上海市黄浦区2013届高三下学期二模数学（理）试题 9页

黄浦区2013年高考模拟考 数学试卷(理科) ‎‎2013年4月11日 考生注意：‎ ‎1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；‎ ‎2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；‎ ‎3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟.‎ 一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．‎ ‎1．若复数满足，则的值为___________.‎ ‎2．函数的定义域为___________.‎ 开始 是 输出 否 结束 ‎3．若直线过点，且与直线垂直，则直线的方 程为___________.‎ ‎4．等差数列的前10项和为30，则___________.‎ ‎5．执行右边的程序框图，则输出的值是___________.‎ ‎6．设为常数，函数，若在上是增函 数，则的取值范围是___________.‎ ‎7．在极坐标系中，直线被圆所截得的线段长 为___________.‎ ‎8．已知点是双曲线上一点，双曲线两个焦点间的距离等 于4，则该双曲线方程是___________.‎ ‎9．在平行四边形中，若，则___________.‎ ‎10．已知是球面上三点，且，若球心到平面 的距离为，则该球的表面积为__________.‎ ‎11．在中，，则的值为___________.‎ ‎12．已知 且，则___________.‎ ‎13．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有1件次品. 用户先对产品进行随机抽检 以决定是否接受. 抽检规则如下：至多抽检3次，每次抽检一件产品(抽检后不放回)，只要 检验到次品就停止继续抽检，并拒收这箱产品；若3次都没有检验到次品，则接受这箱产品，‎ 按上述规则，该用户抽检次数的数学期望是___________.‎ ‎14．已知，若存在区间，使得 ‎，则实数的取值范围是___________.‎ 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. ‎ ‎15．已知，且，则的值为 A． B. C. D. ‎ ‎16．函数的反函数是 A． B. ‎ C． D. ‎ ‎17．下列命题：①“”是“存在，使得成立”的充分条件；②“”‎ 是“存在，使得成立”的必要条件；③“”是“不等式对 一切恒成立”的充要条件. 其中所以真命题的序号是 A．③ B. ②③ C. ①② D. ①③‎ ‎18．如果函数的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数 的取值范围是 A． B. C. D. ‎ 三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题卷相应编号的规定区域内写出必要的步骤 ‎19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.‎ A B ‎ C ‎ D ‎ A1‎ B1 ‎ E ‎ D1 ‎ C1 ‎ ‎ 已知正四棱柱的底面边长为2，.‎ ‎（1）求该四棱柱的侧面积与体积；‎ ‎（2）若为线段的中点，求与平面所成角的大小.‎ ‎20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ ‎ 已知复数(为虚数单位)‎ ‎（1）若，且，求与的值；‎ ‎（2）设复数在复平面上对应的向量分别为，若，且，求的最小正周期和单调递减区间.‎ ‎21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ ‎ 某医药研究所开发一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药 后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间满足，‎ 达峰时间 ‎ y x 药量峰值 其对应曲线（如图所示）过点.‎ ‎（1）试求药量峰值（的最大值）与达峰时间（取最大值 时对应的值）；‎ ‎（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，‎ 那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时 间？（精确到0.01小时）‎ ‎22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.‎ ‎ 设抛物线的焦点为，经过点的动直线交抛物线于点 ‎，且.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若(为坐标原点)，且点在抛物线上，求直线倾斜角；‎ ‎（3）若点是抛物线的准线上的一点，直线的斜率分别为.求证：‎ 当为定值时，也为定值.‎ ‎23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.‎ ‎ 已知数列具有性质：①为整数；②对于任意的正整数，当为偶数时，‎ ‎；当为奇数时，.‎ ‎（1）若为偶数，且成等差数列，求的值；‎ ‎（2）设(且N)，数列的前项和为，求证：；‎ ‎（3）若为正整数，求证：当(N)时，都有.‎ 一、填空题 ‎1. 2. 3. ‎ ‎4. 12 5. 121 6. ‎ ‎7. 8. 9. 10. 11. 12. ‎ ‎13. 14. ‎ 二、选择题 ‎ ‎ ‎15. C ‎ ‎16. D ‎ ‎17. B ‎ ‎18. A 三、解答题 ‎【题目19】‎ ‎【解析】⑴根据题意可得：在中，高 ‎∴‎ ‎⑵过作，垂足为，连结，则平面，‎ ‎∵平面，∴‎ ‎∴在中，就是与平面所成的角 ‎∵，∴，‎ 又是的中点，∴是的中位线，‎ ‎∴‎ 在中 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎【题目20】‎ ‎【解析】⑴∵，∴‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴或 ‎∴或 ‎⑵根据题意可知：‎ ‎∵，∴‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴最小正周期：‎ ‎∵在上单调减 ‎∴根据复合函数的单调性：‎ ‎∴‎ ‎∴在上单调减 ‎【题目21】‎ ‎【解析】将代入函数可得：，∴‎ ‎⑴当时，‎ ‎∵，∴‎ 当时，‎ ‎∵‎ ‎∴，∴‎ ‎∴当时，有最大值为 ‎⑵∵在上单调增，在上单调减，最大值为 ‎∴在和各有一解 当时，，解得：‎ 当时，，解得：‎ ‎∴当时，为有效时间区间 ‎∴有效的持续时间为：小时 ‎【题目22】设抛物线：的焦点为，经过点的动直线交抛物线与 ‎， 两点，且；‎ ‎⑴求抛物线的方程；‎ ‎⑵若（为坐标原点），且点在抛物线上，求直线的倾斜 角；‎ ‎⑶若点是抛物线的准线上的一点，直线的斜率分别为，‎ 求证：当为定值时，也为定值。‎ ‎【解析】⑴根据题意可知：，设直线的方程为：，则：‎ 联立方程：，消去可得：（*），‎ 根据韦达定理可得：，∴，∴：‎ ‎⑵设，则：，由（*）式可得：‎ ‎∴，‎ 又，∴‎ ‎∴‎ ‎∵，∴，∴，∴‎ ‎∴直线的斜率，∴倾斜角为或 ‎⑶可以验证该定值为，证明如下：‎ 设，则：，，‎ ‎∵，∴‎ ‎∴‎ ‎∴为定值 ‎【题目23】已知数列具有性质：①为整数；②对于任意的正整数，当为偶数时，‎ ‎；当为奇数时，；‎ ‎⑴若为偶数，且成等差数列，求的值；‎ ‎⑵设（且），数列的前项和为，‎ 求证：；‎ ‎⑶若为正整数，求证：当时，都有；‎ ‎【解析】⑴设，，则：，‎ 分两种情况： 是奇数，则，，‎ 若是偶数，则，，‎ ‎⑵当时，‎ ‎∴‎ ‎⑶∵，∴，∴‎ 由定义可知：‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵，∴，‎ 综上可知：当时，都有