学生、家长、老师参加,其中家长256人.学校按学生、家长、老师分层抽样,从中抽取64人,进行某问卷调查,则抽到的家长有___人
【答案】16
【解析】利用分层抽样的性质,直接计算,即可求得,得到答案.
【详解】
由题意,可知共有1024名学生、家长、老师参加,其中家长256人,
通过分层抽样从中抽取64人,进行某问卷调查,则抽到的家长人数为人.
故答案为:16
【点睛】
本题主要考查了分层抽样的应用,其中解答中熟记分层抽样的概念和性质,准确计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
15.函数的部分图象如图,其中,,.则 ____; _____.
【答案】2
【解析】由图求得, 再由求出,利用图象过点,求出, 进而求出,即可求解,得到答案.
【详解】
由题意,根据三角函数的部分图象,可得
即,因为,所以,
又由图可知,
根据,解得,
因为,所以,所以.
故答案为:2 ;
【点睛】
本题主要考查了由的部分图象确定其解析式,其中解答中熟记三角函数的图象与性质,合理计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
16.棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有水,当侧面水平放置时,液面高为 (如图1); 当转动容器至截面水平放置时,盛水恰好充满三棱锥(如图2),则___; _____.
【答案】
【解析】利用体积相等得出,进而算出,进而得出,通过面积的比值,进而求出的值,得到答案.
【详解】
由题意,正三棱柱的棱长均为,
所以,
由题意可得,
又由得,
∴,∴
∵,∴,∴
在等边中,边上的高为
因为,∴
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查了空间几何体的体积公式的应用,其中解答中熟记空间几何体的结构特征,合理利用椎体的体积公式和三棱锥的结构特征求解是解答的关键,着重考查了空间想象能,以及推理与运算能力,属于中档试题.
三、解答题
17.已知的三个内角的对边分别是,且.
(1)求角的大小;
(2)若的面积为,求的周长.
【答案】(1) ; (2)
【解析】(1)通过正弦定理得,进而求出, 再根据,进而求得的大小;
(2)由正弦定理中的三角形面积公式求出, 再根据余弦定理,求得, 进而求得的周长.
【详解】
(1)由题意知,由正弦定理得,
又由,则,所以,
又因为,则,所以.
(2)由三角形的面积公式,可得,解得,
又因为,
解得,即,所以,
所以的周长为
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用,其中在解有关三角形的题目时,要抓住题设条件和利用某个定理的信息,合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
18.如图,在平面直角坐标系中,点为单位圆与轴正半轴的交点,点为单位圆上的一点,且,点沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点
(1)当时,求的值;
(2)设,求的取值范围.
【答案】(1) ;(2)
【解析】(1)由三角函数的定义得出, 通过当时,,, 进而求出的值;
(2)利用三角恒等变换的公式化简得,得出,进而得到的取值范围.
【详解】
(1)由三角函数的定义,可得
当时,,即,
所以.
(2)因为,所以,
由三角恒等变换的公式,化简可得:
,
因为,所以,
即的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查了任意角的三角函数的定义,两角和与差的正、余弦函数的公式的应用,以及正弦函数的性质的应用,其中解答中熟记三角函数的定义与性质,以及两角和与差的三角函数的运算公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
19.某科研课题组通过一款手机APP软件,调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称“周跑量”),得到如下的频数分布表
周跑量(km/周)
人数
100
120
130
180
220
150
60
30
10
(1)在答题卡上补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图:
注:请先用铅笔画,确定后再用黑色水笔描黑
(2)根据以上图表数据计算得样本的平均数为,试求样本的中位数(保留一位小数),并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点
(3)根据跑步爱好者的周跑量,将跑步爱好者分成以下三类,不同类别的跑者购买的装备的价格不一样,如下表:
周跑量
小于20公里
20公里到40公里
不小于40公里
类别
休闲跑者
核心跑者
精英跑者
装备价格(单位:元)
2500
4000
4500
根据以上数据,估计该市每位跑步爱好者购买装备,平均需要花费多少元?
【答案】(1)见解析;(2) 中位数为29.2,分布特点见解析; (3)3720元
【解析】(1)根据频数和频率之间的关系计算,即可得到答案;
(2)根据频率分布直方图利用中位数两边频率相等,列方程求出中位数的值,进而得出结论;
(3)根据频率分布直方图求出休闲跑者,核心跑者,精英跑者分别人数,进而求出平均值.
【详解】
(1)补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图,如下:
(2)中位数的估计值:
由,
所以中位数位于区间中,
设中位数为,则,
解得,因为,
所以估计该市跑步爱好者多数人的周跑量多于样本的平均数.
(3)依题意可知,休闲跑者共有人,
核心跑者人,
精英跑者人,
所以该市每位跑步爱好者购买装备,平均需要元.
【点睛】
本题主要考查了平均数、中位数的求法,以及频率分布直方图的性质等相应知识的综合应用,着重考查了化简能力,推理计算能力,以及数形结合思想的应用,属于基础题.
20.如图长方体中,,分别为棱,的中点
(1)求证:平面平面;
(2)请在答题卡图形中画出直线与平面的交点(保留必要的辅助线),写出画法并计算的值(不必写出计算过程).
【答案】(1)见证明;(2) ;画图见解析
【解析】(1)推导出平面,得出,得出,从而得到,进而证出平面,由此证得平面平面.
(2)设,在平面内过点作的平行线,交于点,可得的值.
【详解】
(1)证明:在长方体中,,
分别为棱,的中点,所以平面,则,
在中,,
在中,,
所以,
因为在中,,所以,所以,
又因为,所以平面,
因为平面,所以平面平面
(2)设,在平面内过点作的平行线,连接交于点,
则即为直线和平面的交点,所以.
【点睛】
本题考查线面位置关系的判定与证明,熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键,其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型:(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行;(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直;(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.
21.已知函数,其中.
(1)当时,求的最小值;
(2)设函数恰有两个零点,且,求的取值范围.
【答案】(1) ; (2)
【解析】(1)当时,利用指数函数和二次函数的图象与性质,得到函数的单调性,即可求得函数的最小值;
(2)利用零点定理结合一元二次不等式根与系数的关系即可求出的范围.
【详解】
(1)当时,函数,
当时,,由指数函数的性质,可得函数在上为增函数,且;
当时,,由二次函数的性质,可得函数在上为减函数,在上为增函数,
又由函数, 当时,函数值取最小值为;
故当时,最小值为.
(2)因为函数恰有两个零点,
(ⅰ)当时,函数有一个零点,令得,
因为,所以,
此时函数也恰有一个零点,,解得(舍去).
(ⅱ)函数恰有两个零点 ,,
解得或,
又由,
因为,所以,即,
即,解得;
当时,结合上述无解;
当时,结合上述可得;
所以实数的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查了指数函数与二次函数的图象与性质的应用,以及函数与方程的综合应用,其中解答中熟记基本初等函数的性质,以及函数零点的性质,合理应用是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.